精品解析：江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

西交大苏州附中2026—2027学年第一学期高二年级第一次阶段练习 数学试卷 一、单选题：本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知在数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 15 C. 18 D. 21 2. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 3. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项均为正整数的数列一共有5项，且对任意，均有．若2是数列中的项，则满足条件的数列的个数为（ ） A. 32 B. 28 C. 16 D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 C. 经过点，且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前10项和为216 11. 设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．下列说法正确的是（ ） A. 存在递增数列为“攀登数列” B. 存在周期数列为“攀登数列” C. 存在等差数列为“攀登数列” D. 在等比数列中，，且公比，则为“攀登数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若等差数列的首项，前项和，则______． 13. 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款______元． 14. 已知直线方程为，则过定点的坐标为______；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在等腰梯形中，，且，，. （1）求点的坐标； （2）求梯形的面积. 16. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 17. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列． (1) 证明：； (2) 求数列的通项公式； (3) 证明：对一切正整数，有． 18. 如图，射线，所在直线的一个方向向量分别为，，点在内，于，于． （1）若，，求的值； （2）若，的面积是，求的值； （3）记，的中点为，且，请比较与的大小关系，并说明理由． 19. 已知在数列和中，，且对任意，点和点均在直线上． （1）证明：数列是等比数列，并求出； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为． ①求； ②记，则在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）构成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西交大苏州附中2026—2027学年第一学期高二年级第一次阶段练习 数学试卷 一、单选题：本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知在数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推关系进行求解即可． 【详解】由，， 得， ， ， 故选：B 2. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 3. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即可. 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，， 所以. 故选：B 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果. 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列， 所以 . 故选：B 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先讨论的情况，写出直线方程即可得倾斜角，再讨论的情况，将直线方程化为斜截式，根据斜率和倾斜角的关系用表示出，根据的范围即可求得的范围，两种情况的的范围取并集即可. 【详解】直线的方程为， 当()时，， 直线的方程为，此时直线的倾斜角为. 当()时，， 直线的方程可化为， 若倾斜角为，则斜率， 因为，所以， 所以， 又因为倾斜角， 所以， 综上所述，. 7. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，即可得. 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍， 边长是相邻前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的， 即有，因此数列是首项，公比为的等比数列， 故，则. 故选：A. 8. 已知各项均为正整数的数列一共有5项，且对任意，均有．若2是数列中的项，则满足条件的数列的个数为（ ） A. 32 B. 28 C. 16 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，，其中，，用正难则反的方法做，用不考虑连续两步的数列个数减去不满足各项均为正整数的数列个数；对于，，可以一一罗列满足条件的数列. 【详解】因为数列的5项都是正整数，而且，2是数列中的项，所以每一步可以或者，但是不能连续两步,； 当，不考虑连续两步的情况，总共有种，则数列，数列，数列，数列，数列，数列，不满足各项均为正整数，所以有种， 则当时，有个满足条件的数列； 当，并且，所以或者， 若，不考虑连续两步的情况，总共有种，则数列和数列，不满足各项均为正整数，所以有， 若，不考虑连续两步的情况，总共有种，则数列和数列，不满足各项均为正整数，所以有种， 则当时，有个满足条件的数列； 当，并且，，所以或者， 若，则或，均舍去； 若，则（舍去）或，不考虑连续两步的情况，总共有种，则数列，不满足各项均为正整数，所以有种， 则当时，有个满足条件的数列； 当，并且，，，所以（舍去）或者，则， 或者，则数列，数列，数列，数列满足条件，所以当时，有4个满足条件的数列； 当，并且，，，，所以只能，只能， 则数列，数列，数列，满足条件， 所以当时，有个满足条件的数列； 综上所述，有个满足条件的数列. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过两点的直线方程为 B. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 C. 经过点，且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查直线方程的基础概念，涉及两点式方程适用条件、方向向量与倾斜角的关系、截距相等的直线求解、三条直线不能构成三角形的取值范围，需逐一分析选项，选出错误表述. 【详解】选项A：分式形式的两点式方程要求分母不为0，仅适用于且的情况，若两点横坐标相等或纵坐标相等，该式无意义，表述错误； 选项B：直线方向向量为，则斜率，设倾斜角为，由得，表述正确； 选项C：截距相等包含截距都为0的情况，此时直线过原点，方程为即；截距不为0时直线方程为，共2条符合条件的直线，选项仅给出1条，表述错误； 选项D：三条直线不能构成三角形分两类：①两直线平行：对应或；②三线共点：与交于，代入第三条直线得，因此的取值集合为，选项表述错误. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 数列的前10项和为216 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用递推和式作差求出数列的通项公式，再结合通项公式验证各选项即可. 【详解】 选项A：令得，令得，代入解得，A错误； 选项B：记，当时，， 两式作差得， 化简得，时也满足该式，故，B正确； 选项C：是首项为9、公差为6的等差数列，前项和，C正确； 选项D：令得，即前4项，后6项， 前10项和为，D错误. 11. 设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．下列说法正确的是（ ） A. 存在递增数列为“攀登数列” B. 存在周期数列为“攀登数列” C. 存在等差数列为“攀登数列” D. 在等比数列中，，且公比，则为“攀登数列” 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项和B选项，分别列举数列即可判断与的大小；对于C选项，求出与，作差后转化为，对任意的恒成立，即可判断；对于D选项，求出与，作差后分类讨论为奇数和为偶数即可确定. 【详解】对于A选项，当时，满足为递增数列，而，，则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故A正确； 对于B选项，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故B正确； 对于C选项，设等差数列的公差为，首项为，则，， 要使等差数列为“攀登数列”，则，对任意的恒成立， 则，由于，所以，所以不符合，故C错误； 对于D选项，在等比数列中公比为，， 则，， 所以， 由，得， 当为奇数，由于，所以，，所以 又因为，所以，即，符合题意； 当为偶数，， ， 则，， 令，解得，，解得， 所以，满足，即， 所以，即，符合题意； 综上所述，存在等比数列，，且公比，使得为“攀登数列”，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若等差数列的首项，前项和，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是等差数列，所以，解得. 13. 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款______元． 【答案】1255元 【解析】 【分析】每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列，可得付款数组成等差数列，公差，再利用等差数列的前项和公式，求得结论． 【详解】购买时付了150元，欠款1000元．每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列， 则， ， ， …… 类推，得． ∴付款数成等差数列，公差，全部贷款付清后，付款总数为 ， 故答案为：1255 14. 已知直线方程为，则过定点的坐标为______；已知的坐标为且满足方程，则直线的斜率取值范围是______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过将直线方程整理为关于参数的线性组合，令系数为零构建方程组，求解得定点坐标.先判断含绝对值方程对应的图形为菱形，将斜率转化为两点连线的斜率，计算菱形顶点与定点的连线斜率，结合图形得出取值范围. 【详解】对于直线的方程， 整理为. 令，解得，， 故定点的坐标为. 对于， 当时，方程可化为；当时，方程可化为； 当时，方程可化为；当时，方程可化为. 由此画出方程的图象如下图所示， 其图形为四个顶点分别是、、、的菱形. 设直线的斜率为， 计算各顶点与连线的斜率： 与连线斜率为，与连线斜率为， 与连线斜率为，与连线斜率为. 结合图形可知，斜率取值范围是. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在等腰梯形中，，且，，. （1）求点的坐标； （2）求梯形的面积. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【小问1详解】 由题意可知， ，因为， 所以 ，所以边所在直线的方程为 ，即. 设， 因为， 所以， 整理得，解得或， 当时，，此时与不平行，四边形为等腰梯形，符合题意； 当时，，此时，四边形为平行四边形，不符合题意； 故点的坐标为. 【小问2详解】 ， ， 等腰梯形的高为点到直线的距离，即， 故梯形的面积为. 16. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）. 【答案】（Ⅰ），，. （Ⅱ）企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元 【解析】 【详解】（Ⅰ）由题意得， ，. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . 整理得　. 由题意， 解得. 故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决 17. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列． (1) 证明：； (2) 求数列的通项公式； (3) 证明：对一切正整数，有． 【答案】(1)证明： 令，，∴． (2) (3) 证明： ． 【解析】 【详解】（1）略； （2），① 时，，② ①②：，整理得，即， ，∴，即，解得， ，，又，可得， 综上：． （3）略. 考点：数列的综合应用． 18. 如图，射线，所在直线的一个方向向量分别为，，点在内，于，于． （1）若，，求的值； （2）若，的面积是，求的值； （3）记，的中点为，且，请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3），理由如下： 结合（2）得直线的方程为，直线的方程为， 设，，，，，， 设直线的倾斜角为，则， 则，所以， 又，的中点为，则，解得， 由，，且， 则， 即， 又，，且，，，即， 又，则，解得，或（舍去）， 所以动点的轨迹方程为， 所以， 又，所以，当且仅当时，取等号， 所以． 【解析】 【分析】（1）先根据两点间的距离公式求出，再根据点到直线的距离公式得到点P到直线的距离，进而利用勾股定理即可求出的值； （2）先根据题意得到，根据两点间的距离公式求出，再根据点到直线的距离公式得到点P到直线的距离，再利用勾股定理求出，进而利用三角形的面积公式即可求出的值； （3）结合（2）设，，，设直线OA的倾斜角为，从而求出，，再结合三角形的面积公式及题意得到动点的轨迹方程，从而即可求出，进而利用作差法即可比较与的大小． 【小问1详解】 由，则， 又，则，则直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以． 【小问2详解】 由，， 则直线的方程为，直线的方程为， 又在内，且，则，即， 所以，到直线的距离为， 所以， 所以， 整理得，解得，或． 【小问3详解】 略 19. 已知在数列和中，，且对任意，点和点均在直线上． （1）证明：数列是等比数列，并求出； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为． ①求； ②记，则在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）构成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为点和在直线上， 所以，，即， 因为，所以，即， 又，且，即，解得， 由，得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以． （2） ① ②不存在，证明如下： 结合①得， 假设存在不同的项，，（其中，，成等差数列）构成等比数列， 由，，成等差数列，即，且，，互不相同， 又，，构成等比数列，则， 即， 即， 则， 设，，，则， 又，，互不相同，则，，也互不相同， 又，则，即， 联立，整理得，解得，即，矛盾， 所以不存在不同的项，，构成等比数列． 【解析】 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，进而利用等比数列的通项公式即可得出的通项公式； （2）①结合（1）及等差数列的定义，求得公差的表达式，即得的通项公式，进而利用错位相减法求和可得答案； ②结合①得，利用反证法，结合等差数列，等比数列的性质得到矛盾，进而即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则， 结合（1）有，则，解得，则， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 则①－②得 ， 又， 则，则， 所以数列前项的和为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $