第五章一元一次方程章末专题（三）数轴动点与规律探究2026-2027学年七年级数学人教版上册

七年级数学（人教版）上册第五章一元一次方程章末专题 （三）数轴动点与规律探究 数轴上的动点问题是把一元一次方程与数轴、线段结合起来的综合题型．解题时用含时间 的式子表示动点所对应的数，再根据两点重合、两点间距离、线段中点等条件列出方程． 规律探究问题要求从给定的数、式或图形序列中找出相邻项之间的数量关系，用含字母 的式子表示第 项，再把“某几项的和等于某个数”转化为一元一次方程求解． 本专题包含六个子专题，依次为数轴上的点与距离、动点相遇问题、往返运动与追及问题、与方程有关的新定义、数字问题、数式规律与方程综合。 专题1　数轴上的点与两点间距离 1．【教材改编·人教七上第一章】如图，数轴上点 、 表示的数分别为 和 ． （1）求 、 两点间的距离； （2）若数轴上点 到 、 两点的距离相等，求点 表示的数； （3）若数轴上点 到点 的距离是到点 距离的 倍，求点 表示的数． 2．【2025南京期末·数轴与距离】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ． （1）求线段 的中点表示的数； （2）若数轴上点 到点 的距离为 ，求点 表示的数； （3）若数轴上点 到点 的距离是到点 距离的 倍，求点 表示的数． 3．【教材改编·人教七上第五章】如图，数轴上点 、 表示的数分别为 、，且满足 ． （1）求 、 的值； （2）求线段 的长； （3）若数轴上点 满足 ，求点 表示的数． 4．【2025武汉期中·数轴上的比例点】如图，数轴上点 、 表示的数分别为 和 ． （1）若数轴上点 到点 的距离是到点 距离的 倍，求点 表示的数； （2）若点 表示的数为 ，求 与 的比； （3）若点 在 、 两点之间，且 ，求点 表示的数． 专题2　数轴上的动点相遇问题 5．【2025苏州期末·动点相遇】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．动点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动，同时动点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向左运动． （1）用含 的式子表示运动 秒后 、 两点所对应的数； （2）求经过多少秒 、 两点相遇，并求相遇点所对应的数； （3）求经过多少秒 、 两点相距 个单位长度． 6．【教材改编·人教七上第五章】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．甲从点 出发向左运动，速度为每秒 个单位长度；乙从点 出发向右运动，速度为每秒 个单位长度，两点同时出发． （1）用含 的式子表示运动 秒后甲、乙两点所对应的数； （2）求经过多少秒甲、乙两点相遇，并求相遇点所对应的数； （3）求经过多少秒甲、乙两点相距 个单位长度． 7．【2025成都期中·追及问题】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．点 从点 出发向右运动，速度为每秒 个单位长度；点 从点 出发向右运动，速度为每秒 个单位长度，两点同时出发． （1）用含 的式子表示运动 秒后 、 两点所对应的数； （2）求经过多少秒点 追上点 ； （3）求经过多少秒 、 两点相距 个单位长度． 8．【动点与中点】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．动点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动，动点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向左运动，、 同时出发，设运动时间为 秒（）． （1）用含 的式子表示 、 两点所对应的数； （2）当 为何值时，点 与点 重合？ （3）当 为何值时，线段 的中点所对应的数为 ？ 专题3　往返运动与追及问题 9．【2025杭州期末·往返运动】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．点 从点 出发向右运动，速度为每秒 个单位长度，到达点 后立即以原速返回向左运动． （1）求点 从点 运动到点 所需的时间； （2）求运动 秒（）后点 所对应的数； （3）求点 第二次经过数轴上表示数 的点时所用的时间． 10．【教材改编·人教七上第五章】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．甲、乙两动点分别从 、 两点同时出发，甲向右以每秒 个单位长度的速度运动，乙向左以每秒 个单位长度的速度运动．甲到达点 后立即返回，乙到达点 后立即返回． （1）求甲从点 到点 所需的时间； （2）求经过多少秒甲、乙第一次相遇，并求相遇点所对应的数； （3）求经过多少秒甲、乙第二次相遇． 11．【2025合肥期中·往返相遇】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．动点 从点 出发，在 、 之间往返运动，速度为每秒 个单位长度；动点 从点 出发，在 、 之间往返运动，速度为每秒 个单位长度，两点同时出发． （1）求点 从点 到点 所需的时间； （2）求经过多少秒 、 第一次相遇； （3）求经过多少秒 、 第二次相遇，并求相遇点所对应的数． 12．【原创·双动点往返】如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ．点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动，到达点 后立即返回；点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向左运动，到达点 后立即返回． （1）求点 从点 到点 所需的时间； （2）求经过多少秒 、 第一次相遇； （3）求经过多少秒 、 第二次相遇，并求相遇点所对应的数． 专题4　与方程有关的新定义 13．【2025济南期末·新定义】我们规定：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为“友伴方程”．例如：方程 的解为 ，方程 的解为 ，因为 与 互为相反数，所以这两个方程互为友伴方程． （1）判断方程 与方程 是否互为友伴方程，并说明理由； （2）若方程 与方程 互为友伴方程，求 的值； （3）若关于 的方程 与方程 互为友伴方程，求 的值． 14．【教材改编·人教七上第五章】我们规定：若一元一次方程 （）的解为整数，则称该方程为“整解方程”． （1）判断方程 与方程 是否为整解方程，并说明理由； （2）若关于 的方程 是整解方程，写出两个满足条件的 的值； （3）若关于 的方程 是整解方程，且 为整数，求 的所有值． 15．【2025长沙期末·新定义】我们规定：在数轴上，如果一个点所表示的数恰好是某个一元一次方程的解，则称这个点是该方程的“解点”，该方程是这个点的“解方程”． （1）数轴上点 表示的数为 ，写出点 的一个解方程； （2）数轴上点 的解方程是 和 ，求 的值； （3）方程 的解点是点 ，方程 的解点是点 ，且 、 两点关于原点对称，求 的值． 16．【原创·同解方程】我们规定：若两个一元一次方程的解相同，则称这两个方程是“同解方程”． （1）判断方程 与方程 是否为同解方程，并说明理由； （2）若方程 与方程 是同解方程，求 的值； （3）若关于 的方程 与方程 是同解方程，且它们的解为 ，求 的值． 专题5　数字问题 17．【教材改编·人教七上第五章】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 ． （1）若个位上的数字为 ，用含 的式子表示这个两位数； （2）若这个两位数恰好等于它两个数字之和的 倍，求这个两位数； （3）若把这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，所得新两位数与原两位数之和为 ，求原两位数． 18．【2025郑州期末·数字问题】有一个两位数，其个位上的数字是十位上的数字的 倍． （1）若十位上的数字为 ，用含 的式子表示这个两位数； （2）若这个两位数比它的两个数字之和大 ，求这个两位数； （3）若把两个数字交换位置后所得的新两位数比原两位数大 ，求原两位数． 19．【教材改编·人教七上第五章】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为 ． （1）若个位上的数字为 ，用含 的式子表示这个两位数； （2）若这个两位数等于它两个数字之和的 倍，求这个两位数； （3）若把两个数字交换位置后所得的新两位数比原两位数大 ，求原两位数． 20．【原创·三位数问题】有一个三位数，百位上的数字是 ，十位上的数字与个位上的数字之和为 ． （1）设十位上的数字为 ，用含 的式子表示这个三位数； （2）若这个三位数恰好等于它各位数字之和的 倍，求这个三位数； （3）若这个三位数恰好等于它各位数字之和的 倍，求这个三位数． 专题6　数式规律与方程综合 21．【2025北京期末·数列规律】观察下列一列数：，，，，，… （1）写出这列数的第 个数与第 个数； （2）设第 个数为 ，用含 的式子表示 ； （3）若这列数中某三个相邻数的和为 ，求这三个数． 22．【教材改编·人教七上第五章】观察下列一列数：，，，，，… （1）写出这列数的第 个数； （2）设第 个数为 ，用含 的式子表示 ； （3）是否存在三个相邻的数，使它们的和为 ？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由． 23．【2025广州期末·算式规律】观察下列等式： 第 个等式：； 第 个等式：； 第 个等式：； 第 个等式：； … （1）写出第 个等式； （2）设第 个等式的计算结果为 ，用含 的式子表示 ； （3）是否存在某三个相邻的等式，使它们的计算结果之和为 ？若存在，求出这三个等式；若不存在，请说明理由． 24．【火柴棒图形规律】如图，用火柴棒按下列方式摆放连续的正方形：第 个图形由 个正方形组成，用了 根火柴棒；第 个图形由 个正方形组成，用了 根火柴棒；第 个图形由 个正方形组成，用了 根火柴棒；… （1）写出第 个图形所需火柴棒的根数； （2）设第 个图形所需火柴棒的根数为 ，用含 的式子表示 ； （3）是否存在某个图形，正好用去了 根火柴棒？若存在，求出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：（1）． （2）设点 表示的数为 ． 点 到 、 两点的距离相等， 点 是线段 的中点， ． （3）设点 表示的数为 ． 情形一：点 在点 的左侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，与 矛盾，舍去． 情形二：点 在 、 两点之间，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ． 情形三：点 在点 的右侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ． 点 表示的数为 或 ． 2．解：（1）线段 的中点表示的数为 ． （2）设点 表示的数为 ． ， 或 ． 点 表示的数为 或 ． （3）设点 表示的数为 ． 情形一：点 在点 的左侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，符合 ． 情形二：点 在 、 两点之间，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，符合条件． 情形三：点 在点 的右侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，与 矛盾，舍去． 点 表示的数为 或 ． 3．解：（1），，且 ， ，，，． （2）． （3）设点 表示的数为 ． 情形一：点 在点 的左侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，符合条件． 情形二：点 在 、 两点之间，此时 ． 此时 ，与 不符，无解． 情形三：点 在点 的右侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，符合条件． 点 表示的数为 或 ． 4．解：（1）设点 表示的数为 ． 情形一：点 在点 的左侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，与 矛盾，舍去． 情形二：点 在 、 两点之间，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，符合条件． 情形三：点 在点 的右侧，此时 ． ，． 依题意得 ，解得 ，符合条件． 点 表示的数为 或 ． （2） 点 表示的数为 ， ，， ． （3） 点 在 、 两点之间，，． 依题意得 ， ，解得 ． 点 表示的数为 ． 5．解：（1）运动 秒后，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ． （2）依题意得 ， ，解得 ． 此时 ， 经过 秒两点相遇，相遇点所对应的数为 ． （3）设经过 秒 、 两点相距 个单位长度． 情形一：相遇前，． 此时 ， 依题意得 ，解得 ，符合条件． 情形二：相遇后，． 此时 ， 依题意得 ，解得 ，符合条件． 经过 秒或 秒 、 两点相距 个单位长度． 6．解：（1）运动 秒后，甲对应的数为 ，乙对应的数为 ． （2）依题意得 ， ，解得 ． 此时 ， 经过 秒两点相遇，相遇点所对应的数为 ． （3）设经过 秒甲、乙两点相距 个单位长度． 情形一：相遇前，． 此时 ， 依题意得 ，解得 ，符合条件． 情形二：相遇后，． 此时 ， 依题意得 ，解得 ，符合条件． 经过 秒或 秒甲、乙两点相距 个单位长度． 7．解：（1）运动 秒后，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ． （2）依题意得 ， ，解得 ． 经过 秒点 追上点 ． （3）设经过 秒 、 两点相距 个单位长度． 情形一：追上之前，． 此时 ， 依题意得 ，解得 ，符合条件． 情形二：追上之后，． 此时 ， 依题意得 ，解得 ，符合条件． 经过 秒或 秒 、 两点相距 个单位长度． 8．解：（1）运动 秒后，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ． （2）依题意得 ， ，解得 ，符合 ． 当 时，点 与点 重合． （3）线段 的中点所对应的数为 ． 依题意得 ， ，解得 ，符合 ． 当 时，线段 的中点所对应的数为 ． 9．解：（1）， 点 从点 运动到点 所需的时间为 （秒）． （2），点 正在从 向 运动， 点 所对应的数为 ． （3）情形一：点 第一次经过表示数 的点，此时点 从 向 运动， 依题意得 ，解得 ． 情形二：点 到达点 后返回，此时 ， 点 所对应的数为 ． 依题意得 ，解得 ，符合 ． 点 第二次经过表示数 的点时所用的时间为 秒． 10．解：（1）， 甲从点 到点 所需的时间为 （秒）． （2）设经过 秒甲、乙第一次相遇． 此时甲对应的数为 ，乙对应的数为 ， 依题意得 ，，解得 ． 此时 ， 经过 秒第一次相遇，相遇点所对应的数为 ． （3）设经过 秒甲、乙第二次相遇． 乙从 到 所需时间为 （秒），甲从 到 需 秒． ， 乙先到达点 并返回向右运动， 此时乙对应的数为 ． 当 时，甲到达点 ，乙对应的数为 ， 此后甲返回向左运动，甲对应的数为 ． 依题意得 ，，解得 ． 检验：当 时，甲、乙对应的数均为 ，符合题意． 经过 秒甲、乙第二次相遇． 11．解：（1）， 点 从点 到点 所需的时间为 （秒）． （2）设经过 秒 、 第一次相遇． 此时 对应的数为 ， 对应的数为 ， 依题意得 ，，解得 ． 经过 秒 、 第一次相遇． （3）设经过 秒 、 第二次相遇． 点 在 时到达点 ，此后返回向左运动， 当 时， 对应的数为 ． 点 到达点 所需时间为 （秒），故当 时 对应的数为 ． 依题意得 ，，解得 ，符合 ． 此时 、 对应的数均为 ， 经过 秒 、 第二次相遇，相遇点所对应的数为 ． 12．解：（1）， 点 从点 到点 所需的时间为 （秒）． （2）设经过 秒 、 第一次相遇． 此时 对应的数为 ， 对应的数为 ， 依题意得 ，，解得 ． 经过 秒 、 第一次相遇． （3）设经过 秒 、 第二次相遇． 点 在 时到达点 ，此后返回向左运动， 当 时， 对应的数为 ． 点 到达点 所需时间为 （秒），故当 时 对应的数为 ． 依题意得 ，，解得 ，符合 ． 此时 、 对应的数均为 ， 经过 秒 、 第二次相遇，相遇点所对应的数为 ． 13．解：（1）互为友伴方程．理由如下： 解方程 得 ；解方程 得 ． 与 互为相反数， 这两个方程互为友伴方程． （2）解方程 得 ． 解方程 得 ． 两个方程互为友伴方程，，解得 ． （3）解方程 得 ． 解方程 得 ． 两个方程互为友伴方程，，解得 ． 14．解：（1）解方程 得 ， 是整数， 它是整解方程； 解方程 得 ， 不是整数， 它不是整解方程． （2）解方程 得 ． 该方程是整解方程， 为整数，即 是 的整数倍． 可取 、 等（答案不唯一， 时 ， 时 ）． （3） 方程 是一元一次方程，，即 ． 解该方程得 ． 该方程是整解方程， 为整数，即 是 的因数． 可取 、、、、、、、， 的所有值为 、、、、、、、． 15．解：（1）答案不唯一．例如 ，因为它的解为 ，与点 所表示的数相同． （2）解方程 得 ， 点 表示的数为 ． 解方程 得 ． 该方程也是点 的解方程，，解得 ． （3）解方程 得 ， 点 表示的数为 ． 解方程 得 ， 点 表示的数为 ． 点 、 关于原点对称，，解得 ． 16．解：（1）是同解方程．理由如下： 解方程 得 ；解方程 得 ． 两个方程的解相同， 它们是同解方程． （2）解方程 得 ． 解方程 得 ． 两个方程是同解方程，，解得 ． （3） 方程 的解为 ，，解得 ． 方程 的解为 ，，解得 ． ． 17．解：（1） 十位上的数字比个位上的数字大 ，且个位数字为 ， 十位上的数字为 ， 这个两位数为 ． （2） 两个数字之和为 ， 依题意得 ， ，，解得 ． 这个两位数为 ． （3）交换位置后所得新两位数为 ． 依题意得 ， ，，解得 ． 原两位数为 ． 18．解：（1） 个位上的数字是十位上的数字的 倍，且十位数字为 ， 个位上的数字为 ， 这个两位数为 ． （2） 两个数字之和为 ， 依题意得 ， ，解得 ． 这个两位数为 ． （3）交换位置后所得新两位数为 ． 依题意得 ，，解得 ． 原两位数为 ． 19．解：（1） 十位数字与个位数字之和为 ，且个位数字为 ， 十位上的数字为 ， 这个两位数为 ． （2） 两个数字之和为 ， 依题意得 ， ，，解得 ． 这个两位数为 ． （3）交换位置后所得新两位数为 ． 依题意得 ， ，，解得 ． 原两位数为 ． 20．解：（1） 十位上的数字与个位上的数字之和为 ，且十位数字为 ， 个位上的数字为 ， 这个三位数为 ． （2） 各位数字之和为 ， 依题意得 ， ，，解得 ． 此时个位数字为 ， 这个三位数为 ． （3）依题意得 ， ，，解得 ． 此时个位数字为 ， 这个三位数为 ． 21．解：（1）这列数的第 个数为 ，第 个数为 ． （2）观察这列数可以发现，从第 个数起，每个数都是它前一个数的 倍，且第 个数为 ， ． （3）设这三个相邻数中的第一个数为 ，则后两个数分别为 、． ，， ． 依题意得 ，解得 ． ，， 这三个数分别为 、、． 22．解：（1）这列数的第 个数为 ． （2）观察这列数可以发现，相邻两个数的差都是 ，且第 个数为 ， ． （3）存在．设这三个相邻数中的第一个数为 ，则后两个数分别为 、． 依题意得 ， ，，解得 ． 这三个数分别为 、、． 检验：，符合题意． 23．解：（1）第 个等式为 ． （2）观察各式可以发现，第 个等式的左边乘数为 ， ． （3）存在．设这三个相邻等式中的第一个为第 个，则后两个分别为第 个、第 个． 它们的计算结果分别为 ，，． 依题意得 ， ，． 不能被 整除（ 不是正整数）， 不存在这样的三个等式． 24．解：（1）第 个图形所需火柴棒的根数为 （根）． （2）观察图形可以发现，第 个图形需要 根火柴棒，每增加 个正方形就多用 根火柴棒， ． （3）存在．依题意得 ， ，解得 ． 是正整数，符合实际意义， 存在这样的图形，它是第 个图形． 学科网（北京）股份有限公司 $