第五章 一元一次方程（5核心+7题型+5难点+复习讲义）数学新教材人教版七年级上册

第五章 一元一次方程 复习要点 1. 理解方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，能准确区分方程与等式，会判断一个方程是否为一元一次方程。 2. 理解等式的基本性质1和性质2，掌握运用等式性质对等式进行变形的方法，明确移项、去分母等操作的理论依据。 3. 掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能按规范步骤准确求解各类一元一次方程。 4. 掌握列一元一次方程解决实际问题的完整流程（审题—设元—找等量关系—列方程—解方程—检验—作答），理解其中蕴含的方程模型思想与转化思想。 复习重难点 重点：一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及用方程解决实际问题的步骤与策略。 难点：灵活运用转化思想解含分母、括号的方程，正确处理去分母时漏乘与符号变化问题；从实际问题中准确抽象等量关系，建立方程模型。 知识点 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 要点速测 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 知识点 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 要点速测 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 知识点 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 要点速测 3．（25-26七年级上·江西上饶·期末）解下列方程： (1)； (2)． 4.（25-26七年级上·河南濮阳·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)． 知识点 一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 要点速测 5．（25-26七年级上·江西宜春·期末）七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 知识点 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 要点速测 6．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某织布厂现有工人130人，已知每人每天能织布20米或制衣4件，每件衣服用料1.5米，每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素． (1)要使每天织出的布正好制衣，应安排多少名工人制衣？多少名工人织布？ (2)为获取更高的利润，厂方与外商签订了制衣合同，若直接销售布每米可获利2元，制成衣服后销售，每件衣服可获利30元，若要使一天所获得的利润为10640元，又应如何安排工人？ 题型1 一元一次方程的定义 ▌例1 （25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1. 严扣三要素：判断方程时，必须同时满足“含一个未知数”、“未知数最高次数为1”、且“分母不含未知数”（如2/x=3不是）。 2. 先化后判断：遇到含括号或分母的式子，先化简合并，若最终可化为ax=b（a≠0）的标准形式，才是一元一次方程。 ▌迁移练1-1（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型2 利用一元一次方程的定义求参数 ▌例2 （25-26七年级上·河北沧州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____． 解题要点 1.锁定次数：确保未知数的指数为1，且含未知数的项系数不为0（即二次或更高次项系数必须为0）。 2.排除分母：未知数不能出现在分母或根号内，需保证方程整理后为整式，据此列式求参并验根。 ▌迁移练2-1（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． ▌迁移练2-2（25-26七年级下·山东淄博·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则的值为______． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 题型3 已知方程的解求字母或代数式的值 ▌例3 （25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 解题要点 1.代入法：将解直接代入原方程，转化为关于字母的方程，再求解该字母值。 2.整体代换：若求代数式，先由方程变形出所需整体（如m+n），再整体代入求值，避免解出每个字母。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）若是关于的方程的解，则的值是_______． ▌迁移练3-2（25-26九年级下·福建福州·期中）已知是方程的一个解，则整式的值为__________． ▌迁移练3-3（25-26七年级下·河南南阳·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 题型4 等式的基本性质 ▌例4 （25-26七年级下·山西晋城·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 解题要点 1.同加减：等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍成立。用于移项变号，如由x+3=5得x=5-3。 2.同乘除：等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数（或式子），等式仍成立。用于系数化1，如2x=6，两边同除以2得x=3。 ▌迁移练4-1（25-26七年级下·山西长治·期末）在学习等式的性质时，小明做了几道等式变形的题目，下列变形错误的是（     ） A．由得到 B．由得到 C．由得到 D．由得到 ▌迁移练4-2（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌迁移练4-3（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型5 解一元一次方程 ▌例5 （25-26六年级下·山东东营·期末）解方程： (1)； (2)． 解题要点 1.去分母与去括号：若含分数，需乘各分母最小公倍数约分（注意常数项也要乘）；若有括号，由内向外逐层去，注意符号变化。 2.移项与合并：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边（移项必变号），合并同类项化简为ax=b（a≠0），最后系数化为1得解。 ▌迁移练5-1（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． ▌迁移练5-2（25-26六年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2)． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·山东德州·期末）解方程 (1) (2) 题型6 解一元一次方程错解复原 ▌例6 （25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 解题要点 1.逆推代入：将错误解代入“错误变形式”中，反推出移项或合并时的错误系数，再按正确法则重新解方程。 2.对比筛查：比较错解与正解过程，重点关注移项符号、去分母漏乘及系数化除三处，锁定变号或运算失误点。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·河北唐山·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． ▌迁移练6-2（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． ▌迁移练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：·······························第一步 ··············································第二步 ··············································第三步 ···························································第四步 ······························································第五步 任务一：填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据_________（性质）进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是_________； 任务二： (3)请写出该方程的正确解法． 题型7 一元一次方程的应用 ▌例7 （25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 解题要点 1.审题设元：找准题目中的等量关系（如总和、倍数、差倍），用字母（如x）表示未知量，并明确x的实际意义。 2.列解检验：根据等量关系列方程，按步骤求解后，务必代入原题情境检验（如人数、长度非负），舍去不符合实际的值。 ▌迁移练7-1（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ ▌迁移练7-2（25-26七年级上·江西上饶·期末）为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过度 超过度(超出部分的收费) 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元；小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元； (2)若小明家某月预计用电量为度()，则小明家该月应付的电费为______元(用含的整式表示)； (3)小明预计1月份需要给公司交付电费元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电元，电费满元赠送一张元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ ▌迁移练7-3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【问题情境】 某家具厂主要负责生产课桌椅．已知生产车间有20名工人，每人每天能生产桌面300个或生产桌腿800个，一张课桌由1个桌面和4个桌腿组成，每张课桌定价200元，每把椅子定价80元． 【问题解决】 (1)若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，要使每天生产的桌面和桌腿恰好配套，应如何安排工人生产？ (2)某学校打算添置100张课桌和把椅子．该家具厂向学校提供了两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． ①按购买方案一需支付费用_____元；按购买方案二需支付费用_____元；（请用含的代数式表示） ②若时，请分别计算出两种购买方案的费用； ③请根据的取值，帮助学校选择哪种方案更省钱？ 难点一 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 难点1：参数的“分离”与整除性转化 核心在于将参数从方程中独立出来，用含未知数的代数式表示参数。难点是必须将解为整数的条件，精准转化为“分子能被分母整除”的整除关系。此过程涉及分类讨论分母的正负或是否为零，若忽略分母限制或整除判定不严谨，极易遗漏或错解参数值。 难点2：整数解约束下的“筛选与验证” 参数本身可能也有约束（如整数、正整数或有理数）。难点在于求出的参数需回代验证，确保原方程解确实为整数，且满足题意附加条件。同时需注意参数可能对应多个解，必须完整列举，并排除使方程无意义或不符合范围的取值，做到不重不漏。 难点精练 1．（25-26七年级上·重庆·期末）从，，，，，中选一个数作为k的值，使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有的值的积为_______ ． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）关于的方程的解为整数，则自然数m的值为_____． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程的解为正整数，则满足条件的整数的所有值的和是________． 难点二 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 难点1：参数与未知数的关系转化 题目给出的是含参方程的解（如关于x的方程解为x=a），难点在于需将“解”代入原方程，先反解出参数（如m或k）的具体值，再将参数代入目标方程。此过程需清晰区分“已知解”与“待求解”两个方程中的未知数，避免混淆。 难点2：整体代换思想的灵活运用 当方程结构复杂时，不必急于求解参数，可将已知方程的解所满足的等式关系进行整体变形，直接构造出目标方程的形式。难点在于能否观察出两方程系数或常数项间的倍数、移项关系，利用整体代入简化解题步骤，减少运算失误。 难点精练 1．（25-26七年级上·全国·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_______． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 难点三 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 难点1：准确转化自定义运算规则 难点在于将题目给出的非标准运算符号（如“※”“△”等）严格转化为常规的四则运算。转化时易忽略运算顺序或括号，尤其当新定义中包含多层嵌套或条件分支时，需逐层拆解，确保映射关系无误。 难点2：分类讨论隐含的运算条件 新运算可能涉及绝对值、非负性、除数不为零或特殊数域范围。在解方程过程中，需依据运算定义对参数或未知数进行分段讨论，并检验所得解是否满足新运算的适用前提，避免因扩大定义域而产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）定义一种新运算“”，规定：，除新运算外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行． (1)直接写出的结果为_________； (2)化简：； (3)解方程：． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 难点四 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 难点1：准确理解与转化“新定义” 题目常给出如“”、“⊕”等临时运算符号或新数对规则。核心难点是跳出常规四则运算思维，严格按定义将式子“翻译”为含未知数的普通方程，尤其要注意运算顺序和新符号的可重复嵌套使用。 难点2：参数的分类讨论与解的验证 新定义方程的解常含参数或受条件限制。难点在于，求解后必须根据定义域（如整数、非零）或新运算的成立前提，对参数进行分类讨论，并舍去使新定义无意义（如分母为零、根号下为负）的增根，确保解符合全新定义的约束范围。 难点精练 1.（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：关于的方程（，均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程这两个方程称为“互换方程”．例如：方程与方程称为“互换方程”． (1)直接写出关于的方程的“互换方程”是________． (2)若关于的方程与方程是“互换方程”，求，的值． (3)若关于的方程与其“互换方程”的解都是整数，求整数的值． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 难点五 一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 难点1：距离表达含绝对值 数轴上两点间距离为|a-b|。当动点位置变化时，谁在左谁在右不确定，需根据运动时间分类讨论去绝对值，或直接用“右减左”表示正距离，这对抽象思维要求较高。 难点2：追及与相遇的方向性 不同于普通行程，数轴上的相遇（相向）和追及（同向）需结合数轴正方向。尤其当动点同向但速度不同，或反向运动时，等量关系（路程和或差）的建立极易混淆，必须明确每个点的运动方向与起始坐标。 难点精练 1．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（） (1)数轴上点B表示的数是______；当时，点P所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 2．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）在一条数轴上，若点M到点N的距离是点M到点Q的距离的k倍，则称M是的“k倍点”，记． 例如：若点M表示的数为，点N表示的数为0，点Q表示的数为4，则；． 根据规定解决下面问题： (1)如图1，_____； (2)如图1，若数轴上有一点M，满足，则点M表示的数是多少？ (3)如图2，若数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以点C为折点，将数轴向右对折，使点P（点A的对应点）落在点C的右侧，且，则点C表示的数是多少？ 3．（26-27七年级上·山东·期中）【新定义】：、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的3倍，我们就称点是【，】的幸运点． 【特例感知】 (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示2的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是【，】的幸运点． ①【，】的幸运点表示的数是______； A．；B．0；C．1；D．2 ②试说明是【，】的幸运点． (2)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． ①【，】的幸运点表示的整数为______； ②若数轴上存在一点，点是【，】的幸运点，点所表示的数为______． 【拓展应用】 (3)如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．直接写出当为何值时，、和三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 基础达标 一、单选题 1.（25-26七年级下·山西长治·期末）下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2（25-26七年级下·甘肃天水·期末）方程的解为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 二、填空题 5．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 6.（2026·湖南长沙·二模）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）新“龟兔赛跑”故事：兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点． (1)设乌龟的奔跑时间为，则由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 ． (2)求（）中的值． 11．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 12.（25-26七年级上·四川绵阳·期中）某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？ (2)在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？ 能力进阶 一、单选题 1.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 3．（2025七年级上·全国·专题练习）某足球联赛一个赛季共进行26轮比赛（即每队均需赛26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数依次是（） A．7，13，6 B．6，13，7 C．9，12，5 D．5，12，9 4.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 二、填空题 6．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 7．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题，大意为：甲从长安出发，日到齐国，乙从齐国出发，日到长安，现乙先出发日，甲才从长安出发．则甲与乙相遇时，甲所走的天数为_________日． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是，已知，，，求的值．在这个问题中可列关于的方程为________． 10．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米，则重叠部分的面积是_______平方厘米． 三、解答题 11．（25-26七年级上·天津红桥·期末）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程：． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ (1)从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 13．（25-26七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ (2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？ 15．（25-26七年级上·山东临沂·期末）项目式学习 进一步了解百分数在生活中的运用，提高利用百分数解决问题的能力． 素材1 实验学校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共80个．每个篮球售价为150元，比足球单价多25%． 素材2 采购时恰逢年中促销．商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上打七五折，又打了八折，按这个价格销售商城还有的利润． 素材3 采购时足球仍按照原价销售，每个足球的进价比篮球进价高，经采购人员预算发现：商家销售完这批篮球和足球可共获利1500元． 问题解决 任务1 确定足球的售价 每个足球的售价是多少元钱？ 任务2 确定篮球的进价 每个篮球的进价是多少元钱？ 任务3 问题解决的策略 为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动．商家继续给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：经过优惠后的购物总费用再打九折； 方案二：每买5个足球免费赠送2个篮球，不足5个不赠送； 方案三：购物超过3000元的部分每满200元，返现金30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 16．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 复习要点 1. 理解方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，能准确区分方程与等式，会判断一个方程是否为一元一次方程。 2. 理解等式的基本性质1和性质2，掌握运用等式性质对等式进行变形的方法，明确移项、去分母等操作的理论依据。 3. 掌握解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），能按规范步骤准确求解各类一元一次方程。 4. 掌握列一元一次方程解决实际问题的完整流程（审题—设元—找等量关系—列方程—解方程—检验—作答），理解其中蕴含的方程模型思想与转化思想。 复习重难点 重点：一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及用方程解决实际问题的步骤与策略。 难点：灵活运用转化思想解含分母、括号的方程，正确处理去分母时漏乘与符号变化问题；从实际问题中准确抽象等量关系，建立方程模型。 知识点 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 要点速测 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且等号两边均为整式的方程，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．不是整式，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， B．含有、两个未知数，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， C．未知数最高次数为，故该选项不是一元一次方程，不符合题意， D．符合一元一次方程的定义，故该选项是一元一次方程，符合题意． 知识点 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 细节剖析： 等式的传递性 要点速测 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）若，则下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、若，且，则，故D错误； 知识点 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 要点速测 3．（25-26七年级上·江西上饶·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 4.（25-26七年级上·河南濮阳·阶段检测）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤，注意当方程出现小数系数时可先化成整数． （1）根据去分母，去括号，再移项，合并，系数化为1即可求解； （2）先将方程的分子分母化成整数，再按解一元一次方程——去分母解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原方程可化为 ． 知识点 一元一次方程的应用 首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 一元一次方程应用题解题一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 要点速测 5．（25-26七年级上·江西宜春·期末）七年级开展演讲比赛，学校决定购买一些笔记本和钢笔作为奖品．现有甲、乙两家商店出售两种同样的笔记本和钢笔．他们的定价相同：笔记本定价为每本25元，钢笔每支定价5元，但是他们的优惠方案不同，甲店每买一本笔记本赠一支钢笔；乙店全部按定价的9折优惠．已知七年级需笔记本20本，钢笔x支（大于20支）．问： (1)若，通过计算说明此时到哪家商店购买较为合算？ (2)当购买钢笔多少支时，甲店和乙店的费用一样？ (3)当时，请设计一种方案，使购买最省钱？算出此时需要付款多少元？ 【答案】(1)甲店 (2)100支 (3)在甲店购买20本笔记本（获赠20支钢笔），再在乙店购买剩余的20支钢笔，总共需要付款590元 【分析】本题考查列代数式与代数式求值，一元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）根据两店的优惠方案，计算即可． （2）根据甲店和乙店的费用一样，列出方程即可； （3）在甲店购买20本笔记本，可获赠20支钢笔。由于总共需要40支钢笔，故还需额外购买20支。在乙店购买钢笔的价格为元/支，比在甲店单独购买（5元/支）更便宜，所以剩余的20支钢笔应在乙店购买． 【详解】（1）解：在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元， 当时，在甲店需付款元． 在乙店需付款元，， 所以在甲店购买合算． （2）解：，解得， 当购买钢笔100支时，甲店和乙店的费用一样． （3）解：当时，全部在甲店购买需付款元， 全部在乙店购买需付款元， 在甲店购买20本笔记本，可获赠20支钢笔。由于总共需要40支钢笔，故还需额外购买20支。在乙店购买钢笔的价格为元/支，比在甲店单独购买（5元/支）更便宜，所以剩余的20支钢笔应在乙店购买， 所需金额为元， 当时，最省方案为：在甲店购买20本笔记本，在乙店购买20支钢笔，总共需要付款590元． 知识点 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 要点速测 6．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某织布厂现有工人130人，已知每人每天能织布20米或制衣4件，每件衣服用料1.5米，每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素． (1)要使每天织出的布正好制衣，应安排多少名工人制衣？多少名工人织布？ (2)为获取更高的利润，厂方与外商签订了制衣合同，若直接销售布每米可获利2元，制成衣服后销售，每件衣服可获利30元，若要使一天所获得的利润为10640元，又应如何安排工人？ 【答案】(1)安排20人制衣，110人织布 (2)安排80人制衣，50人织布 【详解】（1）设安排x名工人织布，则人制衣，由题意得 解得， 答：安排110人制衣，20人织布． （2）设安排x名工人制衣，则人织布，由题意得 解得， 答：安排80人制衣，50人织布． 题型1 一元一次方程的定义 ▌例1 （25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 解题要点 1. 严扣三要素：判断方程时，必须同时满足“含一个未知数”、“未知数最高次数为1”、且“分母不含未知数”（如2/x=3不是）。 2. 先化后判断：遇到含括号或分母的式子，先化简合并，若最终可化为ax=b（a≠0）的标准形式，才是一元一次方程。 ▌迁移练1-1（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，两边为整式的等式，逐一分析选项． 【详解】解：A.含2个未知数，不符合题意； B.中未知数最高次数为2，不符合题意； C.符合一元一次方程的要求，符合题意； D.不是等式，不属于方程，不符合要求． ▌迁移练1-2（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：是等式，只含一个未知数，未知数的最高次数为，且两边为整式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程， 、不是等式，不属于方程，故选项不符合题意； 、中只含个未知数，未知数次数为，两边均为整式且是等式，符合一元一次方程的定义，故选项符合题意； 、中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，故选项不符合题意； 、是不等式，不是方程，故选项不符合题意． ▌迁移练1-3（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式． 【详解】解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程； B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程； C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程； D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程． 题型2 利用一元一次方程的定义求参数 ▌例2 （25-26七年级上·河北沧州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____． 【答案】2 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为1，列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程， ∴未知数x的次数为1，即， 解得：． 解题要点 1.锁定次数：确保未知数的指数为1，且含未知数的项系数不为0（即二次或更高次项系数必须为0）。 2.排除分母：未知数不能出现在分母或根号内，需保证方程整理后为整式，据此列式求参并验根。 ▌迁移练2-1（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． ▌迁移练2-2（25-26七年级下·山东淄博·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义可知，未知数的次数为且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得，且， ∴． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 【答案】7 【分析】根据定义列出关于m的等式与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，可得， 解，得或， 解得或， 由，得， 因此． 题型3 已知方程的解求字母或代数式的值 ▌例3 （25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】5 【分析】把代入原方程求出的值，根据可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴． 解题要点 1.代入法：将解直接代入原方程，转化为关于字母的方程，再求解该字母值。 2.整体代换：若求代数式，先由方程变形出所需整体（如m+n），再整体代入求值，避免解出每个字母。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）若是关于的方程的解，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． ▌迁移练3-2（25-26九年级下·福建福州·期中）已知是方程的一个解，则整式的值为__________． 【答案】 【分析】将代入方程可得，即，再代入整式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练3-3（25-26七年级下·河南南阳·期中）若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 【答案】6 【分析】根据方程解的定义，将代入方程得到，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 题型4 等式的基本性质 ▌例4 （25-26七年级下·山西晋城·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个数，等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解：∵ ∴选项A，等式左边加2，右边减2，不符合等式性质，，故A变形错误； 选项B，等式两边同时乘，可得 ，符合等式性质，故B变形正确； 选项C，等式两边乘再加5，可得 ，不符合等式性质，故C变形错误； 选项D，等式左边乘2，右边乘3，乘数不同，可得 ，不符合等式性质，故D变形错误． 解题要点 1.同加减：等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍成立。用于移项变号，如由x+3=5得x=5-3。 2.同乘除：等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数（或式子），等式仍成立。用于系数化1，如2x=6，两边同除以2得x=3。 ▌迁移练4-1（25-26七年级下·山西长治·期末）在学习等式的性质时，小明做了几道等式变形的题目，下列变形错误的是（     ） A．由得到 B．由得到 C．由得到 D．由得到 【答案】D 【详解】解：对于A，，等式两边同时减，可得，变形正确； 对于B，，等式两边同时乘，可得，变形正确； 对于C，，等式两边同时除以，可得，变形正确； 对于D，，等式两边同时乘，可得，不是，变形错误. ▌迁移练4-2（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．据此逐一判断变形是否正确． 【详解】解：根据等式的基本性质判断： 对于A，∵，等式两边同时减同一个数6，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于B，若，当时，无论是否相等，等式都成立， ∴无法推出，变形错误； 对于C，∵，分式分母不为0，可得，等式两边同时乘，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于D，∵，等式两边同时除以非零数，等式仍然成立， ∴，变形正确； 综上，变形错误的是B． ▌迁移练4-3（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：若，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，可得，因此A错误； 若，不一定等于，例如当时，成立，但，因此B错误； 若，根据等式性质2，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立，可得，因此C正确； 若，当时，分母为0，分式无意义，等式无意义，因此D错误． 题型5 解一元一次方程 ▌例5 （25-26六年级下·山东东营·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：（1）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （2）解：原方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 解题要点 1.去分母与去括号：若含分数，需乘各分母最小公倍数约分（注意常数项也要乘）；若有括号，由内向外逐层去，注意符号变化。 2.移项与合并：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边（移项必变号），合并同类项化简为ax=b（a≠0），最后系数化为1得解。 ▌迁移练5-1（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解方程即可． （2）先去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤逐步求解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项并合并同类项得，，解得； （2）解： 去分母得，， 去括号得， 移项并合并同类项得，，解得． ▌迁移练5-2（25-26六年级上·山东济宁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·山东德州·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）先将原方程分母化为整数，然后根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型6 解一元一次方程错解复原 ▌例6 （25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 【答案】(1)二， 去分母时，方程右边的5没有乘以6 (2) 解： 把分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）第二步去分母时，方程右边的5没有乘以6，据此可得答案； （2）先把分母化为整数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察可知第二步出现错误，错误原因是去分母时，方程右边的5没有乘以6； （2）略 解题要点 1.逆推代入：将错误解代入“错误变形式”中，反推出移项或合并时的错误系数，再按正确法则重新解方程。 2.对比筛查：比较错解与正解过程，重点关注移项符号、去分母漏乘及系数化除三处，锁定变号或运算失误点。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·河北唐山·期末）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1) (2) ． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解： （1）观察可知，去分母时，没有乘以； （2）先去分母，再去括号，合并同类项后系数化为1即可求． 【详解】（1）解：观察可知，去分母时，没有乘以， 故． （2）略 ▌迁移练6-2（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2)，正确的解题过程如下： ， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：； (3)解一元一次方程时，移项时注意变号（答案不唯一） 【分析】（1）根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号 【详解】（1）本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 解：①第一步的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②第二步开始出现错误；原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解：略； （3）解：解一元一次方程时，移项时注意变号．（答案不唯一） ▌迁移练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：·······························第一步 ··············································第二步 ··············································第三步 ···························································第四步 ······························································第五步 任务一：填空： (1)以上解题过程中，第一步是依据_________（性质）进行变形的；第二步是依据________（运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步的错误的原因是_________； 任务二： (3)请写出该方程的正确解法． 【答案】(1)等式的性质2；乘法分配律 (2)三；移项没变号 (3)，过程如下： ． 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项是解题的关键． （1）第一步等式两边同时乘以6，利用的是等式的性质2，第二步为去括号，使用的是乘法分配律； （2）观察整个过程，在第三步移项出现错误，错误原因为未变号； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：∵第一步等式两边同时乘以6， ∴利用的是等式的性质2， ∵第二步为去括号， 故依据的是乘法分配律． 故答案为：等式的性质2；乘法分配律． （2）解：观察等式变化， 发现第三步应为， 与题干相比发现，移项后符号并未发生改变， 故答案为：三；移项没变号． （3）解：略． 题型7 一元一次方程的应用 ▌例7 （25-26七年级上·江苏泰州·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 解题要点 1.审题设元：找准题目中的等量关系（如总和、倍数、差倍），用字母（如x）表示未知量，并明确x的实际意义。 2.列解检验：根据等量关系列方程，按步骤求解后，务必代入原题情境检验（如人数、长度非负），舍去不符合实际的值。 ▌迁移练7-1（25-26七年级下·全国·课后作业）小亮每天去体育场晨练，会见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿环形跑道跑步，每次总是小亮跑完2圈时，叔叔跑完3圈． (1)一天，两人同时同地出发，反向而跑，小亮看了一下计时表，发现隔了32s两人第一次相遇，求两人的速度． (2)第二天小亮打算和叔叔同时同地出发，沿跑道同向而跑，看叔叔隔多少时间与他第一次相遇．你能先给小亮预测一下吗？ 【答案】(1)小亮速度为，叔叔速度为； (2)． 【分析】（1）设小亮的速度为，则叔叔的速度为，根据题意，两人反向出发后第一次相遇，两人路程和为，进而列方程求解即可； （2）设同向出发后，经过两人第一次相遇，根据同向跑首次相遇时，叔叔比小亮多跑1圈跑道长列方程求解即可． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，则叔叔的速度为， 根据题意可知， 解得， 因此小亮速度为，叔叔速度为； （2）解：设同向出发后，经过两人第一次相遇， 根据题意列方程得：， 解得． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·江西上饶·期末）为鼓励市民节约能源，某售电公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过度 超过度(超出部分的收费) 收费标准 每度元 每度元 (1)小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元；小明家月份用电度，则小明家月份应付的电费为______元； (2)若小明家某月预计用电量为度()，则小明家该月应付的电费为______元(用含的整式表示)； (3)小明预计1月份需要给公司交付电费元，请利用方程的知识求出小明家1月份的用电量是多少？与此同时，他还了解到一家售电公司的用电收费标准是：每度电元，电费满元赠送一张元的代金券，请你帮小明想想1月份该选择哪家公司省钱？ 【答案】(1)；； (2)； (3)小明家1月份用电量为度，选择公司省钱 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用——分段计费问题，核心是准确理解不同档位的收费标准，分情况计算电费并通过方程求解未知量． （1）根据用电量是否超过度，直接按对应单价计算电费即可； （2）针对超过度的用电量，先计算度的基础费用，再加上超出部分的费用，最后化简得到含的整式； （3）先通过度的电费判断元对应的用电量超过度，再设未知数列方程求解用电量，最后分别计算两家公司的实际费用并比较大小得出结论． 【详解】（1）解：∵小明家月份用电度，， ∴电费为元； ∵小明家月份用电度，， ∴电费为元； 故答案为：；． （2）解：∵， ∴该月应付电费为元； 故答案为：． （3）解：∵度对应的电费为元，， ∴小明家1月份用电量超过度． 设小明家1月份用电量为度，根据题意列方程：， 解得； 公司的实际费用元， ∵， ∴可获得元代金券，实际支付元， ∵， ∴选择公司省钱． 答：小明家1月份的用电量是度，选择公司省钱． ▌迁移练7-3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【问题情境】 某家具厂主要负责生产课桌椅．已知生产车间有20名工人，每人每天能生产桌面300个或生产桌腿800个，一张课桌由1个桌面和4个桌腿组成，每张课桌定价200元，每把椅子定价80元． 【问题解决】 (1)若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，要使每天生产的桌面和桌腿恰好配套，应如何安排工人生产？ (2)某学校打算添置100张课桌和把椅子．该家具厂向学校提供了两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． ①按购买方案一需支付费用_____元；按购买方案二需支付费用_____元；（请用含的代数式表示） ②若时，请分别计算出两种购买方案的费用； ③请根据的取值，帮助学校选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)安排8人生产桌面，12人生产桌腿． (2)① ； ；②方案一：360000元；方案二：35200元；③当时，方案一更省钱；当时，两种方案均可；当时，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程与列代数式的应用； （1）设安排人生产桌面，则人生产桌腿，根据桌面和桌腿恰好配套列方程求解； （2）①根据优惠方案解答即可； ②把分别代入①中所列代数式求解即可； ③分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设安排人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意，得． 解得． （人）； 答：安排8人生产桌面，12人生产桌腿． （2）解：①按购买方案一需支付费用元， 按购买方案二需支付费用， 故答案为： ； ； ②当时， 方案一：（元）； 方案二：（元）． ③若购买方案一与方案二支付费用相同，可列方程： 解得， 当时，两种方案费用相同； 结合①可知，当时，方案一更省钱； 当时，方案二更省钱． 答：当时，方案一更省钱；当时，两种方案均可； 当时，选择方案二更省钱． 难点一 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值 难点1：参数的“分离”与整除性转化 核心在于将参数从方程中独立出来，用含未知数的代数式表示参数。难点是必须将解为整数的条件，精准转化为“分子能被分母整除”的整除关系。此过程涉及分类讨论分母的正负或是否为零，若忽略分母限制或整除判定不严谨，极易遗漏或错解参数值。 难点2：整数解约束下的“筛选与验证” 参数本身可能也有约束（如整数、正整数或有理数）。难点在于求出的参数需回代验证，确保原方程解确实为整数，且满足题意附加条件。同时需注意参数可能对应多个解，必须完整列举，并排除使方程无意义或不符合范围的取值，做到不重不漏。 难点精练 1．（25-26七年级上·重庆·期末）从，，，，，中选一个数作为k的值，使得关于的方程的解为整数，则满足条件的所有的值的积为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先解关于的方程，得到，然后根据为整数的条件，从给定数中找出符合条件的值，并计算它们的积。 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为整数， 是偶数， 是偶数， 的值为或， 满足条件的所有的值的积为． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）关于的方程的解为整数，则自然数m的值为_____． 【答案】 ，， 【分析】本题考查含参的一元一次方程，先解方程得到关于的表达式，根据为整数，确定是的约数，结合为自然数，得到的值． 【详解】解：∵， ， ， 解得． 由于为整数，故是的约数．的约数有，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵是自然数， ∴的值为，，． 故答案为：，，． 3．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程的解为正整数，则满足条件的整数的所有值的和是________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的应用，关键是先将方程的解用含参数的式子表示，再根据解为正整数、为整数的条件，确定的所有可能取值，最后计算这些值的和． 【详解】解：解方程，得． ∵是正整数，是整数， ∴是6的正约数1、2、3、6， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 综上，满足条件的整数为2、1、0、，它们的和为； 故答案为：． 难点二 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解 难点1：参数与未知数的关系转化 题目给出的是含参方程的解（如关于x的方程解为x=a），难点在于需将“解”代入原方程，先反解出参数（如m或k）的具体值，再将参数代入目标方程。此过程需清晰区分“已知解”与“待求解”两个方程中的未知数，避免混淆。 难点2：整体代换思想的灵活运用 当方程结构复杂时，不必急于求解参数，可将已知方程的解所满足的等式关系进行整体变形，直接构造出目标方程的形式。难点在于能否观察出两方程系数或常数项间的倍数、移项关系，利用整体代入简化解题步骤，减少运算失误。 难点精练 1．（25-26七年级上·全国·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的特殊解法，熟练掌握换元法是解题关键．设，根据已知方程的解可得，则，据此求解即可得． 【详解】解：设， 则关于的一元一次方程可化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 解得， 即关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． 先把关于y的一元一次方程写成与方程相同的结构形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程和的解互为相反数，则m的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程解的关系，解一元一次方程． 根据两个方程的解互为相反数，设第一个方程的解为a，则第二个方程的解为，分别代入方程得到，，将代入求解即可． 【详解】解：设方程的解为，则方程的解为， ∴，， 由第二个方程得：， 将代入得， 化简得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 难点三 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题 难点1：准确转化自定义运算规则 难点在于将题目给出的非标准运算符号（如“※”“△”等）严格转化为常规的四则运算。转化时易忽略运算顺序或括号，尤其当新定义中包含多层嵌套或条件分支时，需逐层拆解，确保映射关系无误。 难点2：分类讨论隐含的运算条件 新运算可能涉及绝对值、非负性、除数不为零或特殊数域范围。在解方程过程中，需依据运算定义对参数或未知数进行分段讨论，并检验所得解是否满足新运算的适用前提，避免因扩大定义域而产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）定义一种新运算“”，规定：，除新运算外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行． (1)直接写出的结果为_________； (2)化简：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照题中给出的新运算规则，将新运算转化为常规的有理数运算，按照对应运算法则计算即可； （2）按照题中给出的新运算规则，将新运算转化为常规的整式的加减运算，按照对应运算法则计算即可； （3）按照题中给出的新运算规则，先将方程左边进行变形，从而将新运算方程转化为常规的一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ， 原方程化为， 解得． 2．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）定义一种新运算：．例如，． (1)计算：________； (2)根据上述定义解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原方程可化为 ， ， ， ， 解得． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 解：成立，理由如下： ∵，， 又∵，， ∴； (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，规律探索，解一元一次方程，整式加减运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据给出的式子总结规律：； （2）根据加法的交换律和乘法的交换律进行验证即可； （3）将其代入（1）中所总结的规律，列出方程，解答即可； （4）根据，得出，根据的运算结果与的取值无关，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （4）∵， ∴ ， ∵的运算结果与的取值无关， ∴， 解得：． 难点四 解一元一次方程中的新定义型拓展问题 难点1：准确理解与转化“新定义” 题目常给出如“”、“⊕”等临时运算符号或新数对规则。核心难点是跳出常规四则运算思维，严格按定义将式子“翻译”为含未知数的普通方程，尤其要注意运算顺序和新符号的可重复嵌套使用。 难点2：参数的分类讨论与解的验证 新定义方程的解常含参数或受条件限制。难点在于，求解后必须根据定义域（如整数、非零）或新运算的成立前提，对参数进行分类讨论，并舍去使新定义无意义（如分母为零、根号下为负）的增根，确保解符合全新定义的约束范围。 难点精练 1.（25-26七年级上·福建泉州·期末）定义：关于的方程（，均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程这两个方程称为“互换方程”．例如：方程与方程称为“互换方程”． (1)直接写出关于的方程的“互换方程”是________． (2)若关于的方程与方程是“互换方程”，求，的值． (3)若关于的方程与其“互换方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次方程的新定义，理解“互换方程”的定义是解题的关键． （1）根据“互换方程”的定义，即可求解； （2）根据“互换方程”的定义，得，，计算即可求解； （3）根据“互换方程”的定义，分别求出方程的解，根据条件“解都是整数”，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程的“互换方程”是； 故答案为：； （2）方程的“互换方程”是，方程与方程是“互换方程”， ，， ，； （3）方程（）的“互换方程”为， 解得：， 解得：， 方程与的解都是整数，也是整数， 是3的倍数，也是3的因数， ， 则整数的值． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 【答案】(1)“分” (2) (3)“整” 【分析】本题考查解一元一次方程、“整m”方程和“分m”方程的定义，熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确理解“整m”方程和“分m”方程的新定义是解题的关键． （1）解方程得，根据题意给出的新定义得出方程是“分”方程； （2）把代入方程得：，解出的值即可； （3）根据题意得到，根据方程化简得到，据此得到方程的解为，据此解答即可． 【详解】（1）解：解方程得，不是整数， 则方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：根据题意得：方程是“整”方程， 把代入方程得：， 解得； （3）解：根据题意得：关于的方程是“分”方程， 则将代入方程得：， 即， 根据方程得：， 即， 将代入上式得： 解得， 因此方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】(1)是 (2) (3) 以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； （2）解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； （3）略 难点五 一元一次方程的应用之数轴上的行程问题 难点1：距离表达含绝对值 数轴上两点间距离为|a-b|。当动点位置变化时，谁在左谁在右不确定，需根据运动时间分类讨论去绝对值，或直接用“右减左”表示正距离，这对抽象思维要求较高。 难点2：追及与相遇的方向性 不同于普通行程，数轴上的相遇（相向）和追及（同向）需结合数轴正方向。尤其当动点同向但速度不同，或反向运动时，等量关系（路程和或差）的建立极易混淆，必须明确每个点的运动方向与起始坐标。 难点精练 1．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．（） (1)数轴上点B表示的数是______；当时，点P所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①2.5；②0.5或4.5 【分析】（1）根据两点间距离可得到点B，点P表示的数； （2）①根据当点P追上点Q时，点P表示的数和点Q表示的数一样，列方程即可求解； ②根据点P与点Q之间的距离为8个单位长度，根据两点间距离公式列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B在A左侧，A，B两点间的距离为10， ∴点B表示的数是， 当时，点P所表示的数为：． （2）解：点P表示的数：，点Q表示的数：， ①点P追上点Q时： 解得， ∴当点P运动2.5秒时，点P追上点Q． ②∵点P与点Q间的距离为8， ∴ ， ∴或    ， ∴或， ∴当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 2．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）在一条数轴上，若点M到点N的距离是点M到点Q的距离的k倍，则称M是的“k倍点”，记． 例如：若点M表示的数为，点N表示的数为0，点Q表示的数为4，则；． 根据规定解决下面问题： (1)如图1，_____； (2)如图1，若数轴上有一点M，满足，则点M表示的数是多少？ (3)如图2，若数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以点C为折点，将数轴向右对折，使点P（点A的对应点）落在点C的右侧，且，则点C表示的数是多少？ 【答案】(1)4 (2)11或3 (3)或0 【分析】（1）首先根据数轴，得到点P表示的数为，点B表示的数为5，点A表示的数为，根据定义，计算即可； （2）设点M表示的数为m，根据，建立等式，解答即可； （3）设点P表示的数为n，根据题意，得点C表示的数为，根据新定义，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得到点P表示的数为，点B表示的数为5，点A表示的数为， ， ． （2）解：根据题意，得点B表示的数为5，点A表示的数为， 设点M表示的数为m， ， ， ， 或 或， 解得或． （3）解：根据题意，得点B表示的数为15，点A表示的数为， 设点P表示的数为n， 根据题意，得点C表示的数为， ， ， ， ， 或 或， 解得或． 点C表示的数为或， 故点C表示的数为或． 3．（26-27七年级上·山东·期中）【新定义】：、、为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的3倍，我们就称点是【，】的幸运点． 【特例感知】 (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为3．表示2的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是【，】的幸运点． ①【，】的幸运点表示的数是______； A．；B．0；C．1；D．2 ②试说明是【，】的幸运点． (2)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． ①【，】的幸运点表示的整数为______； ②若数轴上存在一点，点是【，】的幸运点，点所表示的数为______． 【拓展应用】 (3)如图3，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．直接写出当为何值时，、和三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 【答案】(1)①B； ②证明：由数轴可知，，， ， 是【，】的幸运点； (2)①7；②6或2； (3)5或15或或． 【分析】（1）①由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍；②由数轴可知，，，可得； （2）设【，】的幸运点为，表示的数为，由题意可得，求解即可；设点Q表示的数为q，由题意可得，求解即可； （3）由题意可得，，，分四种情况讨论：①当是【，】的幸运点时，②当是【，】的幸运点时，③当是【，】的幸运点时，，④当是【，】的幸运点时，． 【详解】（1）①解：由题意可知，点0到的距离是到点距离的3倍， 即，； ②略； （2）①解：设【，】的幸运点为，表示的数为， ， ， 或， 或， 幸运点表示的数为整数， ∴符合条件的整数为； ②解：设点表示的数为， 点是【，】的幸运点， ， 或， 或2； （3）解：由题意可得，，，， ①当是【，】的幸运点时，， ， ； ②当是【，】的幸运点时，， ， ； ③当是【，】的幸运点时，， ， ； ④当是【，】的幸运点时，， ， ； 为5或15或或时，、、中恰好有一个点为其余两点的幸运点． 基础达标 一、单选题 1.（25-26七年级下·山西长治·期末）下列是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一元一次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且为整式方程； 选项A：，满足上述所有条件，符合一元一次方程的定义； 选项B：，未知数的最高次数为2，不符合定义； 选项C：，分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义； 选项D：，不含未知数，不是方程，不符合定义. 2（25-26七年级下·甘肃天水·期末）方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 3.（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列变形正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，去括号法则和移项法则，逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】解：∵ 对于选项A，由，移项得，与选项中结果不一致，∴A错误； ∵ 对于选项B，由，根据去括号法则得，与选项中结果不一致，∴B错误； ∵ 对于选项C，由，根据移项法则，将含的项移到左侧，常数项移到右侧，得，变形符合法则，∴C正确； ∵ 对于选项D，由，系数化为1得，与选项中结果不一致，∴D错误； 故选C． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于的方程与的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据同解方程的定义，先求出第一个方程的解，再将解代入第二个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵ 方程与的解相同， ∴把代入，得， 解得． 二、填空题 5．（25-26六年级下·山东烟台·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． 6.（2026·湖南长沙·二模）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】通过对比两个方程的结构，将看作一个整体，结合已知方程的解即可得到结果． 【详解】解：设，则关于的一元一次方程可化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴，解得， ∴关于的一元一次方程的解为． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【答案】33 【详解】解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________． 【答案】元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据竹篱笆的总长为35米，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据题意得： ， 解得：， （米）， ∵， ∴此时长方形符合题意， （元）， 答：王大爷每月能领取养殖补助金为1430元． 故答案为：1430元． 三、解答题 9．（25-26七年级上·山东临沂·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1； （2）分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （2）解：， 分母化为整数得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 10．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）新“龟兔赛跑”故事：兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点． (1)设乌龟的奔跑时间为，则由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 ． (2)求（）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是列代数式、一元一次方程的应用，解题关键是正确理解题意． （1）由兔子和乌龟同时出发、同时到达即可得解； （2）设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则兔子的速度是，根据兔子和乌龟奔跑的路程相等，列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：兔子和乌龟从同一起点同时出发，且恰好和乌龟同时到达终点，乌龟的奔跑时间为， 兔子奔跑的时间为， 故答案为：； （2）解：设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则兔子的速度是， 根据题意得：， 即， 解得． 答：的值为． 11．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 【答案】(1)第一局得分为6分 (2)第二局投中A区3次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意列式计算即可求解； （2）设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：分， 答：小星第一局的得分为6分； （2）解：设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意得： ， 解得：， 答：第二局投中A区3次． 12.（25-26七年级上·四川绵阳·期中）某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉． (1)若制作若干盒月饼共用了面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？ (2)在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？ 【答案】(1)制作大月饼用了面粉，制作小月饼用了面粉 (2)每盒月饼的出厂价应定为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设用面粉制作大月饼，则用面粉制作小月饼，根据“每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉”列方程求出x即可； （2）设每盒月饼的出厂价为元，根据工厂想达到的利润率列方程求解即可． 【详解】（1）解：设用面粉制作大月饼，则用面粉制作小月饼， 由题意得：， 解得：， 则， 答：制作大月饼用了面粉，制作小月饼用了面粉； （2）解：设每盒月饼的出厂价为元， 由（1）可知，共制作出月饼（盒）， 由题意得：， 解得：， 答：每盒月饼的出厂价应定为元． 能力进阶 一、单选题 1.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A：含有、两个未知数，属于二元方程，不满足“一元”的要求，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 选项B：只含个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，是一元一次方程，该选项符合题意； 选项C：未知数的最高次数为，属于一元二次方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 选项D：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 3．（2025七年级上·全国·专题练习）某足球联赛一个赛季共进行26轮比赛（即每队均需赛26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数依次是（） A．7，13，6 B．6，13，7 C．9，12，5 D．5，12，9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设负场数为，则平局场数为，胜场数为，根据总场数和总得分列方程组求解． 【详解】解：设负场数为，则平局场数为．胜场数为 根据题意得 解得： ∴负场数为，平局场数为，胜场数为 故胜、平、负场数依次为、、． 故选：A． 4.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中等于（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】先算出幻和为第一列三数之和，利用第一行求出右上角数，由对角线20，，以及第二行的三个数得，，根据对角线三个数为，，，第三行的三个数，求出，最终算出． 【详解】解：设幻方正中间的数为，右下角的数为，右上角的数为， ∵第一列的三个数为，5，20， ∴， ∵每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等， 又∵第一行的三个数为，21，， ∴， 解得， ∵从左下到右上的对角线三个数为20，，，第二列的三个数为21，，， ∴， ∴，， ∵从左上到右下的对角线三个数为，，，第三行的三个数为20，，， ∴，即， ∴， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入方程，化简后得到关于k的方程，由“无论k为何值，总是它的解”，可得k的系数和常数项均为零，从而求出a和b，进而可求的值． 【详解】解：∵关于x的方程，无论k为何值，总是它的解， ∴， ， ， ， ∵无论k为何值，总是它的解， ∴，此时， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解. 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∴一元一次方程的解为． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题，大意为：甲从长安出发，日到齐国，乙从齐国出发，日到长安，现乙先出发日，甲才从长安出发．则甲与乙相遇时，甲所走的天数为_________日． 【答案】 【分析】设甲与乙相遇时，甲所走的天数为日，则乙所走的天数为日，将总路程看作单位1，得到甲，乙的日行进速度，再列出方程并求解即可． 【详解】解：设甲与乙相遇时，甲所走的天数为日，则乙所走的天数为日， 根据题意可列方程：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∴甲与乙相遇时，甲所走的天数为日． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）设一列数、、、…、中任意三个相邻数之和都是，已知，，，求的值．在这个问题中可列关于的方程为________． 【答案】 【分析】根据任意三个相邻数的和为，推导得出数列每个数一循环，和都等于，因此两者相等，即可列出方程． 【详解】解：∵任意三个相邻数之和都是， ∴，， ∴， 同理可得，，即数列每个数为一个循环，满足， ∵，， ∴，， ∴， 代入，，得关于的方程． 10．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的，是小贺卡面积的，若大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米，则重叠部分的面积是_______平方厘米． 【答案】30 【分析】设重叠部分的面积为a平方厘米，则大贺卡的面积为平方厘米，小贺卡的面积为平方厘米，再根据大贺卡不重叠部分比小贺卡不重叠部分面积多8平方厘米建立方程求解即可． 【详解】解：设重叠部分的面积为a平方厘米，则大贺卡的面积为平方厘米，小贺卡的面积为平方厘米， 由题意得，， 解得， 所以重叠部分的面积是30平方厘米． 三、解答题 11．（25-26七年级上·天津红桥·期末）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）移项，合并同类项，系数化为1即可得解； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解； （4）先把各系数化为整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （4）解：， 整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 12．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程：． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤ (1)从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)三，移项时没有正确改变符号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）错误出现在第三步，移项时没有正确改变符号； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：错误出现在第三步，移项时没有正确改变符号； 故答案为：三，移项时没有正确改变符号； （2）解： 去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 13．（25-26七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 【答案】(1)工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； (2)工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，调配问题，本题的关键是理清配套问题的数量关系列方程，此外挖掘题目条件，分清调动后生产两种零件的工人的数量，从而列方程解决问题． （1）设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“1个A零件和2个B零件配成一套”，列方程求解即可得到结果； （2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，可得调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 得（名）， 答：工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； （2）调动前每天总获利为：（元）， 设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件， 则调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 答：工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ (2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？ 【答案】(1)设应从第一组调人到第二组去，所列方程为 (2)设一盒零件有个，所列方程为 【分析】（1）设所求未知量为未知数，再根据调整后第一组人数是第二组的一半，列出一元一次方程即可； （2）设所求未知量为未知数，再根据师傅加工总时间比徒弟少，列出一元一次方程即可； 【详解】（1）解：设应从第一组调x人到第二组去，调动后第一组人数为，第二组人数为，根据题意第一组人数为第二组的一半得 ． （2）设一盒零件有个，徒弟加工完一盒零件的时间为，师傅加工完一盒零件的时间为，根据师傅比徒弟少用，得 ． 15．（25-26七年级上·山东临沂·期末）项目式学习 进一步了解百分数在生活中的运用，提高利用百分数解决问题的能力． 素材1 实验学校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共80个．每个篮球售价为150元，比足球单价多25%． 素材2 采购时恰逢年中促销．商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上打七五折，又打了八折，按这个价格销售商城还有的利润． 素材3 采购时足球仍按照原价销售，每个足球的进价比篮球进价高，经采购人员预算发现：商家销售完这批篮球和足球可共获利1500元． 问题解决 任务1 确定足球的售价 每个足球的售价是多少元钱？ 任务2 确定篮球的进价 每个篮球的进价是多少元钱？ 任务3 问题解决的策略 为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动．商家继续给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：经过优惠后的购物总费用再打九折； 方案二：每买5个足球免费赠送2个篮球，不足5个不赠送； 方案三：购物超过3000元的部分每满200元，返现金30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【答案】【任务1】每个足球的售价是元钱； 【任务2】每个篮球的进价是元； 【任务3】学校应该选择方案二购买 【分析】本题整体考查一元一次方程的实际应用(含折扣、利润问题)及方案选择问题，关键是结合百分数的数量关系和利润公式列出一元一次方程，依次求出足球售价、篮球进价和篮球足球的采购数量，再分别计算三种优惠方案的实际费用，通过比较费用大小确定最优方案． 任务1：设每个足球的售价为未知数，根据“”这一数量关系列出一元一次方程，利用百分数的除法运算求解方程，即可得到足球的售价． 任务2：先根据篮球原售价依次乘七五折、八折的折扣率，计算出篮球的促销售价，再设每个篮球的进价为未知数，结合“”的利润关系列出一元一次方程，求解方程得到篮球的进价． 任务3：首先根据篮球进价和足球进价比篮球进价高，算出足球进价，再分别求出篮球、足球的单个利润，设购买篮球的数量为未知数，结合“”的总利润关系列出一元一次方程，求解得出篮球和足球的具体采购数量；接着分别计算三种方案的实际费用，最后比较三种方案的实际费用，费用最低的即为最优方案． 【详解】任务1： 解：设每个足球的售价为元， 根据题意，得， 则； 答：每个足球的售价是元； 任务2： 解：设每个篮球的进价为元， 根据题意，得， 解得； 答：每个篮球的进价是元； 任务3： 解：设购买篮球个，则购买足球个， 由任务2知篮球进价为元， ∴足球进价为(元)， 篮球每个利润为元，足球每个利润为元， 根据题意，得，解得， 则足球数量为个． （1）方案一： 先计算无额外优惠的总费用：(元)， 再打九折后的费用为(元)； （2）方案二： 每买5个足球免费赠送2个篮球，，可赠送篮球个， 需购买篮球的数量为(个)， 总费用为(元)； （3）方案三： 总费用为元，超过元的部分为(元)， ，即超过部分满个元，可返现元， 实际费用为(元)； ∵， ∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买． 答：学校应该选择方案二购买． 16．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 【答案】(1) 解：方程， 解得：， 方程， 解得：， ∴， ∴方程与方程不是“同心方程”； (2)或 (3)或 【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再根据“同心方程”的定义求解； （2）先求出方程的解，根据“同心方程”的定义求出的可能值，再将的值代入关于的方程中求出的值； （3）先求出方程的解，再根据无论取任何有理数都成立，得到关于，的方程求解，再代入求值． 【详解】（1）略 （2）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，代入得， 解得； （3）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $