第一章 有理数（5核心+6题型+5难点+复习讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学有理数单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，以知识点模块（有理数分类、数轴、相反数等）为框架，结合定义解析和几何意义阐释，构建“概念-性质-应用”的递进知识脉络，突出绝对值理解及综合运用等核心难点。 讲义亮点在于“题型-难点-分层”三维练习设计，如用正负数表示体重变化培养抽象能力，数轴动点问题强化几何直观，绝对值最小值探究发展推理意识。基础达标与能力进阶题组满足分层需求，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统支持。

第一章 有理数 复习要点 1. 理解正数、负数的意义，能区分正数、负数、0，会用正负数表示具有相反意义的量。 2. 掌握有理数的概念，会按“整数和分数”或“正有理数、0、负有理数”两种标准对有理数进行分类，理解0在分类中的特殊地位。 3. 理解数轴的三要素，能熟练用数轴上的点表示有理数，体会数形结合思想。 4. 掌握相反数和绝对值的概念，能借助数轴理解其几何意义，会求一个数的相反数和绝对值。 5. 掌握利用数轴和法则比较有理数大小的方法，能区分正数、负数、0的大小关系。 复习重难点 重点 有理数的基本概念（正负数、数轴、相反数、绝对值）以及有理数的分类和大小比较。 难点 绝对值概念的深入理解与灵活应用，以及相反数、绝对值、数轴等概念的综合运用。 知识点 有理数的分类 有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 要点速测 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负整数的定义，负整数需要同时满足两个条件：为负数，为整数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵选项A．是正分数，不是负整数， 选项B．是负分数，不是整数， 选项C．是小于的整数，符合负整数定义， 选项D．是正整数，不是负整数， 故选C． 2．（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 【详解】解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 3．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正有理数、负有理数、整数的定义，根据正有理数、负有理数、整数的定义即可求解． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：， 故答案为：；；． 知识点 数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 要点速测 4．（24-25七年级上·云南德宏·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】一般地，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小． 【详解】解：∵在这个数轴上，正方向向右，且点位于最左边， ∴在这四个点中，点表示的数最小． 5．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置， ∴点表示的数为 ∵点在数轴上与点距离个单位长度， ∴点表示的数为或． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】 数轴如图所示即为所求： 按从小到大顺序排列： ． 【分析】本题考查数轴、有理数大小比较，解题关键在于运用数轴进行有理数的大小比较．先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“”号将这些数连接起来． 【详解】 略 知识点 相反数 相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 要点速测 7．（25-26八年级下·重庆·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：的相反数是2 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）的相反数是___________． 【答案】73 【分析】本题考查相反数的定义，掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义，一个数的相反数与原数仅符号不同． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江西九江·期末）如果互为相反数，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数和为0是解题的关键． 根据相反数的定义，a与 b互为相反数，则，代入表达式 计算即可． 【详解】解：互为相反数， ， ， 故答案为：． 知识点 绝对值 绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 要点速测 10．（2026·江苏连云港·二模）下列实数中，是的绝对值的是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可得出结果． 【详解】解：． 11．（25-26七年级上·广东东莞·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的定义，依据绝对值的代数意义进行计算． 【详解】解：根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数，则 故答案为：． 12．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 【答案】 【分析】此题考查的是求一个数的绝对值，数轴上的点表示有理数，根据绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知：点所表示的数为 ∴点所表示的数的绝对值是 故答案为：． 知识点 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点速测 13．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（     ） A．−3 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】解：∵ ，，，， ∴ 绝对值最小的数是. 14．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）比较大小：_______． 【答案】 【详解】解：，，且 ， ． 15．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们学习过两个有理数的大小比较，请你确定：________ （填 “＞”“＜” 或 “＝”）． 【答案】＜ 【分析】根据有理数大小比较的法则，两个负有理数比较大小，先比较二者的绝对值，绝对值大的数反而小，据此解题即可. 【详解】解： ， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得 题型1 正数和负数 ▌例1 （25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“小于0的数是负数”逐个判断所给数，统计负数个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，不是负数， 既不是正数也不是负数， ，是负数， 所以负数共有2个． 解题要点 · 明确 0 既不是正数也不是负数，正数大于 0，负数小于 0；学会用正、负数表示具有相反意义的量，找准基准。 · 判断正负不要只看符号，化简后再判定；区分 “负号” 与表示相反意义的符号，避免概念混淆。 ▌迁移练1-1（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】小于0的数是负数，由此逐个判断给定的数，统计得到负数的个数． 【详解】解：∵，，，既不是正数也不是负数，，， ∴负数为和，共2个． ▌迁移练1-2（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果元表示收入元，那么元表示________． 【答案】支出元 【详解】解：“正”和“负”表示一对相反意义的量， 因为规定元表示收入元， 所以元表示支出元． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)5 (2)5个 【分析】本题重点考查了正负数、平均数的概念，理解正负数的意义是解题的关键． （1）以能做个为标准，当个数时，达到标准，统计个数即可完成求解； （2）标准个数加上所给数据的平均数，即为名男生平均每人做的个数． 【详解】（1）解：，，，，个成绩达到标准，故有人达到标准． 答：这名男生中达到标准的有人． （2）解：（个）． 答：这8名男生平均每人做了个引体向上． 题型2 有理数的概念 ▌例2 （25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列不是有理数的是（   ） A．0 B． C． D．1.779 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义； 依据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数也属于有理数），判断各选项是否为有理数，找出符合题意的选项． 【详解】解：∵有理数包含整数、分数，有限小数与无限循环小数也可化为分数，属于有理数， ∴A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无限不循环小数，不属于有理数，故此选项符合题意； D、1.779是有限小数，可化为分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 解题要点 · 牢记有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 · 分清有理数与无理数区别，注意 π、无限不循环小数不是有理数，做题先化简再判断。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·贵州·期末）在，5，，，，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了负有理数的定义，判断每个数是否为负有理数，负有理数需满足两个条件：负数和有理数（可表示为整数之比），由此即可得出结果，熟练掌握负有理数的定义是解此题的关键． 【详解】解：是负有限小数，属于负有理数； 5是正数，不属于负有理数； 是负分数，属于负有理数； 是负无限循环小数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数； 是负整数，属于负有理数； 综上所述，负有理数有4个， 故选：C． ▌迁移练2-2（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在，，，中，正分数的个数是_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类分析即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 【详解】解：在，，，中， 正分数有，，，共3个． 故答案为：3． ▌迁移练2-3（24-25七年级上·新疆巴州·期末）现有下列各数：，，，，3，0，，，9，其中正整数有________个． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的分类，理解整数的概念是解答本题的关键． 根据有理数的分类和正数的概念，进行判断即可． 【详解】解：3，9是正整数，共2个， 故答案为：2． 题型3 数轴的有关问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【详解】解：数轴上表示数1的点是点P． 故选：C． 解题要点 · 掌握数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上右边的数总比左边的数大，能正确标出有理数对应点。 · 理解数轴上两点距离用两数差的绝对值求解，遇动点问题结合位置分类讨论，防止漏解。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·陕西西安·期末）数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 【答案】5 【分析】本题考查了数轴上的数，确定数轴上从到之间的所有整数，并计数即可． 【详解】解：A、B之间的整数有，，，，，共5个． 故答案为5． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，理解题意是解决本题的关键． 根据数轴可得和，进而即可得解． 【详解】解：由图可得，，且， ∴， 故答案为：． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了数轴的特点，数轴上表示数，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键 ． （1）根据点表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数是， 所以原点如图所示， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为点表示的数为， 所以当点在点左边时，点表示的数为； 当点在点的右边时，点表示的数为， 故答案为：或． 题型4 相反数的有关问题 ▌例4 （25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们都学习过相反数的定义，请你找出的相反数是（   ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 解题要点 · 互为相反数的两数符号相反、绝对值相等，0 的相反数是 0；求一个数的相反数只需在数前添加负号。 · 灵活运用性质：互为相反数的两数之和为 0，化简多重符号时根据负号个数判断最终符号。 ▌迁移练4-1（24-25七年级上·广东广州·期末）若与互为相反数，则___． 【答案】6 【分析】本题考查相反数的概念，掌握好相关知识是关键． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：6． ▌迁移练4-2（25-26七年级上·青海西宁·期末）相反数是______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义“一个数的相反数是与它相加等于零的数”解答即可． 【详解】解：设 ， 则的相反数为． 故答案为：． ▌迁移练4-3（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)点A，B，C表示的数分别为_________，_________，_________； (2)点A，B，C表示的数的相反数分别为_________，_________，_________； (3)将点B向左移动3个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是_________； (4)将点A向右移动4个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是_________； 【答案】(1)，， (2)，， (3) (4) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上点的移动； （1）根据数轴上A，B，C的位置，求A，B，C表示的数即可； （2）分别根据A，B，C表示的数求相反数即可； （3）根据向左移动减去对应的数字计算即可； （4）根据向右移动加上相应的数字即可． 【详解】（1）解：由数轴可得点A，B，C表示的数分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：点表示的数为，它的相反数为； 点表示的数为，它的相反数为； 点表示的数为，它的相反数为； 故答案为：，，； （3）解：将点B向左移动3个单位长度后，其对应点所表示的数为，它的相反数是， 故答案为：； （4）解：将点A向右移动4个单位长度后，其对应点所表示的数为，它的相反数是， 故答案为：． 题型5 绝对值的有关问题 ▌例5 （23-24七年级下·宁夏银川·期末）的绝对值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 解题要点 · 明确绝对值的几何意义为数轴上点到原点的距离，结果恒非负；正数绝对值是本身，负数绝对值是其相反数，0 的绝对值为 0。 · 化简含字母的绝对值时，先判断字母正负，再去绝对值符号；求值问题留意分类讨论，避免漏解。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，关键是熟练利用定义解题；根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数求解即可. 【详解】解：， 故答案为： ． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． 【答案】4/四 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，根据绝对值的定义计算出对应数的绝对值，再将绝对值进行大小比较，即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ， 从轻重的角度看，从左至右第4个球最接近标准． 故答案为：4． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 【答案】 在数轴上表示下列各数如图： 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，先化简各数，再表示在数轴上，再结合数轴上右边的数总是大于左边的数即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，, 由数轴可得：． 题型6 有理数的大小比较 ▌例6 （25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较、相反数与绝对值的基本运算逐一判断选项即可． 【详解】解：∵负数小于正数，为负数，4为正数， ∴，选项A正确，符合题意； ∵， ∴选项B错误，不符合题意； ∵， ∴选项C错误，不符合题意； ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，， ∴，选项D错误，不符合题意． 解题要点 · 数轴上右边的数大于左边的数；正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。 · 比较两个负数，先比较绝对值，绝对值大的负数反而小，化简后再进行大小判断。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较法则，先区分正负数，再比较负数的绝对值即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∴最小的有理数是． ▌迁移练6-2（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：___________（用“>、<、=”填空） 【答案】 【分析】比较两个负数的大小，先求出两个数的绝对值，比较绝对值的大小，绝对值大的原数反而小． 【详解】解：，， ∵， ∴． ▌迁移练6-3（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． (1)负数集合：{___________…}； (2)用“＜”把它们连接起来是___________； (3)把已知各数表示在数轴上． 【答案】(1) (2) (3) 解：如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了负数的概念，化简多重符号，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简多重符号，再结合小于0的数为负数进行逐个分析，即可作答． （2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而越小，即可作答． （3）先化简多重符号，再在数轴上逐个表示出各个数，即可作答． 【详解】（1）解：， 则负数集合：{…}； （2）解：依题意， ， （3）略 难点一 正负数的实际应用 · 难以找准题目规定的基准量，无法准确区分相反意义的量，容易随意设定正负，导致数据符号标记错误，无法正确列式运算。 · 处理波动、增减类实际问题时，容易混淆累计数值与单次变化量；审题忽略最终所求目标，经常直接套用原始数据计算，造成结果出现偏差。 难点精练 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知上升记为正，推出相反意义的下降记为负即可得到结果． 【详解】解：∵体重上升记作， ∴体重下降可以记作． 2．（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)4千米 (2)他能完成上面的行程，理由见解析 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正负数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把行程中的正负数相加即可解答； （2）求出所行驶的路程后进行比较即可． 【详解】（1）解：， 答：当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为4千米． （2）解：， 因此他能完成上面的行程． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 难点二 数轴上的动点问题 求解两点距离时，常常忘记距离要加绝对值；遇到相距定值、中点类问题缺少分类讨论意识，容易遗漏其中一种位置情况，出现漏解。 难点精练 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点的平移，熟练掌握平移规则是解题的关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动时数值增加，向左移动时数值减少，即可得点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，将点A沿数轴向右移动2个单位长度得到点， ∴点表示的数是． 故选：A． 5．（25-26七年级上·北京·期中）在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 【答案】9或 【分析】本题考查数轴上点的移动．根据题意分两种情况求解即可． 【详解】解：点M表示的数是4，向右移动5个单位长度，点N表示的数为； 向左移动5个单位长度，点N表示的数为． 故答案为：9或． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或或或 (4)当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为 【分析】本题考查了数轴上动点问题，列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握知识点的应用，并采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据点为原点，地和地的距离为，即可解答； （2）根据路程速度时间，计算时，点P的运动路程，再根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （3）分情况讨论：从A地到B地时和从B地返回A地时，然后根据时间路程速度，解答即可，注意第二种情况速度有变化，要先求得到达B地的时间； （4）分两种情况讨论：①当小明从A地到B地时；②当小明从B地到A地时；注意第二种情况要先求得返回A地全程所用的时间． 【详解】（1）解：∵点为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，地位于两地之间且距A地， ∴点A表示的有理数为， 故答案为：； （2）解：∵小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点， ∴当时，点表示的有理数， 故答案为：； （3）解：①当小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动时， 若此时距离地，点C表示的有理数为0， 当点P在点A和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点B之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； ②当小明到达地后以每小时的速度返回A地时， ∵、相距， ∴点B表示的数为，小明到达B地的时间为（小时）， 若此时距离地， 当点P在点B和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点A之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 综上所述，在小明行驶过程中，当小明距离地时，t的值为或或或． （4）解： ①当小明以每小时的速度从A地到B地时， 由（2）可知，小明到达B地的时间为1小时， ∴当时，点P与点A的距离为； ②当小明以每小时的速度从B地返回A地时， 由（2）可知，点B表示的有理数为3， 则小明从B地返回A地的时间为（小时） ∴当时，点P与点A的距离为， 综上所述，当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为． 难点三 数轴上的规律探究 · 不容易观察点的移动周期、方向变化规律，难以准确找到循环区间，常常仅凭前几项盲目推断，不能建立序号与对应数字之间的关系式。 · 区分奇偶项规律时容易出错，计算第 n 个点对应的数值，容易忽略起始位置；遇到往返移动题型，不会拆分完整周期和剩余步数，导致结果错误。 难点精练 7．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 9．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律．奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2025次右移后，点A向右移动个单位，第2025次左移2025个单位，据此列式计算即可求解． 【详解】解：第n次移动n个单位，第2025次左移个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 难点四 绝对值的几何意义 · 难以把代数式转化为数轴距离模型，分不清 | x-a | 代表 x 到 a 的距离，面对多个绝对值相加，无法借助数轴直观找到取最小值的区间，习惯直接代数讨论，过程繁琐易出错。 · 求解满足等式或不等式的未知数范围时，容易遗漏分界点；多个动点距离综合问题，缺少数形结合意识，不会分类判断区间，常常出现漏解、错解。 难点精练 10．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 11．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 12．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 难点五 有理数大小比较的实际应用 · 不能把实际情境数据转化为有理数，遇到正负混杂的数据，容易忽略负数比较法则，直接凭借数字大小主观判断，不清楚两个负数比较时绝对值大的数值更小。 · 审题分不清比较目标，混淆极值含义；多个数据排序时容易遗漏数据，不会借助数轴辅助分析，经常弄错最高、最低、最优结果，造成结论颠倒。 难点精练 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 【答案】B 【分析】北半球哈尔滨的白昼时长在夏至日达到最长，二十四节气中谷雨在夏至前，立秋在夏至后，离夏至越近白昼时长越长，结合选项中节气的位置和白昼时长规律即可判断. 【详解】解：∵ 哈尔滨位于北半球，一年中夏至日白昼时长最长，谷雨在夏至前，立秋在夏至后，   已知谷雨白昼长小时分，立秋白昼长小时分， 所求白昼长小时分，比两者更长， 说明该节气比谷雨、立秋更靠近夏至， 立春在春分前，白昼短于小时，秋分接近昼夜平分，白昼约小时，冬至白昼最短，均不符合要求； 小满位于谷雨与夏至之间，更靠近夏至，符合白昼长度要求. 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒． 0 那么这个小组男生的最好成绩是_____ 秒． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，正负数的应用． 根据正负数的意义将记录值转换为实际成绩，然后比较所有实际成绩，最小值即为最好成绩． 【详解】记录值：． 实际成绩计算： ， ， ， ， ， ， ， ， 可知最小值为，故最好成绩是秒． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)13 (2)147万件 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较表格中的数据即可确定分拣包裹数量最多的一天和最少的一天，再进行相减即可求解最多的一天比最少的一天多分拣多少； （2）先计算原计划天的分拣量，再将表格数据相加得到的和再与原计划天的分拣量相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴周六的分拣量高出原计划7万件，最多；周日的分拣量低于原计划6万件，最少； ∴最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹； （2）解：（万件） 答：该仓库本周实际一共分拣147万件包裹． 基础达标 一、单选题 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据负数“小于0”的定义，逐个判断给定的数，统计负数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数是小于0的数，对给出的数逐个判断： ，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ∴ 一共有3个负数． 2．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与2 B．与 C．与0.2 D．与2 【答案】D 【分析】此题考查了化简绝对值，多重符号，相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 首先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：、和2相等，不互为相反数，不符合题意； 、和相等，不互为相反数，不符合题意； 、与0.2既不相等，也不互为相反数，不符合题意； 、与2互为相反数，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 【答案】C 【分析】先根据相反数的定义得到点表示的数，再利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，的相反数为 ∴点表示的数为 ∵数轴上两点间的距离等于两点表示数的差的绝对值 ∴点与点的距离为． 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上数的特点解题即可． 【详解】解：由题意可知，与互为相反数，在数轴上关于原点对称；和互为相反数，在数轴上关于原点对称； 则和的位置如图， ∴． 5．（25-26七年级下·广东中山·期末）某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据标签得到合格温度的范围，判断各选项温度是否落在范围内即可． 【详解】解：据表可知，该药品的合格贮藏温度满足， 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，满足范围，符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求； 选项：，不满足范围，不符合要求． 二、填空题 6．（25-26七年级上·广东湛江·期末）的相反数是___________． 【答案】9 【分析】本题考查相反数的概念，根据定义，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是9． 故答案为：9． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果存款600元记作元，那么取款800元记作______． 【答案】元 【详解】解：存款600元记作元，那么取款800元记作元. 8．（25-26七年级上·广东河源·期中）将下列各数按要求填在横线上：，，0，，，，，，，负分数是_____． 【答案】， ， 【分析】本题主要考查负分数的定义；根据负分数是既为负数又为分数的数，从给定数中筛选出同时满足条件的数即可． 【详解】解：，是负分数；是负分数；，是负分数． 其余数中，为负整数，不是分数；为正数；0既非正也非负；为正分数． 故负分数为：， ， ． 故答案为：， ， ． 9．（25-26六年级上·四川成都·期末）比较大小：_____， _____ ．（填、或） 【答案】 【详解】解：比较与， ，， 因为，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 所以； 比较与， ，， 将与通分，，， 因为，根据正数比较大小，数值大的数更大， 所以． 10．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，数轴上的点对应的数分别为，且，则代数式的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，数轴上两点之间的距离，掌握利用整体法求解代数式的值是解本题的关键． 用数轴上两点之间的距离等于坐标差的绝对值能求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵数轴上的点对应的数分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东淄博·期末）请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，0，，，， 【答案】 在数轴上表示下列各数，如图， ． 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何把有理数表示在数轴上． 先把含有绝对值和括号的数化简，再把各数表示在数轴上，按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：， 12．（25-26七年级上·江西上饶·期末）把下列各数填入它所属的集合内，并将上面各数用“”号连接起来： 0，，，，，， (1)整数集合{            …}；非正有理数集合{            …}； (2)__________；(将上面各数用“”号连接起来)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查有理数的分类及实数的大小比较，关键是先化简各数，明确相关概念和大小比较规则． （1）先化简含绝对值、符号的数，再根据整数(正整数、0、负整数的统称)的定义筛选整数；根据非正有理数(和负有理数的集合，有理数包含整数和分数)的定义，排除无理数后筛选符合条件的数； （2）先将各数转化为直观的数值形式，再依据“负数绝对值大的反而小，0大于负数，正数大于0，正数按数值从小到大排列”的规则，将所有数从小到大连接． 【详解】（1）解：先化简各数：，，； 整数集合为； 非正有理数集合为； （2）解：将各数转化为便于比较的形式：，，，； 根据实数大小比较规则：负数的绝对值越大，数值越小；正数大于0，0大于负数，正数按数值从小到大排列， 可得． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 【答案】（1）①，；②（2） 【分析】本题考查有理数和数轴，绝对值的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）①根据点在原点的左侧还是右侧即可得出结果；②根据点在数轴上的位置进行判断即可； （2）根据绝对值的意义，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）①由数轴可知，在原点右侧，在原点左侧， 故； ②∵， ∴， 故； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 能力进阶 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，理解正负数可以表示相反意义的量是解答本题的关键． 根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：如果盈利元记作元，那么亏损元记作元， 故选：A． 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式、数轴和绝对值，运用数轴的性质和绝对值的性质是关键．①③根据数轴列代数式，进行加减判断即可；②④根据绝对值判断即可． 【详解】解：设相邻两点间的距离为． 若，则， ， ， 解得：． ． 故①说法正确； 若， 数的绝对值从到先大后小， 原点在中点的右边，中点的左边． 故②的说法不符合题意； 设对应，则对应，对应， 若， 即 点是原点． 故③说法正确； 若原点在，之间并且临近点时，有． 故④的说法不符合题意． 综上，正确的说法有①③． 故选：B． 二、填空题 4．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 三、解答题 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 8．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 10．（25-26七年级上·安徽·期中）【阅读理解】 关于x的整式，当x分别取一组相反数a和时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子 的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如，， 所 以是“偶代数式”， ， 所 以是“奇代数式”．如果式子为“偶代数式”，那么x 取任意一组相反数，式子的值相等；反之，如果式子为“奇代数式”，那么式子的值互为相反数． 【初步探究】 （1）以下算式中，是“偶代数式”的有 ，是 “奇代数式”的有 ； （将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ （2）对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少； 【深入思考】 （3）根据（2）的探究结果思考，对于整式，当x 分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 【答案】（1）①③，②（2）时，整式值为；时，整式值为6（3）60 【分析】本题考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”与“奇代数式”的定义并会运用． （1）根据定义即可判定； （2）分别代入计算即可； （3）根据题意得、、、x是“奇代数式”， 分别取，，，，，，，，时，它们的和为0，只需计算九个式子中的即可． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③；②； （2） 解：当时，原式， ∴整式值为； 当时，原式， ∴整式值为6； （3）解：∵、、、是“奇代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时，它们的和为， 而是“偶代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时 九个整式的值之和是： ， ∴这九个整式的值之和是60． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 复习要点 1. 理解正数、负数的意义，能区分正数、负数、0，会用正负数表示具有相反意义的量。 2. 掌握有理数的概念，会按“整数和分数”或“正有理数、0、负有理数”两种标准对有理数进行分类，理解0在分类中的特殊地位。 3. 理解数轴的三要素，能熟练用数轴上的点表示有理数，体会数形结合思想。 4. 掌握相反数和绝对值的概念，能借助数轴理解其几何意义，会求一个数的相反数和绝对值。 5. 掌握利用数轴和法则比较有理数大小的方法，能区分正数、负数、0的大小关系。 复习重难点 重点 有理数的基本概念（正负数、数轴、相反数、绝对值）以及有理数的分类和大小比较。 难点 绝对值概念的深入理解与灵活应用，以及相反数、绝对值、数轴等概念的综合运用。 知识点 有理数的分类 有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 要点速测 1．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 3．（25-26七年级上·广西防城港·期末）把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 知识点 数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 要点速测 4．（24-25七年级上·云南德宏·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 按从小到大顺序排列： ． 知识点 相反数 相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 要点速测 7．（25-26八年级下·重庆·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D．2 8．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）的相反数是___________． 9．（25-26七年级上·江西九江·期末）如果互为相反数，则______________． 知识点 绝对值 绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 要点速测 10．（2026·江苏连云港·二模）下列实数中，是的绝对值的是（     ） A．2026 B． C． D． 11．（25-26七年级上·广东东莞·期末）计算：______． 12．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 知识点 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点速测 13．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（     ） A．−3 B． C．0 D．1 14．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）比较大小：_______． 15．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们学习过两个有理数的大小比较，请你确定：________ （填 “＞”“＜” 或 “＝”）． 题型1 正数和负数 ▌例1 （25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 解题要点 · 明确 0 既不是正数也不是负数，正数大于 0，负数小于 0；学会用正、负数表示具有相反意义的量，找准基准。 · 判断正负不要只看符号，化简后再判定；区分 “负号” 与表示相反意义的符号，避免概念混淆。 ▌迁移练1-1（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌迁移练1-2（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果元表示收入元，那么元表示________． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·山西朔州·期中）体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 题型2 有理数的概念 ▌例2 （25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列不是有理数的是（   ） A．0 B． C． D．1.779 解题要点 · 牢记有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 · 分清有理数与无理数区别，注意 π、无限不循环小数不是有理数，做题先化简再判断。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·贵州·期末）在，5，，，，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌迁移练2-2（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在，，，中，正分数的个数是_____个． ▌迁移练2-3（24-25七年级上·新疆巴州·期末）现有下列各数：，，，，3，0，，，9，其中正整数有________个． 题型3 数轴的有关问题 ▌例3 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 解题要点 · 掌握数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上右边的数总比左边的数大，能正确标出有理数对应点。 · 理解数轴上两点距离用两数差的绝对值求解，遇动点问题结合位置分类讨论，防止漏解。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·陕西西安·期末）数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·江苏镇江·期末）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 题型4 相反数的有关问题 ▌例4 （25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们都学习过相反数的定义，请你找出的相反数是（   ） A． B．2026 C． D． 解题要点 · 互为相反数的两数符号相反、绝对值相等，0 的相反数是 0；求一个数的相反数只需在数前添加负号。 · 灵活运用性质：互为相反数的两数之和为 0，化简多重符号时根据负号个数判断最终符号。 ▌迁移练4-1（24-25七年级上·广东广州·期末）若与互为相反数，则___． ▌迁移练4-2（25-26七年级上·青海西宁·期末）相反数是______． ▌迁移练4-3（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)点A，B，C表示的数分别为_________，_________，_________； (2)点A，B，C表示的数的相反数分别为_________，_________，_________； (3)将点B向左移动3个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是_________； (4)将点A向右移动4个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是_________； 题型5 绝对值的有关问题 ▌例5 （23-24七年级下·宁夏银川·期末）的绝对值是（　　） A． B．5 C． D． 解题要点 · 明确绝对值的几何意义为数轴上点到原点的距离，结果恒非负；正数绝对值是本身，负数绝对值是其相反数，0 的绝对值为 0。 · 化简含字母的绝对值时，先判断字母正负，再去绝对值符号；求值问题留意分类讨论，避免漏解。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）的值为_________． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． ▌迁移练5-3（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 题型6 有理数的大小比较 ▌例6 （25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 · 数轴上右边的数大于左边的数；正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。 · 比较两个负数，先比较绝对值，绝对值大的负数反而小，化简后再进行大小判断。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：___________（用“>、<、=”填空） ▌迁移练6-3（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）已知下列各数，按要求完成各题： ． (1)负数集合：{___________…}； (2)用“＜”把它们连接起来是___________； (3)把已知各数表示在数轴上． 难点一 正负数的实际应用 · 难以找准题目规定的基准量，无法准确区分相反意义的量，容易随意设定正负，导致数据符号标记错误，无法正确列式运算。 · 处理波动、增减类实际问题时，容易混淆累计数值与单次变化量；审题忽略最终所求目标，经常直接套用原始数据计算，造成结果出现偏差。 难点精练 1．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 难点二 数轴上的动点问题 求解两点距离时，常常忘记距离要加绝对值；遇到相距定值、中点类问题缺少分类讨论意识，容易遗漏其中一种位置情况，出现漏解。 难点精练 4．（25-26七年级上·吉林长春·期末）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 5．（25-26七年级上·北京·期中）在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 难点三 数轴上的规律探究 · 不容易观察点的移动周期、方向变化规律，难以准确找到循环区间，常常仅凭前几项盲目推断，不能建立序号与对应数字之间的关系式。 · 区分奇偶项规律时容易出错，计算第 n 个点对应的数值，容易忽略起始位置；遇到往返移动题型，不会拆分完整周期和剩余步数，导致结果错误。 难点精练 7．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 9．（25-26七年级上·江苏·期中）数轴上，点的初始位置表示的数为，现将点做如下移动：第1次点向左移动1个单位长度至，第2次点由位置向右移动2个单位长度至，第3次点由位置向左移动3个单位长度至，第4次点由位置向右移动4个单位长度至，……，按照这种移动方式进行下去，点表示的数是__________． 难点四 绝对值的几何意义 · 难以把代数式转化为数轴距离模型，分不清 | x-a | 代表 x 到 a 的距离，面对多个绝对值相加，无法借助数轴直观找到取最小值的区间，习惯直接代数讨论，过程繁琐易出错。 · 求解满足等式或不等式的未知数范围时，容易遗漏分界点；多个动点距离综合问题，缺少数形结合意识，不会分类判断区间，常常出现漏解、错解。 难点精练 10．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 12．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 难点五 有理数大小比较的实际应用 · 不能把实际情境数据转化为有理数，遇到正负混杂的数据，容易忽略负数比较法则，直接凭借数字大小主观判断，不清楚两个负数比较时绝对值大的数值更小。 · 审题分不清比较目标，混淆极值含义；多个数据排序时容易遗漏数据，不会借助数轴辅助分析，经常弄错最高、最低、最优结果，造成结论颠倒。 难点精练 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）哈尔滨市谷雨的白昼时长约为小时03分，哈尔滨市立秋的白昼时长约为小时18分，哈尔滨市白昼时长约为小时20分的节气可能是（     ） A．立春 B．小满 C．秋分 D．冬至 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒． 0 那么这个小组男生的最好成绩是_____ 秒． 15．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库9月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？ 基础达标 一、单选题 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与2 B．与 C．与0.2 D．与2 3．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广东中山·期末）某种药品的包装盒上贴有如下的标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（     ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度（）： A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·广东湛江·期末）的相反数是___________． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果存款600元记作元，那么取款800元记作______． 8．（25-26七年级上·广东河源·期中）将下列各数按要求填在横线上：，，0，，，，，，，负分数是_____． 9．（25-26六年级上·四川成都·期末）比较大小：_____， _____ ．（填、或） 10．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，数轴上的点对应的数分别为，且，则代数式的值是___________． 三、解答题 11．（25-26六年级上·山东淄博·期末）请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，0，，，， 12．（25-26七年级上·江西上饶·期末）把下列各数填入它所属的集合内，并将上面各数用“”号连接起来： 0，，，，，， (1)整数集合{            …}；非正有理数集合{            …}； (2)__________；(将上面各数用“”号连接起来)． 13．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 14．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 能力进阶 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 二、填空题 4．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 5．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 三、解答题 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 8．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 10．（25-26七年级上·安徽·期中）【阅读理解】 关于x的整式，当x分别取一组相反数a和时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子 的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如，， 所 以是“偶代数式”， ， 所 以是“奇代数式”．如果式子为“偶代数式”，那么x 取任意一组相反数，式子的值相等；反之，如果式子为“奇代数式”，那么式子的值互为相反数． 【初步探究】 （1）以下算式中，是“偶代数式”的有 ，是 “奇代数式”的有 ； （将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ （2）对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少； 【深入思考】 （3）根据（2）的探究结果思考，对于整式，当x 分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $