第六单元 比例尺 练习十二 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《第六单元 比例尺 练习十二》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册　（教材P96~P97） 一、知识梳理 本课是第六单元“比例尺”的练习课（教材P96~P97）。上一节课我们认识了图形的放大与缩小，这一节课把学到的道理用来做三件事：判断哪幅图形是放大（缩小）后的图形、按指定的比画出放大（缩小）后的图形、算一算面积变成了原来的几倍。全课的要点可以整理成下表。 要点 具体内容 放大与缩小的意义 按a∶b的比放大（缩小），就是让放大（缩小）后的图形与原图形对应边长的比等于a∶b，也就是把每条边都乘。按2∶1放大，边长乘2；按1∶3缩小，边长乘。 形状与角度 放大或缩小只改变图形的大小，不改变形状。对应边成比例、对应角相等；无论放大还是缩小，各个角的度数永远不变。 判断的方法 ①数出原图对应边各占几格（或几厘米）；②看新图的长和宽是不是同时乘（除以）同一个数；③写出比，检验形状是否相同。三条都满足，才是放大（缩小）后的图形。 画图的方法 ①看清比和原图；②数出原图对应边占几格；③按比算出新图形的格数（放大用乘，缩小用除）；④在方格纸上定顶点、连线成形；⑤用“新边长÷原边长”回算检验。 面积的变化 面积按比的平方变化。按2∶1放大，面积是4倍；按3∶1放大，面积是9倍；按1∶2缩小，面积是；按1∶3缩小，面积是。 周长与面积的区别 周长按比变化（按2∶1放大，周长是2倍），面积按比的平方变化（按2∶1放大，面积是4倍）。两者不能混。 坐标系里放大 把图形放进方格坐标系，只要把每个顶点到0点的横向格数、纵向格数都乘同一个数，再按原顺序连线，就得到按这个比放大后的图形。 易错提醒 最典型的错误是把“边长的比”当成“面积的比”。按3∶1放大，面积不是3倍而是9倍；按1∶2缩小，面积不是而是。 用一句话记住本课：判断要比对应边，画图要数清格，算面积要记平方，形状和角度始终不变。 二、算理剖析 ① 为什么“按a∶b放大”就是把每条边乘？因为“按a∶b放大”说的是放大后的图形与原图形对应边长的比是a∶b，写成式子就是“放大后的边长∶原来边长＝a∶b”，也就是“放大后的边长＝原来边长×”。所以按2∶1放大，每条边都乘2；按3∶1放大，每条边都乘3。缩小的道理一样，只是a小于b，小于1，边就变短了：按1∶3缩小，边长乘，也就是除以3。 ② 为什么长和宽必须同时按比变化？图形是不是“形状不变”，看的是长与宽的比有没有变。原长方形长4格、宽2格，长∶宽＝2∶1。如果只把长变成8格、宽仍是2格，长∶宽就变成4∶1，图形被拉扁了，形状变了，这就不是放大，而是变形。只有长、宽同时乘2，得到8格和4格，长∶宽仍是2∶1，形状才和原来一样。所以判断是不是放大后的图形，一定要看两条边是不是“同时”变、“按同一个比”变。 ③ 为什么边长变2倍，面积却变4倍？长方形的面积＝长×宽。按2∶1放大，长变成原来的2倍，宽也变成原来的2倍，面积就变成“2倍的长×2倍的宽”＝原来的4倍。用数字看更清楚：长4格、宽2格的长方形面积是8格；放大后长8格、宽4格，面积是32格，32÷8＝4。这里的关键是“两个因数都变了”，积就变了两次：2×2＝4。同理，按3∶1放大，面积是3×3＝9倍；按1∶2缩小，面积是×＝。 ④ 为什么角度永远不变？放大或缩小是把整个图形“整体地”变大或变小，每条边都按同一个比变化，边与边之间的“张开程度”没有被改变，所以角的度数不变。第5题里三角形按1∶3缩小后，∠1、∠2、∠3仍然是80°、35°、65°，就是按1∶3缩小后角度不变这个道理。反过来说，如果一道题里角的度数变了，那这个图形一定不是原图形放大或缩小得到的。 ⑤ 为什么在坐标系里可以“只乘格数”？把图形的每个顶点与0点连起来，放大后的对应顶点仍在这条射线上——射线保证了“方向没变”；顶点到0点的横向格数、纵向格数都乘2——长度保证了“按2∶1变化”。方向不变、长度按比变化，画出来的图形自然形状不变、大小是原来的2倍。这个方法比一条边一条边地量更简洁，到了中学学习相似图形和坐标变换时还会用到。 三、方法归纳 （一）判断放大（缩小）图形的三步法 ① 数：数出原图形每条边占几格（或量出几厘米），再数出新图形的对应边。 ② 比：看新图形的长和宽是不是同时乘（除以）同一个数。同时乘2，就是按2∶1放大；同时除以3，就是按1∶3缩小。 ③ 验：写出比，检查形状是否相同。长与宽的比变了，形状就变了，那就不是放大（缩小）后的图形。 （二）按比画图的四步法 ① 看清比和原图：题目要求按几比几放大（缩小），原图的每条边占几格。 ② 算格数：放大用乘，缩小用除，把每条对应边的格数算出来。正方形算一条边即可，长方形要算长和宽两条。 ③ 定点连线：在方格纸上按算出的格数定出各个顶点，再按原图的顺序连线成形，注意直角仍然是直角。 ④ 回算检验：用“新边长÷原边长”，结果应等于题目给的比；不等就说明画错了，要重画。 （三）求面积变化的两种算法 ① 算一算：先算出原图形的面积，再算出放大（缩小）后图形的面积，用“新面积÷原面积”看是几倍或几分之几。这种方法最稳妥，适合检验。 ② 用平方：按a∶b放大（缩小），面积就是原来的()的平方。按2∶1放大是4倍，按3∶1放大是9倍，按4∶1放大是16倍；按1∶2缩小是，按1∶3缩小是。这种方法最快，适合口答和填空。 （四）坐标系里放大的方法 ① 找0点：以坐标原点（或题目指定的点）为中心。 ② 数格：数出原图形每个顶点到0点的横向格数和纵向格数。 ③ 乘比：把横向、纵向格数都乘同一个数（按2∶1放大就都乘2）。 ④ 连线：找到新的顶点，按原图的顺序顺次连线，得到的图形就是放大后的图形。 四、易错警示 ✗ 错误：正方形按3∶1的比放大后，面积也放大到原来的3倍。 → ✓ 正确：边长变为原来的3倍，面积＝边长×边长，3×3＝9，面积是原来的9倍。错在把“边长的比”当成了“面积的比”。 ✗ 错误：按2∶1放大，只把长变成原来的2倍，宽不变。 → ✓ 正确：长和宽必须同时乘2。只变一条边，长与宽的比就变了，形状也变了，那不是放大，是变形。 ✗ 错误：判断哪幅图是放大后的图形，看哪幅“最大”就选哪幅。 → ✓ 正确：要比对应边，看长和宽是不是同时乘同一个数。图形大但被拉扁的，不是放大后的图形。 ✗ 错误：按1∶2缩小，面积也变成原来的。 → ✓ 正确：边长变成，面积变成×＝。缩小和放大一样，面积都按比的平方变化。 ✗ 错误：三角形按1∶3缩小后，三个角也变成原来的。 → ✓ 正确：角度永远不变，仍是80°、35°、65°。变的只有边长、周长和面积。 ✗ 错误：已知缩小后的边A′C′＝1.6厘米，求原边AC，也用1.6×。 → ✓ 正确：缩小后的边＝原边×，反过来求原边要除以，AC＝1.6÷＝4.8厘米。看清“谁变谁”，才能定乘除。 ✗ 错误：把周长和面积的变化混在一起说。 → ✓ 正确：按2∶1放大，周长是原来的2倍（按比变化），面积是原来的4倍（按比的平方变化）。周长和面积要分开记。 五、典型例题 例1　放大后的照片（教材P96第1题） 小光用复印机将一张照片按2∶1的比放大，印出的是右边哪张照片？ 解：按2∶1放大，照片的长和宽都要变成原来的2倍。逐一比较：只把长拉长、宽没变的，形状变了；长和宽都变大但不是同时变2倍的，形状也变了；只有长、宽都是原照片2倍的那一张，形状与原照片相同。所以选长和宽都变成2倍的那一张。 点睛：判断放大缩小，比的不是“谁大谁小”，而是“对应边是不是同时乘同一个数”。 例2　方格图中找放大、缩小的图形（教材P96第2题） 方格图中有5个长方形，①号长方形长4格、宽2格。图中几号图形是①号放大后的图形？是按几比几放大的？几号是缩小后的图形？是按几比几缩小的？ 解：⑤号长8格、宽4格，8÷4＝2，4÷2＝2，长和宽都乘2，所以⑤号是按2∶1放大的；④号长2格、宽1格，4÷2＝2，2÷2＝1，长和宽都除以2，所以④号是按1∶2缩小的。其余图形长与宽的比不是2∶1，形状不同，都不是。补充：⑤号面积8×4＝32（格），①号面积4×2＝8（格），32÷8＝4，⑤号面积是①号的4倍。 点睛：用除法一算，判断就有了依据。边长只变2倍，面积却变4倍，因为长、宽两个因数都变了。 例3　形状相同的梯形（教材P96第3题） 下面是两个形状相同的梯形ABCD和EFGH。量一量，说说它们有什么关系。 解：量得小梯形上底1.5厘米、下底3厘米、两腰2厘米和2.5厘米；大梯形上底3厘米、下底6厘米、两腰4厘米和5厘米。3÷1.5＝2，6÷3＝2，4÷2＝2，5÷2.5＝2，每条边都是对应边的2倍；再量对应角，∠A＝∠E、∠B＝∠F、∠C＝∠G、∠D＝∠H。所以两个梯形形状相同、大小不同，大梯形是小梯形按2∶1放大得到的。 点睛：形状相同就是“对应边成比例、对应角相等”。只要每组对应边的比都相同，就是放大（缩小）的关系。 例4　画放大与缩小的图形（教材P96第4题） 先按3∶1的比画出正方形放大后的图形，再按1∶3的比画出长方形缩小后的图形。（正方形边长2格，长方形长9格、宽3格） 解：正方形边长2×3＝6（格），画出边长6格的正方形；长方形长9÷3＝3（格）、宽3÷3＝1（格），画出长3格、宽1格的长方形。画完回算：6÷2＝3，3÷9＝，与题目给的比一致。 点睛：正方形四条边一样长，算一条边就够；长方形长、宽不同，两条都要算。画完一定要回算检验。 例5　三角形按1∶3缩小（教材P97第5题） 将三角形ABC按1∶3的比缩小后得到三角形A′B′C′。AB＝6厘米，A′C′＝1.6厘米，∠A＝80°、∠B＝35°、∠C＝65°。求A′B′、AC的长和∠1、∠2、∠3的度数，再说说你还能知道什么。 解：A′B′＝6×＝2（厘米）；AC＝1.6÷＝4.8（厘米）；缩小后角度不变，∠1＝80°、∠2＝35°、∠3＝65°。还能知道：三条边都是原来的，周长是原来的，面积是原来的×＝。 点睛：同一道题里，A′B′用乘、AC用除，因为一个是“由原边求缩小后的边”，一个是“由缩小后的边反求原边”。看清“谁变谁”，才不会把乘除用反。 例6　画图并算面积的变化（教材P97第6题） 先画出等腰直角三角形按3∶1放大后的图形，再画出直角梯形按1∶2缩小后的图形。等腰直角三角形放大后的面积是原来的多少倍？直角梯形缩小后的面积是原来的几分之几？ 解：等腰直角三角形的两条直角边都画成原来的3倍，直角梯形的上底、下底和高都画成原来的。设原等腰直角三角形的直角边为1格，面积是1×1÷2＝（格）；放大后直角边为3格，面积是3×3÷2＝（格），÷＝9，面积是原来的9倍。梯形的上底、下底、高都变成原来的，面积是原来的×＝。 点睛：面积＝两个长度相乘再除以2（或乘），两个长度都按比变化，面积就按比的平方变化。设数法（设原边为1格）能让计算最简单。 六、拓展延伸 ① 放大与缩小和“比”是分不开的。按a∶b放大，本质上就是图上每条边都乘；这个就是放大（缩小）后图形与原图形的“相似比”。到了中学，两个对应边成比例、对应角相等的图形叫作相似图形，本节学的正是相似图形最简单的特殊情况——相似比为a∶b的图形，面积比就是a²∶b²。 ② 生活中的放大与缩小处处可见：复印机把A4纸按1∶1.414放大成A3纸；地图把几百千米的山河缩到一张纸上；照片冲洗时放大成6寸、7寸；机械图纸把一个小零件放大几倍画出来，标注真实尺寸。凡是用到“按比例变大变小”的地方，背后都是本课的道理。 ③ 想一想：把一个图形先按2∶1放大，再按1∶2缩小，最后得到的图形与原图形相比，形状一样吗？大小呢？答案是形状一样、大小也一样（边长先乘2再乘，回到原来的长度；面积先乘4再乘，也回到原来的大小）。这说明连续两次变化可以“抵消”，只要把两个比乘起来看就行。 ④ 动手做一做：拿一张长方形纸，量出长和宽，按1∶2缩小画在方格纸上，再按3∶1放大画一遍。比一比：哪一次的图形和原图形状相同？面积各是原来的几倍？把你量得的数据和算出的倍数记在本子上，就是一份属于自己的“放大缩小记录卡”。 七、本课小结 1. 按a∶b放大（缩小），每条边都乘。按2∶1放大，边长乘2；按1∶3缩小，边长乘；放大缩小后形状不变、角度不变。 2. 判断是不是放大（缩小）后的图形，要比对应边：长和宽是不是同时乘（除以）同一个数。只看图形大小不可靠，被拉扁的图形即使更大也不是放大后的图形。 3. 按比画图四步：看清比和原图→算格数（放大乘、缩小除）→定点连线→回算检验。正方形算一条边，长方形长宽都要算。 4. 面积按比的平方变化：2∶1→4倍，3∶1→9倍，4∶1→16倍；1∶2→，1∶3→。周长按比变化，2∶1放大周长是2倍，别和面积混。 5. 本课最容易错的一处是“把边长的比当成面积的比”，最容易被忽略的一处是“缩小后反求原边要用除法”。做题前先问自己两句话：对应边是不是都按比变了？面积要不要平方？把这两句记住，本课的题就不会再错。 学科网（北京）股份有限公司 $