第六单元 放大与缩小 第1课时 图形的放大与缩小 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《第六单元 放大与缩小 第1课时 图形的放大与缩小》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册 一、知识梳理 本课是第六单元“放大与缩小”的第 1 课时（教材 P93-95）。通过研究照片放大缩小的情境，认识图形按比放大与缩小的含义：把图形的每条边都放大到原来的几倍，就是按几比几放大；把图形的每条边都缩小到原来的几分之几，就是按几比几缩小。放大或缩小前后的图形，大小变了，形状不变。核心知识整理如下表。 要点 具体内容 图形放大的含义 把长方形的每条边都放大到原来的 2 倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 2:1，就是把原来的长方形按 2:1 的比放大。 图形缩小的含义 按 1:2 的比缩小，长方形的长和宽都是原来的 ，缩小后与原来对应边长的比是 1:2。 比的前项与后项 比的前项表示变化后图形的边长，后项表示原来图形的边长。 形状不变的原因 图①长与宽的比是 6:4＝3:2，图④长与宽的比是 12:8＝3:2，6:4＝12:8，对应边长的比相等，所以形状没有改变。 放大比与缩小比 放大比前项大于后项（如 2:1、3:1）；缩小比前项小于后项（如 1:2、1:4）。 图形变化的规律 放大或缩小前后的图形，大小变了，形状不变。 画图的方法 先把每条边按比算出变化后的格数，再顺次连接各点；放大（缩小）后每个角的大小不变。 检验的方法 一看新图形的形状有没有变化；二看新图形每条边是否都变成原来的几倍或几分之几，每个角是否都保持不变。 下面以长 6 格、宽 4 格的长方形（照片）为例，把按比放大与缩小的结果整理成对照表。 变化方式 长的变化 宽的变化 对应边长的比 形状 按 2:1 放大 6 格 → 12 格（6×2＝12） 4 格 → 8 格（4×2＝8） 2:1 不变 按 1:2 缩小 12 格 → 6 格（12×＝6） 8 格 → 4 格（8×＝4） 1:2 不变 按 3:1 放大 6 格 → 18 格（6×3＝18） 4 格 → 12 格（4×3＝12） 3:1 不变 按 1:4 缩小 12 格 → 3 格（12×＝3） 8 格 → 2 格（8×＝2） 1:4 不变 二、算理剖析 图形放大与缩小，为什么“大小变了，形状不变”？从比的角度逐条剖析。 ① 为什么图④的形状没有改变？图②的长是图①的 2 倍，宽没有变，长和宽变化的倍数不同，形状就改变了；图③的长没有变，宽是图①的 2 倍，形状也改变了。只有图④的长和宽都是图①的 2 倍，每条边都按相同的倍数变化，形状才没有改变。 ② 为什么用比说“形状不变”更有说服力？图①长与宽的比是 6:4＝3:2，图④长与宽的比是 12:8＝3:2。两个比的化简结果相同，即 6:4＝12:8，说明长和宽之间的倍数关系没有变，所以形状没有改变。反过来，只要长和宽的比变了，形状就一定变了。 ③ 按 2:1 放大时，每条边怎样变化？“把长方形的每条边都放大到原来的 2 倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 2:1，就是把原来的长方形按 2:1 的比放大。”原来的长 6 格变成 12 格（6×2＝12），宽 4 格变成 8 格（4×2＝8），每条边都乘 2，所以每条边都放大到原来的 2 倍。 ④ 按 1:2 缩小时，每条边怎样变化？按 1:2 的比缩小，长方形的长和宽都是原来的 。原来的长 12 格变成 6 格（12×＝6），宽 8 格变成 4 格（8×＝4），每条边都乘 。虽然大小变了，但原来长和宽的比是 3:2，缩小后长和宽的比仍然是 3:2，形状不变。 ⑤ 比的前项、后项各表示什么？前项都表示变化后图形的边长，后项表示原来图形的边长。按 2:1 放大，变化后的边长是原来的 2 倍，前项 2 大于后项 1；按 1:2 缩小，变化后的边长是原来的 ，前项 1 小于后项 2。所以“前大后小是放大，前小后大是缩小”。 ⑥ 为什么放大或缩小后每个角的大小不变？图形的形状由边和角共同决定。按一定的比放大或缩小时，每条边都按相同的比变化，角的两条边张开的大小没有改变，比如例2中放大后边 A'D' 和 D'C' 所组成角的大小不变，所以图形的形状不变，只是大小变了。 注意：判断形状变没变，关键看“每条边是否都按相同的比变化”，只放大（缩小）部分边，形状一定会改变。 三、方法归纳 （一）判断图形按几比几放大或缩小 ① 先找对应边：在原图形和新图形中找到互相对应的边； ② 再数格比较：数出新图形的边是原图形对应边的几倍（或几分之几），如 A'B' 是 AB 的 3 倍，B'C' 是 BC 的 3 倍，A'C' 也是 AC 的 3 倍； ③ 后写比定名：变化后边长∶原来边长，前项大于后项是放大（如 3:1），前项小于后项是缩小（如 2 格是 4 格的 ，按 1:2 缩小）。 （二）画按比放大或缩小后的图形 ① 先数边：数出原图形每条边各有几格； ② 再算格：按比算出每条边变化后的格数，放大的乘前项（如按 2:1 放大，每条边×2），缩小的乘几分之几（如按 1:2 缩小，每条边×）； ③ 后连线：在方格纸上先确定各顶点的位置，再顺次连接各点，注意每个角的大小不变。 （三）检验画得对不对 ① 一看形状：新图形的形状有没有变化，角是不是还是原来那种角； ② 二看边：新图形每条边是否都变成原来的几倍或几分之几，一条边都不能漏； ③ 三说比：用“变化后边长∶原来边长”写出比，看是否与题目要求的比一致。 四、易错警示 ✗ 错误：把图形“按 1:2 的比放大”。 → ✓ 正确：1:2 的比是缩小！放大应说“按 2:1 的比放大”，每条边放大到原来的 2 倍；缩小说“按 1:2 的比缩小”，每条边缩小到原来的 。 ✗ 错误：“把照片缩小到原来的 2 倍”。 → ✓ 正确：缩小不到“倍”，只到“几分之几”，应说“缩小到原来的 ”。放大才用“倍”，缩小说“几分之几”。 ✗ 错误：认为图形放大后形状也变了。 → ✓ 正确：放大或缩小前后的图形，大小变了，形状不变。例如长 6 格、宽 4 格的长方形按 2:1 放大后长 12 格、宽 8 格，长和宽的比都是 3:2，形状不变。 ✗ 错误：画放大后的图形时只放大其中的部分边。 → ✓ 正确：必须每条边都按相同的比变化，包括斜边。例如按 2:1 放大直角梯形，要先把边 AB、AD、BC 的长各放大到原来的 2 倍，再顺次连接各点，一条边都不能漏。 ✗ 错误：画完不检验，或只检验一条边。 → ✓ 正确：画完要检验——看新图形每条边是否都变成原来的几倍或几分之几，每个角是否都保持不变。 ✗ 错误：把比的前项、后项的 含义弄反，认为 1:2 是放大到原来的 2 倍。 → ✓ 正确：前项都表示变化后图形的边长，后项表示原来图形的边长；1:2 表示变化后的边长是原来的 ，是缩小。 五、典型例题 例1　判断哪幅图没有改变形状 赵文辉用电脑软件处理自己拍摄的照片。四幅图中，图②~图④都是由图①变化后得到的：图②的长是图①的 2 倍，宽没有变；图③的长没有变，宽是图①的 2 倍；图④的长和宽都是图①的 2 倍。与图①相比，哪一幅图没有改变形状？ 解：与图①相比，图④没有改变形状。图②的长是图①的 2 倍，宽没有变，所以形状改变了；图③的长没有变，宽是图①的 2 倍，形状也改变了。 用比来说：图①长与宽的比是 6:4＝3:2，图④长与宽的比是 12:8＝3:2，6:4＝12:8，所以形状没有改变。 点睛：判断形状变没变，就看对应边长的比相不相等；也可以看每条边是否都按相同的倍数变化。 例2　按 2:1 的比放大长方形 一个长方形长 6 格、宽 4 格。把它按 2:1 的比放大，放大后的长方形长几格、宽几格？ 解：按 2:1 的比放大，每条边都放大到原来的 2 倍。长：6×2＝12（格）；宽：4×2＝8（格）。 放大后的长方形长 12 格、宽 8 格，与原来长方形对应边长的比是 2:1，形状不变。 点睛：按几比几放大，每条边就乘比的前项（后项是 1 时）；算完可以检验 12:8＝3:2 与 6:4＝3:2 是否相同。 例3　按 1:2 的比缩小长方形 把长 12 格、宽 8 格的照片按 1:2 的比缩小，长和宽各是原来的几分之几？缩小后长几格、宽几格？ 解：按 1:2 的比缩小，长方形的长和宽都是原来的 。长：12×＝6（格）；宽：8×＝4（格）。 原来照片长和宽的比是 3:2，缩小后长和宽的比仍然是 3:2，所以形状不变。 点睛：按 1:n 缩小，每条边都是原来的 ，用原来的格数乘 ；缩小后对应边长的比是 1:n。 例4　判断按几比几放大（教材 P94 练一练第 1 题） 直角三角形 A'B'C' 是直角三角形 ABC 放大后的图形，其中 A'B' 是 AB 的 3 倍，B'C' 是 BC 的 3 倍，A'C' 是 AC 的 3 倍。它是按几比几的比放大的？线段 A'C' 的长度是线段 AC 的几倍？ 解：因为每条对应边都是原来的 3 倍，所以它是按 3:1 的比放大的。线段 A'C' 的长度是线段 AC 的 3 倍。 点睛：判断按几比几放大，不能只看一条边，要每条边都验证；斜边 A'C' 也放大到原来的 3 倍，图形形状才不变。 例5　判断按几比几缩小（教材 P94 练一练第 2 题） 正方形 ABCD 的边长 4 格，正方形 A'B'C'D' 的边长 2 格。正方形 A'B'C'D' 是正方形 ABCD 按几比几的比缩小后得到的？ 解：边长 2 格是 4 格的 ，2÷4＝，所以是按 1:2 的比缩小后得到的。 点睛：先算“变化后的边长是原来的几分之几”，再写成比：几分之几的分子作前项、分母作后项，即 1:2。 例6　按 1:2 的比画缩小后的图形（教材 P95 练一练） 按 1:2 的比画出下面图形缩小后的图形：(1) 长方形长 4 格、宽 3 格；(2) 直角三角形两条直角边分别是 3 格和 2 格。 解：按 1:2 缩小，每条边都是原来的 。(1) 长方形：长 4×＝2（格），宽 3×＝1.5（格）；(2) 三角形：两条直角边分别是 3×＝1.5（格）和 2×＝1（格）。 先数一数每条边各有几格，再想缩小后是几格，在方格纸上定出顶点后顺次连接，形状不变。 点睛：缩小后的边长不一定都是整格，像 1.5 格要先在方格纸上定好半格的点再连线；画完检查每条边是否都是原来的 。 例7　画按 2:1 放大后的梯形（教材 P95 例2） 按 2:1 的比把直角梯形 ABCD 放大，画出放大后的图形。 解：要把每条边按 2:1 的比放大，可以先把边 AB、AD、BC 的长各放大到原来的 2 倍，再顺次连接各点。图形放大后形状不变，放大后边 A'D' 和 D'C' 所组成角的大小不变。 检查：数一数放大后每条边是不是原来的 2 倍，看一看每个角有没有变化。 点睛：画放大（缩小）后的图形，口诀是“先数边、再算格、后连线”，最后别忘了从边和角两个角度检验。 六、拓展延伸 ① 生活中的放大与缩小：放大镜把书上的字放大，投影仪把幻灯片上的小画面放大到幕布上，复印机可以把图纸放大或缩小后再复印，地图把整个城市缩小画在一张纸上。这些现象里图形的大小都变了，但形状都没有变，都应用了“按比放大或缩小”的道理。 ② 先放大再缩小的秘密：把一个图形按 2:1 的比放大，再把放大后的图形按 1:2 的比缩小，图形又回到原来的大小。例如长 6 格、宽 4 格的长方形按 2:1 放大后长 12 格、宽 8 格，再按 1:2 缩小后长 12×＝6（格）、宽 8×＝4（格），与原来的图形完全一样。 ③ 边变几倍，图形“变大”多少：长 6 格、宽 4 格的长方形面积是 6×4＝24（格）；按 2:1 放大后长 12 格、宽 8 格，面积是 12×8＝96（格），96÷24＝4。可以发现，每条边放大到原来的 2 倍后，面积变成了原来的 4 倍。用面积算一算，能更直观地感受“大小变了”。 ④ 形状不变的应用：拍照片、做模型、设计图纸，都希望“放大缩小不走样”，也就是每条边按相同的比变化。只有按相同的比变化，图形才不会“变形”；像图②、图③那样只把一个方向拉长，图形就歪了。这也是摄影师、设计师工作时必须遵守的规则。 七、本课小结 1. 把图形的每条边都放大到原来的 2 倍，放大后与原来对应边长的比是 2:1，就是把原来的图形按 2:1 的比放大；按 1:2 的比缩小，每条边都是原来的 。 2. 比的前项表示变化后图形的边长，后项表示原来图形的边长；前项大于后项是放大，前项小于后项是缩小。 3. 图①长与宽的比是 6:4＝3:2，图④长与宽的比是 12:8＝3:2，对应边长的比相等，形状就不变；放大或缩小前后的图形，大小变了，形状不变。 4. 画按比放大或缩小后的图形：先把每条边按比算出变化后的格数，再顺次连接各点，放大（缩小）后每个角的大小不变。 5. 检验画得对不对：一看新图形的形状有没有变化；二看新图形每条边是否都变成原来的几倍或几分之几，每个角是否都保持不变。 6. 判断图形按几比几放大或缩小：看对应边，新图形的边是原图对应边的几倍就是按几比一放大，是原图的几分之几就按几比几缩小。 学科网（北京）股份有限公司 $