第4章 几何图形初步（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材沪科版七年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章 几何图形初步·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）毛主席在《七律·长征》中写道“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒”，铭记了红军飞夺泸定桥的壮烈史诗．大渡河自古为天堑，水流湍急、两岸高崖对峙，泸定桥以两岸山崖为固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道．这一设计，用所学数学知识解释恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 2．（本题4分）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 3．（本题4分）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（本题4分）如图，小嘉站在点，小淇站在点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东方向上，则我位于你的什么方向上（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 5．（本题4分）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 6．（本题4分）已知线段，点C是的三等分点，点M是的中点，则的长为（   ） A．或 B． 或 C． D． 7．（本题4分）下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，点C，O，B在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④互余的角有4对．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题4分）如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 10．（本题4分）如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 12．（本题5分）已知，将这三个角按照从小到大的顺序排列为________． 13．（本题5分）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 14．（本题5分）如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）如图所示，已知，，求作一个角，使它等于．（要求：尺规作图，可以在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） 16．（本题8分）计算： (1) (2) 17．（本题8分）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 18．（本题8分）（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 19．（本题10分）如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 20．（本题10分）如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 21．（本题12分）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 22．（本题12分）综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 23．（本题14分）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章 几何图形初步·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）毛主席在《七律·长征》中写道“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒”，铭记了红军飞夺泸定桥的壮烈史诗．大渡河自古为天堑，水流湍急、两岸高崖对峙，泸定桥以两岸山崖为固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道．这一设计，用所学数学知识解释恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 2．（本题4分）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 3．（本题4分）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（本题4分）如图，小嘉站在点，小淇站在点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东方向上，则我位于你的什么方向上（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 5．（本题4分）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 6．（本题4分）已知线段，点C是的三等分点，点M是的中点，则的长为（   ） A．或 B． 或 C． D． 7．（本题4分）下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，点C，O，B在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④互余的角有4对．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题4分）如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 10．（本题4分）如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 12．（本题5分）已知，将这三个角按照从小到大的顺序排列为________． 13．（本题5分）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 14．（本题5分）如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）如图所示，已知，，求作一个角，使它等于．（要求：尺规作图，可以在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） 16．（本题8分）计算： (1) (2) 17．（本题8分）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 18．（本题8分）（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 19．（本题10分）如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 20．（本题10分）如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 21．（本题12分）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 22．（本题12分）综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 23．（本题14分）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章 几何图形初步·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B A D B B C C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．圆锥 12． 13． 14．/ 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（8分） 解：如图，即为所求作的角． （8分） 16．（8分） 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴．（4分） （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直．（8分） 18．（8分） 【详解】解：（1）通过规律探究可知： 平面上有4个点时，一共可画直线的条数为（条）， 平面上有5个点时，一共可画直线的条数为（条）， ， 平面上有n个点时，一共可画直线的条数为；（3分） （2）两两握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的， n位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握次手， ，解得：或（舍去）， 所以若共握了55次手，则有11人参加了此次握手活动；（5分） （3）①北区有5支球队，实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛），把每支球队看作一个点，由（1）中规律可知：单循环赛制有（场）比赛，因为是双循环赛制，所以共有20场比赛；九江队要和北区除自己之外的4支球队比赛，每两支球队之间进行主、客场两场比赛，所以九江队进行的小组赛场数为（场）比赛；（7分） ②设九江队在北区小组赛中获胜的场数为x场， 依题意可得：， 解得， 所以九江队在北区小组赛中获胜了4场．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，， ，， 则（3分） （2）解：，， ， ；（6分） （3）是定值，理由如下： ， 设， 则， ．（10分） 20．（10分）(1)，（2分） (2)是的2倍，是的4倍，理由： ，， ，， 是的2倍，是的4倍；（6分） （3）解：∵，， ∴， 当点P在点A左边时，； 当点P在点A右边时，； 综上所述，线段的长为或．（10分） 21．（12分） 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为；（2分） （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟；（7分） ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．（12分） 22．（12分）(1)①；；（2分）②；；（6分） (2)当与没有重合部分时，结论依然成立；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 、．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：．（3分） （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：．（7分） （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第4章 几何图形初步·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题4分）毛主席在《七律·长征》中写道“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒”，铭记了红军飞夺泸定桥的壮烈史诗．大渡河自古为天堑，水流湍急、两岸高崖对峙，泸定桥以两岸山崖为固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道．这一设计，用所学数学知识解释恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】B 【详解】解：由题意得，泸定桥以两岸山崖为两个固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道， 这一设计符合“两点确定一条直线”的数学基本事实， 故选B． 2．（本题4分）下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱；⑦球体． 属于棱柱的有：①③⑥． 故选：C． 3．（本题4分）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 4．（本题4分）如图，小嘉站在点，小淇站在点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东方向上，则我位于你的什么方向上（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【详解】解：如图，小淇位于小嘉的北偏东方向上， 则小嘉位于小淇的南偏西方向上， 故选：A． 5．（本题4分）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 6．（本题4分）已知线段，点C是的三等分点，点M是的中点，则的长为（   ） A．或 B． 或 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，点C是的三等分点， ∴情况一：， ∵M是的中点， ∴； 情况二：， ∵M是的中点， ∴； 因此的长为或， 故选：B． 7．（本题4分）下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 8．（本题4分）如图，点C，O，B在同一条直线上，，，下列结论：①；②；③；④互余的角有4对．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴，即，故①正确； ∴，故②错误， ∴互余的角有与、与、与、与，共4对，故④正确； ∴，故③正确； ∴①③④都正确，即正确的有3个． 9．（本题4分）如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】解：如图，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为18， 故选：C． 10．（本题4分）如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 【答案】D 【详解】解：A、∵，， ∴， ∵点，运动了，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动， ∴，， ∴，， ∴不符合题意，故此选项错误； B、∵点，运动了， ∴，， ∴，， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； C、由，的运动速度可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； D、①如图所示，当点在线段上时， ∵，由C选项可知：， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴， ∴， 综上可知，或， ∴符合题意，故此选项正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 【答案】圆锥 【详解】解：球有曲面但无顶点，三棱锥有顶点但无曲面，圆柱有曲面但无顶点，圆锥既有曲面（侧面）又有顶点， ∴该几何体模型可能是圆锥． 故答案为：圆锥． 12．（本题5分）已知，将这三个角按照从小到大的顺序排列为________． 【答案】 【详解】解：； ； 。 ∵， ∴ 【点睛】本题考查了角的度、分、秒之间的换算，掌握度、分、秒之间的进制为，将不同单位的角统一单位后再比较大小是解题的关键． 13．（本题5分）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 14．（本题5分）如图所示，点C、D在线段上，且将从左至右依次分成三部分，点M为的中点，厘米，则的长为______厘米． 【答案】/ 【详解】解：设厘米，则厘米，厘米， ∴厘米，， ∵点M为的中点，厘米， ∴（厘米），， ∴， 解得， ∴厘米． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分 15．（本题8分）如图所示，已知，，求作一个角，使它等于．（要求：尺规作图，可以在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，即为所求作的角． 【详解】略 16．（本题8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（本题8分）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)射线与互相垂直，理由见解析 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直． 18．（本题8分）（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 【答案】（1）6，10，；（2），11；（3）①20，8；②九江队小组赛胜了4场． 【详解】解：（1）通过规律探究可知： 平面上有4个点时，一共可画直线的条数为（条）， 平面上有5个点时，一共可画直线的条数为（条）， ， 平面上有n个点时，一共可画直线的条数为； （2）两两握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的， n位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握次手， ，解得：或（舍去）， 所以若共握了55次手，则有11人参加了此次握手活动； （3）①北区有5支球队，实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛），把每支球队看作一个点，由（1）中规律可知：单循环赛制有（场）比赛，因为是双循环赛制，所以共有20场比赛；九江队要和北区除自己之外的4支球队比赛，每两支球队之间进行主、客场两场比赛，所以九江队进行的小组赛场数为（场）比赛； ②设九江队在北区小组赛中获胜的场数为x场， 依题意可得：， 解得， 所以九江队在北区小组赛中获胜了4场． 19．（本题10分）如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是定值，理由如下： ， 设， 则， ． 【详解】（1）解：将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，， ，， 则 （2）解：，， ， ； （3）略 20．（本题10分）如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)是的2倍，是的4倍，理由： ，， ，， 是的2倍，是的4倍； (3)或 【详解】（1）解：，， ，点是线段的中点， ， 是线段的三等分点； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 当点P在点A左边时，； 当点P在点A右边时，； 综上所述，线段的长为或． 21．（本题12分）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 22．（本题12分）综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；；②；； (2)当与没有重合部分时，结论依然成立；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 、． 【详解】（1）解：①由图可得，，； ②， ， ， ； （2）略 23．（本题14分）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $