第3章 锐角三角函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材青岛版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章锐角三角函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 1.(本题3分)-sin30°的绝对值是() 1 3 2 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】B 1 【详解】解： -sin30°= 2的绝对值是2 故选：B 2.(本题3分)已知tan1=3,则cosA=() 35 2W5 33 213 A.5 B.5 C.13 D.13 【答案】C 【弹解1数图前示，依超短意建立直角三角形C:共中∠C=0.m4号 4=ac+ac-cac-c 1/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC313 cosA= AC AB V13 13 AC 3 故选：C 3.(本题3分)如图，在R△ABC中，AB=3,BC=2,在用教材上的科学计算器求∠A的度数时，下列 操作正确的是() 2 A simO2)÷3))DO B 2ndF sin (2)÷○3))D (2ndF c○23)) D 2ndF anO2)3) = 【答案】B 【详解】解：∠C=90°，BC=2,AB=3, .sin 4= BC 2 AB3· .用科学计算器上反正弦按键求∠A的度数时，按键顺序为 2ndF sin) 2 ÷ 3)=○ 故选：B -tan45°+sin60° 4.(本题3分)2 的值等于() 2127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 6+3 √6+1 A.3 B.2 C.2 D.2 【答案】A -tan45°+sin60° 【详解】解：2 2 1⑤ 2 5+5 22 -5 5.(本题3分)如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长AB=30cm,∠ABC=40° 则铜眼形器的长BD等于() A.30c0s20° B.60c0s40° C.60sin20° D.60cos20° 【答案】D 【详解】解：连接AC交BD于点O, ,菱形ABCD中AC⊥BD, ZAB0∠ABC=20.BD=2B0,∠0B=909 ,COs∠ABO= BO AB' ∴.B0=AB cos∠AB0=30cos20° .BD=2BO=60cos20° B C 3127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(本题3分)规定： sin(-x)=-sinx cos(-x)=cosx cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny sin(x+y)=sinxcosy+cos xsiny.给出以下四个结论：①" in(-45)=-V2 2:②sin20=2sin0cos0；③ cos(a-B)=cosacosB+simnasinBcs75-v6-2 4·其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：①由规定 in(-x)=-sinx 可得咖(45)=-sim45°=- 2,故①正确： sin 20=sin(0+0) ② 根据sin(x+y月=sincy+cos xsin y 可得sin(0+0)=sin6cos0+cos0sn0=2sin8cos ,故②正确： ③ cos(a-B)=cos[a+(-B) 根据os(K+)=os.xoosy-si血xsiny,以及os(-)=osx,sm(←d)-smx, cosa+(-B)=cosacos(-B)-sinasin(-B)=cosa cos B-sina(-sin B)=cosa cos B+sinasin B 可得： 故③正确； c0s75°=c0s(45°+30) cos(x+y)=cosxcosy-sin xsiny 根据 4/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入得： cos(45°+30）=c0s45°c0s30°-si450sin30°=V2x5_V2x1-V6-V2 2222 4,故④正确： 综上，四个结论都正确，正确结论个数为4」 7.(本题3分)如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A,北偏东35的方向上有一棵大树B,已知 凉亭A在大树B的正西方向，若BC=100米，则A、B两点相距()米. 45o359 A 100(cos35°+sin35) B 100(cos35°-sin35） 100 100 (100 100 C (sin35° C0s35 D ,（sin35 cos35 【答案】A 【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于D, D 45 北 点在点的正东方向， →东B A ∴.∠ACD=45°，∠DCB=35° 在RtABCD中，BC=1O0米， ∴DB=BCsin35°=100·sin35°（米），CD=BCcos35°=100cos35°（米）， 在RtAACD中，AD=CD, ∴.AB=AD+DB=100(cos35°+sin35) 米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直 角三角形中是解题的关键. 5127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(本题3分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若CE=2BC,则 tan∠AFC的值为() B 1 5 2W5 A.2 B.2 c. D.5 【答案】B 【详解】解：连接AC,如图： G E 设BC=a, ,四边形ABCD和CEFG是正方形，CE=2BC, AB=BC=CD=DA=a,CE=EF=FG=GC=2a,∠B=∠E=90°， AC-A+BC2-a CF=CR+EF=22a :AC、CF分别是正方形ABCD、CEFG的对角线， ∠ACD=45°，∠GCF=45°， .∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°， LanLAFC=AC=a 1 .在Rt△ACF中， CF 22a 2. 9.(本题3分)若锐角三角函数tan55°=a,则a的范围是() A.0<a<1 B.1<a<2 C.2<a<3 D.3<a<4 【答案】B 【详解】分析：首先明确tam45=1,amn60°-V5 再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析解答即可」 6127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 详解： :'ta45=1,tam60r-V3 l<an550<V3 .1<tan55°<2. 故选B 点睛：本题考查了锐角三角函数的增减性，利用特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解决这类 题目的基本思路 10.(本题3分)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点D在边AB上，CA=CD,AD=2,BD=6,则 BC=() A B A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】C 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E, CA=CD.AD=2.BD=6. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，点E是AD的中点， :EA-ED=14D=1. ∴.BE=BD+DE=6+1=7 在RtABCE中， ,∠ABC=60°， .∠BCE=90°-60°=30°. 7127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=)BC=7, .BC=14 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 1Ⅱ.（本题3分）若a为锐角，且sina=3m+1 4,则m的取值范围是 【答案】3<m< 【详解】解：，a为锐角， ..0<sina <1, 0<3m+1<1 4 1 解得：3<m<1, 1 故答案为：3 <m<1 12.(本题3分)眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑.如图， 某校学生测量其高度AB(含底座)，先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为32°，再由点C走8米 到点B处，测得其坛顶端A的仰角为45°.已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度CD=EF=1.5 米.则天下第一菹坛的高AB为 (参考数据： sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，结果保留整数) A 【答案】15米/15m 【详解】解：过点F作FG⊥AB于点G, B 8127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意可知，CD⊥BC,EF⊥BC, .CD=EF. ∴四边形CDFE,四边形BEFG和四边形BCDG是矩形， ∴DF=CE=8米，BG=EF=CD=1.5米，∠GFE=∠DFE=90° ∴.∠GFE+∠DFE=180° .F,G,D三点共线， 在Rt△AGF中， ∠AGF=90°，∠AFG=45 AG=FG, 在Ra4GD巾，：∠ADF=329DG=FG+DF=Gr+8,am∠ADG= DG .tan32°= AG FG+8 即0.63= AG AG+8,解得AG≈13.6（米） BG=CD=1.5米 .AB=AG+GB=13.6+1.5≈15（米） 即天下第一菹坛的高AB为15米， § 13.(本题3分)在△ABC中，∠A,∠B为锐角，sinA=2,tanB=3,则△ABC的形状为 【答案】等腰三角形 【详解】在△ABC中，∠A,∠B为锐角， 如4方如8= 3, ∴.∠A=30°，∠B=30° .∠A=∠B,∠C=180°-∠A-∠B=120° ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 9127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、等腰三角形的判定，熟记特殊角的三角函数值是解题关键 14.(本题3分)如图，在等边△ABC中，AB=4,AD是中线，E是AD的中点，点P是AC上一动点， 则BP-EP的最小值是 【答案】 【详解】解：如图，连接BE并延长交AC于点P,此时BP-EP取得最小值为BE, 在等边△ABC中，：AD是中线， .BD=DC-2 4D=tan60.BD=3x2=2 则DE=号4D=5 ∴在RIABDE中，BE=VBD2+DE2=V22+5=N万 万 故答案为： 15.(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，△01B三个顶点的坐标分别为O(0,0）,A25,0) B(V5,,AOMB与AOCB关于直线OB对称，反比例函数y x（k>0,x>0)的图象经过BC的中点D, 则k的值为 10/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 0 A 【答案】 2v3 【详解】解：如图，过点B作BD⊥x轴， B 0 A00,0)425,0B5,) .BH =1 OH=3 AH=OH=v5,a∠BOA=B距-3 OH 3 :OB=AB=VOH+BH=2∠B0A=∠BA0=30°， ∴.∠OBH=∠ABH=60°，∠OBA=120°， ·aOAB与△OCB关于直线OB对称， ∴∠OBC=120°，CB=AB=2, ∴.∠OBC+∠OBH=180°， .C,B,H三点共线， CD=BD .BD=1, .DH=2, .D(V5,2) 11/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将其代入y=x,得：k=25, 2√5 故答案为： 16.(本题3分)如图，四边形ABCD是菱形，∠D=120°，点M是AD边的中点，N是对角线AC上一 AN 点，且∠DMN=45°，则NC的值是 D M B 2+3,V3+2 【答案】 【详解】解：如图，连接BD交AC于O,连接OM,作ME⊥AC于E, D M B :四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°， AC=2AO,AC⊥BD,∠AD0=60°， ∠DA0=90°-∠AD0=30°， ,点M是AD边的中点， .OM AM, .∠MOA=∠MAO=30°， ,ME⊥AC,AO=2EO, .ME-IOM 2 :B0=OM2-ME=3 OM 2 12/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :40=3oM :4C=2V30M .∠DMN=45°，∠DMN=∠MAN+∠MNA, ∠MNA=15°， :∠MOA=∠MNO+∠NMO=-30°， ∴.∠MN0=∠NM0=15°， ..ON =OM, .AC=230N :4W=40+oN=5ON+0N-(5+oN,CW=AC-AN=230N-(3+1oN=(5-)oN AN 3+1)ON ∴CwN(3-)ow =2+V3 2+V3 故答案为： 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本题8分)求下列各式的值： 1)sin30+sin245-tan260°， 3 (2)V(4sin30°-tan60)(tan60°+4cos60) 【答案】(1)0 (2)1 【详解】(1)解：sin30°+sin245°-号tan260 3 13/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0: (2)解： V(4sin30°-tan60)(tan60°+4cos60 =V(2-V3)2+V3) =√4-3 =vi =1. 18.(本题8分)已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=2L,AD=8, sinB=4 5· B D (1)求线段DC的长： (2)计算tan∠EDC的值. 【答案】(1)15 o8 【详解】(I)解：：AD是BC边上的高， :.△ABD和△ACD是直角三角形， 在RtABD中，sinB=4D=4 AB5·AD=8: .AB=10 :BD=AB2-AD2=6 又BC=21, ..CD=BC-BD=15: 14/27 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：在RtAACD中，：E为斜边AC的中点， ED=EC=AC ∴.∠C=∠EDC, tam∠EDC=tamn∠C=D-& DC15· 19.(本题10分)小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩 可以利用所学的知识进行估算.估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线 段)的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数.小明帮甲、乙两位同学测量相关数 据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务. 动作图片 任务和示意图 相关条件 AB=58cm (1)计算甲同学的成绩（线段AE的长 BC=40cm 度) B E A CD=78cm 甲 d D ∠ABC=150°， 图1 ∠BCD=30°， ED⊥CD AB=61cm BC=41cm (2)计算乙同学的成绩（线段AE的长 度) CD=78.5cm B A ∠ABC=122° D 图2 ∠BCD=45 ED⊥CD 15/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE⊥ED (结果精确到0.01cm,参考数据：sin77°≈0.974，cos77°≈0.225，tan77°≈4.331；√2≈1.414， 5≈1.732 (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【答案】(1)甲同学的成绩是14.64cm (②)乙同学的成绩是9.90cm 【详解】(1)解：如图，过点B作BP⊥CD,垂足为点P,则∠BPC=∠BPD=90°， B E A ◇ P 在Ri△BPC中，cosC=cs30°=C2 BC,BC=40 :CP=BCc0830°=40×5-20N5=20x1.732≈34.640 2 ∠ABC=150°，∠BCD=30°. .∠ABC+∠BCD=180°， AB∥CD .∠PBE=180°-∠BPD=90° 又：ED⊥CD,即∠PDE=90°， .四边形BPDE是矩形， :BE =DP, 16127 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=AB-BE =AB-PD =AB-(CD-CP) =AB+CP-CD =58+34.640-78 =14.640 =14.64(cm) 答：甲同学的成绩是14.64cm (2)解：如图，过点B作BM⊥CD,垂足为点M,交AE的延长线于点N, B D M 在Rt△BMC中，∠BMC=90°， cosC=cos45°=CM BC BC=41' :CM=BCcos45°=41x5_41W5、41x1414-28.987 22 2 又：ED⊥CD,AE⊥ED则∠EDM=∠DEN=∠NMD=90°， ∴四边形NMDE是矩形，则NE=MD,∠ANB=90°. 在Rt△BMC中，∠C=45°，则∠CBM=45° 又：∠ABC=122°. ∴.∠ABN=∠ABC-∠CBM=77° 在Rt△ANB中，∠ANB=90°， sin∠ABW=sin77°=AW AB AB=61 ∴.AN=ABsin77°=61×0.974=59.414， .AE=CM+AN-CD=28.987+59.414-78.5=9.901≈9.90(cm) 答：乙同学的成绩是9.90cm, 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，以及三角函数的定义，将不规则图形分割成规则图形是解题 17/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的关键 20.(本题10分)如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE,将△ABE沿着BE翻折得到 △ABE,延长BA交CD于点F. E 图1 图2 (I)如图1，求证：A'F=DF: (②)如图2，若AB=BC,连接EC,请直接写出图中的余弦值为5的角. 【答案】(1) 证明：如图，连接EF, E 必 翻折而成， :△BAE△BAE ∴，∠A=∠EAB=90°，AE=EA', :E是AD的中点， :AE =EA'=DE, 在Rt△EA'F和RtAEDF中 (EF=EF EA'=ED, ∴.RtAEA'F≌Rt△EDF(HL) ∴.DF=AF (2)∠BFC 【详解】(1)略 (2)解：∠BFC,理由如下： 18/27 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接EF, .AB=BC, ∴矩形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=AD=CD, 由(1)同理可得：DF=AF, 4 E 设AE=DE=x,DF=AF=a, 则AB=BC=AD=CD=2x, ..CF CD-DF=2x-a, ·RtAEA'F≌Rt EDF, ∴.∠DEF=∠A'EF, :△BAE由△BAE翻折而成， ∴∠AEB=∠AEB, .2∠AEB+2∠FED=180°， ∴.∠AEB+∠FED=90° ∠AEB+∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠FED ∴.tan∠ABE=tan∠FED AE DF 1 ABDE2· :.DF=IDE=Ix=a 2 2 2,8C=2x 3 ∴.CF=2x-a= BF=CF2+BC2= 2， 19/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x ∴cos∠BFC=CF=2-3 2 3 :余弦值为5的角是∠BFC. 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质，正方形的判定与 性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质 21.(本题10分)如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，DE=2CE,连接AC,AE.将△ABC绕 点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D,B',C分别是点A,B,C的对应点. B E D (1)点C”在线段 上.（填“AC”AE”或“AD”) (2)若AD=4,求AC的长. (3)若点B'在边AD上，求tan∠BAC的值. 【答案】(I)AE (2)1C=V10 6时 【详解】(I)解：将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D是点A的对应点，则 ∠AED=90°， ∴.∠AEC=90° :C是点C的对应点， “点C在线段AE上. (2)解：由旋转可知，AE=DE,∠AED=90° 20/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2=42, ..AE DE=22 .DE=2CE. .CE=2 :在Ra4BC中，AC2=AE2+CE2=(22°+(2=10， :AC=0 (负值已舍去). (3)解：如图，过点C'作CF⊥AD于点F. 设CE=x,则AE=DE=2x,CE=x, ..AC'=x. :∠AED=90°， .∠EAD=∠EDA=45° 在Rt△C"FA中， CF=4C.im∠EAD=2x 2 在R△CED中，CD=VCE+DE=V5x 在RtAC'FD中， m-m-不. 2 ian☑B'DC'=CT_ 2 1 DF 3 2 由旋转可知，∠BAC=∠B'DC', &tam☑BAC=3 1 21/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 22.(本题12分)如图，△ABC中，∠B=90°，AM平分∠BAC,O是AC上一点，经过点A、点M的 ⊙O分别交AB,AC于点E、点F. B M (I)求证：BC是OO的切线： 3 (2)若CF=4,simC=7,求4E的长. 【答案】(1)证明：如图1，连接OM,则OA=OM, B M 图1 .∠OMA=∠OAM, :AM是∠BAC的平分线， ∴.∠BAM=∠OAM ∴.∠OMA=∠BAM, .OM∥AB, ∠B=90°， ∴.∠OMC=∠B=90°， 22/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,半径OM⊥BC, ∴.BC是⊙O的切线： (2)AE=18 7 【详解】(1)略 (2)解：如图2，连接OM,EF, 0 由)知∠0MC=0r在RIAOMC中，smC-O-3 =00=7, 设OM=OF=3a,则OC=7a, :CF=4, ∴.CF=0C-0F=4a=4, 解得：a=1, .OF=3,AF=2OF=6, :AF为圆的直径， .∠AEF=90°， .∠B=∠AEF=90°， EF∥BC, ∴∠AFE=∠C, sin∠AFE=sinC=3 sin∠AFE=AE_3 AF 7 8 F=7 23.(本题14分)操作与思考 在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，连接CD,DE,将△DBE沿直线DE翻折得△DEF,DF交 23/27 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC于点G,点G是DF中点，∠BEF=90°： B D D (1) (2) (3) (1)如图0，∠4CB=90,点D与点4重合，求证：4C=BE。 BD (2)如图(2)，∠4CB=45,CD=BD:求AB值. 迁移与应用 如图B),四边形ABCD中，AB∥CD,BC1CD,点5是CD中点，连接，将△DE沿直线E翻折 得△AEF,连接CF,若AE=DE,BC=nAB,直接用含n的代数式表示cos∠DCF的值. 【答案】(I)证明：由翻折可知：△ABE≌△AFE, .BE=EF, G是AF中点， ..AG=FG. ∠BEF=90°， ∠GEF=∠ACB=90°， 点G是AF中点， ..FG=FG ∠GEF=∠ACB ∠FGE=∠AGC 在 和 中 ACG"AFEG FG=AG ∴.△ACG≌△FEG. :AC=EF, AC=BE: (2) 24/27 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)4: n2-1 迁移与应用： n2+1 【详解O略 (2)解：如图O所示，过D作DM1BC于M,DN1C交BC于N. D E GM (1) 由(I)可知：△DBE≌ADFE,△FEG≌ADMG, ∴∠DEB=∠DEF, 又：∠BEF=∠FEG=90°， ∴.∠DEB+∠DEF=360°-90°=270°. ∠DEB=∠DEF=x270°=135°， 2 .∠DEG=∠DEF-∠FGE=135°-90°=45° .∠DEC=45°，BE=EF=DM=EM, .DN I AC ∠DNE=∠ACB=45° .∠DNE=∠DEN=45°. ∴.∠EDN=90° ∴.EM=MN=DM, ∴BN=3BE,∠DEB=∠DNC=135° :CD=BD」 ∴.∠DCN=∠DBE 25127 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DB=DC ∠DBE=∠DCN 在 和 ADNC ADEB BE=CN ∴△DNC≌aDEB, ..BE=NC, ∴.BN=3NC, ..BC=4NC. :DN‖AC ..ABDNABAC. BD BN 3 .ABBC4· n2-1 迁移与应用：+1' 理由如下： 如图2②所示，连接4C,DF,延长4交DF手G,过4作m1CD于H。 ∠AHC=90°， .·BC⊥CD ∴.∠BCD=90 又：ABIICD .∠B+∠BCD=180°， .∠B=90° ∴四边形AHCB是矩形， 设AB=HC=a,AH=BC=na, 根据折叠的性质可得：AE=DE=EF, 又：点E是CD中点， ∴.AE=DE=EF=EC ∴点A、D、F、C在以DC为直径的圆上， ∴.∠DAC=∠DFC=90° ∴∠DAH+∠CAH=90°，∠DAH+∠ADH=90° ∴.∠ADH=∠CAH 26/27 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ADHACAH, AH CH DH AH DM(a CH a2 Dc=(m+a,H=Dc-a=。 2, 根据折叠的性质可知∠DGE=∠FGE=90°， ∠DGE=∠AHE 在 花 ∠DEG=∠AEH DGE△AHE DE=AE .∴ADGE2AAHE, EG=EH=-1 , AG⊥DF于G, AGIICF, .△DEG∽ADCF DE EG 1 ·DCCF2 .CF=2EG=n2-1 cos∠DCF=CF-n2-l DC n2+1 B (2) 27127可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章锐角三角函数·培优冲刺（参考答案) 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) 2 3 4 5 7 8 10 B C B D D A B B 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.) 1 11.-3<m<1 12.15米/15m 13.等腰三角形 14.v分 15.25 16.2+3,N3+2 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 【详解】(4)解：sin30°+sin245°-tan260 图 =0:(4分) (2)解： V(4sin30°-tan60)(tan60°+4cos60°） 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45+4 =V(2-V3)2+V3) =4-3 = =1.(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：：AD是BC边上的高， .:△ABD和△ACD是直角三角形， 在RUSABD中，~sinB=D_4 AB=5,AD=8, .AB=10, ..BD=AB2-AD2=6 又BC=21, CD=BC-BD=15:(4分) (2)解：在RtAACD中，：E为斜边AC的中点， :.ED=EC=LAC 2 ∴.∠C=∠EDC, stan∠EDC=tan∠C=AD-& DC15,(8分) 19.(10分) 【详解】(1)解：如图，过点B作BP⊥CD,垂足为点P,则∠BPC=∠BPD=90°， B EA D 在Rt△BPC中，cosC=cos30°=C BCBC=40 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CP=BCcos30°=40x5 =203=20×1.732≈34.640 ∠ABC=150°，∠BCD=30°， ∴.∠ABC+∠BCD=180° .AB∥CD .∠PBE=180°-∠BPD=90° 又ED⊥CD,即∠PDE=90°， ∴四边形BPDE是矩形， .BE=DP, .AE=AB-BE =AB-PD =AB-(CD-CP) =AB+CP-CD =58+34.640-78 =14.640 =14.64(cm) 答：甲同学的成绩是14.64cm.(5分) (2)解：如图，过点B作BM⊥CD,垂足为点M,交AE的延长线于点N, B D 在Rt△BMC中，∠BMC=90°， cosC=cos45=CM ,BC=41 :CM=BCcos45°=41xY2_41WN5≈41x1.414=28.987 22 2 又'：ED⊥CD,AE⊥ED则∠EDM=∠DEN=∠NMD=90°， ∴四边形NMDE是矩形，则NE=MD,∠ANB=90°」 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BMC中，∠C=45°，则∠CBM=45°， 又：∠ABC=122° .∴∠ABN=∠ABC-∠CBM=77° 在Rt△ANB中，∠AWB=90°， sin∠ABW=sin77=AW AB’AB=61: .AN=ABsin77°=61×0.974=59.414」 .AE=CM+AN-CD=28.987+59.414-78.5=9.901≈9.90(cm) 答：乙同学的成绩是9.90cm.(10分) 20.(10分)(1) 证明：如图，连接EF, D 由 翻折而成， C :△BAE △BAE ∠A=∠EAB=90°，AE=EA, :E是AD的中点， ∴AE=EA'=DE,(4分) 在Rt△EAF和RtAEDF中 EF=EF EA'=ED ∴.RtAEA'F≌RtAEDF(HL) .DF=AF.(8分) (2)∠BFC(10分) 21.(10分)(1)AE(1分) (2)解：由旋转可知，AE=DE,∠AED=90°. 在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2=42, 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AE DE=22 DE =2CE. .CE=2 ÷在Rt△4BC中，AC2=AE2+CE2=(22+(N2'=10, ..AC=10 (负值已舍去)，(5分) (3)解：如图，过点C作CF⊥AD于点F. 设CE=x,则AE=DE=2x,CE=x, ..AC"=x. ∠AED=90°， ∴.∠EAD=∠EDA=45° 在Rt△C"FA中， CF=AC'.sinLEAD= 在RtAC'ED中，C'D=VC'E2+DE=V5x 在RtaC'FD中， DF=VCD2-CR32 2 岭 tan∠BDC'=C'F_ 2x1 3。 -x 2 由旋转可知，∠BAC=∠B'DC', tan∠BAC=I 3· 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B B (10分) 22.(12分)(1)证明：如图1，连接OM,则OA=OM, E ◇ M 图1 ∴.∠OMA=∠OAM, AM是∠BAC的平分线， ∴.∠BAM=∠OAM .∠OMA=∠BAM, .OM∥AB :∠B=90°， .∴.∠OMC=∠B=90° .半径OM⊥BC, ∴.BC是⊙O的切线；(5分) (2)解：如图2，连接OM,EF, A M 由（知∠0MC=90,在RIAOMC中，smC-OC-3 0C7, 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设OM=OF=3a,则OC-7a, CF=4, ∴.CF=0C-0F=4a=4, 解得：a=1, ∴.OF=3,AF=2OF=6. AF为圆的直径， .∠AEF=90°， ∠B=∠AEF=90°， .EF∥BC, .∠AFE=∠C, sin∠AFE=sinC=3 ∴.sin∠AFE= AE 3 AF=7 AE=34证=1.12分》 23.(14分)(1)证明：由翻折可知：△ABE2△AFE, .BE=EF, G是AF中点， ..AG=FG. ∠BEF=90°， .∠GEF=∠ACB=90°， 点G是AF中点， ∴.FG=FG 「∠GEF=∠ACB ∠FGE=∠AGC 在 和 △ACG AFEG FG=AG .△ACG≌△FEG, .AC=EF, :AC=BE; (3分) 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图O所示，过D作DM1BC于M,DN4C交BC于N, A D B GM (1) 由(I)可知：△DBE≌aDFE,△FEG≌aDMG】 ∴.∠DEB=∠DEF, 又：∠BEF=∠FEG=90°， .∠DEB+∠DEF=360°-90°=270°」 :∠DEB=∠DEF=x270°=135°， ∴.∠DEG=∠DEF-∠FGE=135°-90°=45°. .∠DEC=45°，BE=EF=DM=EM, :DNI‖lAC .∠DNE=∠ACB=45°， .∠DNE=∠DEN=45°. .∠EDN=90° ∴.EM=MN=DM, ∴.BN=3BE,∠DEB=∠DNC=135°， CD=BD. .∠DCN=∠DBE, DB=DC ∠DBE=∠DCN 在 和 中 ADNC ADEB BE=CN .ADNC≌ADEB. :.BE=NC, :BN=3NC, ..BC=4NC, 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·DN II AC .△BDNW∽△BAC, BD BN 3 AB BC4, (8分) n2-1 迁移与应用：+1' 理由如下： 如图2②)所示，连接AC,DF,延长B交DF于G,过A作AH1CD于H, ∴.∠AHC=90°. :BC⊥CD, .∠BCD=90° 又：ABIICD, .∠B+∠BCD=180°， .∠B=90°， 四边形AHCB是矩形， 设AB=HC=a,AH=BC=na, 根据折叠的性质可得：AE=DE=EF, 又：点E是CD中点， .AE=DE=EF=EC, 点A、D、F、C在以DC为直径的圆上， .∠DAC=∠DFC=90°， :∠DAH+∠CAH=90°，∠DAH+∠ADH=90°， .∠ADH=∠CAH, ∴.△ADH∽ACAH, AHCH DH AH DAH2_（na)=n2 CH a2 :.DC=(+)a.EM-DC-a-"-a 2 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据折叠的性质可知∠DGE=∠FGE=90°， ∠DGE=∠AHE ∠DEG=∠AEH 和 ADGE△AHE DE=AE .∴ADGE≌AAHE, EG=EH --1 2, AG⊥DF于G, ..AGII CF ∴.△DEG∽ADCF DE EG 1 ·DCCF2 .CF=2EG=n2-1 cos∠DCF=CF-n2-1 DC n2+1' E (14分) (2) 10/10 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章 锐角三角函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）的值等于（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（本题3分）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（　　） A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4 10．（本题3分）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）若为锐角，且，则的取值范围是______． 12．（本题3分）眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 13．（本题3分）在中，∠A，∠B为锐角，sin A =，tan B =，则的形状为_______ 14．（本题3分）如图，在等边中，，是中线，E是的中点，点P是上一动点，则的最小值是________． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为_________．    16．（本题3分）如图，四边形是菱形，，点是边的中点，是对角线上一点，且，则的值是______． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 19．（本题10分）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 20．（本题10分）如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，延长交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，若，连接，请直接写出图中的余弦值为的角． 21．（本题10分）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 22．（本题12分）如图，中，，平分，是上一点，经过点、点的分别交，于点、点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（本题14分）操作与思考 在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，； （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，，，求值． 迁移与应用 如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章 锐角三角函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）的值等于（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（本题3分）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（　　） A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4 10．（本题3分）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）若为锐角，且，则的取值范围是______． 12．（本题3分）眉山东坡泡菜文化广场上坐落着“天下第一菹坛”，它是中国泡菜城标志性雕塑．如图，某校学生测量其高度（含底座），先在点C处用测角仪测得其坛顶端A的仰角为，再由点C走8米到点E处，测得其坛顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米．则天下第一菹坛的高为_______________．（参考数据：，结果保留整数） 13．（本题3分）在中，∠A，∠B为锐角，sin A =，tan B =，则的形状为_______ 14．（本题3分）如图，在等边中，，是中线，E是的中点，点P是上一动点，则的最小值是________． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为_________．    16．（本题3分）如图，四边形是菱形，，点是边的中点，是对角线上一点，且，则的值是______． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 19．（本题10分）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 20．（本题10分）如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，延长交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，若，连接，请直接写出图中的余弦值为的角． 21．（本题10分）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． (1)点在线段__________上．（填“””或“”） (2)若，求的长． (3)若点在边上，求的值． 22．（本题12分）如图，中，，平分，是上一点，经过点、点的分别交，于点、点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（本题14分）操作与思考 在中，点在上，点在上，连接，，将沿直线翻折得，交于点，点是中点，； （1）如图，，点与点重合，求证：； （2）如图，，，求值． 迁移与应用 如图，四边形中，，，点是中点，连接，将沿直线翻折得，连接，若，，直接用含的代数式表示的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $