第三章锐角三角函数单元测试 2026-2027学年青岛版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦锐角三角函数，以光伏支架、自行车结构等现实情境和几何综合题为载体，覆盖定义、计算及应用，适配九年级上册第三章单元复习，强化数学眼光、思维与语言的核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|三角函数定义、计算器使用、坡度比较|基础巩固，如坡角陡缓判断| |填空题|8题32分|特殊角计算、网格图三角函数、菱形综合|能力提升，如正方形拼图中三角函数值求解| |解答题|86分|光伏支架高度、实验装置距离、作图与计算|创新应用，结合科技情境考查数学建模与推理能力|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—锐角三角函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：青岛版2024九年级上册第三章—锐角三角函数 一、选择题（共32分） 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知两个山坡的坡角分别为，且，则（   ） A．无法确定哪个山坡陡 B．山坡比山坡陡 C．两个山坡一样陡 D．山坡比山坡陡 4．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 7．如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点E，若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 二、填空题（32分） 9．计算：______． 10．在中，，，，则的长为______． 11．北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行65米，求他下降的高度是______米． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点，则的值是_______． 13．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____． 14．如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是__________． 15．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，连结并两端延长，交于点，交于点．若，，则_______． 16．如图，已知四边形，连接对角线、，过点D作于点E，，，则下列结论：①平分；②；③若，，则；④若，则；其中正确的是______（填正确结论的序号）． 三、解答题（86分） 17．计算：． 18．在中，，，，求的长和的度数． 19．为提高土地利用率，新的光伏搭建形式可以把光伏从地面搬到高空，如图是字型的光伏支架，支架侧面如图所示，，分别是，的中点，，为支架在水平地面的支点．已知，，，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 20．已知：如图，平分，于点D． (1)尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹） (2)在上题条件下已知，，求的长． 21．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图，是某同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且垂直，平行（点C，D，，在同一条直线上）．经测量得，铁架台与水槽之间的水平距离，，时，请求出铁夹子E点距离水平面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，） 22．我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和（碳达峰与碳中和简称“双碳”），“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式．自行车是低碳出行的常见代步工具，图1是一辆自行车的实物图，图2是这辆自行车的部分结构的几何示意图，其中车架档，，，车架档，，车架档，前轴轴心E，中轴轴心A，后轴轴心B在同一直线上，求前、后轴轴心的距离（结果精确到参考数据：，，，） 23． 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权，侵权必究！ 2026-2027学年九上单元测试—锐角三角函数 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：青岛版2024九年级上册第三章—锐角三角函数 一、选择题（共32分） 1．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 2．在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查计算器求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 【详解】解：在中，， ∴，即 故选：B. 3．已知两个山坡的坡角分别为，且，则（   ） A．无法确定哪个山坡陡 B．山坡比山坡陡 C．两个山坡一样陡 D．山坡比山坡陡 【答案】B 【分析】本题考查坡角与正弦函数的关系，掌握到之间，正弦值越大，对应的角越大，山坡越陡是解题的关键． 根据坡角的正弦值大小判断坡角的大小，坡角越大，山坡越陡． 【详解】解：，且正弦函数在到之间单调递增， ，即山坡的坡角更大，山坡比山坡陡． 故选：B． 4．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作交的延长线于，求出是等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，， ∴， 故选：C． 7．如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点E，若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，轴对称的性质． 由四边形是平行四边形，可得，，再由将沿所在直线折叠得到，继而可证，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，将沿所在直线折叠得到，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故B错误，C正确． ∵，， ∴， ∴， ∴，故A 错误， 由条件无法求出的度数，故D错误． 故选：C． 8．如图，在中，，点，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】过点作于点，证明四边形是矩形，求出，再证明与是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合正切定义求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 由折叠知， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，矩形性质和判定，正切定义，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 二、填空题（32分） 9．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．先求出特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．在中，，，，则的长为______． 【答案】9 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 11．北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行65米，求他下降的高度是______米． 【答案】25 【分析】本题考查了坡度，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据坡度定义，设下降的高度为米，则水平距离为米，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为米， ∵坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得（舍去负值）， 故答案为：25． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点，则的值是_______． 【答案】 【分析】考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键． 【详解】解：如图：作PC⊥y轴于点C， tanα==， 故答案为： 13．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．先利用格点和勾股定理计算、、，再判断的形状，最后求出． 【详解】解：连接、， 则， ， ， ， 是直角三角形． ， 故答案为：． 14．如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题可先根据菱形的性质设出边长，再结合已知条件得出线段长度，最后利用三角函数的定义求解的值．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ， 故答案为：． 15．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，连结并两端延长，交于点，交于点．若，，则_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正切的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据题意可知，，再利用锐角三角形函数得到，最后根据勾股定理可得． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：， 16．如图，已知四边形，连接对角线、，过点D作于点E，，，则下列结论：①平分；②；③若，，则；④若，则；其中正确的是______（填正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】先过点D作的延长线于一点，运用四边形内角和以及邻补角互补的性质，证明，得，则平分，结合全等三角形的判定与性质得，故，所以，即，再证明，则，设，根据线段的关系，得，即，根据角的关系，整理得，再结合，故，运用勾股定理得，最后再在中，，即可作答． 【详解】解：过点D作的延长线于一点，如图所示： ∵，， ∴， ∵，的延长线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， 故①符合题意； ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 则； 故③符合题意； 延长，交的延长线于一点，过点A作，如图所示： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 设， 则 ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 则； 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（86分） 17．计算：． 【答案】2 【分析】先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18．在中，，，，求的长和的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了解直角三角形．解直角三角形常用的有勾股定理和锐角三角函数，解决本题的关键是要熟练地记住三个特殊角的三角函数值．首先利用勾股定理求出的长度，再根据在中各边的长度求出的正弦，根据正弦值求出的度数． 【详解】解：在中，，，， ； ，，， ， ． 19．为提高土地利用率，新的光伏搭建形式可以把光伏从地面搬到高空，如图是字型的光伏支架，支架侧面如图所示，，分别是，的中点，，为支架在水平地面的支点．已知，，，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】点到地面的距离为 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先连接，过点A作于点，结合，分别是，的中点，得，结合，则，得再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，过点A作于点， ，分别是，的中点， ∴是中位线， ， 又， ， 为等腰三角形， ， ，， ， 在中， 点A到地面的距离为． 20．已知：如图，平分，于点D． (1)尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹） (2)在上题条件下已知，，求的长． 【答案】(1) 如图，直线即为求作的； (2) 【分析】本题考查作图一复杂作图，角平分线的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键 是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. （1）在的左侧作，交于点即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由作法可知：， ； （2）解：过点作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图，是某同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且垂直，平行（点C，D，，在同一条直线上）．经测量得，铁架台与水槽之间的水平距离，，时，请求出铁夹子E点距离水平面的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】铁夹子点距离水平面的高度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，构造直角三角形是解答的关键． 过点作于点，作于点，在中，解直角三角形求得，．再证明四边形是矩形得到，，根据等腰直角三角形的判定与性质得到，，进而可求解． 【详解】解：过点作于点，作于点， 由已知可得：， ． 在中， （cm）， ． 又 ∴四边形是矩形 ， ，， ， 答：铁夹子点距离水平面的高度约为． 22．我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和（碳达峰与碳中和简称“双碳”），“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式．自行车是低碳出行的常见代步工具，图1是一辆自行车的实物图，图2是这辆自行车的部分结构的几何示意图，其中车架档，，，车架档，，车架档，前轴轴心E，中轴轴心A，后轴轴心B在同一直线上，求前、后轴轴心的距离（结果精确到参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，连接，过点作于点，先在中利用正切求出，再证明四边形为矩形得到，接着根据平行线的性质得到，则在中利用正弦的定义可求出，然后计算即可．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，构建是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ， ． 在中，， ． ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形， ． 点，，共线，， ． 在中，， ， ． 答：前、后轴轴心，之间的距离为． 23．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 学科网（北京）股份有限公司 $