第2章 图形的相似（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本卷聚焦九年级上册相似三角形单元，以培优冲刺为目标，知识覆盖全面，能力层次分明，融合文化情境与探究性问题，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|位似图形性质、相似判定、实际测量应用|结合坐标几何（如第8题位似中心坐标），辨析相似条件（如第2题甲乙观点判断）| |填空题|6/18|比例线段计算、相似三角形性质、位似图形长度关系|动态几何（如第16题动点求最大值），面积比计算（如第15题平行四边形中面积和）| |解答题|7/72|相似证明、实际测量（如“天齐之门”高度）、折叠与动点综合|探究性问题（如第20题平行线分线段成比例应用），跨情境应用（如第19题文化雕塑测量），培养推理能力与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 相似三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 2．（本题3分）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 3．（本题3分）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题3分）如图，为测量灯杆的高度，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度，小强与镜子的水平距离，镜子与灯杆的水平距离，则灯杆的高度约为（   ） A．6.5m B．7m C．7.5m D．8m 6．（本题3分）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）已知，则k的值是______． 12．（本题3分）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 13．（本题3分）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 14．（本题3分）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 15．（本题3分）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 16．（本题3分）如图，在中，，，，是线段上一动点（不与端点，重合），连接，在的右侧作，使，射线交线段于点，则最大值为________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形．    (1)仅有对应边成比例的两个四边形 相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）； (2)如图，在四边形和四边形中，， 求证：四边形四边形． 18．（本题8分）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 19．（本题10分）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 20．（本题10分）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】 (1)在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 (3)如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 21．（本题10分）如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 22．（本题12分）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（本题14分）问题情境和是有公共顶点A的两个三角形，且，将绕点A顺时针旋转（旋转前边与重合；边与重合），点P为直线，的交点． (1)【特例分析】当时，如图1，求证：； (2)【拓展探究】当时，如图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)【解决问题】在（1）的条件下，若，，，当时，求的长度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章相似三角形培优冲刺（参考答案) 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) y 2 4 5 6 8 10 A C D C A B 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 1 1.k=1或k=2 12.相似 3.3 2W5 14.5 15.30 16.16 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共T2分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本题8分) 【详解】(1)解：仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似. 故答案为：不一定.(2分) (2)解：如图：连接AC,AC, D D C B ∠B=∠B, 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC∽△AB'C', AB BC AC .∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'CAN,RB=B'C=A'C, ∠BAD=∠B'A'D,∠BCD=∠B'C"D', ∴.∠DAC=∠BAD-∠BAC,LD'A'C'=∠B'AN'D'-∠B'A'C', ∴.∠DAC=∠DAC', 同理∠DCA=∠D'C, ,.△ADC∽△A'D'C, AD CD AC .AD'CD'A'C' AB BC CD AD ABBC CD A'D' :∠BAD=∠B'A'D,∠B=∠B',∠BCD=∠B'C'D', ∠D=∠D', ∴四边形ABCD∽四边形A'B'CD'.(8分) 18.(本题8分) 【答案】(1) 证明：~OD是△ABC的中位线， o0yac且o0-c. .∠ADO=∠ACB=90°， CO=OD OD 1 BQ3· OD BC D∥BQ 即 ..APODAPBO PO OD 1 PBB03,即PO=PB, 3 0-00-01,即p为04的t友 2 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AD0=90°， DP-04. ∴.OP=PD .∠PD0=∠POD:(4分) (2) 证明：连接OC, P B Q:ODI BC PT∥BC OP DT OB DC ∴△OPT∽aOBS,△DTPn△DCQ PT OP PT DT BS OB'CO DC' PTPT BS CO' ..BS=CO :∠ACB=90°，O为AB的中点， 0c=54B=0B。 .∠OBC=∠OCB, ∴.∠OBS=∠OC2. 在△OBS和△OCQ中， 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OB=OC ∠OBS=∠OCQ BS=CO ∴.AOBS2aOCQ(SAS) .0S=09 (8分) 19. (本题10分)【详解】(1)解：如图，延长BD,AC交于M, B F E CM :AB⊥AC,EF⊥AC,DC⊥AC, .AB∥EF∥DC, ∴.ACDM∽△ABM∽AEFM. CM CD EM EF .AM-AB AM AB' CM 1 2+CM_2 15+2+CM=AB,15+2+CMAB 2CM 2+CM .15+2+CM15+2+CM: 解得CM=2, 2 1 15+2+2AB, .AB=9.5 答：雕塑顶部距离地面的高度AB为9.5m；:(5分) (2)解：延长BH,AG交于T, 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P :AB⊥AG,MN⊥AG,HG⊥AG, .AB∥MN∥HG, ,∴.△HGT∽ANMT∽ABAT MN MT HG TG ABAT:AB AT' 1.7 MT 1 TG 9.5=AT,9.5AT, .AT=9.5TG, .TM=1.7TG. 设TG=xm,则AT=9.5xm,TM=1.7xm, ..AG=8.5xm,MG=0.7xm, 过O作QS1AB于S交MN于R, AS=RM=QG,SQ=AG,RO=MG, PR∥BS, .aOPR∽aQBS, PR RO ·BSSg' 1.6-QG0.7x 9.5-0G8.5x .QG≈0.9 答：此时相机镜头距离地面的高度G0约为0.9m,(10分) 20.(本题10分) 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：，DF∥BE, CF CD FE BD 三 =1 FE-EC, 21 4F=EC .AE=FE, ,DF∥BE, AG AE “0=花=1：(2分) (2)解：如图，过E作EH∥AD,交BC于点H, G B DH :EH∥AD, CH CE .HD AE 2 CD=3 :.HD .BD=DC. BD :.HD -3 ,EH∥AD, BG BD “G正DH3:(5分) (3)解：连接BE交AM于点L,作EN∥AM交BC于点N, 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M N 由折叠可知，AB=AE=3,BL=EL,∠BAM=∠CAM, .'CE=AC-AE=1, .EN∥AM, CN CE 1 ∴·NMAE3,即MN=3CN, LM∥EN, BM_BL=1. ·MNLE ∴BM=MN=3CN, 设CN=t,则BM=MN=31,BC=BM+MW+CN=7t, :LBAM=∠C,∠MBA=∠ABC, ∴.△MB△ABC, BMAB AB BC' .BM·BC=AB2=32=9, .3t×7t=9」 解得1② 7, 7(负值，舍去)， CM=MN+CN=41=4 7 .∠BAM=∠C,∠BAM=∠CAM, ∴.∠CAM-∠C. ..AM=CM= 7.(10分) 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(本题10分) 【详解】(1)解：①等腰梯形：(1分) ②BE=EF 理由如下： 如图，连接FB, G B 四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠BAF=∠BCF=90°， 在△BAF和△BCE中， AB=BC ∠BAF=∠BCF AF=EC ∴.△BAF≌△BCE(SAS) ∴BF=BE, :FH垂直平分BE, .BF=EF, BE=EF;(5分) (2)解：∠GBH的大小不变，∠GBH=45°： 如图，连接GE,GD F G 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由正方形的对称性可知，点B、D关于AC对称， ∴.GB=GD 在△GBC和aGDC中， GB=GD GC=GC BC=DC' ∴.aGBC≌aGDC(SSS) .∠GBC=∠GDC, ·FH垂直平分BE, ∴GB=GE ∴.GD=GE .∠GDC=∠GED, ∴.∠GBC=∠GED :∠GED+∠GEC=180°， ∠GBC+LGEC=180°， :∠GBC+∠GEC+∠BCD+∠BGE=360° ∴.∠BGE=360°-180°-90°=90° :∴△BGE是等腰直角三角形， ∠GBH=45°：(9分) 3)8(10分) 22.(本题12分) 【详解】(1)解：矩形ABCD .CD‖AB,CD=AB=4,∠DAB=90°， .∠CDQ=∠QBP ,在R1△ABD中，∠DAB=90°，AB=4,BC=3, 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=VAB2+AD2=V42+32=5 ,根据勾股定理得， :由题意可得，D=BP=1, ∴.B0=BD-OD=5-1, :以B,P,卫为顶点的三角形与△DCO相似， 又.∠CDQ=∠QBP. ∴△DCO∽aBOP或DCOPABPQ, DC DO DC DO ∴.BOBP或BPBQ 414t .5-1i或15-1， 4 t 解方程5-11，得1=1， 解方程15-1，得4=-2+26,5=-2-2V6(舍去)， 综合上述，当以8，P,2为顶点的三角形与DC心相创时，'的值为或2+26,4分) (2)解：如图，过点卫作ELAB,F⊥BC,垂足分别为E,F, B 由(1)得D=BP=t,B=5-1, :矩形ABCD .DA⊥AB,DC⊥BC, 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DA⊥AB,QE⊥AB .DAllOE △BQE∽ABDA OE BO OE 5-1 .ADBD,即35， 0E=g65-. :DC⊥BC,OF⊥BC, .DClOF .aBQF∽△BDC OF BO OF 5-1 .CDBD,即4=5， 0r=6-0. 21 :S边影0=Sa0w+SanF5, n06*cer-.则26-0+3x6-) 2 5 5 整理得t2-t-6=0. 解得1=36=-2 (舍去)， 21 六1=3时，四边形PBCQ的面积等于5cm'；(8分) (3)解：如图，过点作E1AB,FLBC,垂足分别为E,F, 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由(1)得D=BP=1,B0=5-1, 由②)得E=5-),0F=5-), :矩形ABCD, ∴，AB⊥BC,AD=BC=3,AB=CD=4, OE⊥AB,OF⊥BC, “四边形FOEB为矩形， ÷∠06=90，BF=0E=5-),BE=QF=5-0. &.CF=BC-BF=3-5-）,P=BE-BP=等6-)-， :C2⊥PO,则∠CQF+∠POF=90°， 又：∠FOE=∠E0P+∠PF=90°， ..ZEOP=ZCOF 又：∠PE0=∠CFg=90°， ..APOEACOF ..ercr 6-0335-0 E=即36-045-)-1解得1→ =16.(12分) 23.(本题14分) 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)证明：：△ADE∽△ABC, AD AE ∠DAE=∠BAC,ABAC· .AB=AC, .AD=AE, :∠DAB=∠DAE-∠BAE,∠EAC=∠BAC-∠BAE, ∠DAB=∠EAC, 在△DAB和△EAC中， AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC .∴ADAB2AEAC(SAS) .∠ABD=∠ACE.(4分) (2)解：(1)中的结论仍成立. 理由：，△ADE∽△ABC」 AD AE ∴，∠DAE=∠BAC,ABAC, :∠DAB=∠DAE-∠BAE,∠EAC=∠BAC-∠BAE, ∴.∠DAB=∠EAC. AD AE ABAC且∠DAB=∠EAC, ∴.△DAB∽△EAC, ∠ABD=∠ACE.(8分) (3)解：①如图，当点E在AB上时，则BE=AB-AE=AB-AD=2, 刀 C∠EAC=90° 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=E2+4C2=62+82=10 同(1)可证△ADB≌△AEC, ∴.∠DBA=∠ECA. :∠PEB=∠AEC, .△PEB∽△AEC, PB BE BP 2 ACCE,即8=10， (11分) ②如图，当点E在BA延长线上时， E B 则BE=AB+AE=AB+AD=14, :∠EAC=90°， .CE=VAE2+AC2=V62+82=10 同(1)可证△ADB≌△AEC, ∴.∠DBA=∠ECA, ∠BEP=∠CEA, ∴.△PEB∽△AEC. .PB BE BP 14 4CCE,即8=10： BP=56 · 856 综上所述，BP的长为5或5·(14分) 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15/15 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 相似三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 2．（本题3分）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 3．（本题3分）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（本题3分）如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，根据平行线分线段成比例和三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 5．（本题3分）如图，为测量灯杆的高度，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度，小强与镜子的水平距离，镜子与灯杆的水平距离，则灯杆的高度约为（   ） A．6.5m B．7m C．7.5m D．8m 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， 由图可知，，， ， 根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故选：C． 6．（本题3分）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 7．（本题3分）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用位似比求出，的长，结合点的坐标即可求出点的坐标 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ，，， ，， 和是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， ，轴， ，， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在第二象限， 点的纵坐标为， 点在点的左侧， 点的横坐标为， ． 9．（本题3分）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 10．（本题3分）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】①利用折叠与平行线的性质即可求解； ②利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； ③过点作，证明，，进而根据面积可判断； ④连接，由全等三角形的性质可知，由折叠可知，根据勾股定理可知，根据的角可知四点共线，然后易得即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵在正方形中，， ， ， ∴平分； ∴①正确； ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知，， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴②正确； 过点作，则， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ∴， ， ∴③错误； 连接， ∵，， ， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 四点共线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴④正确； 综上所述，正确． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）已知，则k的值是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查比例的性质，根据等比性质即可得出结论．通过三个分式等于，得到三个方程，将它们相加后讨论是否为零，从而求出的值． 【详解】解：由已知条件可知，，， ∴，，， 将三个方程相加，得． 若，则； 若，则从任一方程如 结合，得， 因，故， 故答案为∶或． 12．（本题3分）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 13．（本题3分）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．（本题3分）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键． 根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得，求解即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．（本题3分）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（本题3分）如图，在中，，，，是线段上一动点（不与端点，重合），连接，在的右侧作，使，射线交线段于点，则最大值为________． 【答案】 【分析】先由构造直角三角形，确定中的边长关系；通过角度证明，利用相似性质得到线段比例式，设,结合二次函数求最值，进而求出的最大值． 【详解】解：过点作于点， ， 设，， 在中，， ， ，即， ，， ，， ， 又, , ,即， 设 ， ， 根据勾股定理，有， ， 又， ， 解得， 故的取值范围为， ， 当时，取得最大值． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形．    (1)仅有对应边成比例的两个四边形 相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）； (2)如图，在四边形和四边形中，， 求证：四边形四边形． 【答案】(1)不一定； (2)见详解． 【分析】本题考查的多边形的相似，证明各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键． （1）直接判断即可； （2）只要证明各角对应相等、各边对应成比例即可． 【详解】（1）解：仅有对应边成比例的两个四边形不一定相似． 故答案为：不一定． （2）解：如图：连接，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形四边形． 18．（本题8分）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【答案】(1) 证明：是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； (2) 证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是相关性质的灵活应用． （1）根据题意，得到，进而可得为的中点，再结合即可得证； （2）连接，由平行线段截线段成比例得到，再证，得到，进而得到，再利用“”证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 19．（本题10分）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】(1)雕塑顶部距离地面的高度为； (2)此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】（1）延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； （2）延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则，，求得，，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； （2）解：延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 20．（本题10分）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】 (1)在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 (3)如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例直接计算即可； （2）过作，交于点，由平行可得，则，结合可得，因此； （3）连接交于点，作交于点，由折叠可知，，，，则．由平行可得，，因此．设，则，，容易证明，则，计算得．由，，可得，因此． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接交于点，作交于点， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值，舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（本题10分）如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 【答案】(1)等腰梯形；，理由见解析 (2)的大小不变， (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合正方形的性质得到，即可得解；连接，根据正方形的性质证明，得到，由垂直平分线的性质得到，等量代换即可得证； （2）连接，，证明，得到，由垂直平分线的性质证明，得到，等边对等角结合邻补角的定义证明，再由四边形内角和定理得到，得到是等腰直角三角形，即可得证； （3）由勾股定理依次求解，的长，证明，得到，的长，过点作交于，设，则，，在中，利用勾股定理解直角三角形可求得，的长，证明，即可求得的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ，即， ， ， ， 四边形的形状是等腰梯形； ，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）解：的大小不变，； 如图，连接，， 由正方形的对称性可知，点、关于对称， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：，， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， 如图，过点作交于，交于N，则，， ， 设，则，， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ，， ， ， ，即， 解得． 22．（本题12分）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 23．（本题14分）问题情境和是有公共顶点A的两个三角形，且，将绕点A顺时针旋转（旋转前边与重合；边与重合），点P为直线，的交点． (1)【特例分析】当时，如图1，求证：； (2)【拓展探究】当时，如图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)【解决问题】在（1）的条件下，若，，，当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）由相似三角形的性质可推出，，然后由角度的和差得到，即可利用证明，从而得到结论； （2）同（1）可得且，从而可知，即可得到结论； （3）分当点在上时和当点在延长线上时，同（1）可得，从而证明，结合勾股定理和线段的和差，利用相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：， ，， ，， ， 且， ， ． （3）解：①如图，当点在上时，则， ， ， 同（1）可证， ， ， ， ，即， ∴； ②如图，当点在延长线上时， 则， ， ， 同（1）可证， ， ， ， ，即， ． 综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 相似三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 2．（本题3分）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 3．（本题3分）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（本题3分）如图，为测量灯杆的高度，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度，小强与镜子的水平距离，镜子与灯杆的水平距离，则灯杆的高度约为（   ） A．6.5m B．7m C．7.5m D．8m 6．（本题3分）如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，和是以点为位似中心的位似图形，且点与点在直线AB同侧．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①平分；②；③；④，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）已知，则k的值是______． 12．（本题3分）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 13．（本题3分）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 14．（本题3分）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 15．（本题3分）平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 16．（本题3分）如图，在中，，，，是线段上一动点（不与端点，重合），连接，在的右侧作，使，射线交线段于点，则最大值为________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形．    (1)仅有对应边成比例的两个四边形 相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）； (2)如图，在四边形和四边形中，， 求证：四边形四边形． 18．（本题8分）如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 19．（本题10分）根据以下材料，完成探究任务． 综合与实践：打卡“天齐之门”雕塑 问题背景 如图1，临淄北站站前广场矗立着标志性雕塑“天齐之门”．雕塑以古篆书“齐”字为设计原型，巧妙融合“门”的造型，四根立柱象征四方宾朋齐聚；顶端融入蹴鞠纹饰，呼应临淄作为世界足球起源地的深厚文化底蕴．雕塑整体寓意“海纳百川、开放包容、和合共生”的齐文化精神．站在雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． (1)如图2，小明在距离“天齐之门”雕塑底部的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到雕塑的顶部．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． (2)如图3，小明在点处为站在点处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点处为站在点处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 20．（本题10分）综合与探究 某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用．       【初步探究】 (1)在中，、分别为、的动点，若，．连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为________；与的比值为________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； 【拓展提高】 (3)如图2，在中，，，是上一点，，将沿折叠，恰好落在上，的对应点为，求的长． 21．（本题10分）如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 22．（本题12分）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（本题14分）问题情境和是有公共顶点A的两个三角形，且，将绕点A顺时针旋转（旋转前边与重合；边与重合），点P为直线，的交点． (1)【特例分析】当时，如图1，求证：； (2)【拓展探究】当时，如图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)【解决问题】在（1）的条件下，若，，，当时，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $