精品解析：青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2026-2027学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

大通二中2026～2027学年第一学期高二年级第一次教学质量检测 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知. 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点关于原点对称的坐标规则即可得到对称点坐标. 【详解】点关于原点成中心对称的点的坐标是. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得． 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量减法，结合中点向量公式求出，再由线段比例得到，代入化简，用基底表示． 【详解】由，得， 因为点为的中点，所以， 所以． 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 6. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以，解得，所以. 7. 已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为： . 8. 如图，在平行六面体中，，，，，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取基底， ， ， 所以 ， 所以，所以，即与所成角的大小为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列点的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】因为正方体的棱长为， ，，，，，分别是棱，，，，，的中点， 所以，，，. 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，若，，共面，则存在实数，，使得， 所以，，共面，这与构成空间的一个基底矛盾，所以，，不共面； 对于D，因为，所以，，共面． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离为 B. 直线到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 直线到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】题中以棱长为 的正方体为载体，考查点到直线、直线到直线、点到平面、直线到平面的距离.先由平面几何知识证出 ，再用直角三角形、等面积法与等体积法逐项计算. 【详解】取 的中点 .在矩形 中，， 分别为 ， 的中点，所以 且 ，又 ， 故四边形 是平行四边形，得 . 在正方形 中， 且 ，所以四边形 是平行四边形，得 ，从而 . 对于A，因为 ，，所以 平面 ，又 平面 ，故 . 在直角三角形 与 中，由勾股定理得 ，. 设点 到直线 的距离为 ，由等面积法得 ，与 不相等，A错误. 对于B，由 知，直线 到直线 的距离即点 到直线 的距离. 在 中，，又在矩形 中 . 取 的中点 ，则 ，，所以 . 设 到直线 的距离为 ，由 解得 ，B正确. 对于C，因为 ，所以 平面 ，且 到平面 的距离为 ， 于是 到平面 的距离为 ，. 在 中，，，，由余弦定理得 ，从而 . 所以 . 设 到平面 的距离为 ，由 得 ，C正确. 对于D，因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离. 由等体积法 ，所以点 到平面 的距离为 . 因为 在平面 内， 为 的中点，所以点 到平面 的距离为 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在轴上有一点，点到点与点的距离相等，则点坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】由题：设，点到点与点的距离相等， 所以， ，， 解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 【点睛】此题考查空间之间坐标系中两点的距离公式，根据公式列方程求解点的坐标，关键在于准确辨析正确计算. 13. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】平面的一个法向量，平面的一个法向量， 若，则， 所以，解得， 所以． 14. 如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将正三棱台的侧棱延长，补成三棱锥，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设球心，半径为，则，列方程求解，得，再结合球体的表面积公式即可求解. 【详解】如图，延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连接，过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱台中，，， 则，，， 设上底面的中心为， 在直角梯形中，，，， 所以，即， 又，， 即，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 设球的球心坐标为，半径为，则， 即，，，， 解得，，，， 所以球的表面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，.求： （1）； （2）. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，所以， 因为 ，所以. 【小问2详解】 因为，，， 所以. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点． （1）求证：． （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：以为坐标原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. 则， 因为，所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由即可使问题得证；（2）利用空间夹角公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与所成角为，因为， 所以， 所以与所成角的余弦值为． 17. 如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为. （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，，的坐标； （2）求与侧面所成的角. 【答案】（1） 因为三棱柱为正三棱柱， 取BC的中点为O, 取的中点为,连结,则⊥面ABC.连结OA，则OA⊥BC. 以O为原点，为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由底面边长为a，侧棱长为，则所以点A，B，，的坐标为：； （2） 【解析】 【分析】取BC的中点为O,的中点为,连结,连结OA，以O为原点，为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：. 设为面的一个法向量， 则，即， 不妨设x=1,则. 设与侧面所成的角为，则 ， 所以，即与侧面所成的角为. 18. 如图，在正三棱台中，，记，，，，分别为棱，的中点. （1）用，，表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据空间向量线性运算法则，结合棱台上下底面边长关系以及线段中点的向量性质，将目标向量逐步拆解，用基底表示即可； (2)先利用空间向量数量积运算律，求出异面直线方向向量与的数量积，再分别计算两个向量的模长，最后代入向量夹角公式，取绝对值得到异面直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 连接，则， 因为为的中点，所以， 因为，所以，同理， 所以，所以 【小问2详解】 由三棱台为正三棱台，，得， 即， ， 记，则， 所以， 又，， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与分别交于点，求线段的长度. 【答案】（1） 证明：因为为的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证线面垂直平面，进而可证得面面垂直； （2）求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，再利用同角三角函数的基本关系，即可得解； （3）先根据向量共线关系，求出的坐标，再求出平面的法向量，再设出，表示出的坐标，继而写出，再利用与均垂直，求出，即可确定的坐标，最后应用两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面内，作，交于点，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，得， 所以， 设是平面的法向量，则， 令，则，所以是平面的一个法向量； 设是平面的法向量，则 令，则，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得，由，得， 又因为，所以， 由，得，又因为，所以， 因此， 设是平面的法向量，则， 令，则，所以是平面的一个法向量， 由平面与交于点，设，因为，则， 因为是平面的法向量，所以，即，解得，所以. 由平面与交于点，设，因为，则， 因为是平面的法向量，所以， 即，解得，所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通二中2026～2027学年第一学期高二年级第一次教学质量检测 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 6. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，得，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 如图，在平行六面体中，，，，，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正方体的棱长为，，，，，，分别是棱，，，，，的中点，则下列点的坐标正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离为 B. 直线到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 直线到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在轴上有一点，点到点与点的距离相等，则点坐标为____________. 13. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 14. 如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，.求： （1）； （2）. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点． （1）求证：． （2）求与所成角的余弦值． 17. 如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为. （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，，的坐标； （2）求与侧面所成的角. 18. 如图，在正三棱台中，，记，，，，分别为棱，的中点. （1）用，，表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与分别交于点，求线段的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $