精品解析：青海海南藏族自治州高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且互斥，则（ ） A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 设，向量，且，则（ ） A. B. 10 C. 14 D. 24 7. 已知向量，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 8. 设事件A，B相互独立，满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量必相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 11. 在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件A：“2件产品都是正品”，事件B：“至少有1件次品”，事件C：“至少有1件正品”，则下列结论正确的是（ ） A. B与C是互斥事件 B. A与B为对立事件 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 13. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 14. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知在某次飞行员选拔测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，回答下列问题： （1）求恰有1人通过测试的概率； （2）求至少有1人通过测试的概率． 16. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为、、），女同学名（记为、），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，求出事件发生的概率； （2）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向. （1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. （2）求向量的坐标. （3）求向量与的夹角. 19. 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． （1）试用，，表示向量，并求向量的长度； （2）求； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 2. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，． 3. 甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】通过面试和未通过面试是对立事件，对立事件的概率和为1． 已知甲、乙能通过面试的概率都是，则甲、乙未能通过面试的概率都是， 故面试结束后两人都没通过的概率是． 4. 已知，且互斥，则（ ） A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为互斥，所以， 所以. 5. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，故. 6. 设，向量，且，则（ ） A. B. 10 C. 14 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 则，即，解得， 所以. 7. 已知向量，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 8. 设事件A，B相互独立，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式计算即可. 【详解】，因为事件，相互独立， 所以，则， 即，解得． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知，， 故，正确； 对于B，由，可知，，, 所以，错误； 对于C，若，且，则，即，正确； 对于D，若且，则设，那么， ，正确. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量必相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 11. 在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件A：“2件产品都是正品”，事件B：“至少有1件次品”，事件C：“至少有1件正品”，则下列结论正确的是（ ） A. B与C是互斥事件 B. A与B为对立事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】用、、分别表示件正品，用、分别表示件次品，列举样本空间，事件、、，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用交事件的定义可判断C选项；利用古典概型的概率公式可判断D选项. 【详解】用、、分别表示件正品，用、分别表示件次品， 样本空间为， 对于A选项，，， 所以，故事件与不互斥，A错； 对于B选项，，所以，，故与为对立事件，B对； 对于C选项，由前面的分析可知，则，C对； 对于D选项，由古典概型的概率公式可得，D错. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间坐标平面中点的坐标定义易得. 【详解】设点在坐标平面内的射影为，则平面. 根据空间坐标平面中点的坐标定义，易得，故得. 故答案为：. 13. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 14. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，所以. 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为， 其中为方向上的单位向量， 令，.则； ； 所以投影向量的坐标为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15. 已知在某次飞行员选拔测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，回答下列问题： （1）求恰有1人通过测试的概率； （2）求至少有1人通过测试的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【详解】解：记甲、乙通过测试的事件分别为， 由题意得． （1）恰有1人通过测试的事件为， 所以， 即恰有一人通过测试的概率为． （2）至少有1人通过测试的事件为， 所以， 即至少有一人通过测试的概率为． 16. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求向量和的坐标，再代入公式，即可求解； （2）分别求向量和的坐标，再根据向量垂直，代入数量积坐标表示的公式，即可求解. 【小问1详解】 已知 ， ，则 ， ，因为 ，所以 ， 所以，解得. 【小问2详解】 已知 ， ，则 ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ，解得. 17. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为、、），女同学名（记为、），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）设事件为“参赛的名同学都是女同学”，求出事件发生的概率； （2）求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解决古典概型问题，先完整列出样本空间，确定全部基本事件的总数； （2）找出对应事件包含的样本点个数，再用事件样本数除以总样本数求得概率. 【小问1详解】 样本空间为 . 样本空间中共有个基本事件， 事件为“参赛的名同学都是女同学”，故，共个基本事件，因此. 【小问2详解】 设事件为“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”， 则，共个基本事件， 样本空间中共有个基本事件，所以. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向. （1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标. （2）求向量的坐标. （3）求向量与的夹角. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为正方体的棱长为，为坐标原点， 则的坐标为， 点在轴上，则， 点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）可知，，，则. 【小问3详解】 因为，，则， 且，则， ，， 则， 且，所以， 即向量与的夹角为. 19. 如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． （1）试用，，表示向量，并求向量的长度； （2）求； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1），长度为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量的模； （2）利用向量数量积的运算规则计算求解； （3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解． 【小问1详解】 由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ，， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $