精品解析：山西省吕梁市汾阳市部分校2026-2027学年高一上学期10月单元练习数学试题

高一年级数学学科单元练习 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合M满足⫋，则满足条件的集合M的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 4. 若x是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 如果集合只有一个元素，则实数的值是（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或 D. 0 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 8. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.） 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 若且，则 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 10. 下列各组函数中，是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______． 13. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 14. 正数m，n满足，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合或，求： （1）； （2） （3）. 16. （1）当时，求的最小值及取到最小值时对应的x的值； （2）正实数x、y，满足，求的最小值及取到最小值时对应的x，y的值； （3）已知，，，求证：. 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18. 已知函数. （1）求，，的值； （2）探索； （3）利用（2）中结论，求的值. 19. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科单元练习 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得原命题的否定为“”. 3. 已知集合M满足⫋，则满足条件的集合M的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为⫋，则中必有元素，除此之外，还要含有中至少一个元素， 所以可以为，则满足条件的集合M有3个. 4. 若x是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式得到对应解集，再根据集合的包含关系判断条件类型. 【详解】解不等式，可得解集为或。 因为或，所以“或”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解规则，偶次根式被开方数非负、分式分母不为0，列不等式组求解后取交集即可. 【详解】要使函数有意义，需同时满足：且， 由，得； 由，得，解得且； 取上述两个解集的交集，由于已自动排除的情况，因此函数定义域为. 6. 如果集合只有一个元素，则实数的值是（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、D三个错误选项，用作差比较法验证C选项符合不等式性质. 【详解】选项A：如，，满足，但，故A错误. 选项B：如，，满足，但，故B错误. 选项C： . 已知，，则，，因此， 故，即，故C正确. 选项D：若，，不满足，故D错误. 8. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，且是方程的两根， 所以，即， 则可化为，得或， 故不等式的解集为. 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.） 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 空集是任何集合的真子集 B. 若且，则 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，空集是任何集合的子集，故A错误. 对于B，由集合相等的定义，若且，则，故B正确. 对于C，集合，集合，两个集合中元素不相同，所以不是同一个集合，故C错误. 对于D，，由并集的性质可得，故D正确. 10. 下列各组函数中，是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A， 的定义域为， 的定义域也是，两函数的定义域与对应关系都相同，是同一函数，A正确. 对于B， 的定义域为 ，而 的定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误. 对于C，，取 ，则 ，而 ，对应关系不同，不是同一函数，C错误. 对于D， 与 的定义域都是，对应关系也相同，只是自变量所用字母不同，是同一函数，D正确. 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，等号成立时， 故的最大值为1，故A正确； ，等号成立时，故B正确； ， 等号成立时，故C错误； ， 等号成立时，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，则实数a=______． 【答案】3或1 【解析】 【分析】根据3∈A即可得出a22a=3，解方程得到a即可． 【详解】∵3∈A，A={1，2，a22a}， ∴a22a=3， 解得a=1或3 故答案为1或3． 【点睛】本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题． 13. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将全称命题为真等价转化为二次函数在全体实数域上恒大于0，结合开口方向通过判别式小于0求解参数范围. 【详解】命题“，”为真命题，等价于二次函数的函数值在上恒为正， 该二次函数二次项系数为，图象开口向上，因此只需其图象与轴无交点，即判别式， 即，解得. 14. 正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集，集合或，求： （1）； （2） （3）. 【答案】（1）或. （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用交集与并集的概念计算即可； （2）利用补集与并集的概念计算即可； （3）利用补集与交集的概念计算即可. 【小问1详解】 因为全集，集合或， 所以或. 【小问2详解】 易知或或; 【小问3详解】 易知， 所以或. 16. （1）当时，求的最小值及取到最小值时对应的x的值； （2）正实数x、y，满足，求的最小值及取到最小值时对应的x，y的值； （3）已知，，，求证：. 【答案】（1）当时，取得最小值. （2）当，时，取得最小值. （3）证明：， 因为，，， 所以，，，， 所以，， 所以，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）将转化为，利用基本不等式即可求出最小值及对应的的值； （2）因为，将转化为，得到，利用基本不等式即可求出最小值及对应的和的值； （3）利用作差法结合不等式性质即可证明. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值. （2）因为， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以当，时，取得最小值. （3）略. 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，利用交集概念进行求解； （2）先得到⫋，再分与两种情况，得到不等式，求出实数a的取值范围 【小问1详解】 时，， 又， 所以； 【小问2详解】 是的充分不必要条件，所以⫋， 其中， 若，，解得， 若，则需满足或， 解得， 综上，实数a的取值范围是. 18. 已知函数. （1）求，，的值； （2）探索； （3）利用（2）中结论，求的值. 【答案】（1），，； （2），理由如下： ； （3） 【解析】 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 由（2）知，， . 19. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用一元二次不等式的解法解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以或， 则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或. 【小问3详解】 ，恒成立， 化简可得：，恒成立， 等价在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 则，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $