第3章 锐角三角函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材青岛版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章 锐角三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 3．（本题3分）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知为锐角，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          7．（本题3分）如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）在中，，均为锐角，且有，判断的形状是__________． 12．（本题3分）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 13．（本题3分）在中，，于D．若，则的正切值为___________． 14．（本题3分）如图，在中，，，，则的长为________． 15．（本题3分）如图，已知，分别是等边的边，上的点，且，，，则的边长为___． 16．（本题3分）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)； 18．（本题8分）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 19．（本题10分）如图，在菱形中，过点A作分别交，于点E，F，过点E作交于点G． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 20．（本题10分）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 21．（本题10分）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 22．（本题12分）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 23．（本题14分）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． (1)___________； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是线段上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章锐角三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) 1,(本题3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，则下列各式中正确的是() b B a A.c=b.cosB B.a=b.tan B C.b=c.sinB D.b=c.tan B 【答案】C 【详解】解：∠C=90°， A、cosB= c ,..c=- a osB,故A错误； B、tanB=b b ,..a tanB,故B错误： C、sinB=b c,b=c-sin B,故C正确： D、tanB=b ’心b=a-tanB,故D错误. 故选：C 2.(本题3分)在R1aABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则cosA的值() A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 【答案】C 【详解】解：，∠C=90°， .cos ∠的邻边 斜边· ,△ABC的三边都放大2倍， ∴.∠A的邻边与斜边的比不变， ∴.cosA的值不变， 1125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C. 3.(本题3分)已知α为锐角， sim(a-10)=3 2,则a等于() A.60° B.70 C.80° D.90° 【答案】B 【详解】解： sin(a-10)=3 2，根据特殊角三角函数值 n60°-3 2得： u-10°=60°， 解得a=70°」 经检验a=70°是锐角，符合题意。 故选：B ≤cotB<V5 4.(本题3分)已知∠P为锐角，且3 则P的取值范围是() 30°≤B≤60 30°<B≤601 30°≤B<60 D.B<30 【答案】B 5 【详解】cot30°=V53,cot60°=3， ∴.cot60°≤cotp<cot30° ,锐角正切值随阝的增大而减小， .30°<B≤60° 故选B. 【点睛】本题考查锐角的余切函数性质，锐角的余切值随的增大而减小，熟练掌握锐角的余切函数性质 及特殊角的三角函数值是解题关键 5.（本题3分)如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C=50°，船在航行时，为保证不进入 暗礁区，则船到两个灯塔A,B的张角∠ASB应满足的条件是() 2125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 灯塔A 灯塔B A.sin∠ASB>sin25o B.sin∠ASB>sin50° C.sin∠ASB>sin55 D.cos∠ASB>cos50° 【答案】D 【详解】如图，AS交圆于点E,连接EB, 灯塔4 灯塔B 由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB>∠S,即当∠S<50时船不 进入暗礁区， 所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB<50°. ∴.cos∠ASB>c0s50°， 故选：D 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识 3125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解决问题， 6.(本题3分)求tan3036,用计算器的按键顺序正确的是() tan 3036 A B.tan 30 36 目（或am30.6[ ) 3036 2ndF tan 3036 D 目 【答案】B 【详解】解：首先按下tan功能键，激活正切计算模式，再输入度数值30，按下度分秒转换键，确认30的 单位为度，最后输入数值36，按下度分秒转换键，确认36的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序正 tan 确的是 30.6 tan 30☐m36"☐=☐ 7.(本题3分)如图，大坝的横截面是梯形，斜坡AB的坡比k=1:2,背水坡CD的坡比i=1:1,若AB 8V5 CD 的长度为米，则斜坡的长度为() B k=1:2 i=1:1 A.8米 B.4v0 C.4v2 D 8V2 【答案】D 【详解】解：分别过B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F, B C k=1:2 i=1:1 D ∴.BE∥CF :BC∥AD ∴四边形BEFC是平行四边形， 4125 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BE⊥AD, .∠BED=90° ∴四边形BEFC为矩形，则CF=BE, ,斜坡AB的坡比k=1:2, ∴.设BE=CF=x,则AE=2x, 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE2+AE2=AB2, :2+(2x=(85,解得x=8或x=-8(不合题意，舍去)， 则BE=CF=8, 又，背水坡CD的坡比i=1:l, ∴.tan∠CDF=l, ·∠CDF=45o,则CD=CF sin450=8/2 8.(本题3分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=5,AC=12,CD⊥AB,则©os∠ACD的值为 () A.12 B号 c.3 【答案】D 【详解】解：在RIAACB中， :∠ACB=90°，BC=5AC=12 .AB=√AC2+BC2=13 :∠ACB=90°，CD⊥AB 5125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACD+∠A=90°，∠A+∠B=90° ∴.∠ACD=∠B cos∠ACD=cos∠B=BC=5 AB13· 9.(本题3分)如图，点A、点B、点C都在正方形网格的格点上，则cos∠ABC的值为() B 5 25 2 A.5 B.5 C. D.5 【答案】B 【详解】解：由勾股定理可得B=V2+2=22,AC=VP+P-2.BC=VP+3=0 :(22+(2=(o」 .AB2+AC2=BC2, ∴.∠BAC=90° cOS∠ABC= AB2√225 BC105. I0.(本题3分)如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,把矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG 当点E落在边AD上时，∠AEB的度数为() A G A.50° B.60° C.75° D.80° 6/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：设AB=a, ..BC=2AB. .BC=2a, 在矩形ABCD中，AB=CD=a,AD‖BC,∠D=90°， 由旋转的性质得，CE=BC=2a, 在RIACDE中，Sin∠CED=CD-Q=1 CE2a2· ∴.∠CED=30° AD‖BC, .∠ECB=∠CED=30°， 又BC=CE, :△BCE为等腰三角形， ∠CBE=∠CEB=180°-30°=75° 2 .AD II BC ∴.∠AEB=∠CBE=75° 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.) 1,（本题3分)在△MBC中，A.B均为能角，且有amB-3+2osA-=0.判断△4C的形状 是 【答案】等边三角形 【详解】解： 1tanB-3+(2cos4-1)2=0 .'tan B-/3=0,2cos4-1=0 ∴tanB=√5， CosA=- 2 则∠B=60°，∠A=60°， ,△ABC是等边三角形. 故答案为：等边三角形. 12.(本题3分)在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮 7125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的光斑.如图，4=∠2·若m∠40D= ,OB=8?则BC=— 光斑 平面镜 桌子 12 B 【答案】6 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜AB, :∠1+∠A0D=90°，∠2+∠B0C=90°， ∠1=∠2， .∠AOD=∠BOC, 3 ,tan∠AOD= 4· :tan∠BOc= 4 在RtAOBC中，∠OBC=90°，OB=8, ∴.tan∠BOC= BCBC_3 OB 84 .BC=6 AD 2 13.(本题3分)在AABC中，∠ACB=90,CD1AB于D.若BD3,则∠B的正切值为 616 【答案】3/3 【详解】解：如图， B ∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠A+∠ACD=∠B+∠A=90°， 8125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠B=∠ACD .tanB=tan∠ACD. CD AD :BD CD' ∴.CD2=AD.BD, AD 2 :BD3' :设AD=2m,BD=3m, CD=AD.BD=6m2 即cD=v6m tan B=CD=16m 6 BD 3m 3. 14（本腿3分)如图，在AMBC中，smB-子，mC= 4， 2,AB=4,则AC的长为 【答案)S 【详解】解：过A作AD⊥BC, D 在RIMBD中，simB=} 4,AB=4 .'AD AB.sin B=1, 在RIMCD中，anC= 2 AD 1 CD2,即CD=2, 根据勾股定理得：4C=√AD+CD-V+4=V5 9125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 故答案为： 【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的 性质是解本题的关键。 15.(本题3分)如图，已知P,D分别是等边△MBC的边BC,AC上的点，且∠APD=60°，PB=2, CD=4 3,则△4BC的边长为一 【答案】6 【详解】：△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC,∠B=∠C=60°， .∠BAP+∠APB=180°-60°=120°， :∠APD=60°， ∴.∠APB+∠DPC=180°-60°=120°， .∠BAP=∠DPC, 即∠B=∠C,∠BAP=∠DPC, ∴.△ABP∽△PCD: AB BP .PCCD· PB=2, CD=4 3, AB 2 AB-24 .AB=6, △ABC的边长为6 故答案为：6. 10125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质.证明△ABP∽△PCD是解答本题的关键. I6.(本题3分)如图，小明先将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再将△ABC纸片沿CD方向平移到 △EAD处，BC与AD重合，连接EC.若AB=2,BC=3,则sin∠ACE的值为 B 6W13 【答案】65 【详解】解：如图，作AH⊥CE于H,则∠AHC=90°， D 四边形 为矩形， C ABCD ∠B=90°， ..AC=AB2+BC2=22+32=13 :△ABC纸片沿CD方向平移到△EAD, ..EA=AB=2, .EB=EA+AB=4, :.EC=VEB2+BC2=V42+32=5 :∠AHC=90°，∠B=90°， ACB的面积-ExBc-ECx机。 2 .AH=EAx BC_2x3 6 EC55, 6 ∴sin∠ACE=4H=5_613 AC 13 65 11125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本题8分)计算： (1)sin'45°-tan60°.c0s30 cos60°.tan45°-√2sin60°.cos45° (2) 【答案】(1)-1 1- 3 (2)2 sin245°-tan60°.cos30° 【详解】(1)解 2 2 2 13 22 =1: (2)解： 2cos60°.tan45°-√2sin60°.cos45° =2xx1-2x5x2 22 13 2. 18.(本题8分)如图，在ABCD中，点E是AB的中点，AF⊥BC,且AF=FC=3,BF=L. D E B (1)求EF的长： (2)求tan∠ADE的值. 12/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 【答案】(1)2 1 2)3 【详解】(I)解：：AF⊥BC,AF=3,BF=1, 4B-AR+BF-10 :点E是AB的中点， EF=14B-10 ∴，在RtAABF中， 2 2. (2)解：如图，延长FE交DA的延长线于点G,连接FD, 点E是AB的中点， .'AE=BE, ,四边形ABCD是平行四边形，FC=3,BF=1, :ADII BC,AD=BC=BF+FC=4, .∠G=∠BFE,∠EAG=∠B, 在△AEG和△BEF中， I∠G=∠BFE ∠EAG=∠B AE=BE △AEG≌ABEF(AAS) GE=EF=10 2,AG=BF=1, ∴.DG=AD+AG=5. 13125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：ADI‖BC,AF⊥BC, .AF⊥AD 在Rt△MDF中，DF=VAF+AD=5, ∴DF=DG, 又：GE=EF, 、DE⊥FG(等腰三角形的三线合一)， 中，DE=VDG2-GE=5 v10 3V10 在 RtADEG 2 2, V10 tan∠ADE GE2 1 DE3√103· 2 19.(本题10分)如图，在菱形ABCD中，过点A作AF⊥BC分别交BD,BC于点E,F,过点E作 EG∥AD交CD于点G. E G (1)求证：∠EGC=2∠EAO. AE 4 (②)己知EG5,CG=6?求AF的长. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是菱形，对角线ACBD交于点O, .AD∥CB,CB=CD,AC⊥BD, ∴∠ADB=∠CBD=∠CDB. ,EGI‖AD交CD于点G, .∠EGC=∠ADC=2∠ADB. ,AF⊥BC分别交BD,BC于点E,F, ∴∠DAE=∠AFB=90°. 14125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AOD=90°， .∠ADB=∠EAO=90°-∠OAD. ∴.∠EGC=2∠EAO .64 (25 【详解】(1)略 (2)解：连接CE, BD垂直平分AC, ..CE=AE, AD =CD. ∴.∠ECA=∠EAC,∠DCA=∠DAC, :.∠DCE=∠ECA+∠DCA=∠EAC+∠DAC=∠DAE=90°， AE 4 EG5 CE-AE-EG ）2 -3EG=6 5 ∴EG=10. 4 :45=写×10=8 ,∠GED=∠ADB=∠CDB, ..DG=EG=10. .AD=CD=CG+DG=10+6=16, :DE=VAE+AD2=v82+16=85 15125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :sin∠ADE=OA-AE AD DE' .0C=0A=AE:AD_8x1616V5 DE 855, ÷4C=204=325 , ,∠AOE=∠AFC=90°， ∴cos∠CAF=F-OA AC AE 16W532V5 ÷Af=O4:AC=5&5-64 AE 5 64 F的长是5· sin(a+B)=sin a cos B+cosasin B 20.(本题10分)定义： cos(a+B)=cosa cos B-sin asin B sin(a-B)=sin a cos B-cosasin B cos(a-B)=cosa cos B+sin a sin B cos30°=cos(60°-30)=cos60°cos30°+sin60°sin30° 例如： _13515 2×2+222 (1)cos15°=，sin90°=_，sin2x=—; ②如图，在Rt△4BC中，∠C=90°，BC=a'AB=c'AC=b:求证：tan 4=SInA cosA: 16/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B b (3)利用(2)中的结论证明： tan a+tan B tan(a+B)= 1-tana tan B(1-tan a tan B≠0，cosa cosB≠0）· 6,2 【答案】(1)44；1；2 sinxcosx (2) 证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AB=c,AC=b, b ∴.sinA=a cos A=。,tan4=Q b sin A a .'cos A bb, .'tan 4=Sin 4 c0sA· 3) tan(a+B)= sin(a+B)sina cosB+cosasinB 证明：， cos(a+B)cosa cos B-sin asin B sina sin B tana+tan B cosa cos B 1-tan a tan B 1 sin a sin B cosa cos B sinacos B cosasin B cosa cos B cosa cos B cosa cos B-sinasin B cosa cos B 17125 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sina cos B+cosasin B cosa cos B cosa cos B-sinasin B cosa cos B sin a cos B+cosasin B cosa cos B-sina sin B' tan a+tan B .tan(a+B)= 1-tana tan B. c0s15°=cos(45°-30°) 【详解】(1)解： =cos45°cos30°+sin45°sin30° =2x5,21 -X -X- 2222 6,2 44: sin90°=sin(45°+45) =sin45°cos45°+cos45°sin45° √2√2,2√2 2222 1.1 =2+2 =1； sin 2x=sin(x+x) =sinxcosx+cosxsinx =2sin xcosx; (2)略 (3)略 21.(本题10分)玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1），玉华山用 转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇.某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角 形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶OA、OB、 OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔架OD叠合时（即O、C、D 18125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在同一直线上)，在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A 的仰角为60°，点A,B,C,D,E,0,在同一平面内.（参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75， V3≈1.73 ) B 图1 图2 (1)求塔架OD的长度： (2)求风叶OA的长度.（精确到1米） 【答案】(1)塔架OD的长为75米： (2)风叶OA的长为49米. 【详解】(1)解：根据题意，可知∠ODE=90°，ED=100m,∠OED=37°， tan∠0sD=0D=OD=0.75 ED100 .0D=100×0.75=75米. 答：塔架OD的长为75米。 (2)解：如图，过点A作AH⊥ED于点H,过点O作OG⊥AH于点G, A -3 G E H D 设风叶OA的长度为2xm, ,∠OGH=∠GHD=∠ODH=90°， ∴.四边形ODHG为矩形， .∠GOD=90°，OD=GH=75m, 19125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ×∠A0C=120°， .∠A0G=30°， :.AG=04=x,OG=HD=OAxCos30=3x :AH=4G+GH=(x+75)m EH=ED-HD=(100-3x)m .∠AED=60°. :tan∠ABD=4H-N5 EH x+75=5 100-V3x .x+75≈100V5-3x 解得x≈24.5， ∴0A=2x=49米. 答：风叶OA的长为49米 22.(本题12分)如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： B B B C 1 A 图① 图② 图③ 图④ (1)sin+cos sin2+cos2= (2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，则有sin2A+cos2A= 3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,C,利用三角函数的定义和 勾股定理，证明你的猜想 ④若0<A<90,且sinA:c0sA= 25,求sinA+cosA的值. 【答案】(1)1；1 (2)1 20125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明：如图④， b 图④ 根据正弦、余弦的定义得： sin2 4+cos2 4= - 根据勾股定理得：a2+b2=c2, .'sin24+cos24= a2+b2 c2 21, ∴.sin2A+cos2A=1. ④5 【详解】(1)解：如图①、图②， B B 2 C21A2 图① 图② 根据正弦、余弦的定义得： sin4=BG、1 2, cos4=4G、V5 B,C=1-V2 4C-=1-2 AB AB 2, sim484,22, cos A= B,4,22, 2 sin?+cos? (2)解：如图③， 21125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 C 4 A 图③ 根据正弦、余弦的定义得： 根据(1)得： sin2+cos2 份1m4s4 根据上述计算，可猜想：sinA+cos2A=1. (3)略 （4解：“n'A+osSA=1sin4cosA= 25, .'(sin4+Cos4)2=sin24+cos24+2sin4.cos4=1+ 2449 2525: 0°<∠A<90°， .'sinA >0,cosA>0. sin+cos4=/(sin4+cos)=5=5. 497 7 ·sinA+cosA的值为5 23.(本题14分)如图，在△1BC中， ∠4CB=90°AC=2,AB=25.0为边MB的中点，D为线段 OA上一点（不与点O重合），点D关于点O的对称点为点E,以DE为斜边构造等腰直角三角形DFE， 点F和点C在直线AB的同侧. 22/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○ (1)BC=」 (2)连接OF,求证：OF⊥DE: 3)当点F在边BC上时，求DE的长： (4)H是线段BC上一点，连接FH.当FH∥AB,且FH=2时，直接写出DE的长. 【答案】(I)4 (2)证明：根据题意，得点D关于点O的对称点为点E, .:.OD=OE, ~以DE为斜边构造等腰直角三角形DFE, .DF EF, ∴.OF⊥DE」 6 ④5-2或5+2 【详解】(1)解：∠4CB=90°，AC=2AB=2V5 BC=-C(25-2=4 (2)证明：略。 (3)解：根据题意，得tamB=1C-2_1 BC42· 根据题意，得点D关于点O的对称点为点E, ∴.OD=OE ~以DE为斜边构造等腰直角三角形DFE, ..DF=EF, .OF⊥DE,OF=OD=OE 23125 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..DE =20E tan B=OF 1 OB 2 ∴.OB=2OF=2OE. :O为边AB的中点， 0B=AB=5, 9y .20E=5 :DE=5 (4)解：当FH在△ABC的内部时.如图，延长OF交BC于点G, 根据题意，得tanB=4C-21 BC42: .'.tan B= 0G0G1 0B=52 G-5 解得 2, :FH∥AB,OF⊥OB .∠B=∠FHG,∠BOG=∠HFG=90°， ∴.tan∠B=tan∠FHG, FG 1 FH2 FH=2, .FG=1, 0F=0G-FG=5-1-5-2 2 2， ∴DE=20F=V5-2 24/25 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C G H B AC 2 1 当FH在。ABC的外部时.如图，根据题意，得anB= BC4-2· .'.tan B= OGOG 1 OB52 解得 G-5 2, A D E G B :FH∥AB :ZB=ZFHG, ∴.tan∠B=tan∠FHG, FG 1 FH-2, FH=2, .FG=1, ∴.OF=OG+FG= +1=6+2 2 2, ∴.DE=20F=V5+2 综上所述， DE的长为 5-2√5+2 或 25125………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章 锐角三角函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 3．（本题3分）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知为锐角，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          7．（本题3分）如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）在中，，均为锐角，且有，判断的形状是__________． 12．（本题3分）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 13．（本题3分）在中，，于D．若，则的正切值为___________． 14．（本题3分）如图，在中，，，，则的长为________． 15．（本题3分）如图，已知，分别是等边的边，上的点，且，，，则的边长为___． 16．（本题3分）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)； 18．（本题8分）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 19．（本题10分）如图，在菱形中，过点A作分别交，于点E，F，过点E作交于点G． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 20．（本题10分）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 21．（本题10分）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 22．（本题12分）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 23．（本题14分）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． (1)___________； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是线段上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章锐角三角函数·能力提升（参考答案) 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) 1 2 3 4 5 个 8 10 B B D B D D B 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分） 11.等边三角形 12.6 556 4V5 15.6 6V13 16.65 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) sin245°-tan60°.cos309 【详解】(1)解： 9-9 13 =22 =-1；(4分) 2cos60°.tan45°-V2sin60°.cos45° (2)解： 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2xx1-2x5x2 22 1 Γ2.(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：：AF⊥BC,AF=3,BF=1, 4B-VAF+BF-10 ,点E是AB的中点， 在RtsABF中， 24Bs0 2.(2分) (2)解：如图，延长FE交DA的延长线于点G,连接FD, G D ,点E是AB的中点， .AE=BE, ,四边形ABCD是平行四边形，FC=3,BF=1, :ADII BC,AD=BC=BF+FC=4, .∠G=∠BFE,∠EAG=∠B, 在△AEG和△BEF中， I∠G=∠BFE ∠EAG=∠B AE=BE :△MBG≌aBEF(AAS) GE-EF-10 2,AG=BF=1, 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DG=AD+AG=5,(5分) 又：ADII BC,AF⊥BC, .AF⊥AD, 在Rt△MDF中，DF=VMF+AD=5 .DF=DG 又，GE=EF, .DE⊥FG(等腰三角形的三线合一)， 中，DE=VDG2-GE2= 52 V10 3V10 在 RtADEG 2 2 V10 :tan∠ADE= GE 2 DE 3103.(8分) 2 19.(10分)(1) 证明：：四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O, .AD∥CB,CB=CD,AC⊥BD, ∴.∠ADB=∠CBD=∠CDB, EG‖AD交CD于点G, ∴.∠EGC=∠ADC=2∠ADB」 AF⊥BC分别交BD,BC于点E,F, .∠DAE=∠AFB=90°， .·∠AOD=90°， .∠ADB=∠EAO=90°-∠OAD. .∠EGC=2∠EA0.(4分) (2)解：连接CE, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD垂直平分AC, ∴.CE=AE, ,AD=CD」 ∴.∠ECA=∠EAC,∠DCA=∠DAC, ∴.∠DCE=∠ECA+∠DCA=∠EAC+∠DAC=∠DAE=90°， AE 4 :EG5, CE-AE-4EG 5 .EG=10, :AB=4x10=8 5 .∠GED=∠ADB=∠CDB, ..DG=EG=10. .AD=CD=CG+DG=10+6=16. :DE=VAE2+AD2=V82+16=85 :sin∠ADE=O4=AE ADDE· :0C=0A=4E:4D_8x16165 DE-8√55， ,4C=204=32V5 5, .∠AOE=∠AFC=90°， 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos∠CAF=AE、OA ACAE· 16W532V5 ·AF=0A4C-5X5=64 AE 8 5 64 4F的长是5.(10分) 62 20.(10分)(1)44；1：2 sin xcosx(3分) (2) 证明：：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a,AB=c,AC=b, mA=名，cos4=名.m4=号 b C’ b, a sinAca .cosA bb, .'tan A=SinA cosA:(5分) (3) 证明：am（(a+月)= sin(a+B)sina cos B+cosasin B cos(a+B)cosa cos B-sinasin B sina,sinB tan a+tan B cosa cos B 1-tan a tan B 1- sinasin B cos a cos B sina cos B,cosasin B =cosacosB cosacosB cosa cos B-sinasin B cosa cos B sina cos B+cosasin B cosacos B = cosa cos B-sinasin B cosa cos B 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =sina cos B+cosasin B cosa cos B-sinasin B' tan a+tan B tan(a+B)= 1-tan a tan B .(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：根据题意，可知∠ODE=90°，ED=100m,∠OED=37°， 'an∠OED=OD-OD ED100 =0.75 .0D=100×0.75=75米. 答：塔架OD的长为75米.(3分) (2)解：如图，过点A作AH⊥ED于点H,过点O作OG⊥AH于点G, B G H 设风叶OA的长度为2xm, :∠OGH=∠GHD=∠ODH=90°， ∴.四边形ODHG为矩形， .∠GOD=90°，OD=GH=75m, .∠AOC=120° .∠A0G=30°， 4G=,0A=x,0G=HD=0Axc030°=5， :.AH=AG+GH=(x+75)m EH=ED-HD=(100-3x)m :∠AED=60°， :tan∠AED=4g=V5 EH 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :+75 100-3x =V3 .x+75≈100W3-3x 解得x≈24.5， .0A=2x=49米. 答：风叶0A的长为49米.(10分) 22.(12分)(1)1；1(2分) (2)1(3分) (3)证明：如图④， B 6 图④ 根据正弦、余弦的定义得： sin2 4+cos24= s+{g-e+②- 根据勾股定理得：a2+b2=c2, ..sin2 A+cos'd=+b2c2 2e2-1, .sin2A+cos2A=1.(7分) （④解：”sin2A+eosA=1sin4cos1 25, .(sinA+CosA)2=sin24+cos24+2sin4.cos4=1+ 2449 2525 ,0°<∠A<90°， .'sinA>0,cos4>0. 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sind+cos4-(sin4+cos)5, 497 > sinA+cosA的值为5.(12分) 23.(14分)(1)4(1分) (2)证明：根据题意，得点D关于点O的对称点为点E, ∴.OD=OE :以DE为斜边构造等腰直角三角形DFE, .DF=EF, .OF⊥DE.(4分) (3)解：根据题意，得anB=1C=?_1 BC42, 根据题意，得点D关于点O的对称点为点E, ∴.OD=OE ·以DE为斜边构造等腰直角三角形DFE, .DF=EF, .OF⊥DE,OF=OD=OE OF 1 .DE=20E, tan B= 0B2, ∴.OB=2OF=2OE. O为边AB的中点， :.OB-14B-5 2 20E=√5 .DE=5 8分) (4)解：当FH在△ABC的内部时.如图，延长OF交BC于点G, 根据题意，得tanB=4C=21 BC42, ∴tanB=Oc=OG1 OB√52 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得 G 2, FH∥AB,OF⊥OB .∠B=∠FHG,∠BOG=∠HFG=90°， ∴.tan∠B=tan∠FHG FG_1 FH 2 :FH=2, .FG=1, 0F=0G-FG=5 1=5-2 2, .DE=20F=V5-2 D E ◇ H B 当FH在aMBC的外部时.如图，根据题意，得mB=AC=名- BC42 ..tanB=OG_OG 1 OB 5 2 0G= 解得 2, 4 D O E G H B FHI∥AB 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=∠FHG. ∴.tan∠B=tan∠FHG FG 1 FH 2 FH=2, .FG=1, 0F=0G+G=5 1=5+2 2, DE=20F=5+2 综上所述，DE的长为5-2或5+2.(14分) “或 10/10