第3章 锐角三角函数 单元测试 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦锐角三角函数单元核心知识，通过基础概念辨析与生活实践情境题，适配单元复习需求，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数定义、性质（如第3题边长扩大对正弦值影响）、实际应用（如第4题脚踏板高度差）|基础巩固，结合生活数据（尺码表）| |填空题|6/18|三角函数计算（第11题）、三角形形状判断（第15题）、网格求值（第14题）|能力提升，渗透几何直观| |解答题|8/72|测量问题（第21题树高测量）、坡度应用（第20题斜坡大树高度）、跨学科情境（第24题广播电视塔测量）|创新应用，体现模型意识与推理能力|

第3章 锐角三角函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2、在中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 3、若把的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值（     ） A．扩大16倍 B．扩大4倍 C．缩小 D．无变化 4、如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 5、在中，，，则的形状（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．无法确定 6、如图，，，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7、如图所示，在中，于，于，且，已知，那么等于（   ） A． B． C．5 D． 8、如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9、如图，测量人员在高处C测得A，B两点的俯角分别为，，若点C处的高度为20米，则A，B两点的距离为（ ） A. 20米 B. 米 C. 米 D. 米 10、如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、在中，，，，则的长为_________. 12、已知，锐角的度数是_____． 13、在中，，，，则的度数为______． 14、如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为______． 15、在中，满足：，则的形状为 ． 16、如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算：(1)． (2) 18、如图，在中，，于点，，，求的长． 19、如图，中，，D是上一点，，，，求的长． 20、如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，某数学小组在点处测得大树顶点的仰角为，测得斜坡的长为，求大树的高度． 21、如图，要测量斜坡旁一棵树的高度，先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，点的高的长为，求树的高度. 22、周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 23、如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别为，，测得米，米，坡面的坡度，在处测得电线杆顶端的仰角为，求电线杆的高度． 24、某地广播电视塔由塔体(含塔座、塔身、塔楼)和桅杆两部分组成，如图1． 某数学兴趣小组的同学们开展了测量塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地点A，B，分别由甲、乙两组同学测量塔体顶端点D和桅杆天线顶部点C的仰角，丙组同学测量这两个测量地点之间的距离． 【实地测量】水平地面上测量地点A，B与塔体底端(对应点H)在同一条直线上，线段AE，BF分别表示测角仪支架，线段表示桅杆天线，表示塔体． 测量一：甲组同学在A处测量一次，测得塔体顶端点D的仰角为； 测量二：乙组同学在B处测量一次，测得桅杆天线顶部点C的仰角为”； 测量三：丙组同学测量了三次，数据如下： 测量项目 第一次 第二次 第三次 A，B之间的距离 (1)丙组同学三次测量A，B之间距离的平均值为____________； (2)已知塔顶部桅杆天线高，测角仪支架高，求塔体的高度(结果精确到．参考数据：，，)： (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第3章锐角三角函数（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=V5,则sinA的值为() 5 2 、v5 25 A.3 B.3 C.2 D.5 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3,AC=V5, .BC=VAB-AC2=3-(5)=2 .sin 4=BC2 AB 3. C 2、在RtAABC中，∠C=90°，AB=6,CosB3 3,则AC的长为（) A.4 8.25 c.3V5 D.4V5 【答案】B 【详解】如图， ◇ cos B= 2 :在Rt△ABC中∠C=90°，AB=6, 3 BC 2 BC 2 .AB3,即63， 解得：BC4, 则AC的长为： VAB2-BC2=V62-42=25 3、若把△ABC的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值(） 1 A.扩大16倍 B.扩大4倍 C.缩小4 D.无变化 【答案】D 【详解】解：锐角三角函数值是随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正弦函数值不会随着边长的扩大而变化， 即若把△ABC的各边长都扩大4倍，则锐角A的正弦值无变化， 4、如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为19°，则穿37码平底 鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为() 脚长 2 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚/mm 220 225 230 235 240 245 250 23.5 23.5 A. sin19.cm B. cos19.cm C.23.5sin19°cm D.23.5tan19°cm 【答案】C 【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长235mm=23.5cm, 故脚尖与脚后跟的高度差为23.5sin19°cm, 1 5、在△ABC中，tanA=l,cosB= 2,则△ABC的形状() A.一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定 【答案】A 1 cosB=- 【详解】解：由 2,得∠B=60°， tanA=1 ∠A=45° 得 ∠C=180°-45°-60°=75° 故是锐角三角形， 3 6、如图，∠ACB=90°，AC=10,OB=17, cos∠OBC= 5,则点C的坐标为(） -3 A B B.(8,12) C. 4 D.(6,10) 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D,过，点C作CELy轴于点E, D B .:∠ACB=90°.∠AOB=90° :.∠OBC+∠OAC=180° .·∠EAC+∠OAC=180° :.∠EAC=∠OBC AC=10, cos∠OBC=3 ,cos∠EAC= EA AC =cos∠OBC=3 .EA=6 EC=AC2-EA2=8 ..OD=EC=8 0B=17, .BD=9 ·c0S∠OBC= BD 3 CB 5, .CB=15 :.CD=VCB2-DB2=V152-92=12 :C(8,12) 7、如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,且BE=2AE,已知 AD=33,tan∠BCE= 3,那么CE等于() E D A.23 B.3V3-2 C.5 D.4V3 【答案】D 【详解】解：CE⊥AB, .∠CEB=90°， V3 .tan∠BCE= 3 .∠BCE=30°， -5 ∴.∠B=90°-30°=60°； :AD⊥BC, ∴.∠ADB=90°， ·AB=AD _3V3 =6, sin B sin60 BE=2AE, BE=2AB=4. 3 BE 4 CE= =43 tan∠BCEV3 8、如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工速度，在直线AB上湖的另一边的，点D处同时施工，取 ∠ABC=150°BC=160m∠BCD=105° ,则C,D两，点之间的距离为() D A.20v2m 8.40V2m C.60v2m D.80v2m 【答案】D 【详解】解：过，点C作CE⊥BD于点E,如图所示： B ∠BEC=∠CED=90° .·∠ABC=150° 6 .∠CBE=180°-150°=30° :.∠BCE=90°-30°=60° ·∠BCD=105° ·.∠DCE=105°-60°=45° .·BC=160m,∠CBE=30°，∠BEC=90° .cE=6c=80m 2 CD=CE 80 cos∠OCE cos45° =80N2(m) 9、如图，测量人员在高处C测得A,B两，点的俯角分别为45°，30°，若点C处的高度为20米，则 A,B两，点的距离为() A.20米 B.20V3米 c.10(3-米D.20(3-米 【答案】D 【详解】如图， D A B 7 .CE//DB, ∴.∠CAD=∠ACE=45°，∠CBD=∠BCE-30° 在Rt△ACD中，.'∠CAD=45°， .AD=CD=20米， CD 在Rt△DCB中，.tan∠CBD=BD, CD 20 BD= =20N5 tan∠CBD√3 (米). 3 AB=BD-AD-205.20-20(V5.1)米. 故这条江的宽度AB长为20(V3-1)米. 10、如图，平面直角坐标系中，，点B在第一象限，点A在X轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°， OA=4将△AOB绕点0逆时针旋转g0,点B的对应点B的坐标是() B A A.-2/2,6 B.6,2V3 c.-23,6 D.-6,2+3 【答案】C 【详解】由旋转可知，OA=OA=4,∠AOB=∠AOB=∠ABO=∠B=30°， —8— 过点B作y轴的垂线，垂足为M, B 0 A ∠AOB=∠B,OA=4, ..A B=OA=4, .∠AOB=∠ABO=30°， ∴.∠BAM0=60°， 在Rt△ABM中， sin∠BAM=BM AB ·BM-3 42 .BM=2V3, 同理可得，AM=2, .M0=2+4=6, .点B的坐标为-23,6. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1 1l、在RtABC中，∠C=90°，BC=2,tanA=2 2,则AB的长为 —9 【答案】25 【详解】在RiAABC中，∠C=90°，BC=2, tan 4= BC 1 ∴.AC-4, 4B=VAC+BC2+2=25 故答案为：2V5 1 os(a+15)= 12、已知 2,锐角a的度数是— 【答案】45° Cos(au+15)=7cos60°/ 【详解】解： 2 .a+15°=60° .a=45°. 故答案为：45° 1、在△ABC中，B=2 3 4C-1,tanc=1 3,则∠B的度数为一 【答案】60°或120° 【详解】解：作AD L BC于D,分两种情况： ①∠ABC是锐角时，如图1所示： -10 D 图1 =1=AD tanC-3-CD, 设AD=X,则CD=3x, 由勾殷定理得：x+(3x)=(W1O, 解得：x=1, .'AD=1, sin∠ABC=AD B232, 3 ·∠ABC=60°； ②∠ABC是钝角时，如图2所示： A B D 图2 同①得： ∠ABD=60° .∠ABC=120°； 综上所述，∠B的度数为60°或120°； —11 故答案为：60°或120° 14、如图，△ABC的顶，点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为 B 【塔灯5 【详解】解：如图，过B作BD1AC于点D B 根据勾股定理得：AB=V32+4=5,AC=V32+6=35 5-4C-BD=4×6-×3x1-2x3x4-×6x3-5 2 2 2 .'BD=5 sin∠CAB= AB 5 5 故答案为： 5 15、在△ABC中，∠从∠B满足：(sinA-5+2osB-=0,则△ABC的形状为 【答案】等边三角形 12 【详解】解：：(2si血A-V+2cosB-1=0, .2sin 4-3=0,2cos B-1=0 sin 4=V3 1 2CosB=」 2, .∠A=60°，∠B=60° .LC=60°， ∴△ABC是等边三角形. 故答案为：等边三角形. 16、如图所示，在长方形ABCD中，对角线AC=2AB，点P是AC上一动点，连接BP,将△ABP 沿BP折叠，点A的对应，点是A',当，点A落在边BC的垂直平分线上时，∠ABP的度数为 0 【答案】30°或60° 【详解】解：如图，连接BD交AC于O, D —13— :在长方形ABCD中，对角线AC=2AB, .∠ABC=90°sin∠ACB=AB=1 AC2.0A=OB=OC=OD .∠ACB=30°，∠BAC=90°-30°=60°，0在BC的垂直平分线上， 如图：当A落在线段BC的上方时，A,O重合时，如图：则∠BA4=∠BAA=60°，AB=AB, A D A .△ABA'是等边三角形， ∠ABP=二×60°=30° 当A落在线段BC的下方时，P,O重合时，PA落在直线I上，如图， D P B .∠PBC=∠PCB=30°， .∠ABP=90°-30°=60°； 综上，∠ABP的度数是30°或60° 故答案为：30°或60°」 —14— 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分，22-24，每题10分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算：(1)c0s'45°+sin450.c0s30-V18 tan60°， (2)tan30xsin60°+kos45°-V2-(tan45°-3) 13W6 12 【答案】(1)24；(2)42 【详解】解：(1)c0s45°+sin450cos30-V18 tan60° 2)tan30°×sin60°+cos45°-V2-(tan45°-3) =121 224 1,V2 =4+2. 如图，在R△4BC中，∠ACB=90°，CD14B于点D,cosA=3,CD=4.* C D 【答案】2V5 —15— 【详解】解：：∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°， ·.∠BCD=∠A :cos∠BCD=cos∠A=2 BC=CD 4 在RtABDC中， COSA2=6 3, .BD=VBC2-CD2=V62-42=2V5 18如8.6C中，∠C=90,D是4C上-点，5D=10N5,∠BDC=4.sn4 5,求 AC 的长 B D 【答案】AC=5V2I. 【详】解：在RtBCD中，BC=BD-sin45=10N5x5=10 2 895 在Rt△ABC中， .AC=VAB2-BC2=V252-102=5√21 20、如图，斜坡CE的坡度i=1:2,在斜坡上有一禄垂直于水平面CD的大树AB,某数学小组在 —16 ,点C处测得大树项，点A的仰角为60°，测得斜坡CB的长为l5m,求大树AB的高度. 【答袋】(6i5-3V5)m 【详解】解：如图，延长AB交CD于点F,则∠AFC=90°， ⊙ D :斜坡CE的坡度i=1:2 .BF:CF=1:2 设BF=x,则CF=2x, :x2+(2x)2=152 :=35或=-35（不合题意，舍去） :.BF=3W5CF=65 在Rt△ACF中，AF=CF·tan60°=6V5×V3=615, .AB=AF-BF=615-3/5 :大树AB的高度为(615-3V5)m —17— 21、如图，要测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，先在，点C处测得树项A的仰角为60°，然后在坡 顶D测得树项A的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m,点D的高DE的长为10m，求树AB 的高度 D 【答案】30(m) 【详解】过D作DFI‖EB交AB于F,则LCDF=∠DCE,DF⊥AB Dj309 160 E 在RIADCE中， in∠DCE=DE_101 CD202 .∠DCE=30° .∠ACD=180°-30°-60°=90° ∠ADC=∠ADF+∠CDF=30°+30°=60° 在RA4CD中，AC=CDtan60°-203(m)） 在RA1BC中，1B=AC-sin60'=20V5xV 2 -30(m 22、周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时 —18— 秋千位于铅垂线AB上，荡秋千的起始位置为C,最高，点为D,,点C距离地面为1m,秋千位于C时， 安全链AC与铅垂线AB夹角为37°，安全链AC=3m. (1)求，点A到地面的距离AB; (2)当王明用力将李亮从C处推出后到最高，点D处，此时∠CAD=90°，求，点D到地面的距离.（参 考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8) 【答案】(1)3.4m (2)1.6m 【详解】(1)解：安全链AC与铅垂线AB夹角为37°， ∴.∠CAB=37o 过点C作CE⊥AB --E ⊙ 在Rt△ACE中，cos∠CAE=c0s370=AS=0.8, Ac .AC=3 AE=0.8, 3 -19 .∴.AE=2.4m .∴.AB=AE+BE=2.4+1=3.4m 点A到地面的距离AB为3.4m (2)解：过点D作DF⊥AB, .'∠CAD=90°， .∴.∠DAF=∠CAD-∠CAE=53°， 在Rt△ADF中，∠ADF=180°-∠AFD-∠DAF=37°， sin∠ADF=6in37°=AS-0.6, AD AD=3, ∴.AF=3×0.6=1.8m 由（1)得AB=3.4m, ∴.FB=AB-AF=3.4-1.8=1.6m .点D到地面的距离为1.6m 23、如图，直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别为BC,CD ,测得BC=45来，CD=4来，披面CD的坡度i=1:V5,在D处测得电线杆顶瑞A的仰角为30° ,求电线杆AB的高度. —20— 【答案】8米 【详解】解：过D作DE⊥BC交BC延长线于，点E,过D作DF⊥AB于点F, F山 D E ~CD的坡度i=l:V5 设DE=x米，则CE=V3x, 在Rt△CDE中，DE2+CE2=CD2 x2+(5x=4, .x=2 :BF=DE=2米，CE=25米， :DF=BE=BC+CE=43+25=6N5（ RADE中，AF=DF:ta30=6N3xY2=6米 3 .AB=AF+BF=6+2=8(米) 21 24、某地广播电视塔由塔体（含塔座、塔身、塔楼）和桅杆两部分组成，如图1， D A B 图1 图2 某数学兴趣小组的同学们开展了测量塔体部分高度的实践活动，过程如下： 【制订方案】如图2，在塔座底部所在的水平面上，选取两个不同的测量地，点A,B,分别由甲、乙 两组同学测量搭体顶端点D和桅杆天线顶部，点C的仰角，丙组同学测量这两个测量地，点之间的距 离. 【实地测量】水平地面上测量地，点A,B与搭体底端（对应，点H)在同一条直线上，线段AE,BF分别 表示测角仪支架，线段CD表示桅杆天线，DH表示塔体. 测量一：甲组同学在A处测量一次，测得塔体顶端，点D的仰角为31°； 测量二：乙组同学在B处测量一次，测得桅杆天线项部点C的仰角为45°”； 测量三：丙组同学测量了三次，数据如下： 第一 测量项目 第二次 第三次 次 A,B之间的距离 57.6m 57.8m 57.7m 22 (I)丙组同学三次测量A,B之间距离的平均值为」 m (2)已知塔顶部桅杆天线CD高100m,测角仪支架高l.6m,求塔体DH的高度（结果精确到lm.参考 数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)： (3)从减小误差的角度考虑，你认为哪个小组的测量方法更合理？请说明理由. 【答案】(1)57.7 (2)塔体DH的高度约为238m: (3)丙组，理由见解析 【详解】（1)解：3×(57.6+57.8+57.7)=57.7(m) 答：丙组同学三次测量A,B之间距离的平均值为57.7m; (2)解：如图，延长EF交CH于，点N,则∠CNF=90°， D A B 图2 ∴.∠CFN=45° ∴.CN=NF 设DN=xm,则NF=CN=(x+100)m, AB=EF =57.7m —23 ∴.EN=57.7+(x+100)=(x+157.7)m 在RtDEN中，an∠DEN=DN EN, 则DN=EN·tan∠DEN, 即x=0.6×(x+157.7）, 解得x=236.55 则DH=DN+NH=236.55+1.6=238.15≈238， 答：塔体DH的高度约为238m; (3)解：丙组的测量方法更合理.因为对多次测量结果取平均值可以减小误差. —24—