第1章 一元二次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学第1章一元二次方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，通过实际问题建模（如商品降价、劳动基地扩建）和新定义题型（如“凤凰方程”），培养数学思维与应用意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|一元二次方程定义、根与系数关系、实际应用|结合AI对话情境（题4），基础概念辨析| |填空题|6/18|方程求解、根的判别式、实际问题建模|网聊群红包问题（题11），体现模型意识| |解答题|10/75|解方程、分类讨论、新定义、实际应用|含利润问题（题21）、劳动基地扩建（题23）、阅读材料解方程（题25），注重运算能力与创新应用|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B D A D A A B A 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．/ 12． 13．（答案不唯一） 14． 15． 16．2 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴；（4分） （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程；（4分） （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴．（8分） 19．（10分） 【详解】(1)解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确．（4分） (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元（4分） （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元．（10分） 22．（12分） 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为．（6分） （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ．（12分） 23．（14分） 【详解】（1）证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根．（5分） （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，，（9分) ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 2．（本题3分）一元二次方程化为一般形式后，当二次项系数为9时，常数项是（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 原方程：， 移项得：， ∴ 一般形式为 ， 其中二次项系数 ，常数项 . 故选B. 3．（本题3分）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 4．（本题3分）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 5．（本题3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 6．（本题3分）若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 7．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：将原方程整理得， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 8．（本题3分）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 9．（本题3分）小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 10．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）当___________时，代数式与的值相等． 【答案】/ 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为__________． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 13．（本题3分）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 14．（本题3分）若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 【答案】 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 15．（本题3分）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 【答案】 【详解】解：∵根的判别式的值是， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（本题3分）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（本题8分）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； (2) 【详解】（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 19．（本题10分）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)， (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． （2）略 20．（本题10分）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 21．（本题10分）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 22．（本题12分）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 23．（本题14分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程化为一般形式后，当二次项系数为9时，常数项是（   ） A．2 B． C．6 D． 3．（本题3分）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 4．（本题3分）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 5．（本题3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．（本题3分）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 9．（本题3分）小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 10．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）当___________时，代数式与的值相等． 12．（本题3分）在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为__________． 13．（本题3分）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 14．（本题3分）若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 15．（本题3分）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 16．（本题3分）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 19．（本题10分）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 20．（本题10分）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 21．（本题10分）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 22．（本题12分）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 23．（本题14分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第1章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一元二次方程化为一般形式后，当二次项系数为9时，常数项是（   ） A．2 B． C．6 D． 3．（本题3分）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 4．（本题3分）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 5．（本题3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若关于x的方程有实数根，则c的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．（本题3分）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 9．（本题3分）小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 10．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）当___________时，代数式与的值相等． 12．（本题3分）在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包．求这个网聊群共有多少个人．设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为__________． 13．（本题3分）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 14．（本题3分）若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 15．（本题3分）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 16．（本题3分）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 3、 解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 19．（本题10分）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 20．（本题10分）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 21．（本题10分）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 22．（本题12分）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 23．（本题14分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $