17.2用公式法分解因式（第3课时）教学课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17章 因式分解 17.2　用公式法分解因式 第3课时　先提公因，再套公式 人教版 数学（八年级上册） 先估一下 同一个式子能写成两种样子：几个整式连乘，或者乘完得到的多项式；把后者还原成连乘，叫作因式分解． 平方差、完全平方这两条乘法公式反着用，正好能还原，这套办法叫公式法． 2 1.和与差的平方：a2＋2ab＋b2＝(________)2，a2－2ab＋b2＝(__________)2. 平方差公式：a2－b2＝(_______)(_______). a＋b a－b a＋b a－b 2．把下面各式写成积： (1)9a2－4；　(2)(2a＋m)2－(a－2m)2；　 解：(1)原式＝(3a)2－22 ＝(3a＋2)(3a－2)； (2)原式＝[(2a＋m)＋(a－2m)][(2a＋m)－(a－2m)] ＝(3a－m)(a＋3m)； (3)m2－4a2；　 (4)a2＋4a＋4； (3)原式＝(m＋2a)(m－2a)； (4)原式＝(a＋2)2； (5)(2m＋3a)2－(m－a)2；　 (6)(a＋m)2－4(a＋m)＋4. (5)原式＝(2m＋3a＋m－a)(2m＋3a－m＋a) ＝(3m＋2a)(m＋4a)； (6)原式＝(a＋m－2)2. 看个特例 拆到底：16a4－81. 两块平方相减，用___________拆开 平方差公式 这里 a = ____，b = ____ 4a2 9 解：(1)16 a4 – 81 = (4a2)2 – (9)2 = (4a2 + 9)(4a2 –9) 这一步还能再拆一层 = (4a2 + 9)(2a + 3)(2a – 3) 每个括号都要看住：拆到再拆不动才算完. 拆完了吗？ 例1　拆成积：　 (1) m4 – 16； 先认底数：可以用___________来拆 平方差 此时 a = ____，b = ____ m2 4 拆开一步 解：(1) m4 – 16 = (m2)2 – (4)2 = (m2 + 4)(m2 – 4) = (m2 + 4)(m + 2)(m – 2) 括号里还是平方相减 (2) a3m – 4am. 解：(2) a3m – 4am = am(a2 – 4) = am(a + 2)(a – 2) 括号里用____________再拆 各项都含___________，先提走 公因式 平方差 11 拆成积：－4am3＋8am2－12am. 首项带负号，_____________先提出来 共同的因式 =－4am(m2-2m+3) =－4am(m2-2m+1+2) =－4am[(m－1)2+2] 例2　化成积：　 (1) 2an2 + 4anx + 2ax2； (2) – ay2 + 2a2y – a3 . 解：(1) 2an2 + 4anx + 2ax2 = 2a(n2 + 2nx + x2) 先把公因式提走，括号里再凑完全平方 (2) – ay2 + 2a2y – a3 = –a(y2 – 2ay + a2) = –a(y – a)2 = 2a(n + x)2 式子一长，就别只盯一条公式：先扫一遍各项，看有没有共同的因式；提走以后再瞧括号，像不像公式的样子，不像就停手. 例3　写成积： (1)(3a－1)2－(a＋3)2； 解：(1)原式＝(3a－1＋a＋3)(3a－1－a－3) ＝(4a＋2)(2a－4) ＝4(2a＋1)(a－2)； 15 (2)a2(a－m)2－9(m－a)2； (2)原式＝a2(a－m)2－9(a－m)2 ＝(a－m)2(a2－9) ＝(a－m)2(a＋3)(a－3)； (3)(a＋2m)2＋4(a＋2m－1)＋8；　 (3)原式＝(a＋2m)2＋4(a＋2m)＋4 ＝(a＋2m＋2)2； (4)(a2－2a)2＋2(a2－2a)＋1. (4)原式＝(a2－2a＋1)2 ＝(a－1)4. 18 拆之前先看结构，再挑公式： 第一步：先扫各项，看有没有共同的因式——数、单项式、整个括号都算； 第二步：再看括号里剩几项：两项且平方相减，走平方差；三项且首尾成平方，走完全平方； 第三步：回头把每个括号再过一遍，能拆就接着拆，拆不动才收笔． 验算 1．拆成整式的积： (1)2a2－8a＋8＝__________； (2)(m－n)2＋4mn＝_________. 2．已知a＋b＝3，ab＝－2，那么a3b＋2a2b2＋ab3等于______. 2(a－2)2 (m＋n)2 －18 1. 拆成积： （1）a2m – 9m； （2）m3 – 2m2 + m； 解：(1) 原式 = m(a2 – 9) = m(a + 3)(a – 3) (2) 原式 = m(m2 – 2m + 1) = m(m – 1)2 （3）mx2 + 2m2x + m3； （4） – a4 + 81； (3) 原式 = m(x2 + 2mx + m2) = m(x + m)2 (4) 原式 = – (a4 – 81) = – (a2 + 9)(a2 – 9) = – (a2 + 9)(a + 3) (a – 3) （5）2a – 4ax + 2ax2； （6） – 4an2 + 8anx – 4ax2. (5) 原式 = 2a(1 – 2x + x2) = 2a(x – 1)2 (6) 原式 = – 4a(n2 – 2nx + x2) = – 4a(n – x)2 2. 写成积的样子： （1）(m – a)2 + 4am；（2）(p – 4)(p + 1) + 3p . 解：(1) 原式 = m2 – 2am + a2 + 4am = m2 + 2am + a2 = (m + a)2 2. 化成积的形式： （1）(m – a)2 + 4am；（2）(p – 9)(p + 1) + 8p . (2) 原式 = p2 + p – 9p – 9 + 8p = p2 – 9 = (p + 3)(p – 3) 4．把它拆成积： (1)m2－4x2＋a2－b2＋2am＋4bx； 解：(1)原式＝(m2＋2am＋a2)－(4x2－4bx＋b2) ＝(m＋a)2－(2x－b)2 ＝(m＋a＋2x－b)(m＋a－2x＋b)； (2)m2＋2am＋a2－4. (2)原式＝(m＋a)2－4 ＝(m＋a－2)(m＋a＋2). 卡片回顾 一问：从哪下手？答：先扫各项。二问：看什么？答：两项走平方差，三项走完全平方。三问：几时完？答：拆不动才收笔。 再验一遍 1.写成积： 16a4－z4＝______________________. (4a2＋z2)(2a＋z)(2a－z) 2.拆成积的样式： (1)a4－16;    (2)(a2＋9b2)2－36a2b2. (1)解：上式＝(a2＋4)(a2－4) ＝(a2＋4)(a＋2)(a－2);   (2)解：上式＝(a2＋9b2＋6ab)(a2＋9b2－6ab) ＝(a＋3b)2(a－3b)2. 3.把式子9m－m3拆成积以后是( ) A．m(9－m2)　　　　　B．m(3－m)(3＋m) C．m(m－3)(m＋3)     D．m(3－m)2 B 4.拆成积： (1)a2(a－b)－9(a－b);   (2)－2a3b＋4a2b2－2ab3. 解：上式＝(a2－9)(a－b)   ＝(a－b)(a＋3)(a－3);   解：上式＝－2ab(a2－2ab＋b2) ＝－2ab(a－b)2. 5.已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值． 解：a3b＋a2b2＋ab3 ＝ab(a2＋2ab＋b2) ＝ab(a＋b)2. 当a＋b＝5，ab＝10时， 原式＝×10×52＝125. 把书上的练习做完，明天交 明天带来 $