17.2 用公式法分解因式 第3课时 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦因式分解中提公因式法与公式法的综合运用，课堂导入通过复习完全平方公式及多项式特征，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从单一方法过渡到综合应用。 其亮点是以探究活动为主线，通过分解x⁴-y⁴等实例培养抽象能力与推理意识，结合分组、拆项等方法及中考题、简便计算应用发展创新意识与应用意识，帮助学生系统掌握分解步骤，助力教师提升教学效果。

第十七章 因式分解 17.2.3综合运用提公因式法和公式法 22100 1.能熟练掌握提公因式法与公式法(平方差、完全平方公式)的综合运用，能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法； 2.在因式分解的过程中，让学生体会数学方法的综合性和严谨性，激发学生探索数学知识内在联系的兴趣. 学习目标 22100 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 . 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 复习导入 22100 = (x2 + y2)(x + y)(x – y) 活动一：探究提公因式法与公式法的综合应用 分解因式：　 (1) x4 – y4； (2) a3b – ab. 解：(1) x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2 = (x2 + y2)(x2 – y2) 分析： (1)可以用_____________分解因式. 平方差公式 其中 a = ____，b = ____ x2 y2 还能用平方差公式再分解 结束了吗？ 22100 解：(2) a3b – ab = ab(a2 – 1) 活动一：探究提公因式法与公式法的综合应用 分解因式：　 (1) x4 – y4； (2) a3b – ab. 还能用____________再分解 分析： (2) a3b – ab的两项有公因式ab，可以用______________分解因式. 提公因式法 平方差公式 结束了吗？ 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 总结 = ab(a + 1)(a – 1) 22100 例1 分解因式： (1)x⁴-y⁴;                                           (2)a³b-ab. 分析： 在(1)中，x⁴-y⁴可以写成(x²)²-(y²)²的形式，可用公式法分解因式. 对于(2)，a³b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式. 22100 例1 分解因式： (1)x⁴-y⁴;                             (2)a³b-ab. 解：(1)x⁴-y⁴ =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a³b-ab. =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1). 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 22100 解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2 活动一：探究提公因式法与公式法的综合应用 分解因式：　 (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) – ax2 + 2a2x – a3 . 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行分解. 提取公因式 用完全平方公式 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 总结 22100 活动一：探究提公因式法与公式法的综合应用 分解因式：　 (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) – ax2 + 2a2x – a3 . 分析：(2)需要先提取公因式，再运用完全平方公式.当多项式首项系数为负数时，通常先提取负号，使括号内首项系数为正. 解：(2) – ax2 + 2a2x – a3 = –a(x2 – 2ax + a2) = –a(x – a)2 注意变号 22100 知识点1 结合平方差公式多次分解因式 1.将 分解因式，结果正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 22100 10 2.分解因式： （1）［2024北京中考］ _______________； （2） _________________； （3） ____________________. 返回 22100 11 活动二：探究分组分解法分解因式 把下列各式分解因式： (1)x2-y2+ax+ay； (2)a2+2ab+b2-c2. 分析：对于式子(1)，通过分组，将前两项利用平方差公式分解，后两项提取公因式，发现它们都有公因式(x+y)，从而继续分解. 解：(1)x2-y2+ax+ay =(x2-y2)+(ax+ay) =(x+y)(x-y)+a(x+y) =(x+y)(x-y+a) 分组 分解到不能再分解为止 若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解. 总结 22100 活动二：探究分组分解法分解因式 把下列各式分解因式： (1)x2-y2+ax+ay； (2)a2+2ab+b2-c2. 分析：对于式子(2)，先将前三项作为一组，看作完全平方形式，然后与第四项构成平方差形式，继续分解. 解：(2)a2+2ab+b2-c2 =(a2+2ab+b2)-c2 =(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c) 分组 利用平方差公式继续分解 因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解. 总结 22100 3.分解因式： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 22100 14 例2 分解因式： (1)3ax²+6axy+3ay²;      (2)-ax²+2a²x-a³. 解：(1)3ax²+6axy+3ay² =3a(x²+2xy+y²) =3a(x+y)2.   解：(2)-ax²+2a²x-a³ =-a(x²-2ax+a2) =-a(x-a)2.  分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. 22100 检查是否分解彻底，若没有则继续分解. 一提 考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式. 二套 看多有无公因式，若有应先提取公因式. 四查 不能直接套公式时可适当变形整理. 如果用上述方法都不能分解，那么可以尝试用分组分解法来分解. 三分组 因式分解的一般步骤： 活动二：探究分组分解法分解因式 22100 活动三：探究拆项分解因式 在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？ 分析：拆分常数项，把3变成(4-1)，这个二次三项式可以变形为x2+4x+4-1，再利用公式法进行分解. 解：x2+4x+3 =(x2+4x+4)-1 =(x+2)2-1 =(x+2+1)(x+2-1) =(x+3)(x+1) 拆常数项 利用平方差公式分解因式 还有其他方法吗？ 22100 应用1简便计算 1.利用因式分解计算： (1)1012＋492＋101×98； 【解】原式＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22 500. 22100 (2)8002－1 600×798＋7982； 【解】原式＝(800－798)2 ＝22 ＝4. 22100 活动三：探究拆项分解因式 方法二：拆分一次项，把4x拆分成(3x+x)，这个二次三项式可以变形为x2+3x+x+3，再利用提公因式法法进行分解. 解：x2+4x+3 =x2+3x+x+3 =x(x+3)+(x+3) =(x+3)(x+1) 拆一次项 分组，再提取公因式 分解要彻底 在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？ 22100 （1）该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分 解的最后结果. 解：该同学因式分解的结果不正确.因式分解的最后结果为 . （2）请你参照上述方法尝试对多项式 进行 因式分解. 解：设 ， 则原式 . 返回 22100 21 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 22 因式分解 的方法 提公因式法 公式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式. a2-b2=(a+b)(a-b)↔乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. a²±2ab+b²=(a±b)²↔乘法公式：(a±b)²=a²±2ab+b². 22100 谢谢大家聆听 22100 $