第21章 一元二次方程 单元复习卷 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

2026-2027学年华东师大版九年级数学期中单元复习卷—一元二次方程 分值：120分 时间：120分钟 一、单选题（24分） 1．下列方程中，不是一元二次方程的是（     ） A． B．（b、c为常数） C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 3．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ）． A．5 B． C．1 D． 4．已知关于的方程有两个不相等实数根，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则一次函数的图象大致是（） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，且矩形的面积为5，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（     ） A．不存在使得成立 B．的值为或 C．的值为 D．的值为 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（24分） 9．方程的解为______． 10．已知方程的一个根为2，则的值为__________． 11．关于的一元二次方程有一个根是2，则另一个根是________． 12．将一元二次方程化为一般形式为_________． 13．已知 是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为_________． 14．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为________． 15．重庆市推进美丽重庆建设，某区县持续推进城市微更新，年建成口袋公园处．计划年底口袋公园达到处．设这两年口袋公园数量的年平均增长率为，则依题意列方程为______． 16．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 三、解答题（72分） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．随着人工智能的迅速发展，某AI企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元．若每年保持相同的增长率，求该企业这两年缴税的年平均增长率． 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： (1)______； (2)当时，求的面积？ (3)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 21．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为450元。 22．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明不论m取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰的底边长为1，另外两边b，c恰好是这个方程的两根，求的周长与m的值． 23．已知函数是自变量．x的函数，当时，称函数为函数的“加和函数”．在平面直角坐标系中，对于函数的图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． (1)已知点在函数的图象上． ①n的值为_____________．点A关于函数的“加和点”的坐标为_____________． ②求函数的“加和函数”的函数表达式． (2)点A在函数的图象上，点A关于函数的“加和点”为点B，点B在点A的上方，设点A的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在①的条件下，函数的“加和函数”为函数，直线交y轴于点C，在矩形中，点，，．若将的边构成的图形记为T，矩形的边与图形“T”的交点有两个． （i）请直接写出t的取值范围； （ii）若点E在图形“T”的内部（不包含边界），矩形与图形“T”重叠部分的面积记为，请直接写出t的值． 24．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 试卷第4页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年华东师大版九年级数学期中单元复习卷—一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A C A D C 1．C 【来源】广东佛山市华英学校 2026-2027学年上学期第一阶段学习反馈 九 年 级 数 学 【分析】一元二次方程需同时满足四个条件：①是整式方程，②只含个未知数，③未知数的最高次数为，④二次项系数不为，从而快速排查选项． 【详解】解：选项A、D中的方程只含个未知数，最高次数为2，是整式方程，二次项系数不为； 选项B中为常数，方程只含个未知数，最高次数为2，是整式方程，二次项系数不为． 选项A、B、D中的方程均为一元二次方程． 选项C的方程含有两个未知数． 不是一元二次方程． 2．B 【来源】福建省莆田市文献中学、城厢区顶墩实验中学联考2026-2027学年九年级上学期阶段性训练数学试卷 【分析】先将常数项移至等号右侧，再给等式两边加上一次项系数一半的平方，即可配方变形． 【详解】解： ． 3．C 【来源】贵州黔东南苗族侗族自治州岑巩县第四中学2026-2027学年上学期九年级数学9月学情检测试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用方程的根满足方程这一性质，将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 则， 解得． 4．A 【来源】福建厦门市海沧区厦门双十中学海沧附属学校2026-2027学年上学期10月份九年级数学学情自测试卷 【分析】根据一元二次方程根的判别式，列不等式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得， ∴的值可能为． 5．C 【来源】贵州毕节市七星关区第三实验学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷A卷 【分析】利用根与系数的关系求出与的值，确定一次函数、的符号，进而判断图象位置． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， 一次函数解析式为， ，， 图象经过第一、二、四象限，与轴交于正半轴观察选项可知C符合． 6．A 【来源】山西临汾市尧都区临汾一中第一附属学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题 【分析】设，则，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设，则，根据题意，得， 整理，得， 解得， ∵线段的长不能为负， ∴． 7．D 【来源】山西临汾市尧都区临汾一中第一附属学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题 【分析】先利用判别式求出m的取值范围，再结合根与系数的关系和已知条件建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴ ． 整理得，即． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ ． 代入得， 整理得， 解得． ∵ ，不符合题意，舍去， ∴ ． 8．C 【来源】河北省廊坊市大城县2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据其中一个根为另一个根的2倍，分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得，． 关于的一元二次方程的其中一个根为另一个根的2倍， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 9．， 【来源】福建厦门市海沧区厦门双十中学海沧附属学校2026-2027学年上学期10月份九年级数学学情自测试卷 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 10． 【来源】内蒙古自治区通辽市第三中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【分析】方程的根满足原方程，将代入原方程，即可解出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 11．4 【来源】湖北十堰市实验中学教联体2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的公式，直接代入已知根求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，常数项，已知一个根为，设方程的另一个根为，则 ， 解得． 12． 【来源】江苏徐州市沛县第五中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情调研 数学试题 【分析】通过移项将原方程化为的形式即可． 【详解】解：， 移项得． 13． 【来源】河南省信阳市羊山中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 14． 【来源】河南辉县市第一初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到含的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， ． 15． 【来源】重庆市重庆市巴南区部分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【分析】已知初始年份口袋公园数量，年平均增长率和两年后的总数量，按照增长率的计算规则逐年推导，即可列出对应方程． 【详解】解：∵ 年口袋公园数量为处，年平均增长率为， ∴ 年口袋公园数量为， ∴ 年口袋公园数量为， ∵ 年底口袋公园数量为处， ∴  依题意列方程为． 16．1 【来源】江苏宿迁市泗阳县部分校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测试题 【分析】利用公式法解方程得到或，根据“邻根方程”的定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是“邻根方程”， ∴关于的方程有两个实数根， 解方程得或， 由“邻根方程”的定义可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴t的最大值为． 17．(1)， (2)， 【来源】黑龙江哈尔滨市萧红中学校2026-2027学年九年级上学期数学学科·九月份阶梯作业反馈试卷 【分析】（1）通过移项得，再利用直接开平方法求解即可； （2）先整理原方程得，再用公式法求解即可 ． 【详解】（1）解： 移项得， 两边同时开平方得， 整理得，； （2）解： 整理原方程得 ∵，，， ∴ ∴ 解得，， 18． 该企业这两年缴税的年平均增长率为 【来源】陕西榆林市2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学（人教版） 【分析】设年平均增长率为x，根据2023年与2025年的缴税额，利用二次增长的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该企业这两年缴税的年平均增长率为x， 根据题意，得 解得 ， ∵ 年平均增长率为正数 ∴不符合题意，舍去 答：该企业这两年缴税的年平均增长率为． 19．(1)， (2)， 【来源】第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ， ，， ，． 20．(1) (2)1 (3)不能，理由如下： 如图， 点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，则：，， ∴， ∴，， 当时，，化简得：， ∵， ∴方程无解， ∴点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【来源】广东江门市怡福中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可． （2）当时，根据题意得求出，，进而得，根据三角形面积公式求出即可． （3）点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，求出，，即可得，再求出，，当时，列出方程，计算，得方程无解，即可得点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【详解】（1）解：如图， 根据勾股定理得：， ∴． （2）解：如图， 当时，根据题意得：，， ∴， ∴， ∴当时，的面积为1． （3）略 21．(1)（） (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润为450元． 【来源】贵州黔东南苗族侗族自治州岑巩县第四中学2026-2027学年上学期九年级数学9月学情检测试卷 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用每盒的利润数量日销售利润列式解答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把，和，分别代入可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（）； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， 解得：， 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润为450元． 22．(1)解：由题意得： ， ∴不论m取何值，该方程总有实数根 (2)的周长为5，m的值为 【来源】重庆市重庆市巴南区部分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式，证明根的判别式大于等于0即可； （2）根据等腰三角形的定义，判断方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0，解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：由题意得：b，c恰好为等腰三角形的腰， ∴即， ∴， ∴， 将代入一元二次方程得：∴， 解得：， ∴， ∴的周长为5，m的值为． 23．(1)①；，② (2)①，②（i）或；（ii） 【来源】辽宁省沈阳市辽中区第二初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题 【分析】（1）由“加和点”与“加和函数”的定义即可求解； （2）①由题意得，由“加和点”定义得：，即，则，解方程即可；②（Ⅰ）先求出“加和函数”为，可得，根据点与直线、的相对位置讨论矩形的边与图形“T”的交点个数即可求解，（Ⅱ）根据重合部分为直角三角形，根据面积列二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在函数的图象上， ∴点代入得：， 由定义得：“加和点”为， ∴“加和点”为， 故答案为：，； ②∵， ∴由“加和函数”定义得函数的“加和函数”为：， 故答案为：； （2）解：①由题意得， 由“加和点”定义得：，即， ∵在上方，且， ∴， 解得：； ②（Ⅰ）∵， ∴， 函数的“加和函数”为， 当时，， ∴ 当时， ， ， 即：直线与函数交点坐标， 直线与函数交点坐标， ∵矩形，点，，． ∴点， 如图： 当在下方时，此时，矩形的边与图形“T”无交点， 当在上方、下方时，此时，此时矩形的边、与各有一个公共点，两个图形共有两个交点， 当点E与重合时，此时，矩形的边、与各有一个公共点，两个图形共有三个交点， 当在上方、下方时，此时，矩形的边、与各有一个公共点，也与各有一个公共点，两个图形共有四个交点， 当在上时，此时，矩形的边与、各有一个交点，边经过点C，两个图形共有三个交点， 当在上方时，此时矩形的边与、各有一个交点，边与无交点，两个图形共有两个交点， 综上所述：当或，矩形的边与图形“T”有两个公共点， （Ⅱ）记与矩形的边分别交于点，， 则，， 将代入，得， ∴， ∴，， 由矩形与图形“T”重叠部分的面积为，得 ， 解得：，， ∵点E在图形“T”的内部（不包含边界），即， ∴不合题意舍去， 综上所述：． 【点睛】正确理解题意，找出临界状态是解决本题的关键． 24．(1) (2) (3)的最大值为2 【来源】安徽池州市贵池区2025-2026学年第二学期八年级期未检测数学试卷 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 答案第12页（共13页） 答案第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $