第21章 一元二次方程 单元检测 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版（2024）九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数根 2．如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（  ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（ ）． A． B． C． D． 4．下列一元二次方程无实数根的是（ ） A． B． C． D． 5．现已知某药品原售价为每盒121元，经过连续两次降价后，现在售价为每盒81元，若根据题意所列的方程为，则x表示的实际意义是（ ） A．该药品平均每次降价的百分率 B．该药品第一次降价的百分率 C．该药品第二次降价的百分率 D．该药品平均每次涨价的百分率 6．下列是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 7．若m＞3，关于x的一元二次方程x2+mx+1=0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 8．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元.若两次降价折扣率相同，则每次降价率为(　　) A．8% B．18% C．20% D．25% 9．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A．27 B．36 C．27或36 D．18 10．已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程ax2+（2a-1）x+a=0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 11．两连续奇数的积是195，则这两个连续奇数的和是(  ) A．28 B．24 C．±28 D．±24 12．如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(  ) A．10 B．5 C．2 D．2 二、填空题 13．已知是一元二次方程的一个根，则__________ 14．已知关于的一元二次方程的一个根是5，则的值为__________． 15．若关于的方程的一个根是，则的值为__________． 16．若实数，满足，，，且，则__________． 17．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个整数根，且满足|x1-x2|=1，则称此类方程为“自然方程”，例如：（x-2）（x-3）=0是“自然方程”． （1）根据定义，判断下列方程哪些是“自然方程”. ①x2+x=1；②x2+3x+2=0；③x2−＝0． （2）若方程x2-（m+1）x+m=0是“自然方程”，求m的值． 三、解答题 18．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 19．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+3＝0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根． 20．设是实数，已知关于的一元二次方程. (1) 求证：该方程总有两个实数根； (2) 若方程的两根都大于，求的取值范围. 21．已知关于x的一元二次方程． 求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； 22．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． (1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ (2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 华东师大版（2024）九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数根 【答案】B 【解析】∵一元二次方程， 其中，，. ∴ ∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根 故选：B . 2．如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（  ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【解析】解：设剪去正方形的边长为x cm，则长方体盒子的底面长为（12﹣2x）cm，宽为＝（8﹣x）cm． 依题意得：（12﹣2x）（8﹣x）＝48， 整理得：x2﹣22x+72＝0， 解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为2cm． 故选：B． 3．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵一元二次方程求根公式为，且给定公式为， ∴，， 因此，方程为， 故选：C． 4．下列一元二次方程无实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A：，∵，∴，有实数根； B：，∵，∴，有实数根； C：，∵，∴，无实数根； D：，∵，∴，有实数根； 故选：C． 5．现已知某药品原售价为每盒121元，经过连续两次降价后，现在售价为每盒81元，若根据题意所列的方程为，则x表示的实际意义是（ ） A．该药品平均每次降价的百分率 B．该药品第一次降价的百分率 C．该药品第二次降价的百分率 D．该药品平均每次涨价的百分率 【答案】A 【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药品的售价为每盒元，第二次降价后药品的售价为每盒元． ∵现在售价为每盒81元， ∴． ∴x表示的实际意义是该药品平均每次降价的百分率． 故选：A． 6．下列是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 7．若m＞3，关于x的一元二次方程x2+mx+1=0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 【答案】B 【解析】解：由题意Δ=m2-4=(m+2)(m-2)， 当m＞3时，则m为正数. ∴m-2＞3-2，m+2>3+2 ∴m-2>1，m+2>5 ∴m+2和m-2都是正数 ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元.若两次降价折扣率相同，则每次降价率为(　　) A．8% B．18% C．20% D．25% 【答案】C 【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得200(1－x)2=128， 解得x1=0.2，x2=1.8(不符合题意，舍去). 所以，每次降价的百分率为20%. 9．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A．27 B．36 C．27或36 D．18 【答案】B 【解析】当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，解得：k＝27， ∴原方程为x2﹣12x+27＝0， ∴x1＝3，x2＝9， ∵3+3＜9， ∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形， ∴k＝27舍去， 当3为底边长时，Δ＝（﹣12）2﹣4k＝0， 解得：k＝36， ∴原方程为x2﹣12x+36＝0， ∴x1＝x2＝6， ∵3+6＝9＞6， ∴长度为3，6，6的三条边能围成三角形， ∴k＝36符合题意． 故选：B． 10．已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程ax2+（2a-1）x+a=0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【解析】解： 由①得x＞a； 由②得x＜8； ∵不等式组 有且仅有4个整数解， ∴3≤a＜4； ∵关于x的方程ax2+（2a-1）x+a=0中，Δ=（2a-1）2-4a2=-4a+1， ∴-15＜Δ≤-11，即Δ＜0， ∴关于x的方程ax2+（2a-1）x+a=0无实数根， 故选：C． 11．两连续奇数的积是195，则这两个连续奇数的和是(  ) A．28 B．24 C．±28 D．±24 【答案】C 【解析】设较小的奇数为x，根据题意得x(2+x)＝195， 解得x＝﹣15，x＝13， 那么他们的和应该是±28． 故选：C． 12．如图，“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成，过点A剪一刀，刀痕是线段BC．若AB＝AC，△DBC的面积为23，则BC的长为(  ) A．10 B．5 C．2 D．2 【答案】C 【解析】如图，过A作AG⊥CD于G，AH⊥BC于H，连接AD， ∵∠BDC＝90°，AB＝AC， AB＝AD＝AC， ∴BD＝2AG， ∵“L”形纸片是由周长为40的正方形剪去周长为26的矩形后构成， ∴设AE＝x，则AH＝DG＝10﹣x，EF＝13﹣x， ∴AG＝x﹣3， ∴BD＝2x﹣6， ∵△DBC的面积为23， ∴BD•AH＝23， ∴(2x﹣6)(10﹣x)＝23， 解得：x＝或x＝， ∴BD＝7+或7﹣，CD＝2AH＝7+或7﹣， ∴BC＝＝2， 故选：C． 二、填空题 13．已知是一元二次方程的一个根，则__________ 【答案】3 【解析】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 14．已知关于的一元二次方程的一个根是5，则的值为__________． 【答案】 【解析】解：∵关于的一元二次方程的一个根是5， ∴将代入方程，得， 即， 解得： 故答案为：5． 15．若关于的方程的一个根是，则的值为__________． 【答案】3 【解析】解：∵关于的方程的一个根是， ∴将代入方程，得，即， 整理得，解得： 故答案为：3． 16．若实数，满足，，，且，则__________． 【答案】 【解析】解： ， ， ， ， ， 实数，可以看作方程的两个根， ； 故答案为：． 17．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个整数根，且满足|x1-x2|=1，则称此类方程为“自然方程”，例如：（x-2）（x-3）=0是“自然方程”． （1）根据定义，判断下列方程哪些是“自然方程”. ①x2+x=1；②x2+3x+2=0；③x2−＝0． （2）若方程x2-（m+1）x+m=0是“自然方程”，求m的值． 【答案】x2-（m+1）x+m=0， ∴（x-m）（x-1）=0， ∴x-m=0，x-1=0， ∴x1=1，x2=m, ∵方程x2-（m+1）x+m=0是“自然方程”， ∴|m-1|=1， ∴m=2或0． 故答案为：2或0． 三、解答题 18．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数． 【答案】解：设个位数字为x，则十位数字为x2﹣2，由题意得： 10（x2﹣2）+x﹣（10x+x2﹣2）＝36， 解得：x1＝3，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， 十位数字：32﹣2＝7， 这个两位数为：73， 答：原来的两位数73． 19．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+3＝0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根． 【答案】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m+3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+3）＝4﹣4m＝0， 解得，m＝1， ∴x2﹣4x+4＝0， ∴（x﹣2）2＝0， ∴x1＝x2＝2． 20．设是实数，已知关于的一元二次方程. (1) 求证：该方程总有两个实数根； (2) 若方程的两根都大于，求的取值范围. 【答案】(1) 证明：，该方程总有两个实数根； (2) 由得， 或， ，. 方程的两根都大于， ，解得， 的取值范围是. 21．已知关于x的一元二次方程． 求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； 【答案】证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； 22．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元． (1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？ (2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值． 【答案】（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克， 依题意得， 解得 当时，． 答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克； （2）解：依题意得 整理得 解得（不合题意，舍去） 答：m的值为10． 学科网（北京）股份有限公司 $