第4讲弦长与面积讲义-2027届高三数学一轮复习

弦长与面积 解析几何 · 专题篇 一 弦长公式与焦点弦 一、直线截圆锥曲线，先写弦长公式。 ，其中 是联立后二次项系数。 ★ 若直线用 的形式，换成 ，能避开斜率不存在的讨论。 二、直线截圆：垂径定理最快。 圆心到直线的距离 与半径 给出 。 ★ 这类题不必联立 —— 算 比解方程快得多。本题组的九道里有五道是这种，先认出来再动手。 三、焦点弦用焦半径走。 抛物线过焦点 的弦：（）；倾斜角为 时 。 ★ 后一个公式在「已知倾斜角求弦长」时一步到位，比联立快很多，但要记住分母是 。 四、弦长的常见变形。 通径为 （椭圆、双曲线）；最短焦点弦就是通径（垂直于长轴／实轴的那条）。 ★ 「弦长最小」往往等价于「弦垂直于对称轴」，这是焦点弦最值题的固定入口。 五、反求参数时注意两根都要验。 由弦长反求 、、 时，方程常解出两个值，必须回代验 与参数的符号约定。 ★ 例如 要求 ，若解出 就要舍去；本题组里有一道正是两个 都合要求。 六、本节九道题的三种场景。 第一种：直线与圆。一律走垂径定理，把「求弦长」化成「求圆心到直线的距离」，一步到位。 第二种：直线与圆锥曲线。必须联立 + 韦达 + 弦长公式，注意 这个因子。 第三种：焦点弦。用 或 ，比联立省一半计算。 ★ 拿到题先分场景，再选公式 —— 本节的失分大多不是算错，而是场景选错：明明截的是圆，却去联立抛物线。 例1（填空·★★★☆☆） 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______。 【切入点】问的是「直线被圆截得的弦长」——不必联立，用垂径定理：算出圆心到直线的距离即可。 【关键】 的焦点为 ，倾斜角 故斜率为 ，直线为 ，即 。 圆 的圆心为 、半径 ；圆心到直线的距离 。 故弦长为 。 【易错】第一，直线过焦点不是本题的关键条件，只要得到直线方程即可 —— 别被「抛物线焦点」带偏去联立。第二，垂径定理里是 ，根号外有个 。第三， 是化简后的结果，分子 、分母 。 【答案】 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方，，O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为________。 【切入点】以 为直径的圆被直线 所截 ——先由抛物线定义定出 ，再写出圆心、半径与直线 。 【关键】由 得 ，，故 。 以 为直径的圆圆心为 中点 、半径 。 直线 过 、，方程为 ；圆心 到它的距离 。 故弦长为 。 【易错】第一，以 为直径的圆心是 中点，不是原点；半径是 。第二，直线 的方程要用两点式，化简后系数是 、、。第三， 很小，弦长接近直径 ，算完可据此判断是否离谱。 【答案】 变式1-2（填空·★★★☆☆） 过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______。 【切入点】直线过定点 与圆和抛物线的交点 ——先联立求出交点，再写出直线，最后用垂径定理。 【关键】联立 与 ，得交点 或 。 取 与 连线，方程为 。 圆心 到它的距离 ，半径 ，故弦长为 。 【易错】第一，交点有两个，取哪一个都对称、弦长相同，不必分情况讨论。第二，直线方程是 ，别写成 （符号错则 完全变）。第三，、，弦长 恰好等于 的两倍，可作核对。 【答案】 变式1-3（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________。 【切入点】以 为直径的圆截直线 ，弦长已知为 —— 反求 。先把各点坐标用 表示出来。 【关键】、；由 轴得 （取第一象限）。 ，直线 。 以 为直径的圆圆心为原点、半径 ，圆心到 的距离 。 由 得 ，故 。 【易错】第一， 的纵坐标是 不是 ：把 代入 得 。第二，以 为直径的圆心恰是原点，因为 、 关于原点对称。第三， 里出现 是因为直线斜率为 ，分母 。 【答案】 变式1-4（填空·★★☆☆☆） 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______。 【切入点】渐近线被圆截 ——先写渐近线方程，再算圆心到渐近线的距离，用垂径定理。 【关键】令 得 ，即 。 圆 的圆心 、半径 ； 到 的距离 。 故弦长为 。 【易错】第一，渐近线方程由「右边改成 」得到，不是解出 再平方。第二， 的分母是 ，不是 。第三，圆心到直线的距离 ，说明确实相交，弦长有意义。 【答案】 变式1-5（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则 = ______。 【切入点】渐近线被圆截得的弦长已知，反求 ——把 用 表示，代入垂径定理。 【关键】渐近线 ，即 ；圆 的圆心 、半径 。 圆心到渐近线的距离 。 由弦长 得 ，即 ，解得 。 【易错】第一，渐近线里 是题给的（），所以方程是 ，系数位置别写反。第二， 来自「半弦长 」的平方。第三，解出的 要满足 ，若出现负根要舍。 【答案】 变式1-6（单选·★★★☆☆） 已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【切入点】以 为圆心的圆与准线、 轴都相切 ——由相切条件能直接写出 的坐标（用半径 表示）。 【关键】准线为 、 轴为 ；圆与两者都相切，故圆心 、半径 。 把 代入 ：，解得 （ 是重根）。 故 ，它到 轴的距离为 ；该圆被 轴截得的弦长为 ，选 D。 【易错】第一，圆与准线 相切意味着圆心横坐标是 ，不是 。第二， 即 ，只有一解 。第三，被 轴截时，圆心到 轴的距离是横坐标 ，不是 的绝对值以外的东西。 【答案】 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【切入点】已知弦长反求抛物线方程 ——联立、写韦达、代弦长公式，得到一个关于 的方程。 【关键】联立 与 得 ，故 、。 判别式 ，即 或 。 由弦长公式 ，解得 或 。 两个 都满足 ，故抛物线为 或 ，选 C。 【易错】第一，，因为直线斜率是 。第二， 使根号内变成 。第三，解出两个 后要回代验 —— 本题两个都合格，所以答案是「或」，这正是选项 C 与 B 的差别。 【答案】 变式1-8（填空·★★★★☆） 已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长 = ______。 【切入点】直线过左焦点、 周长为 ——先由这两条定出 、，再用弦长公式求 。 【关键】 过 ，代入得 ；由椭圆定义， 的周长为 ，故 、。 椭圆为 ；联立直线得 ，故 、。 。 【易错】第一， 的周长等于 ：两条焦半径各与 配成 ，合起来 。第二，联立时直线斜率为 ，。第三， 是负数，根号内是两项相加而不是相减。 【答案】 二 三角形的面积 一、三种算法，按条件选。 底×高：已知一条边的长度与它到对顶点的距离时用，。 分割：把三角形拆成两个同底的小三角形，高分别是两个顶点的纵坐标， 或 底 。 ★ 焦点在 轴上时，第二种最省事 —— 只要两个顶点的纵坐标之差，不必求高。 二、焦点三角形的面积公式。 设 ：椭圆 ，双曲线 。 ★ 两个公式只差「乘」还是「除」，与第 1 讲的记法一致；用它可以绕开求点坐标。 三、面积比转化为坐标比。 若两个三角形共顶点且底在同一直线上，面积之比就等于底边之比；焦点在 轴上时，进一步化成纵坐标之差之比。 ★ 这是本节最常用的一招：，韦达一写就出来，不必真的算两个面积。 四、等面积法求内切圆半径。 三角形面积等于 周长 内切圆半径，故 等于 。 ★ 题目给出「内切圆半径」时，用这条式子把面积与三边长度绑起来，常能一步解出。 五、算完核对量级。 面积是二次量：参数放大 倍，面积放大 倍；算出的结果与底、高的量级不符，多半是根号里漏了平方。 ★ 本节有几道题答案是分数（如 、），这类「比值型」答案与具体长度无关，可以用来检验：换一个参数值，答案应当不变。 六、面积题的四步流程。 第一步定底：找一条「长度好算」的边，通常是与坐标轴平行或共线的那条。 第二步定高：另一顶点到这条线的距离，焦点在 轴上时往往就是纵坐标之差。 第三步消参：面积写成单参数（斜率 或横坐标 ）的函数。 第四步要么代入已知值求解，要么求最值。 ★ 四步里第二步最容易出错 —— 把「高」写成两点距离而不是「到直线的垂直距离」。设直线为 轴方向的底边时，高就是纵坐标差的绝对值，这是最快的判定。 例2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【切入点】过 的直线与准线、抛物线依次交于 、、，求两个三角形面积之比 ——两者共用顶点，面积比等于底边比。 【关键】由 得 （取第一象限）。 直线 的斜率 ，故 ；与 联立得 ，故 、。 令 得 。两个三角形共用顶点 ，底分别在 与 上，面积比等于 ，由纵坐标之差得 的比例关系，代入横坐标之差后化简为 ，选 B。 【易错】第一， 用的是抛物线定义，不是到原点的距离。第二，联立后是关于 的二次方程，因为直线写成了 的形式。第三，面积比要化成「同一条直线上的线段比」，所以先确认两个三角形是否共用顶点。 【答案】 变式2-1（单选·★★★☆☆） 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（ ） A. 与成正比 B. 与成正比 C. 与成正比 D. 与成正比 【切入点】四边形 的面积与某个量成正比 ——先把面积写成点 的坐标，再看它与哪个长度同阶。 【关键】，过 作 轴垂线交抛物线于 、，故 。 四边形 可看作以 为对角线、以 的横坐标为高的两个三角形拼成，面积 。 由 得 ，而 ，故 ，与 成正比，选 B。 【易错】第一， 是把 代入后得到的，不是 。第二，面积里出现的是 而不是 ，要靠 换过去。第三， 与 是一次关系，故面积只与 成正比，不与 成正比。 【答案】 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________。 【切入点】过准线与 轴交点 的直线交抛物线于 、，给 ——先定点坐标，再算 的面积。 【关键】 得 ，抛物线 、准线 、。 设 ，代入 整理得 ，故 、。 由焦半径 、 及 得 ，代入 得 ，取 （舍 ），故 、。 以 为底（长为 ），高为 的纵坐标绝对值，故 。 【易错】第一， 是准线与 轴的交点 ，不是原点。第二，焦半径 ，用它把倍数条件翻成坐标关系最快。第三， 的底 恰好是焦准距，高就是 的纵坐标，不要另找底。 【答案】 变式2-3（单选·★★★★☆） 已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】求的是 —— 与 的比在等面积法里就是半个周长，所以这个式子等于两个三角形半周长之差。 【关键】双曲线 中 、、； 在曲线上，代入得 ，故 。 由角平分线定理求出 与 轴的交点 ，再算 、 的各边长。 用等面积法 等于 得 等于周长的一半，两式相减得 ，选 D。 【易错】第一， 等于半周长，这是等面积法的直接推论，不用真的算 。第二， 在 轴上，由角平分线定理 定出。第三，两个三角形共用 ，半周长之差主要来自两条焦半径的差，正好是 。 【答案】 变式2-4（单选·★★★★☆） 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】给了 与 ——先把 、 的坐标用 表示，再解出 。 【关键】设 ，则 ； 与 轴交于 ， 的坐标可用 与 表示。 由 列等式，解得 ，进而 。 的横坐标为 ，说明 轴，故 是直角三角形；代入椭圆方程得 、 的关系，再算所求三角形的面积，得 ，选 A。 【易错】第一， 表示 在 上且靠近 ，坐标是 的三分之一。第二， 是三点共线，不是垂直。第三， 的横坐标为 这个结论很关键 —— 它说明 在过焦点的竖直线上。 【答案】 变式2-5（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，其中点在轴上方，设与的面积分别为，则 = __________。 【切入点】求两个三角形的面积比，而它们共顶点 、底都在同一条直线上 ——面积比就是纵坐标之差的比。 【关键】、，直线 ，即 。 代入双曲线方程得 ，解得 、。 面积比等于 。 【易错】第一，直线写成 关于 的式子，联立后得到的是 的二次方程，这样韦达直接给出纵坐标。第二，面积比取绝对值，两个纵坐标一正一负，比出来是正数。第三，本题答案与双曲线的参数无关，是纯比值 —— 可以用「平方后相加等于 」之类的恒等式核对。 【答案】 变式2-6（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点。若的面积是的面积的3倍，则 = _____。 【切入点】面积比的条件要化成线段比 ——先写出渐近线、焦点与 、、 的坐标，再用两点距离公式表示 。 【关键】、，渐近线 ；过 的直线与两条渐近线分别交于 、。 设过 的直线 ，则 ；与两条渐近线分别联立得 、。 以 为底算两个三角形面积：、。 由 化简得 的关系，再代回 的表达式，得 。 【易错】第一，面积比化成线段比的前提是「共顶点、底在同一直线」，本题的 、、 三点共线，条件满足。第二，渐近线有两条，、 分别在哪一条上要由图形定。第三，结果是纯比值，与 、 的具体值无关，算完可换一组 、 验算。 【答案】 变式2-7（多选·★★★☆☆） 已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. ，，，四点可能共圆 C. 为直角三角形 D. 的最小值为 【切入点】椭圆 ，四个选项分别考离心率、四点共圆、直角三角形、正切最值 ——逐个按定义算。 项：由 得 ，故 ，正确。 项：由对称性，若 、、、 四点共圆，圆心必在原点，这就要求 ；而 在椭圆上时 一般大于 ，四点不共圆，错误。 项：设 ，由三角形面积关系得 ，再解出 的坐标，验证 ，故 为直角三角形，正确。 项： 化成 、 的式子，用椭圆方程消元后取最值，得最小值 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 时 ，别把 写成 。第二，四点共圆的判据是「到同一点距离相等」，对称图形里圆心只能在原点。第三， 的最值要把角放在直角三角形里算，用坐标直接写正切更稳。 【答案】 变式2-8（填空·★★★★☆） 已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则 = ______。 【切入点】直线 交抛物线于 、，再由 、 引出 、 ——先把 、 的坐标用 表示，再写两个面积。 【关键】、，故 。 直线 ，与抛物线联立得 ；同法得 。 ，；由题给面积关系列方程，解得 一类的值，即所求为 。 【易错】第一，、 的横坐标都是 ，这是抛物线的对称性的体现，可用来检验。第二， 以 为底、高是 到直线 的距离 。第三， 的两个顶点在竖直线 上，底长 。 【答案】 三 面积反求与面积比 一、反求题的标准流程。 把面积写成参数的函数 ——参数通常是斜率 、截距 或点的坐标 ；再令它等于已知值，解方程。 ★ 解完必须回代验 与参数的定义域，这一步最容易被跳过，也最容易出错误答案。 二、面积比的三种转化。 共顶点、底在同一直线： = 底边之比；焦点在 轴上时进一步化成 。 同底不同顶点： = 两高之比；两个三角形相似：面积比等于相似比的平方。 ★ 转化对了，计算量能减一半；本节有一道题的比值与双曲线参数无关，正是因为它本质上是线段比。 三、与焦点三角形结合。 的面积为 （椭圆）或 （双曲线）；若 在以 为直径的圆上，则 。 ★ 后者是高频条件：「 在以焦距为直径的圆上」等价于「两条焦半径垂直」，配合勾股定理与定义式，能直接解出 。 四、动点问题先定几何位置。 题面问「某个角最大时」或「面积最大时」，先把这个量写成单变量函数，再求最值；常见变量是动点在准线上的纵坐标 。 ★ 别急着求导 —— 多数时候化成二次函数或用基本不等式更快，注意等号条件要能取到。 五、答案的合理性检查。 面积必须为正；比值若写成 ，要确认谁在前。算出面积小于零，一定是底或高取了错的值。 ★ 还有一个快检法：面积是二次量，若把图形整体放大 倍，面积应变成 倍 ——用这个比例关系能发现大多数量纲错误。 例3（单选·★★☆☆☆） 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【切入点】过焦点的直线与抛物线交于 、， 的面积已知 ——把面积写成斜率 的函数，再解方程求 。 【关键】，设 ，与 联立得 ，故 、。 以 为底（长为 ）、高为 ，故 。 由 与弦长关系算得 ；令它等于 得 ，故 ， 或 ，选 C。 【易错】第一， 的底取 最省事，因为 、 都在 轴上，高就是纵坐标差。第二， 给出的是两个斜率，所以倾斜角有两个值 —— 这正是选项 C 与 A 的差别。第三， 时直线与 轴重合，不能构成三角形，要先排除。 【答案】 变式3-1（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【切入点】角平分线、过焦点的平行线、中位线混在一起 ——先用中位线定出 ，再用相似三角形与角平分线定理求比值。 【关键】由 知 是 的中位线，，进而 。 由 得 ，故 。 再由角平分线定理 ，结合双曲线定义 解出两条焦半径，再算面积，得 ，选 C。 【易错】第一， 是中位线用的是「 为 中点且 」，两个条件缺一不可。第二， 是从 的位置比例推的，不是中位线直接给出。第三，角平分线定理的比例方向要一致： 对应 。 【答案】 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为___________。 【切入点】抛物线与圆相切于 、 ——「相切」意味着联立后 ，先定 ，再算 的面积。 【关键】把 代入圆方程得 ；由 得 或 。 因 且交点横坐标为正，故舍去 ，取 。 此时 、 的横坐标为 、纵坐标为 ，； 以 为底（长 ）、高为 ，故 。 【易错】第一， 给出两个 ，要靠「交点横坐标非负」筛掉 。第二，、 的纵坐标是 ，底长是 而不是 。第三，高是「 的横坐标到 的距离」，等于 。 【答案】 变式3-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】圆经过 、 四条直线 ——这个圆的半径正是 ，而 、 恰好是双曲线的两个焦点。 【关键】圆 的圆心在原点、半径 ，故 、 是焦点， 是直径，于是 。 由双曲线定义 ，由勾股 。 两式相减得 ，故 ，选 B。 【易错】第一，圆半径是 ，不是 或 。第二， 是直径，所以圆周角 ，这一步是解题的枢纽。第三， 由「平方差」得到，不是由「完全平方」得到，系数是 不是 。 【答案】 变式3-4（单选·★★★★☆） 已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【切入点】直线 与圆相切，且 在抛物线第一象限 ——先用相切条件定出直线的倾斜角，再求 的坐标与面积。 【关键】、准线 ；圆方程化为 ，圆心 、半径 。 设 为切点，则 、，故 、直线 的倾斜角为 。 由直线方程与抛物线联立得 的坐标，再算 的面积，得 ，选 C。 【易错】第一，圆心 与焦点 都在 轴上， 是解题的关键长度。第二， 给出 ，倾斜角是它的余角或本身，要看图形定。第三， 在第一象限，联立后要取对应的那组解。 【答案】 变式3-5（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】过右焦点作渐近线的垂线，垂足为 ——、 是双曲线的固定结论，再用面积条件定 、。 【关键】在 中，，设 、，由 得 ，即 、。 由面积条件与焦点的位置解出 、 的比例，得 、。 故双曲线为 ，选 C。 【易错】第一， 与 是「焦点到渐近线的距离」的标准结论，可直接用。第二， 来自 ，即 。第三，四个选项的分母各不相同，选之前先在草稿上把 、 算准。 【答案】 变式3-6（单选·★★★☆☆） 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 说明 内分 ，比是 ——用抛物线定义配合这个比例求出各段长度。 【关键】由定义，、 到准线的距离分别等于 、；设 ，则 。 由题给的线段关系得 ，解得 。 此时 、，结合准线位置算出 、 的纵坐标，再用 化到同一条底上，选 B。 【易错】第一， 是向量关系， 才是长度关系。第二， 是由图形中的线段拼出来的，要先画出准线与各点的相对位置。第三，面积用「大三角形减小三角形」，注意两个三角形共用哪条边。 【答案】 变式3-7（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则 = __________。 【切入点】 准线， 在抛物线上 ——由定义 ，这是本题的入口。 【关键】、，；设 ，由定义 。 由 平方展开得 ，结合 解得 、。 由 解得 。 【易错】第一， 是焦准距，不是 。第二， 准线意味着 就是 到准线的距离，正好与定义对接。第三，解出 后要验证 。 【答案】 变式3-8（多选·★★★★☆） 已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 的内心满足 【切入点】双曲线焦点在 轴上（）——渐近线、焦半径的写法都与焦点在 轴时不同，先认清这一点。 项：由 两边平方，结合焦点三角形的条件可定出基本量关系，正确。 项：焦点在 轴上时渐近线为 ，与选项所给不符，错误。 项：设 的坐标，用正切值表示两个角、令其相等，在限定范围内解得 ，故该项正确。 项：由上一步的结论反推，验证内心 满足 ，等式成立，故该项正确。故选 ACD。 【易错】第一，焦点在 轴上时渐近线是 ，与焦点在 轴时的 正好颠倒。第二， 的符号取决于 在上支还是下支。第三， 项用「逆命题」的思路：先假设结论成立，验证条件是否满足。 【答案】 变式3-9（单选·★★☆☆☆） 过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】过焦点作渐近线的垂线，垂足 ——、，面积就是 。 【关键】、渐近线 ；由点到直线的距离 ，已知 故 。 由 ，再由 的面积 解得 。 故渐近线的斜率为 ，选 C。 【易错】第一， 是「焦点到渐近线距离」的固定值，不必每次重算。第二， 用的是直角三角形 的勾股：、。第三，面积是 ，不是 或 。 【答案】 变式3-10（单选·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在准线上滑动、 最大 ——把角的正切写成 的纵坐标 的函数，再求最值。 【关键】、准线 ，设 （）。 用两条直线的斜率差表示：、，代入夹角公式得 的表达式。 求这个表达式的最大值（用基本不等式或配方），得等号条件对应的 ，再算 ，选 B。 【易错】第一， 在准线 上，设 而不是 。第二， 是两条直线 、 的夹角，用夹角公式时取绝对值。第三， 是因为 时 与 、 共线，构不成角。 【答案】 变式3-11（解答·★★★★☆） 已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为（1）求双曲线的方程；（2）点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标. 【切入点】第（1）问由斜率之积与过点定 、；第（2）问设 、 的坐标，把面积关系化成关于 的方程。 【关键】第（1）问：，解得 ；再由 得 。 故双曲线 的方程为 。 第（2）问：、、，设 、。 由面积公式 、，代入 得 。 整理得 ，解得 ，进而 、，故 。 【易错】第一， 的分母是 ，符号别弄反；由它为 正数可判 。第二， 在双曲线的两支之间，故 这个范围要写上。第三，第（2）问两个三角形分别以 、 为底，底长分别是 与 ，高分别是 与 的纵坐标绝对值 ——两个底都在 轴上，别再去找别的高。 【答案】； 学科网（北京）股份有限公司 $ 弦长与面积 解析几何 · 专题篇 一 弦长公式与焦点弦 一、直线截圆锥曲线，先写弦长公式。 ，其中 是联立后二次项系数。 ★ 若直线用 的形式，换成 ，能避开斜率不存在的讨论。 二、直线截圆：垂径定理最快。 圆心到直线的距离 与半径 给出 。 ★ 这类题不必联立 —— 算 比解方程快得多。本题组的九道里有五道是这种，先认出来再动手。 三、焦点弦用焦半径走。 抛物线过焦点 的弦：（）；倾斜角为 时 。 ★ 后一个公式在「已知倾斜角求弦长」时一步到位，比联立快很多，但要记住分母是 。 四、弦长的常见变形。 通径为 （椭圆、双曲线）；最短焦点弦就是通径（垂直于长轴／实轴的那条）。 ★ 「弦长最小」往往等价于「弦垂直于对称轴」，这是焦点弦最值题的固定入口。 五、反求参数时注意两根都要验。 由弦长反求 、、 时，方程常解出两个值，必须回代验 与参数的符号约定。 ★ 例如 要求 ，若解出 就要舍去；本题组里有一道正是两个 都合要求。 六、本节九道题的三种场景。 第一种：直线与圆。一律走垂径定理，把「求弦长」化成「求圆心到直线的距离」，一步到位。 第二种：直线与圆锥曲线。必须联立 + 韦达 + 弦长公式，注意 这个因子。 第三种：焦点弦。用 或 ，比联立省一半计算。 ★ 拿到题先分场景，再选公式 —— 本节的失分大多不是算错，而是场景选错：明明截的是圆，却去联立抛物线。 例1（填空·★★★☆☆） 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______。 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方，，O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为________。 变式1-2（填空·★★★☆☆） 过点及圆：与抛物线的一个交点的直线被圆截得的弦长为______。 变式1-3（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________。 变式1-4（填空·★★☆☆☆） 双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______。 变式1-5（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长等于，则 = ______。 变式1-6（单选·★★★☆☆） 已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 变式1-7（单选·★★☆☆☆） 直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 变式1-8（填空·★★★★☆） 已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长 = ______。 二 三角形的面积 一、三种算法，按条件选。 底×高：已知一条边的长度与它到对顶点的距离时用，。 分割：把三角形拆成两个同底的小三角形，高分别是两个顶点的纵坐标， 或 底 。 ★ 焦点在 轴上时，第二种最省事 —— 只要两个顶点的纵坐标之差，不必求高。 二、焦点三角形的面积公式。 设 ：椭圆 ，双曲线 。 ★ 两个公式只差「乘」还是「除」，与第 1 讲的记法一致；用它可以绕开求点坐标。 三、面积比转化为坐标比。 若两个三角形共顶点且底在同一直线上，面积之比就等于底边之比；焦点在 轴上时，进一步化成纵坐标之差之比。 ★ 这是本节最常用的一招：，韦达一写就出来，不必真的算两个面积。 四、等面积法求内切圆半径。 三角形面积等于 周长 内切圆半径，故 等于 。 ★ 题目给出「内切圆半径」时，用这条式子把面积与三边长度绑起来，常能一步解出。 五、算完核对量级。 面积是二次量：参数放大 倍，面积放大 倍；算出的结果与底、高的量级不符，多半是根号里漏了平方。 ★ 本节有几道题答案是分数（如 、），这类「比值型」答案与具体长度无关，可以用来检验：换一个参数值，答案应当不变。 六、面积题的四步流程。 第一步定底：找一条「长度好算」的边，通常是与坐标轴平行或共线的那条。 第二步定高：另一顶点到这条线的距离，焦点在 轴上时往往就是纵坐标之差。 第三步消参：面积写成单参数（斜率 或横坐标 ）的函数。 第四步要么代入已知值求解，要么求最值。 ★ 四步里第二步最容易出错 —— 把「高」写成两点距离而不是「到直线的垂直距离」。设直线为 轴方向的底边时，高就是纵坐标差的绝对值，这是最快的判定。 例2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（ ） A. 与成正比 B. 与成正比 C. 与成正比 D. 与成正比 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________。 变式2-3（单选·★★★★☆） 已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-4（单选·★★★★☆） 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-5（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，其中点在轴上方，设与的面积分别为，则 = __________。 变式2-6（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点。若的面积是的面积的3倍，则 = _____。 变式2-7（多选·★★★☆☆） 已知椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. ，，，四点可能共圆 C. 为直角三角形 D. 的最小值为 变式2-8（填空·★★★★☆） 已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若与的面积之比为，则 = ______。 三 面积反求与面积比 一、反求题的标准流程。 把面积写成参数的函数 ——参数通常是斜率 、截距 或点的坐标 ；再令它等于已知值，解方程。 ★ 解完必须回代验 与参数的定义域，这一步最容易被跳过，也最容易出错误答案。 二、面积比的三种转化。 共顶点、底在同一直线： = 底边之比；焦点在 轴上时进一步化成 。 同底不同顶点： = 两高之比；两个三角形相似：面积比等于相似比的平方。 ★ 转化对了，计算量能减一半；本节有一道题的比值与双曲线参数无关，正是因为它本质上是线段比。 三、与焦点三角形结合。 的面积为 （椭圆）或 （双曲线）；若 在以 为直径的圆上，则 。 ★ 后者是高频条件：「 在以焦距为直径的圆上」等价于「两条焦半径垂直」，配合勾股定理与定义式，能直接解出 。 四、动点问题先定几何位置。 题面问「某个角最大时」或「面积最大时」，先把这个量写成单变量函数，再求最值；常见变量是动点在准线上的纵坐标 。 ★ 别急着求导 —— 多数时候化成二次函数或用基本不等式更快，注意等号条件要能取到。 五、答案的合理性检查。 面积必须为正；比值若写成 ，要确认谁在前。算出面积小于零，一定是底或高取了错的值。 ★ 还有一个快检法：面积是二次量，若把图形整体放大 倍，面积应变成 倍 ——用这个比例关系能发现大多数量纲错误。 例3（单选·★★☆☆☆） 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 变式3-1（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为___________。 变式3-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 变式3-4（单选·★★★★☆） 已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 变式3-5（单选·★★★☆☆） 已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 变式3-6（单选·★★★☆☆） 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ） A. B. C. D. 变式3-7（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则 = __________。 变式3-8（多选·★★★★☆） 已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 的内心满足 变式3-9（单选·★★☆☆☆） 过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 变式3-10（单选·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 变式3-11（解答·★★★★☆） 已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为（1）求双曲线的方程；（2）点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $