第5讲点差法与中点弦讲义-2027届高三数学一轮复习

点差法与中点弦 解析几何 · 专题篇 一 点差法 一、点差法的两步。 第一步：设两个交点 、，分别代入曲线方程；第二步：两式相减，得到斜率与中点坐标的关系。 ★ 相减时 给出 ，左边是斜率、右边含中点纵坐标 —— 这就是点差法的全部内容。 二、三种曲线的标准结果。 椭圆 ：；双曲线同理，符号取正：。 抛物线 ：，其中 是中点纵坐标。 ★ 抛物线最简单：斜率和中点纵坐标成反比，不必记 、，直接用 与 。 三、点差法能解决哪三类问题。 已知中点求斜率；已知斜率求中点；已知弦的中点在某条线上，反求参数。 ★ 这三类的共同点是「中点与斜率成对出现」。若题目只给一个点、不给弦，就不是点差法的题。 四、中点弦必须验判别式。 求出中点或斜率后，要回代检验 ，否则可能得到「中点落在曲线外」的假解。 ★ 这是点差法唯一的陷阱：它只用到相减的结果，不含 的信息；椭圆内部任一点都能作中点弦，双曲线和抛物线则有限制。 五、与韦达定理的分工。 点差法只给「中点与斜率」的一个关系，要算弦长、面积、具体坐标，还得回到韦达定理。 ★ 判断口诀：问中点或斜率用点差，问长度或面积用韦达。两套工具配合用，不要指望一套打天下。 六、本节十道题的分工。 前三道是纯点差法：给中点求 、给中点反求斜率、给斜率判平行。中间三道是点差法嵌在多选项里，只占其中一项。 后四道是「中点 + 定义」的组合：抛物线用中位线，双曲线用内切圆切于顶点。 ★ 共同点是：只要出现「线段的中点」四个字，先想点差法，再想中位线，两条路覆盖本节全部题。 例1（单选·★★★☆☆） 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 变式1-2（单选·★★★★☆） 过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ） A. B. C. 轴 D. 若，则 变式1-3（单选·★★★☆☆） 设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则 = （ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 变式1-4（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 变式1-5（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 直线斜率存在时， C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 变式2-2（多选·★★★★☆） 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A. 越大，则双曲线的离心率越大 B. 过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C. 点到两渐近线的距离之积为定值 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为点，过的直线与抛物线交于两点，点是线段的中点，过作轴的垂线，交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标大于等于1 B. 若，则直线的斜率为1 C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 变式2-4（填空·★★★★☆） 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则 = ________。 二 中点弦与中垂线 一、中点弦存在的条件。 给定中点 ，过它作弦要求该点在曲线内部：椭圆需 ，抛物线需 。 ★ 双曲线最麻烦：中点要落在「两支之间的区域」或「某支的内侧」，用点差法求出斜率后必须回代验 。 二、弦的垂直平分线过中心。 椭圆的弦若不是直径，其垂直平分线必过椭圆中心；圆同理，过圆心。 ★ 这条性质常与「对称」联动：弦的垂直平分线就是两点关于该线的对称轴，所以求「使某两点关于直线 对称」的问题，等价于「 是某条弦的垂直平分线」，而这条线必须过中心。 三、中点轨迹的求法。 设中点 ，用点差法得到 、 与参数（斜率 或截距 ）的关系，再消去参数。 ★ 消参后要注明范围 —— 中点轨迹往往是曲线的一段，端点由 或斜率的存在性决定。 四、中位线的三个用法。 三角形两边中点连线平行于第三边且等于其一半；梯形中位线等于上下底之和的一半；圆心与弦中点的连线垂直于弦。 ★ 抛物线焦点弦的中点到准线的距离等于弦长的一半，这是「以弦为直径的圆与准线相切」的另一种说法。 五、两类易混的题。 「中点在定直线上」求参数：用点差法把中点坐标写成参数的函数，代入定直线方程；「中点在某区域内」求范围：先求轨迹，再与区域求交。 ★ 前者是等式、后者是不等式，看清问的是「求值」还是「求范围」，别把等式当不等式解。 例2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 变式2-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为与，点P，Q在C的右支上，l为C的一条渐近线，则（ ） A. 若，则C的离心率 B. 若垂直于x轴，M为线段的中点，则 C. 若垂直于x轴，平行于l，则 D. 过点P与双曲线C的两条渐近线分别平行的直线与两条渐近线围成的四边形的面积为 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 当直线过点时，的最小值为 C. 当时，中点的轨迹方程为 D. 当原点到直线的距离为时，的最大值为 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，。设，，为线段的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-4（多选·★★★★☆） 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为线段中点，若与平行的直线与抛物线相切于点，则（ ） A. 是直角三角形 B. 点的轨迹方程为 C. 与轴平行 D. 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（ ） A. 直线OM与AC的斜率之积为 B. 点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C. D. B，F，M三点共线 变式3-2（多选·★★★☆☆） 抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为4 B. 若点的坐标为，则周长的最小值为9 C. 当时， D. 以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 变式3-3（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，且，过的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），与轴交于点为的中点，分别为内切圆的半径，则（ ） A. 的离心率为2 B. 与上点的距离的最小值为 C. D. 变式3-4（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的短轴长为 C. D. 到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 变式3-5（多选·★★★☆☆） 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 若点，则的最小值为5 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 点为线段中点，则点的坐标可以是 三 对称与垂直平分 一、两点关于直线对称的两个条件。 若 、 关于直线 对称，则：① 的中点落在 上；② 。 ★ 两个条件缺一不可。只写「垂直」会漏掉中点；只写「中点」会漏掉方向。 二、把对称翻成距离相等。 是 的垂直平分线 上任一点到 、 距离相等；反过来，若某点到 、 距离相等，它就在垂直平分线上。 ★ 这一步能把「对称」问题变成「到两定点距离相等」，再用圆的定义或双曲线定义判定轨迹 —— 本节有两道题正是这样做的。 三、垂直平分线必过中心。 椭圆（或双曲线）的弦若不是过中心的直径，其垂直平分线必过曲线的中心；圆的弦的垂直平分线过圆心。 ★ 结合点差法：弦的斜率与中点连线斜率之积为 ，而垂直平分线的斜率与弦的斜率之积为 ，两个关系联立就能定出参数。 四、动直线族的定点。 形如 的直线必过定点，由两个系数方程联立求出。 ★ 定点一旦求出，对称点与定点的距离就是定值，轨迹立刻变成圆 —— 这是本节第一道题的思路。 五、对称型存在性的答法。 问「是否存在两点关于某直线对称」时，先设直线、求弦的中点，再要求中点落在给定直线上、且 。 ★ 两步都要验证。只满足中点条件而 ，说明这两点根本不存在 —— 这是「存在性」题最常见的陷阱。 六、本节十道题的两条主线。 第一条是「把对称翻成距离」：动直线族的定点、垂直平分线过焦点、圆的垂直平分线 —— 全都化成「到两定点距离相等」，再用圆或双曲线的定义判轨迹。 第二条是「把对称翻成斜率」：两点关于直线对称时，连线斜率与对称轴斜率之积为 ，这条与点差法联立就能定参数。 ★ 两条主线选哪条，看题目给的是「定点」还是「斜率」。给定点走第一条，给斜率走第二条；两条题都能走通时，选计算量小的那条。 例3（单选·★★★☆☆） 若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知点及抛物线上一点，若线段的垂直平分线经过的焦点，则的横坐标为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 变式3-2（多选·★★★★☆） 已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C. 当时， D. 过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 变式4-1（单选·★★★☆☆） 记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N。若，则E的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，左顶点为是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（ ） A. B. C. D. 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（ ） A. 椭圆 的离心率为 B. C. 直线 的斜率为 2 D. 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 变式4-5（单选·★★★☆☆） 在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆的对称轴为 B. 的最大值为 C. 椭圆的离心率为 D. n的最大值为 变式4-6（多选·★★★★☆） 已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则直线的斜率为0 C. 若，则的离心率的取值范围为 D. 若，则，，，四点共圆 学科网（北京）股份有限公司 $ 点差法与中点弦 解析几何 · 专题篇 一 点差法 一、点差法的两步。 第一步：设两个交点 、，分别代入曲线方程；第二步：两式相减，得到斜率与中点坐标的关系。 ★ 相减时 给出 ，左边是斜率、右边含中点纵坐标 —— 这就是点差法的全部内容。 二、三种曲线的标准结果。 椭圆 ：；双曲线同理，符号取正：。 抛物线 ：，其中 是中点纵坐标。 ★ 抛物线最简单：斜率和中点纵坐标成反比，不必记 、，直接用 与 。 三、点差法能解决哪三类问题。 已知中点求斜率；已知斜率求中点；已知弦的中点在某条线上，反求参数。 ★ 这三类的共同点是「中点与斜率成对出现」。若题目只给一个点、不给弦，就不是点差法的题。 四、中点弦必须验判别式。 求出中点或斜率后，要回代检验 ，否则可能得到「中点落在曲线外」的假解。 ★ 这是点差法唯一的陷阱：它只用到相减的结果，不含 的信息；椭圆内部任一点都能作中点弦，双曲线和抛物线则有限制。 五、与韦达定理的分工。 点差法只给「中点与斜率」的一个关系，要算弦长、面积、具体坐标，还得回到韦达定理。 ★ 判断口诀：问中点或斜率用点差，问长度或面积用韦达。两套工具配合用，不要指望一套打天下。 六、本节十道题的分工。 前三道是纯点差法：给中点求 、给中点反求斜率、给斜率判平行。中间三道是点差法嵌在多选项里，只占其中一项。 后四道是「中点 + 定义」的组合：抛物线用中位线，双曲线用内切圆切于顶点。 ★ 共同点是：只要出现「线段的中点」四个字，先想点差法，再想中位线，两条路覆盖本节全部题。 例1（单选·★★★☆☆） 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】直线与抛物线交于 、，给出了 中点的横坐标 ——「中点 + 弦」正是点差法的信号。 【关键】设 、，代入 后两式相减得 。 左边是直线 的斜率； 的斜率为 ，故 ，即 。 中点横坐标为 ，代入 得中点纵坐标为 ，故 ，于是 、，选 D。 【易错】第一，中点纵坐标要用直线方程算：横坐标 代入 得 。第二，点差法给的是 ，分母是两根之和，不是两根之积。第三， 等于中点纵坐标的两倍，即 ，别漏乘 。 【答案】 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 【切入点】 是某条线段的中点，四个选项都绕 与 展开 ——先用中位线把 换成 。 项：由中位线 、，故两者之和为 ，正确。 项：由 ，当 在第二、三象限时 可以小于 ，从而 ，故「」不恒成立，错误。 项： 的三边之和为 ，面积与内切圆半径的关系给出上界，最大值在 位于上顶点时取到，正确。 项：由正弦定理， 的外接圆半径 一类，最小值可算得 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一，中位线要用在「 与 都是中点」这个位置上，先确认哪条线段的中点是 。第二， 项是「不恒成立」型，找一个反例（点在第二象限）即可否定。第三， 项用「三边之和固定、面积随顶角变化」，不必真的解出内切圆半径。 【答案】 变式1-2（单选·★★★★☆） 过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ） A. B. C. 轴 D. 若，则 【切入点】、 是 、 的中点，再引出 、 ——先把 、 的坐标写出来，再看 的方向。 【关键】设 ，、，则 ， 同法。 由 、 的定义与抛物线定义得 、，故 、 两项的严格不等号都不成立。 、 的方程与 联立得 、 两点，两者的横坐标相同（都等于 ），故 轴， 正确。故选 C。 【易错】第一， 是 到准线的距离，由 的横坐标算，等于 。第二，、 都在准线上，横坐标相同是必然的，关键是验证纵坐标不同。第三， 项要求 的值，由 转化时要统一到焦半径。 【答案】 变式1-3（单选·★★★☆☆） 设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则 = （ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【切入点】题目里有 、 与 轴上的三点 ——先设 ，用韦达定出 与 。 【关键】联立得 ，故 、，进而 。 由 得 ，代入 、 得 。 再由 得 ，代入所求式子化简，得 ，选 B。 【易错】第一，设 而不是 ，可避免讨论斜率不存在。第二， 是由 换算来的，不是韦达直接给出。第三，相似三角形对应边要找对： 与 是同一三角形的两条直角边。 【答案】 变式1-4（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. 双曲线的离心率为 C. 当时，的面积为 D. 当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【切入点】四项分别考「直线与双曲线的公共点个数」「离心率」「焦点三角形面积」「点差法」—— 逐项处理。 项：联立 与双曲线得唯一一组解 ，公共点只有一个，错误。 项：、、，，正确。 项：由双曲线定义与余弦定理， 时焦点三角形面积可算得定值，正确。 项：设 中点，用点差法得 ，与选项所给关系不符，错误。故选 BC。 【易错】第一， 项「恰有一个公共点」不等于「相切」—— 直线与渐近线平行时也只有一个公共点。第二，双曲线的 ，椭圆是 ，符号别混。第三，，双曲线用加。 【答案】 变式1-5（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 直线斜率存在时， C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是 【切入点】双曲线 的两个内切圆 、，再引出 、 与中点 ——先用基本量把各点坐标定下来。 、、，故 、、、。 项：双曲线焦点三角形的内切圆与实轴切于顶点，故 、、 三点共线，正确。 项：由点差法，，正确。 项：设直线倾斜角为 ，得 、；由 解出的斜率与选项不符，错误。 项： 化成对勾函数求范围，得 一类，正确。故选 ABD。 【易错】第一，焦点三角形的内切圆切于顶点，这是双曲线特有的性质，椭圆没有。第二， 里的 是 ，不是 。第三，、 与 的关系是倒数，两者相乘为 。 【答案】 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 【切入点】、 在抛物线上、 是 的中点 ——先用焦点定 ，再用定义与中位线处理各项。 项：焦点 故 、，正确。 项：由抛物线定义 （、 为 、 到准线的垂足），故 到准线的距离为 ；选项所给数值不符，错误。 项： 用定义换成 ，三点共线时取最小，得 ，正确。 项：延长 交准线于 ，由定义得 是 的中位线，设 后用相似关系求得比值，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 换成两个垂足距离之和，是抛物线定义的标准用法。第二， 到准线的距离是两者之和的一半，即 —— 选项用别的方法算容易错。第三， 项的关键是「 为中位线」，要先说明 是 的中点。 【答案】 变式2-2（多选·★★★★☆） 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A. 越大，则双曲线的离心率越大 B. 过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C. 点到两渐近线的距离之积为定值 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 【切入点】双曲线的两条渐近线与点 ——四项分别考离心率与 的关系、过 的直线条数、距离之积、切线与中点。 项：，故 越大 越大，正确。 项：过双曲线上一点 与曲线只有一个交点的直线有三条：一条是切线，另两条分别平行于两条渐近线，错误。 项：设 ，由 可证它到两渐近线的距离之积为定值，正确。 项：过 的切线与两条渐近线交于 、，联立后验证 的坐标恰是 的中点，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 项最容易错成「只有一条」——漏掉了平行于渐近线的两条。第二， 项的距离之积是定值 一类，推导时要用上 在曲线上的条件。第三， 项要说明「切线与渐近线都相交」，否则中点无从谈起。 【答案】 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为点，过的直线与抛物线交于两点，点是线段的中点，过作轴的垂线，交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标大于等于1 B. 若，则直线的斜率为1 C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【切入点】过焦点 的直线交抛物线于 、， 是中点，再过 作 轴垂线交曲线于 ——设 ，用韦达把 表示出来。 联立 得 ，故 、，中点 。 项： 的横坐标 ，正确。 项：由弦长公式 ，令它等于 得 ，斜率为 ，选项只写 ，错误。 项：由 得 ，结合 解出 ，可验证该项成立。 项：由 列方程解出直线，验证成立。故选 ACD。 【易错】第一， 项「斜率为 」漏了 ，因为 给出两个值。第二， 是焦点弦的常用结论，分母是 而不是别的。第三， 项要先确定 在 的哪一侧，再写 的表达式。 【答案】 变式2-4（填空·★★★★☆） 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（其中点位于第一象限），，是线段的中点，且点纵坐标为2，则 = ________。 【切入点】 给出焦半径的比例，又要求某个长度 ——先把三条焦半径用同一个量表示。 【关键】设 、，则 ；延长 交准线于 ，过 、 分别作准线的垂线，垂足为 、。 由抛物线定义 、，再由相似三角形得 到各垂足的距离关系，从而定出 与 。 代入所求式子化简得 。 【易错】第一， 是向量式，表示 内分 且比为 。第二，抛物线的定义要分别用在 、 两点上，得到两条垂足距离。第三，相似三角形的对应边要写清，否则 与 的关系会写反。 【答案】 二 中点弦与中垂线 一、中点弦存在的条件。 给定中点 ，过它作弦要求该点在曲线内部：椭圆需 ，抛物线需 。 ★ 双曲线最麻烦：中点要落在「两支之间的区域」或「某支的内侧」，用点差法求出斜率后必须回代验 。 二、弦的垂直平分线过中心。 椭圆的弦若不是直径，其垂直平分线必过椭圆中心；圆同理，过圆心。 ★ 这条性质常与「对称」联动：弦的垂直平分线就是两点关于该线的对称轴，所以求「使某两点关于直线 对称」的问题，等价于「 是某条弦的垂直平分线」，而这条线必须过中心。 三、中点轨迹的求法。 设中点 ，用点差法得到 、 与参数（斜率 或截距 ）的关系，再消去参数。 ★ 消参后要注明范围 —— 中点轨迹往往是曲线的一段，端点由 或斜率的存在性决定。 四、中位线的三个用法。 三角形两边中点连线平行于第三边且等于其一半；梯形中位线等于上下底之和的一半；圆心与弦中点的连线垂直于弦。 ★ 抛物线焦点弦的中点到准线的距离等于弦长的一半，这是「以弦为直径的圆与准线相切」的另一种说法。 五、两类易混的题。 「中点在定直线上」求参数：用点差法把中点坐标写成参数的函数，代入定直线方程；「中点在某区域内」求范围：先求轨迹，再与区域求交。 ★ 前者是等式、后者是不等式，看清问的是「求值」还是「求范围」，别把等式当不等式解。 例2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】双曲线的弦 中点为 ，求弦所在直线的斜率 ——这是点差法最标准的用法。 【关键】双曲线 中 、，设 、，代入后两式相减得 。 因为 是中点，、，代入得 ，即 。 又 在双曲线上方（）且 在第一象限，由弦存在的条件定出 一类，于是 ，选 D。 【易错】第一，双曲线的点差法结果里 的符号是负的：，与椭圆的负号相反。第二， 来自中点纵坐标为 ，别忘乘 。第三，求出 后必须验 ，否则可能得到「弦不存在」的假解 —— 本题正是靠这一步定出 。 【答案】 变式2-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为与，点P，Q在C的右支上，l为C的一条渐近线，则（ ） A. 若，则C的离心率 B. 若垂直于x轴，M为线段的中点，则 C. 若垂直于x轴，平行于l，则 D. 过点P与双曲线C的两条渐近线分别平行的直线与两条渐近线围成的四边形的面积为 【切入点】、 在双曲线右支上， 是一条渐近线 ——四项分别考离心率、中点距离、平行线与四边形面积。 项：渐近线 给出 ，故 、、，正确。 项： 轴时， 的横坐标为 ； 是 中点，代入距离公式化简，结果与选项所给式子不符，错误。 项： 平行于 时，把 的坐标代入双曲线化简，得 ，正确。 项：过 作两条分别平行于渐近线的直线，与两条渐近线围成平行四边形，其面积可转化为两个三角形的面积之和，得定值 一类，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 时 ，所以 、 —— 别把 算成 。第二， 轴意味着 的横坐标是 ，不是 。第三，平行四边形的面积用「底×高」不便于算，拆成两个三角形更快。 【答案】 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为2 B. 当直线过点时，的最小值为 C. 当时，中点的轨迹方程为 D. 当原点到直线的距离为时，的最大值为 【切入点】单位圆的两点 、 ——四项分别考弦长最值、过定点、中点轨迹、纵坐标之和。 圆 ，圆心为原点、半径 。 项：直线过圆心时弦最长，等于直径 ，正确。 项： 过点 时，圆心到它的距离不超过 ，弦长有下界，该项成立，正确。 项： 时圆心到直线的距离为 ，中点轨迹是一段圆弧而非直线，错误。 项： 到 的距离为 时弦长为 ，设中点为 ，用向量与三角恒等变换求 的最大值，正确。故选 ABD。 【易错】第一，中点轨迹是圆（或圆弧），不是直线 —— 这与「中点弦的斜率」是两回事。第二，弦长为 时 ，用 反推。第三， 项求出的是 的最大值，不要与弦长的最值混。 【答案】 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，。设，，为线段的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】过焦点 的弦 ，两端向准线引垂线得 、 ——先证 ，再在直角梯形里算 。 【关键】由定义 ，故 ；又 ，故 ，于是 。 同理 ，两者相加得 。 在直角梯形 中，，代入 、 化简得 ，选 A。 【易错】第一， 是本题的枢纽，用两次「定义给出等腰三角形」才能证。第二，直角梯形里 不是上下底之和，要用勾股或斜边关系。第三，选项里有 （中位线）和 （本题答案），两者容易混。 【答案】 变式2-4（多选·★★★★☆） 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为线段中点，若与平行的直线与抛物线相切于点，则（ ） A. 是直角三角形 B. 点的轨迹方程为 C. 与轴平行 D. 【切入点】过定点 的直线交抛物线于 、， 为中点，再作平行于 的切线得 ——先设 ，用韦达定出中点。 联立 得 ，故 、，中点 。 项：，由 得它等于 ，故 是直角三角形，正确。 项：由中点 消去 得 ，与选项所给方程不符，错误。 项：平行于 的切线与抛物线切于 ，与 的纵坐标相同，故 轴，正确。 项：由 与面积公式得 一类，可验证成立，正确。故选 ACD。 【易错】第一，定点是 不是焦点，焦点是 。第二，中点轨迹是 ，不是 。第三， 轴靠「纵坐标相同」判断，不需要求 的横坐标。 【答案】 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，过原点O的直线l（斜率不为0）与W交于B，C两点，M为AC的中点，则（ ） A. 直线OM与AC的斜率之积为 B. 点B到点的距离与到点F的距离之和的最大值为 C. D. B，F，M三点共线 【切入点】过原点的直线交椭圆于 、（关于原点对称）， 是 的中点 —— 用坐标表示后逐项判断。 椭圆 ，、；设 、。 项： 是 中点， 可用 的坐标表示，化简得 ，正确。 项： 用椭圆定义转成 （ 为左焦点），由三角不等式取到最大值，与选项一致，正确。 项：由 与 的坐标关系可算出比例，选项所给的 不成立，错误。 项：、、 三点共线可由坐标直接验证，正确。故选 ABD。 【易错】第一，、 关于原点对称，所以 的坐标是 的相反数，别写成同一个点。第二， 里的负号来自椭圆，双曲线对应的是正号。第三， 项用椭圆定义转化时，要把 换成 才能用三角不等式。 【答案】 变式3-2（多选·★★★☆☆） 抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为4 B. 若点的坐标为，则周长的最小值为9 C. 当时， D. 以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 【切入点】直线 过焦点 ——由「与 轴交于 」直接读出 的坐标。 项：、准线 ，焦点到准线的距离 ，正确。 项：由定义把 换成 到准线的距离，再由三角不等式求 周长的最小值，正确。 项：由 与定义得 、 的横坐标关系，解出的结果与选项不符，错误。 项：联立得 ，中点 的坐标可写；以 为直径的圆与 轴交于 、， 化成 的函数求最值，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 而 ，抛物线的标准形式是 ， 是焦准距。第二， 项用「到准线的距离」替代焦半径，这是抛物线独有的便利。第三， 项的圆以 为直径，圆心就是 ，半弦长要另算。 【答案】 变式3-3（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，且，过的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），与轴交于点为的中点，分别为内切圆的半径，则（ ） A. 的离心率为2 B. 与上点的距离的最小值为 C. D. 【切入点】 是 的中点 ——由 与 反推 的坐标，再代入双曲线定基本量。 【关键】，代入得 ；结合 、 解得 、。 项：、，故 ，正确。 项： 与双曲线上点的距离最小值要按「到右支、到左支」分别算，结果与选项不符，错误。 项：由点差法 ，正确。 项： 由两段长度相加，代入算得 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 给出 、，不是 。第二， 里的 是 ，双曲线取正号。第三， 项的距离最小值要考虑两支，只算右支会漏。 【答案】 变式3-4（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的焦距为，直线与相交于，两点，的中点为，点在直线上，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的短轴长为 C. D. 到的两焦点距离之差的绝对值的最大值为 【切入点】椭圆与直线 交于两点，给了焦距与中点 ——先联立求 、，再逐项判断。 由 得 ；联立直线与椭圆，用韦达与中点坐标公式解得 、。 项：，正确。 项：短轴长 ，选项给 ，错误。 项：求出 、 的坐标后作数量积， 的值与选项一致，正确。 项： 到两焦点距离之差的绝对值要借助 关于 的对称点，最大值算出来不是 ，错误。故选 AC。 【易错】第一，短轴长是 不是 —— 这一项最容易看错。第二， 项要先把 关于直线对称过去，再用三角不等式。第三， 来自 、，开方后化简。 【答案】 变式3-5（多选·★★★☆☆） 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 若点，则的最小值为5 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 点为线段中点，则点的坐标可以是 【切入点】过抛物线焦点的弦 ，四项分别考「以弦为直径的圆与准线的关系」「距离和最小」「面积」「中点」。 项： 中点到准线的距离等于 ，故以 为直径的圆与准线相切，正确。 项：，由定义把 换成 到准线的距离，三点共线时取最小，正确。 项：倾斜角 时，由 算面积，与选项所给值不符，错误。 项：由点差法，中点 满足 一类关系， 可以取到，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 项的性质是抛物线的经典结论，可用来快速判断。第二， 里 ， 时 ，故 。第三， 项用点差法验证中点坐标，要先确认该点在抛物线内部。 【答案】 三 对称与垂直平分 一、两点关于直线对称的两个条件。 若 、 关于直线 对称，则：① 的中点落在 上；② 。 ★ 两个条件缺一不可。只写「垂直」会漏掉中点；只写「中点」会漏掉方向。 二、把对称翻成距离相等。 是 的垂直平分线 上任一点到 、 距离相等；反过来，若某点到 、 距离相等，它就在垂直平分线上。 ★ 这一步能把「对称」问题变成「到两定点距离相等」，再用圆的定义或双曲线定义判定轨迹 —— 本节有两道题正是这样做的。 三、垂直平分线必过中心。 椭圆（或双曲线）的弦若不是过中心的直径，其垂直平分线必过曲线的中心；圆的弦的垂直平分线过圆心。 ★ 结合点差法：弦的斜率与中点连线斜率之积为 ，而垂直平分线的斜率与弦的斜率之积为 ，两个关系联立就能定出参数。 四、动直线族的定点。 形如 的直线必过定点，由两个系数方程联立求出。 ★ 定点一旦求出，对称点与定点的距离就是定值，轨迹立刻变成圆 —— 这是本节第一道题的思路。 五、对称型存在性的答法。 问「是否存在两点关于某直线对称」时，先设直线、求弦的中点，再要求中点落在给定直线上、且 。 ★ 两步都要验证。只满足中点条件而 ，说明这两点根本不存在 —— 这是「存在性」题最常见的陷阱。 六、本节十道题的两条主线。 第一条是「把对称翻成距离」：动直线族的定点、垂直平分线过焦点、圆的垂直平分线 —— 全都化成「到两定点距离相等」，再用圆或双曲线的定义判轨迹。 第二条是「把对称翻成斜率」：两点关于直线对称时，连线斜率与对称轴斜率之积为 ，这条与点差法联立就能定参数。 ★ 两条主线选哪条，看题目给的是「定点」还是「斜率」。给定点走第一条，给斜率走第二条；两条题都能走通时，选计算量小的那条。 例3（单选·★★★☆☆） 若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【切入点】直线 含参数 ，点 关于 的对称点 求轨迹 ——先求出 过的定点，再用「对称点到定点距离相等」。 【关键】令 ，解得定点 。 由对称性 ；而 ，。 故 到定点 的距离恒为 ，轨迹是以 为圆心的圆；又 不含 ，故轨迹是圆的一部分，选 A。 【易错】第一，定点是由「让 的系数为零」解出的，两组方程要联立求交点。第二， 用的是「垂直平分线上的点到两端等距」，不是「对称点坐标对称」。第三，直线族不含 ，所以轨迹要去掉一个点 —— 这正是「圆的一部分」而不是「圆」。 【答案】 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知点及抛物线上一点，若线段的垂直平分线经过的焦点，则的横坐标为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【切入点】线段 的垂直平分线过焦点 ——「垂直平分线过某点」等价于「该点到 、 距离相等」。 【关键】 的焦点为 ，设 、，中点坐标为 。 由「垂直平分线过焦点」得 的斜率与「中点—焦点」连线的斜率之积为 ：。 化简解得 ，故 的横坐标为 ，选 B。 【易错】第一， 的斜率要用两点式：分子是 、分母是 。第二，「中点—焦点」的斜率分母是 ，因为焦点横坐标是 。第三，两个斜率之积为 是垂直条件，别写成等于 。 【答案】 变式3-2（多选·★★★★☆） 已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C. 当时， D. 过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 【切入点】 在 的垂直平分线上 ——立刻得 ，再把 在圆上的条件翻译成轨迹方程。 项：，而 不成立，实际由 与三角不等式得 ，由双曲线定义得轨迹 一类，正确。 项：设 ，由 计算 ，结果与选项所给值不符，错误。 项：由三角形内角和关系把 换成两底角的关系，代入 可解出对应结论，正确。 项：过 作 的垂线，垂足 满足某种距离关系，与选项给出的式子一致，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 来自垂直平分线，而 来自 在圆上且 为圆心。第二，两个式子相减得 ，是双曲线的定义，不是椭圆。第三， 项要把顶角换成底角的表达式，直接用余弦定理会很繁。 【答案】 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【切入点】过焦点的弦 ，中点 ，又给出垂直条件 ——先用点差法求 的斜率，再用垂直定 。 【关键】、 的坐标之和 、；由 相减得 。 由 与 、 的坐标关系列方程，解得 （舍去不合题意的一个值），选 B。 【易错】第一， 的点差法给出 ，分子是横坐标之和、分母是 —— 与 的形式正好互换。第二， 轴时垂直平分线就是 轴，不合题意，要先排除。第三，解出两个 后要按 与几何位置筛。 【答案】 变式4-1（单选·★★★☆☆） 记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N。若，则E的离心率的平方为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题给对称性与 角 ——先把对称点的坐标定下来，再代入椭圆方程求 。 【关键】由对称性 ，又 ，故 。 把 代入椭圆方程得 ，整理得 。 解得 （另一根大于 ，舍去），故 ，选 C。 【易错】第一， 的坐标由 角与对称性共同定出，两个条件缺一不可。第二，代入时 ，整理后是关于 的方程。第三， 的两根之和为 、之积为 ，一个大于 一个小于 ，要按椭圆范围筛。 【答案】 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，左顶点为是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】、 是椭圆上关于原点对称的两点，四项问「哪四点共圆」——先设 、。 椭圆 中 、、，、、。 项：、 关于原点对称，而 、 也关于原点对称，四点构成矩形，必共圆，正确。 项：、 关于原点对称，但与 、 一般不共圆（除 、 恰为长轴端点），错误。 项：设圆的一般式 ，代入 、 与 、 的坐标可解出系数，验证 、、、 共圆，正确。 项：取特殊点 ，求出过 、、 的圆，验证 也在这个圆上，正确。故选 ACD。 【易错】第一，四点共圆的判据是「存在一个圆过这四点」，对称的两对点（如 、 与 、）构成矩形，必共圆。第二， 项要举反例，不能因为「看起来对称」就判定共圆。第三， 项取特殊点验证是选择题的常用手法，但只能证明「存在」，不能证明「恒成立」。 【答案】 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ， 点关于原点的对称点为，则（ ） A. 椭圆 的离心率为 B. C. 直线 的斜率为 2 D. 【切入点】椭圆 的焦点三角形 ——四项分别考离心率、焦半径之积、弦的斜率、弦长。 、、，故 ； 项给的离心率不符，错误。 项：由椭圆定义 ，在焦点三角形中用余弦定理与面积公式，得 的值与选项一致，正确。 项：直线 的斜率由两点坐标算出，与 不符，错误。 项： 用两点距离或弦长公式算得，与选项一致，正确。故选 BD。 【易错】第一， 不是 ，分母是 而不是 。第二，焦半径之积由「和」与「余弦定理」联立求得，单独用和算不出来。第三， 项的斜率要与 的实际位置对应，不能凭图形目测。 【答案】 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【切入点】 是线段 的中垂线 ——「中垂线」等价于「 到 、 距离相等」，而 在准线上。 【关键】、、；由 与抛物线定义列方程。 解得 ，再用两点距离公式建立关于 的方程，得 ，选 C。 【易错】第一， 是 到准线的垂足，所以 与 的纵坐标相同。第二， 就是 到准线的距离，由抛物线定义等于 。第三，中垂线的判据用「距离相等」比用「斜率乘积」快，因为 、 都在竖直线 附近。 【答案】 变式4-5（单选·★★★☆☆） 在平面直角坐标系内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆的对称轴为 B. 的最大值为 C. 椭圆的离心率为 D. n的最大值为 【切入点】椭圆绕原点旋转后得到 ——四项考对称轴、 的最大值、离心率、 的最大值。 项：设 在 上，它关于 的对称点为 ，代入方程验证仍成立；关于 的对称点 同样成立，正确。 项： 用不等式求最大值，得 ，正确。 项：由对称性联立方程求出旋转后的半长轴与半短轴，再算离心率；结果与 不符，错误。 项： 的最大值由判别式或配方求得 ，正确。故选 C。 【易错】第一，判断对称轴要把点代入验证，不能只看方程形式。第二，旋转后的椭圆长短轴不再是 、，要重新求特征值或配方。第三，本题问的是「错误的选项」，读题时容易看漏这个转折。 【答案】 变式4-6（多选·★★★★☆） 已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若，则直线的斜率为0 C. 若，则的离心率的取值范围为 D. 若，则，，，四点共圆 【切入点】、 关于原点对称，、 是 、 的中点 ——用中点公式写出 、 的坐标，再逐项判断。 ；设 、，则 ，。 项：，而 （由中点公式直接算），故取值范围为 ，正确。 项： 时 在短轴端点，直线 为 轴，斜率不存在；选项说斜率为 ，错误。 项： 即 ，结合 得离心率的范围，正确。 项： 时 、、、 满足到某点等距，四点共圆，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 是因为 、 是中点，线段 平行于 且等于其一半。第二， 项「斜率为 」是错的 —— 在短轴端点时 沿 轴，斜率不存在。第三， 项共圆的判据要看四个点的位置，不能凭「看起来对称」下结论。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $