数列专题第5讲等比数列的前 n 项和讲义-2027届高三数学一轮复习

等比数列的前 n 项和 数列 · 专题篇 一 求和公式与 q=1 的分类 一、两个求和公式。 时 ； 时 。 ★ 两个式子的分工：给 与 用第一式，给 与 用第二式的分子 ，都不必先求 。 二、 必须单独讨论。 第一式的分母是 ， 时它为零。所以凡是要用求和公式，先看题面有没有排除 ：题面写「」「公比不为 」就直接用；没写的，先用 代一遍 —— 若与条件矛盾就排除，可行就留着。 ★ 最省事的判法： 时 ，把它代进题给的比例式，一眼看出成不成立。 三、五个量·知三求二。 、、、、 之间同样是两条独立关系，知道三个就能定另外两个。 ★ 遇到「，」这类混给的，统一消去 ：由 得 ，代进和式就只剩 一个未知量。 四、由和求通项的两条路。 路一：先求 （作商或代入），再用 回代。 路二：若条件形如 ，用 两式相减，得到 与 的递推，再读出公比。 ★ 路二要先单独验 ：相减只在 时成立，首项与公式是否衔接必须回头代一次。 五、和的最值。 是关于 的一次式，令 ， 就成了 的一次函数，最值由 的取值范围（ 随 单调还是摆动）决定。 ★ 时 正负交替， 会上下摆动，最小值往往落在某个偶数项上，逐个代 最快。 例1（单选·★★☆☆☆） 记等比数列的前项和为，已知，，则 = （ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【切入点】 与 ——后者的下标 ，正好换成 ，于是 、 成了一元二次方程的两根。 【关键】，故 、 是 的两根，即 与 。 若 、，则 、，；若 、，则 、，。 两种情形都得 ，选 A。 【易错】第一， 靠的是下标和相等（），不是随便配对。第二，两根谁大谁小对应 与 两种数列，本题两种都要算，好在结果相同。第三， 是四项之和，别只算到 。 【答案】A 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 里左边两项的下标和 ，换成 后能和右边的 约掉，先定出 ；再用等差中项定 。 【关键】， 故 。 与 的等差中项为 ，即 ，得 、。 ，故 、，，选 D。 【易错】第一，等差中项是「两数之和等于中项的 倍」，写成 就少乘了 。第二， 得 ，别错写成 的三次方根是 以外的数。第三， 要用 反推两位，是 不是 。 【答案】D 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 记为等比数列的前项和。若，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 两项都是 ，展开后两边能约掉 ，直接把 解成 的倒数。 【关键】，即 。、，约去 得 ，故 。 ，选 C。 【易错】第一， 的指数是 、 是 ，平方后一个 一个 ，差一次幂，这一步最容易算错。第二， 不是 ，因为 而 。第三， 的分子是 ，负负得正后约分得 。 【答案】C 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 设为正项等比数列的前n项和，若，，则 = （ ） A. B. C. D. 2 【切入点】两组条件长得一模一样： 与 —— 都能提出 ，相除就只剩 。 【关键】，，相除得 ，故 。 代回得 、，于是 ，，选 C。 【易错】第一，两项提取的公因式是 而不是 ，因为 。第二， 与 之间隔 个公比，要除 。第三， 的分子 ，分母 ，结果是正的。 【答案】C 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 与 混给 ——由 得 ，代进和式就只剩 ，再靠「递增」挑根。 【关键】，代入 得 ，整理得 ，故 或 。 数列单调递增且各项为正，故 ，此时 ，，选 D。 【易错】第一， 的两根互为倒数，必须用「递增」筛掉 。第二，，不是 。第三，分母 ，负号漏掉就会算出 。 【答案】D 变式1-5（单选·★★★☆☆） 已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则 = （ ） A. B. 4 C. D. 【切入点】首项为 ，三个和 、、 都能直接写成 的多项式，等差中项一列， 的方程就出来了。 【关键】、、。成等差即 ，代入得 。 两边消去 得 ，即 。 故 。 于是 ，选 D。 【易错】第一，等差中项是 ，不是 。第二， 是把整个 乘 ，不是只乘末项。第三， 约去 得 ，要有 的前提。 【答案】D 例2（解答·★★★☆☆） 设公比为q的等比数列的前n项和为，且。（1）求q和;（2）求。 【切入点】条件把 与 直接连起来 ——写出 与它相减，左边消成 ，右边只剩 ，公比立刻显形。 【关键】第（1）问： 时 ，两式相减得 ，故 。 再由 的情形定 ：，而 ，故 ，即 。 第（2）问：。 所以 ，；。 【易错】第一，两式相减只能用在 ， 必须回到 单独求 —— 本题正是靠这一步定出 。第二， 而 ，两者不相等，别直接把 当成 的理由搞混。第三，，分母的负号要带进分子。 【答案】，； 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 设等比数列前n项和为，若，，则 = ________________。 【切入点】 与 相除，指数正好差一位，能把 单独留下来 ——那就是 。 【关键】，，相除得 ，即 。 再由 得 、，。于是 。 【易错】第一， 的指数是 ，不是 。第二，相除得到的是 而不是 ，还要再用 一次。第三， 是五项之和，共 不是 （那是 ）。 【答案】 变式2-2（填空·★★☆☆☆） 设为等比数列的前项和，，，则 = __________。 【切入点】 两边展开后会剩 这一条关系，代入 就定出公比。 【关键】，即 ，约去 得 。 于是 。 【易错】第一， 的指数是 、 是 ，平方后是 与 ，只差一次。第二，约分后得到 这条特殊关系，很多题的突破口就在这里。第三，，可用加法直接核。 【答案】 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知等比数列满足，，记为其前项和，则 = （ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 【切入点】条件是一串倒数之和 —— 通分后分母是 、分子是两两之积的和，而等比数列里这两个量都能用 表示。 【关键】由 与 ，倒数和通分后，分子是 、分母是 ，故倒数和为 。 解得 ，故 ，选 C。 【易错】第一，通分后的分子是三个两两之积，不是 。第二，，提出 这一步是关键。第三， 要加上中间项 ，答案是 不是 。 【答案】C 变式2-4（解答·★★★★☆） 已知等比数列满足：，且。（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，求的最大值。 【切入点】第（1）问 展开后只剩 的一次式；第（2）问把 与 都写成 的式子，目标式就成了 的二次函数。 【关键】第（1）问：，即 ，约去 得 ；又 ，故 。 于是 。 第（2）问：。令 ，则 ，目标式化为 。 这个二次函数在 处取最大值，而 只能取 、、 等值，最接近的是 ，代得 。 所以 ； 的最大值为 。 【易错】第一， 而不是 ，因为约掉的是 、留下的是 。第二， 是离散取值（ 取正整数），不能直接代顶点 ，要比 与 谁更近。第三， 里的系数 来自 ，写成 会整体算小。 【答案】； 的最大值为 变式2-5（多选·★★★☆☆） 已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【切入点】两项定公比：，于是 —— 负公比意味着 会上下摆动，四个选项都要按摆动规律验。 【关键】，故 ，。A 项正确，B 项（）错误。 ， 为奇数故 ，于是 ，C 项正确。 。 为偶数时 且随 递减，故 递增、最小值在 处取得，为 ； 为奇数时 。D 项正确。故选 ACD。 【易错】第一， 是负的，选项 B 正是给只算绝对值的人设的。第二， 等价于 ，这是判断摆动数列单调性的通用手法。第三，最小值在偶数项 上，不在 ，代 会得 。 【答案】ACD 二 片段和与 S_n+k 型 一、片段和成等比。 把前 项切成三段：、、。每段都是 项之和，后一段等于前一段乘 ，故三段成等比，公比是 （不是 ）。 ★ 判据只看三段项数是否相等：项数相等才成等比；切得不等长（如 、）就不成立。 二、两段求第三段。 给 与 时，先算第二段 ，再求公比 ，于是第三段等于 ， 等于 加上第三段。 ★ 也可以直接列 ，省掉求公比这一步。 三、 型：相减出递推。 条件形如 时，把 换成 再写一遍：，两式相减得 。 于是下标同奇偶的项各自成等比（奇数项一条、偶数项一条），公比都是 。 ★ 常数 在两式相减时被消掉 —— 这正是「带常数」也能处理的原因。 四、等比数列里片段和的另一个用法。 ，所以 ，给比值就能直接解出 。 ★ 这条比列片段等比更快，但只在等比数列成立，等差数列没有对应公式。 五、解出来的值要回代筛。 片段和的方程常给出两个根（如 或 ），代回 检验： 必须为正（ 为偶数时更要小心符号）。 ★ 若算出 而又要求 ，那一支必须舍去。 例3（单选·★☆☆☆☆） 设是等比数列的前项和，若 ， ，则 = （ ） A. 72 B. 18 C. 128 D. 80 【切入点】 ——从 到 正好翻 倍，于是 可以切成四段等比求和。 【关键】，故 。把 切成 、、、 四段，公比为 。 四段之和等于 ，选 D。 【易错】第一，每段的项数是 ，所以段间公比是 ，不是 。第二， 是 项、切成 段，段数算错就会漏掉最后一段 。第三，，别把首项 也加进去变成 。 【答案】D 变式3-1（填空·★★★☆☆） 记为等比数列的前项和。若，，则 = ______。 【切入点】 与 是两段，第二段 ；两段一等比，就能推出第三段 。 【关键】，，段间公比 。 于是 ，。 【易错】第一，公比是段间比 （即 ），不是 。第二， 是第二段的和，不是 的一半。第三，求 要把 加回去：。 【答案】 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 等比数列的前n项和为，若，，则 = （ ） A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 【切入点】给的两个和正好是相邻两段：、，第二段为 —— 段间公比一眼是 。 【关键】，，段间公比 。 第三段 ，故 ，选 C。 【易错】第一，公比 是段间的（），不是原数列的公比。第二， 不能直接乘 得 ——等比的是「段」，不是「和」。第三， 等于 加上第三段，即 。 【答案】C 变式3-3（单选·★★★☆☆） 设等比数列的前n项和为，若，，则 = （ ） A. B. 7 C. 63 D. 7或63 【切入点】给的 、 少了 ——把前 项切成 、、 三段，设 ，列片段等比的方程即可。 【关键】三段成等比，故 ，整理得 ，即 ， 或 。 回代筛： 时第二段 ，而第二段应等于 ，矛盾，舍去； 时第二段 、，成立。 故 ，选 B。 【易错】第一，片段等比要三段，、、 各含 项。第二， 会让第二段为负，而等比数列的 恒正，必须舍去 —— 选项 D 就是给不筛的人准备的。第三，、，两根直接读出。 【答案】B 例4（多选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 一定不是等差数列 C. 若为等比数列，则公比为2 D. 若，则为等比数列 【切入点】条件 带常数 ——把 换成 再写一遍、两式相减，常数被消掉，得到 ，奇数项与偶数项各自成等比。 【关键】 项： 时 ，正确。 项：若 是等差数列， 是 的二次式（无常数项）， 仍是二次式，与「对任意正整数 恒等于常数 」矛盾，故该项正确。 项：相减得 ，这只说明 ，即 或 ，公比未必是 ，错误。 项： 时 ，即 ；又 ，故 、，确为等比数列，正确。故选 ABD。 【易错】第一，相减只能得 ，它管的是隔一项的关系，不能直接读出 。第二， 有正负两解， 项只写 就漏了 。第三， 项要先用 项的 求出 ，再验证 、。 【答案】ABD 变式4-1（多选·★★★☆☆） 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【切入点】、 全给了 ——把 算出具体式子 ，四个选项逐个代。 【关键】 项：，是首项 、公比 的等比数列，正确。 项：， 是公差 的等差数列，正确。 项：，不是 的倍数形式，不成等比，错误。 项：，是首项 、公比 的等比数列，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 项的常数 与 没约齐，化成 后能看出它不含纯 结构。第二， 项凑的是 ，系数 不是随便给的 ——它正好把 的分母约掉。第三，判断「成等比」要验证首项非零且比值恒定，只看通项形式容易误判。 【答案】ABD 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项全是 、、 的关系式 ——把三段记成 、、，等比数列里它们满足 。 【关键】、、， 保证 ，故 。 项左边是 ，右边是 。 由 知两边相等，选 D。 【易错】第一， 是用来保证 的，否则 会让比值失去意义。第二，、、 是「段」不是「和」，直接写 是错的。第三，把 展开成 这一步，是判断这类恒等式最快的办法。 【答案】D 变式4-3（多选·★★★☆☆） 数列是等比数列，公比，其前项和为，则（ ） A. 当时，为递增数列 B. 若，，则 C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 【切入点】 排除了常数列与摆动零和的干扰，四个选项分别考单调性、片段和、以及「和成等差」推「项成等差」。 【关键】 项： 只说明公比大，若 则数列递减，错误。 项：、，段间公比 ，故 、，正确。 项：令 ，则 、，由 得 ，即 。 故 ，于是 、，，确成等差，正确。 项：令 ，由 得 ，即 ，故 或 。 排除 ，取 ，代回 同样成立，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 项的老坑： 不等于递增，还要看 的符号。第二， 项的段间公比是 ，由 得 ，不是 。第三，、 都归纳到 这个方程，解出 而不是 —— 对应 ，会被 排掉。 【答案】BCD 三 由 S_n 反求基本量 一、一条核心恒等式。 ，故 。 ★ 它是「由和反求」的总开关：给 与 的比值，一步得 ；给 ，同样一步得 。 ★ 用它之前要确认 （否则 与 的比恒为 ，反而说明 ）。 二、作商优先，作差其次。 两个和相除， 与 一起约掉，只剩 ；两个和相减，得到的是某几项之和。 ★ 能约就约：凡条件是「」的形状，一律先化成 再约 。 三、 的解要分清奇偶。 为偶数时 两个实数解； 为奇数时只有一个。 题面给「各项为正」就取正根；给「」就取大于 的那个；什么都不给时两个根都要留着 —— 这时的答案常写成正负号并列的形式。 四、给了 与另一条「项」的条件时。 把 展开成 ，另一条条件也写成 与 的式子，两式相除消掉 。 ★ 若条件里出现「」这种差，先提公因式 ，再与 的方程联立。 五、比值型最省事的解法。 问 这类比值，不必求出 ：先把每个 都写成 的形式， 约掉后只剩 。 ★ 这一招的前提是下标能两两配成「倍段」；配不上时再退回求 。 例5（单选·★☆☆☆☆） 记为等比数列的前项和，若，，则 = （ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 【切入点】 与 正好是倍段关系 ——，一步得 。 【关键】，故 、、。 于是 ，选 C。 【易错】第一， 与 的比是 而不是 ，少写那个 会得 。第二， 得 ，不是 。第三， 与 差 个公比，所以乘的是 。 【答案】C 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 设等比数列的前项和为，且，则 = （ ） A. B. 2 C. 2025 D. 【切入点】两个比都等于 —— 先把 、 的值定出来，再用 解 。 【关键】、，故 ，即 ，得 、。 若 ，则 ，舍去；故 ，由 得 。 于是 ，选 B。 【易错】第一， 会让 ，与 矛盾，这一步筛不能省。第二， 与 之间隔两段，所以是 而不是 。第三， 时数列为常数列，。 【答案】B 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则 = （ ） A. 2 B. 1 C. D. 【切入点】 与 都给了 —— 直接代进 ，整理成 的一元二次方程。 【关键】，即 ，得 或 。 题设 ，取 ，于是 ，选 B。 【易错】第一， 是方程的根，靠题面那句「」才排掉，漏读就会双解。第二， 与 差 个公比， 使 的 倍。第三， 时 ，三项和 ，可回代核对。 【答案】B 变式5-3（单选·★★★☆☆） 记为等比数列的前项和，若，，则 = （ ） A. 4 B. C. 8 D. 【切入点】 是倍段关系，一步得 ；再用 定 。 【关键】，故 、。 。 时 、，； 时 、，。 故 ，选 B。 【易错】第一， 有 两解，题面没限制符号，两支都要算，答案带正负号。第二，，提取的是 而不是 。第三， 时 是负数，但 仍为负，别误以为 只能为正。 【答案】B 变式5-4（填空·★★☆☆☆） 已知等比数列是正项数列，前n项和为，若，，则公比 = ______。 【切入点】 能写成 ，把它代进 就把 消干净了。 【关键】，，代入得 。 整理得 ，即 ， 或 。 正项数列要求 ，故 。 【易错】第一，代入后两边要同乘 ，漏乘会得到错误的二次式。第二， 是方程的根，靠「正项」排掉 —— 它会让 而 。第三，可回代验：、 时 、。 【答案】 例6（单选·★★☆☆☆） 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 【切入点】 两边都是四项里的量 ——把 拆成 ，再让 提出 ， 就消掉了。 【关键】，整理得 。 又 ，而 ，故 。 正项数列要求 ，取 ，选 D。 【易错】第一， 提 后是 ，指数是 不是 。第二， 是约分的前提：若它为零则 ，与正项矛盾。第三， 得 ，靠「正项」取 。 【答案】D 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等比数列的公比大于1，前项和为，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【切入点】条件里出现 、、、 四个和 ——全是 的倍数，说明要用「倍段」把每个和写成 的倍数。 【关键】令 ，则 、、。 时，，这一步约掉了公因式 。由 解 。 解得 、 或 ； 故 ，取 ，，选 B。 【易错】第一， 要写成 ，直接写成 也能约，但看不出与 的关系。第二，分母是两个和相乘，约掉 之后才是 。第三， 对应 ，与「」矛盾，必须舍。 【答案】B 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知数列是等比数列，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】问的是 这个比值 ——不必求 ，把两个和都写成 的倍数， 自然约掉。 【关键】，故 。 ，。 于是 ，选 D。 【易错】第一， 里 ，别写成 。第二， 是题给的，不能再用 等于 加后两项之和重复推一遍。第三，比值型不必求 ，这是本题最省时间的地方。 【答案】D 变式6-3（单选·★★☆☆☆） 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【切入点】 里三个和都是 的倍数 ——设 ，全部化成 的倍数，约掉后解 。 【关键】、，代入 得 ，即 。 故 。 再由 ：设 ，则 ，，故 ，即 ，得 ，选 A。 【易错】第一，解方程要先把 约掉，它是公因式而不是零。第二， 且 ，只能靠指数 ，所以 。第三， 的负号来自 ，漏了符号就算不出 。 【答案】A 变式6-4（单选·★★☆☆☆） 已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则 = （ ） A. 3 B. C. 1 D. 【切入点】问的 是齐次比值 ——先由 求 ，再把三项都用 表示。 【关键】， 故 ， 或 。 各项均为正数，故 （ 会使项正负交替）。 于是 ，选 A。 【易错】第一， 时 与 异号，与「各项为正」矛盾，必须舍。第二， 时三项相等，比值是 而不是 ——分子是三数之和、分母只有一个数。第三，本题不必求 的具体值，齐次比值直接约掉。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列的前 n 项和 数列 · 专题篇 一 求和公式与 q=1 的分类 一、两个求和公式。 时 ； 时 。 ★ 两个式子的分工：给 与 用第一式，给 与 用第二式的分子 ，都不必先求 。 二、 必须单独讨论。 第一式的分母是 ， 时它为零。所以凡是要用求和公式，先看题面有没有排除 ：题面写「」「公比不为 」就直接用；没写的，先用 代一遍 —— 若与条件矛盾就排除，可行就留着。 ★ 最省事的判法： 时 ，把它代进题给的比例式，一眼看出成不成立。 三、五个量·知三求二。 、、、、 之间同样是两条独立关系，知道三个就能定另外两个。 ★ 遇到「，」这类混给的，统一消去 ：由 得 ，代进和式就只剩 一个未知量。 四、由和求通项的两条路。 路一：先求 （作商或代入），再用 回代。 路二：若条件形如 ，用 两式相减，得到 与 的递推，再读出公比。 ★ 路二要先单独验 ：相减只在 时成立，首项与公式是否衔接必须回头代一次。 五、和的最值。 是关于 的一次式，令 ， 就成了 的一次函数，最值由 的取值范围（ 随 单调还是摆动）决定。 ★ 时 正负交替， 会上下摆动，最小值往往落在某个偶数项上，逐个代 最快。 例1（单选·★★☆☆☆） 记等比数列的前项和为，已知，，则 = （ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 记为等比数列的前项和。若，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 设为正项等比数列的前n项和，若，，则 = （ ） A. B. C. D. 2 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-5（单选·★★★☆☆） 已知首项为1的等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则 = （ ） A. B. 4 C. D. 例2（解答·★★★☆☆） 设公比为q的等比数列的前n项和为，且。（1）求q和;（2）求。 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 设等比数列前n项和为，若，，则 = ________________。 变式2-2（填空·★★☆☆☆） 设为等比数列的前项和，，，则 = __________。 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知等比数列满足，，记为其前项和，则 = （ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 变式2-4（解答·★★★★☆） 已知等比数列满足：，且。（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，求的最大值。 变式2-5（多选·★★★☆☆） 已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 二 片段和与 S_n+k 型 一、片段和成等比。 把前 项切成三段：、、。每段都是 项之和，后一段等于前一段乘 ，故三段成等比，公比是 （不是 ）。 ★ 判据只看三段项数是否相等：项数相等才成等比；切得不等长（如 、）就不成立。 二、两段求第三段。 给 与 时，先算第二段 ，再求公比 ，于是第三段等于 ， 等于 加上第三段。 ★ 也可以直接列 ，省掉求公比这一步。 三、 型：相减出递推。 条件形如 时，把 换成 再写一遍：，两式相减得 。 于是下标同奇偶的项各自成等比（奇数项一条、偶数项一条），公比都是 。 ★ 常数 在两式相减时被消掉 —— 这正是「带常数」也能处理的原因。 四、等比数列里片段和的另一个用法。 ，所以 ，给比值就能直接解出 。 ★ 这条比列片段等比更快，但只在等比数列成立，等差数列没有对应公式。 五、解出来的值要回代筛。 片段和的方程常给出两个根（如 或 ），代回 检验： 必须为正（ 为偶数时更要小心符号）。 ★ 若算出 而又要求 ，那一支必须舍去。 例3（单选·★☆☆☆☆） 设是等比数列的前项和，若 ， ，则 = （ ） A. 72 B. 18 C. 128 D. 80 变式3-1（填空·★★★☆☆） 记为等比数列的前项和。若，，则 = ______。 变式3-2（单选·★☆☆☆☆） 等比数列的前n项和为，若，，则 = （ ） A. 9 B. 18 C. 21 D. 27 变式3-3（单选·★★★☆☆） 设等比数列的前n项和为，若，，则 = （ ） A. B. 7 C. 63 D. 7或63 例4（多选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 一定不是等差数列 C. 若为等比数列，则公比为2 D. 若，则为等比数列 变式4-1（多选·★★★☆☆） 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 变式4-3（多选·★★★☆☆） 数列是等比数列，公比，其前项和为，则（ ） A. 当时，为递增数列 B. 若，，则 C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列 三 由 S_n 反求基本量 一、一条核心恒等式。 ，故 。 ★ 它是「由和反求」的总开关：给 与 的比值，一步得 ；给 ，同样一步得 。 ★ 用它之前要确认 （否则 与 的比恒为 ，反而说明 ）。 二、作商优先，作差其次。 两个和相除， 与 一起约掉，只剩 ；两个和相减，得到的是某几项之和。 ★ 能约就约：凡条件是「」的形状，一律先化成 再约 。 三、 的解要分清奇偶。 为偶数时 两个实数解； 为奇数时只有一个。 题面给「各项为正」就取正根；给「」就取大于 的那个；什么都不给时两个根都要留着 —— 这时的答案常写成正负号并列的形式。 四、给了 与另一条「项」的条件时。 把 展开成 ，另一条条件也写成 与 的式子，两式相除消掉 。 ★ 若条件里出现「」这种差，先提公因式 ，再与 的方程联立。 五、比值型最省事的解法。 问 这类比值，不必求出 ：先把每个 都写成 的形式， 约掉后只剩 。 ★ 这一招的前提是下标能两两配成「倍段」；配不上时再退回求 。 例5（单选·★☆☆☆☆） 记为等比数列的前项和，若，，则 = （ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 设等比数列的前项和为，且，则 = （ ） A. B. 2 C. 2025 D. 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 记为公比的等比数列的前项和，若首项,，则 = （ ） A. 2 B. 1 C. D. 变式5-3（单选·★★★☆☆） 记为等比数列的前项和，若，，则 = （ ） A. 4 B. C. 8 D. 变式5-4（填空·★★☆☆☆） 已知等比数列是正项数列，前n项和为，若，，则公比 = ______。 例6（单选·★★☆☆☆） 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等比数列的公比大于1，前项和为，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知数列是等比数列，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-3（单选·★★☆☆☆） 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 变式6-4（单选·★★☆☆☆） 已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则 = （ ） A. 3 B. C. 1 D. 学科网（北京）股份有限公司 $