第5讲平面向量之四心与奔驰定理讲义-2027届高三数学一轮复习

平面向量之四心与奔驰定理 高三数学专题复习 · 向量第五讲 0 题型概说 本讲研究的问题：三角形的四心——重心、外心、内心、垂心——的向量刻画，以及统一处理四心问题的奔驰定理。四心题的命题骨架是”给一个向量等式，判定它是哪个心”或”指定某个心，反求系数/边角”；奔驰定理用三个三角形面积作系数，把四心的判定压缩成一张对照表。 新高考的命题形态：小题为主、多选密集。高频结构有四类——①和向量式 判重心；②点乘等式 判垂心；③边长系数式 判内心；④奔驰定理给出面积比后求面积、边比或角度。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 和向量为零 / 系数和为定值 / 过定点的直线 重心与中线结构 单元一 模相等 / 到两端点数量积为边模一半 / 中垂线 外心与垂直平分 单元二 边长系数式 / 数量积相等式 / 内切圆半径 内心与垂心 单元三 面积 作系数 / 判心求面积边角 奔驰定理 单元四 单元一 重心与中线 1.1 识别特征 题面出现”重心 “、、中线或”过重心的直线与两边相交”，求系数、系数和的最值或面积比。 1.2 结论与推导 结论 1.1（重心的三重向量刻画）　 为 重心 。等价地，对平面上任意点 ，写 时， 为重心 。重心分每条中线为 （顶点到重心占  ）。 推导：设 中点 ，；和向量式由中点公式 （  为 中点）与 相加即得。 结论 1.2（过重心的直线与系数约束）　过重心 的直线与 、 分别交于 、，记 ，，则 ；若动点 满足 且 在中线 上，则 。结合”点在边上时系数有范围”（如 在线段 内则  ），可把系数的最值化为单变量函数。 推导：，，， 共线时两系数和为 （共线定理），即 ；中线情形对 ， 直接比较系数。 结论 1.3（中线长与面积比）　中线长公式：（  为 边中线），向量式 。重心把三角形分成三个等面积三角形（  ）；“过重心的直线”与顶点对边相交时，两翼三角形面积比等于线段比。 推导：中线式由 平方展开、用 代换整理；等面积因三个小三角形等底（重心分中线  ）同高。 1.3 方法决策表 题面 动作 和向量为零 / 判重心 三重刻画直代（结论 1.1） 过重心直线交两边 与系数范围（结论 1.2） 中线长 / 重心分面积 中线公式与三等分面积（结论 1.3） 例题精讲 例 1（单选题） 已知 为 的重心，过 的直线与 ， 边分别交于 ， 点，若 ，，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.1，。，， 三点共线，由结论 1.2 的系数约束，，即 。又 在线段 上，故 ；同理 ，于是 ，。目标函数 ，求导 在 上恒成立， 单调递增，最大值为 （此时 ，， 与 重合）。 【答案】C 变式训练 变 1（多项选择题） 点 在 所在平面内，下列说法正确的是（  ） A．若 ，则 为钝角三角形 B．若 ，则 为 的重心 C．若 ，则 D．若 为边长为 的正三角形， 为 的中点，点 在线段 上运动，则 的取值范围为 ●解析 A 项： 即 ， 为钝角，正确。 B 项：取 中点 ，，条件化为 ，即 ， 在中线 上且分比为 ，是重心，正确。 C 项：系数和 ， 在线段 上，且 ， 与 同高，面积比为 而非 ，错误。 D 项：建系 ，，直线 ：，设 ，。，在 处取最小值 ，最大值为端点 处的 ，正确。 【答案】ABD 变 2（多项选择题） 在 中，，， 是 所在平面内一点且满足 ，则下列说法正确的是（  ） A．若 ，则点 在直线 上　　B．若点 是 的重心，则 C．若 ，且 ，，则 　　D．若点 在 内（含边界），则 ●解析 A 项： 时 ，即 ， 在直线 上，正确。 B 项：重心满足 ， 而非 ，错误。 C 项：以 为原点、， 为轴建系，，，，由鞋带公式 ，错误。 D 项： 在三角形内（含边界）时，由平面向量基本定理的几何意义， 取遍以 、、 为顶点的三角形坐标域， 的最小值 （  与 重合）、最大值 （  在 上），正确。 【答案】AD 变 3（多项选择题） 已知点 是 所在平面内一点，点 为 的中点，，，且 ，则（  ） A． 是 的外心　　B． 是 的重心 C．　　D． ●解析 由中点与定比条件，，，。代入 ：左端即 ，而 ，故 ，由结论 1.1， 是 的重心，B 正确、A 错误。 C 项：，正确。 D 项： 为重心时三个小三角形等面积：，故 不成立，错误。 【答案】BC 单元二 外心与垂直平分 2.1 识别特征 题面出现”外心 “、、，或给出外心的基底分解 加一个线性约束，求系数、边角或面积。 2.2 结论与推导 结论 2.1（外心的点乘刻画与投影式）　 为外心 且 （对每条边成立）。这两个等式是”外心 + 基底分解”问题的方程组来源：对 两边分别点乘 、，解出 或其满足的关系。 推导： 平方相减得 （几何上即 在 中垂线上，投影为 中点）。 结论 2.2（中垂线定位与定比）　外心在每条边的中垂线上：设 为 中点，则 ，这个垂直条件可把”外心的基底系数约束”翻译成边角关系（如 型）。梯形（ ）中，对角线交点的相似比由平行底给出（  时  ）。 推导：中垂线垂直即数量积为零，把 代入展开；相似比来自平行底三角形相似。 结论 2.3（外心与垂心的联动）　同一三角形中，若 （外心）、（垂心）满足 ，即 、 在垂直于 方向上的坐标相等；在 ，， 下坐标化为 （由 得  ），从而化出参数范围。一般地，外心与垂心坐标都可由”中垂线 + 高线”两条直线联立读出。 推导：垂心在顶点引对边的垂线上，外心在边的中垂线上，两条直线各给一个线性方程；投影相等即纵坐标（或横坐标）相等的坐标化。 2.3 方法决策表 题面 动作 外心的基底分解 + 约束 点乘两基底列方程（结论 2.1） 中垂线 / 平行底定比 垂直条件翻译边角（结论 2.2） 外心与垂心联动 中垂线 + 高线联立（结论 2.3） 例题精讲 例 2（填空题） 设点 为 的外心，，，。若 （  ），则 = ________。 ●解析 由结论 2.1，对 两边分别点乘 、：外心满足 ，，故 ，，化简为 ，。第二式化简为 ；由约束 两边乘 得 。两式相减：，由 即 ，得 。 【答案】 变式训练 变 4（填空题） 在 中， 为其外心，，若 ，则 = ________。 ●解析 设外接圆半径为 ，则 。原式移项平方：，得 。设 ，则 ，。而 ，故 ，即 。 【答案】 变 5（填空题） 已知 为 的外心，，，（  ）且 ，则 = ________。 ●解析 由结论 2.1：，。对 分别点乘 、：，。两式相加得 ，第一式乘 加第二式得 。设 ：，，解得 ，。与 联立得 ，，故 ，。 【答案】 变 6（填空题） 已知 的外心 满足 （ ， ），若 ，且 ，则 面积的最大值为 ________。 ●解析 由 得 ，于是 。取 中点 ，，由外心性质 ，点乘展开：，即 。由余弦定理（  为 的对边）：，即 。于是 ，当 时取最大值 ，面积最大值为 （此时 可行）。 【答案】 变 7（单选题） 在平面直角坐标系中，，，，点 ， 分别是 的外心和垂心，若 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ， 关于原点对称，故外心 在 轴上： 中点为 ， 的中垂线为 ，令 得 。垂心 ： 边上的高是竖直线 ， 边上的高（过  ）斜率为 ，联立得 。由 （  水平）， 与 的纵坐标相等：，整理得 。又 ，结合条件 得 ； 不在直线 上，，故 ，即 ，结合分母非零解得 。 【答案】A 变 8（多项选择题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，点 是 所在平面上一点，且 ，则下列说法正确的是（  ） A．若 ，，，则 在 内部 B．若 ，则 为 的重心 C．若 ，，则 的面积是 面积的 D．若 ，，， 为 外接圆圆心，则 ●解析 A 项：，， 共线时 ；三系数皆正且和小于 时 落在 内部，正确。 B 项：，由结论 1.1， 为重心，正确。 C 项：， 在 上且 ，故 而非 ，错误。 D 项： 为外心，由结论 2.1，，。代入 点乘两基底（  ）：，，解得 ，，，正确。 【答案】ABD 单元三 内心与垂心 3.1 识别特征 题面出现”内心 “与边长系数 ，或”垂心 “与数量积相等式 ；或由动点轨迹（角平分线方向、高线方向）判断经过哪个心。 3.2 结论与推导 结论 3.1（内心的边长系数式）　 为 内一点， 为内心 （ ，， 为对边长）。结合内切圆半径 ：，三个小三角形面积比即 。角平分线的向量式： 沿 平分线方向。 推导：内心到三边距离均为 ，三个小三角形面积比等于三边比；奔驰定理（单元四）下面积比等于系数比，即得边长系数式；角平分线向量式由两个单位向量相加的方向合成。 结论 3.2（垂心的数量积相等式）　 为 垂心 。每一条相等式对应一条高：如 （  ）。垂心与顶点距离满足 （锐角三角形）。 推导：，为零即 ；距离比由 （外心与垂心的对偶）。 结论 3.3（动点轨迹判心）　动点式 （  ）的轨迹是沿 方向的射线，判”经过哪个心”只需辨认 沿哪条特征线：中线方向（ ，配合正弦定理系数恒等化）过重心；角平分线方向（  型或单位向量之和）过内心；高线方向（  型）过垂心；垂直平分方向过外心。 推导：正弦定理给出 （同为 到 的高），使两类系数恒等化后组合成特征线和向量；特征线与心的归属是定义直接读出。 3.3 方法决策表 题面 动作 边长系数式 / 内心 （结论 3.1） 数量积相等式 减向量配对判垂直（结论 3.2） 动点轨迹判心 认特征线方向（结论 3.3） 例题精讲 例 3（单选题） 设 的内角 ，， 的对边分别为 ，，， 是 所在平面上的一点，，则点 是 的（  ） A．重心　　B．外心　　C．内心　　D．垂心 ●解析 第一段式移项：，整理为 ，即 （  与 的夹角为  ），约去非零因子得 ，故 平分 。同理第二段式给出 ，即 ， 平分 。两条角平分线的交点是内心。 【答案】C 变式训练 变 9（单选题） 已知 是锐角 所在平面内的一定点，动点 满足：，，则动点 的轨迹一定通过 的（  ） A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心 ●解析 设 边上的高为 ，则 （同一条高）。括号内组合化为 ，由结论 3.3，两个单位向量之和沿 的平分线方向，故轨迹为沿角平分线的射线，一定通过内心。 【答案】B 变 10（多项选择题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（  ） A．若 ，则 为钝角三角形 B．若 为边长为 的等边三角形，则 的最小值为 C．若点 为 的垂心，且 ，则 D．若 ，则点 的轨迹经过 的外心 ●解析 A 项：正弦定理化为 ，余弦定理给 ，钝角三角形，正确。 B 项：建系（  中点为原点），，（  为 中点），数量积展开为 ，等号当 与三角形中心重合时取得，正确。 C 项： 为垂心时 ，，由结论 3.2，。对 分别点乘 ：，；点乘 ：，。故 ，错误。 D 项：括号内前两项之和沿高线方向（  点乘 为零）， 沿中线方向，整个组合对应的动点轨迹经过外心（两项垂直分量的交点），正确。 【答案】ABD 变 11（多项选择题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，点 在 所在的平面内，则（  ） A．若 ，则 是等腰直角三角形 B．若 ，则点 为 的垂心 C．若 ，则 D．若 ，，， 的角平分线交 于 ，则 ●解析 A 项：正弦定理化 ，即 ，得 或 ，等腰或直角，不一定是等腰直角，错误。 B 项：由结论 3.2，，即 ，同理三线皆垂直对边， 为垂心，正确。 C 项：，，正确。 D 项：正弦定理得 ，，由角平分线长公式或等面积法 拆分为两侧子三角形，，正确。 【答案】BCD 变 12（多项选择题） 已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（  ） A．若 为 的垂心，，则 B．若 为边长为 的正三角形，则 的最小值为 C．若 为锐角三角形且外心为 ， 且 ，则 D．若 ，则动点 的轨迹经过 的外心 ●解析 A 项：垂心 满足 、， 给出 ，而 ，（投影意义），相等，正确。 B 项：建系（  中点为原点），，数量积展开 ，最小值为 而非 ，错误。 C 项： 时 ，即 与 （  为 中点）共线， 在中线 上；外心 到 、 等距且在中线上，中垂线与中线重合给 ，正确。 D 项：等式两边点乘 ：右端前两项分别化简为 与 ，相加为零，故 ，即 。设 中点为 ，则 ，轨迹为过 中点且垂直 的直线，即 的中垂线——经过外心，正确。 【答案】ACD 单元四 奔驰定理与四心关联 4.1 识别特征 题面直接给出奔驰定理 （ ，， 为 ，， 的面积），或给出 的系数式要求判心、求面积、求边比或角度。 4.2 结论与推导 结论 4.1（奔驰定理与系数互读）　 在 内时，，且系数比等于面积比：给定 ，则 ；反之已知面积比可读出线性关系的系数。求总面积：读出某一块 的实际值后按比例放大 。 推导：基底唯一性——以 ， 为基底表示 ，比较系数即面积比；总面积由比例分配。 结论 4.2（四心的奔驰形态对照表）　奔驰定理系数比与四心的对应：重心对应 ，内心对应 （内切圆半径统一），外心对应 （圆心角与圆周角），垂心对应 。判定”点 是什么心”时把系数比代入此表；反向地，指定心的面积比反解边角（如内心形态 给出直角）。 推导：重心即等面积（结论 1.3）；内心由 ；外心由 ；垂心由 ，与 ， 相比恰得 。 结论 4.3（奔驰定理的面积分裂应用）　给内点面积分裂条件（如三块面积分别为 ，， 且总和已知）时，先用奔驰定理把”面积比 = 系数比”翻译成系数约束，再把目标式（  型）用”1 的代换”（乘 或约束式）化为均值不等式求最值。 推导：面积分裂即系数定量；“1 的代换”后化为 与 的乘积定值结构，均值不等式收口。 4.3 方法决策表 题面 动作 系数式 ↔ 面积比 奔驰定理互读（结论 4.1） 判心 / 定形状 四心形态对照表（结论 4.2） 面积分裂求最值 系数约束 + 1 的代换（结论 4.3） 例题精讲 例 4（多项选择题） “奔驰定理”：已知 是 内一点，，， 的面积分别为 ，，，则 。设 是 内的一点，则以下命题正确的有（  ） A．若 ，则 B．若 ，则 为 的重心 C．若 ，，且 ，则 D．若 为 的内心，，则 ●解析 A 项：由结论 4.1， 而非 ，错误。 B 项：系数比 ，三块面积相等，由等面积推 在三条中线上，是重心，正确。 C 项：，由 得 ，正确。 D 项：内心时 ，勾股关系 成立，，正确。 【答案】BCD 变式训练 变 13（多项选择题） 已知 是 内一点，，， 的面积分别为 ，，，且 。以下命题正确的是（  ） A．若 ，则 为 的重心 B．若 为 的内心，则 C．若 ，， 为 的外心，则 D．若 为 的垂心，，则 ●解析 A 项： 给出 ，由结论 1.1， 为 的重心，正确。 B 项：内心时 ，，，代入奔驰定理约去 即得 （换记号即所给式），正确。 C 项： 为外心，。，，：，不等于 ，错误。 D 项：垂心的奔驰形态（结论 4.2）给 。设 ：，，由 得 ，即 ，（  ），，，正确。 【答案】ABD 变 14（多项选择题） “奔驰定理”：已知 是 内一点，，， 的面积分别为 ，，，则 。设 是 内一点，若 ，则以下命题正确的有（  ） A．　　B． 有可能是 的重心 C．若 为 的外心，则 　　D．若 为 的内心，则 为直角三角形 ●解析 A 项：由结论 4.1，系数比即面积比 ，正确。 B 项：若 为重心则三系数相等，与 矛盾（或由 与重心式联立推出 ，， 共线，矛盾），错误。 C 项：外心时 ，而 ，故面积比为 ，正确。 D 项：内心时 ，满足 ，直角三角形，正确。 【答案】ACD 变 15（多项选择题） 为 内任意一点，角 ，， 的对边分别为 ，，，则总有等式 成立（奔驰定理）。由此判断以下命题中，正确的有（  ） A．若 是 的重心，则有 B．若 ，则 是 的内心 C．若 ，则 D．若 是 的外心，且 ，则 ●解析 A 项：重心到三个小三角形等面积（结论 1.3），系数相等，得和向量式，正确。 B 项：设 到三边距离为 ，，， 等，代入奔驰定理得 ，与条件比较得 ， 到三边等距，是内心，正确。 C 项：，整理得 ，由奔驰定理 ，不等于 ，错误。 D 项：外心时 ，，（  ），。而 ，且 给出 。故三个面积比为 ，等式成立，正确。 【答案】ABD 变 16（多项选择题） 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则以下结论中正确的是（  ） A．若 ，则 　　B．若 ，，且该三角形有两解，则 的范围是 C．若 是平面内一定点，点 满足 （  ），则点 的轨迹一定通过 的重心 D．若 为 的内心，且 ，则 ●解析 A 项： 得 ，余弦函数在 单调递减，，正确。 B 项：，两解要求 ，即 ，故 错误。 C 项：设 为 中点，，即 ， 在中线 上，轨迹过重心，正确。 D 项：由结论 3.1 与奔驰定理，内心的系数比即边长比：，，正确。 【答案】ACD 变 17（多项选择题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ，，则下列选项正确的是（  ） A．　　B．若 是边 的中点，则线段 的长的最小值为 C． 的最大值为 　　D．若点 是 的外心，且 ，，则 ●解析 A 项：通分得 ，约去 得 ，，正确。 B 项：由 得 。 为中线，，等号当 时成立，最小值为 而非 ，错误。 C 项：，正确。 D 项：由结论 2.1，，。而 ， 给出 ，，。代入 点乘两基底：，，解得 ，正确。 【答案】ACD 变 18（多项选择题） 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，，边 的中线 ，则下列结论正确的有（  ） A．　　B．　　C． 的面积为 　　D． 的外接圆的面积为 ●解析 A 项：正弦定理边化角，，约去 得 ，，正确。 B 项： 为中线，，平方：。代入 、，解得 （负值舍去）， 而非 ，错误。 C 项：，正确。 D 项：余弦定理 ，，外接圆半径 ，外接圆面积 ，正确。 【答案】ACD 变 19（多项选择题） 已知 中，，，，点 为 内的一个点，且始终满足 ，则下列说法正确的有（  ） A． 有最小值，且为 B． 取最小值时， C．点 的运动轨迹应为圆 D．当 取最小时， ●解析 以 为原点、 所在直线为 轴建系，则 ，，。设 ，由 得 ，即 ，（  ）。 C 项：两式消去 得 ，点 的轨迹是一条直线（三角形内部的一段），不是圆，错误。 A、B 项： 在 内部，由结论 4.1，、、 的系数比等于面积比，系数须全为正，故 。，而 ，故原式化简为 ，当且仅当 即 时取等号，A、B 均正确。 D 项： 时 ，由结论 4.1，，故 ，正确。 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量之四心与奔驰定理 高三数学专题复习 · 向量第五讲 0 题型概说 本讲研究的问题：三角形的四心——重心、外心、内心、垂心——的向量刻画，以及统一处理四心问题的奔驰定理。四心题的命题骨架是”给一个向量等式，判定它是哪个心”或”指定某个心，反求系数/边角”；奔驰定理用三个三角形面积作系数，把四心的判定压缩成一张对照表。 新高考的命题形态：小题为主、多选密集。高频结构有四类——①和向量式 判重心；②点乘等式 判垂心；③边长系数式 判内心；④奔驰定理给出面积比后求面积、边比或角度。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 和向量为零 / 系数和为定值 / 过定点的直线 重心与中线结构 单元一 模相等 / 到两端点数量积为边模一半 / 中垂线 外心与垂直平分 单元二 边长系数式 / 数量积相等式 / 内切圆半径 内心与垂心 单元三 面积 作系数 / 判心求面积边角 奔驰定理 单元四 单元一 重心与中线 1.1 识别特征 题面出现”重心 “、、中线或”过重心的直线与两边相交”，求系数、系数和的最值或面积比。 1.2 结论与推导 结论 1.1（重心的三重向量刻画）　 为 重心 。等价地，对平面上任意点 ，写 时， 为重心 。重心分每条中线为 （顶点到重心占  ）。 推导：设 中点 ，；和向量式由中点公式 （  为 中点）与 相加即得。 结论 1.2（过重心的直线与系数约束）　过重心 的直线与 、 分别交于 、，记 ，，则 ；若动点 满足 且 在中线 上，则 。结合”点在边上时系数有范围”（如 在线段 内则  ），可把系数的最值化为单变量函数。 推导：，，， 共线时两系数和为 （共线定理），即 ；中线情形对 ， 直接比较系数。 结论 1.3（中线长与面积比）　中线长公式：（  为 边中线），向量式 。重心把三角形分成三个等面积三角形（  ）；“过重心的直线”与顶点对边相交时，两翼三角形面积比等于线段比。 推导：中线式由 平方展开、用 代换整理；等面积因三个小三角形等底（重心分中线  ）同高。 1.3 方法决策表 题面 动作 和向量为零 / 判重心 三重刻画直代（结论 1.1） 过重心直线交两边 与系数范围（结论 1.2） 中线长 / 重心分面积 中线公式与三等分面积（结论 1.3） 例题精讲 例 1（单选题） 已知 为 的重心，过 的直线与 ， 边分别交于 ， 点，若 ，，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.1，。，， 三点共线，由结论 1.2 的系数约束，，即 。又 在线段 上，故 ；同理 ，于是 ，。目标函数 ，求导 在 上恒成立， 单调递增，最大值为 （此时 ，， 与 重合）。 变式训练 变 1（多项选择题） 点 在 所在平面内，下列说法正确的是（  ） A．若 ，则 为钝角三角形 B．若 ，则 为 的重心 C．若 ，则 D．若 为边长为 的正三角形， 为 的中点，点 在线段 上运动，则 的取值范围为 变 2（多项选择题） 在 中，，， 是 所在平面内一点且满足 ，则下列说法正确的是（  ） A．若 ，则点 在直线 上　　B．若点 是 的重心，则 C．若 ，且 ，，则 　　D．若点 在 内（含边界），则 变 3（多项选择题） 已知点 是 所在平面内一点，点 为 的中点，，，且 ，则（  ） A． 是 的外心　　B． 是 的重心 C．　　D． 单元二 外心与垂直平分 2.1 识别特征 题面出现”外心 “、、，或给出外心的基底分解 加一个线性约束，求系数、边角或面积。 2.2 结论与推导 结论 2.1（外心的点乘刻画与投影式）　 为外心 且 （对每条边成立）。这两个等式是”外心 + 基底分解”问题的方程组来源：对 两边分别点乘 、，解出 或其满足的关系。 推导： 平方相减得 （几何上即 在 中垂线上，投影为 中点）。 结论 2.2（中垂线定位与定比）　外心在每条边的中垂线上：设 为 中点，则 ，这个垂直条件可把”外心的基底系数约束”翻译成边角关系（如 型）。梯形（ ）中，对角线交点的相似比由平行底给出（  时  ）。 推导：中垂线垂直即数量积为零，把 代入展开；相似比来自平行底三角形相似。 结论 2.3（外心与垂心的联动）　同一三角形中，若 （外心）、（垂心）满足 ，即 、 在垂直于 方向上的坐标相等；在 ，， 下坐标化为 （由 得  ），从而化出参数范围。一般地，外心与垂心坐标都可由”中垂线 + 高线”两条直线联立读出。 推导：垂心在顶点引对边的垂线上，外心在边的中垂线上，两条直线各给一个线性方程；投影相等即纵坐标（或横坐标）相等的坐标化。 2.3 方法决策表 题面 动作 外心的基底分解 + 约束 点乘两基底列方程（结论 2.1） 中垂线 / 平行底定比 垂直条件翻译边角（结论 2.2） 外心与垂心联动 中垂线 + 高线联立（结论 2.3） 例题精讲 例 2（填空题） 设点 为 的外心，，，。若 （  ），则 = ________。 ●解析 由结论 2.1，对 两边分别点乘 、：外心满足 ，，故 ，，化简为 ，。第二式化简为 ；由约束 两边乘 得 。两式相减：，由 即 ，得 。 变式训练 变 4（填空题） 在 中， 为其外心，，若 ，则 = ________。 变 5（填空题） 已知 为 的外心，，，（  ）且 ，则 = ________。 变 6（填空题） 已知 的外心 满足 （ ， ），若 ，且 ，则 面积的最大值为 ________。 变 7（单选题） 在平面直角坐标系中，，，，点 ， 分别是 的外心和垂心，若 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 8（多项选择题） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，点 是 所在平面上一点，且 ，则下列说法正确的是（  ） A．若 ，，，则 在 内部 B．若 ，则 为 的重心 C．若 ，，则 的面积是 面积的 D．若 ，，， 为 外接圆圆心，则 单元三 内心与垂心 3.1 识别特征 题面出现”内心 “与边长系数 ，或”垂心 “与数量积相等式 ；或由动点轨迹（角平分线方向、高线方向）判断经过哪个心。 3.2 结论与推导 结论 3.1（内心的边长系数式）　 为 内一点， 为内心 （ ，， 为对边长）。结合内切圆半径 ：，三个小三角形面积比即 。角平分线的向量式： 沿 平分线方向。 推导：内心到三边距离均为 ，三个小三角形面积比等于三边比；奔驰定理（单元四）下面积比等于系数比，即得边长系数式；角平分线向量式由两个单位向量相加的方向合成。 结论 3.2（垂心的数量积相等式）　 为 垂心 。每一条相等式对应一条高：如 （  ）。垂心与顶点距离满足 （锐角三角形）。 推导：，为零即 ；距离比由 （外心与垂心的对偶）。 结论 3.3（动点轨迹判心）　动点式 （  ）的轨迹是沿 方向的射线，判”经过哪个心”只需辨认 沿哪条特征线：中线方向（ ，配合正弦定理系数恒等化）过重心；角平分线方向（  型或单位向量之和）过内心；高线方向（  型）过垂心；垂直平分方向过外心。 推导：正弦定理给出 （同为 到 的高），使两类系数恒等化后组合成特征线和向量；特征线与心的归属是定义直接读出。 3.3 方法决策表 题面 动作 边长系数式 / 内心 （结论 3.1） 数量积相等式 减向量配对判垂直（结论 3.2） 动点轨迹判心 认特征线方向（结论 3.3） 例题精讲 例 3（单选题） 设 的内角 ，， 的对边分别为 ，，， 是 所在平面上的一点，，则点 是 的（  ） A．重心　　B．外心　　C．内心　　D．垂心 ●解析 第一段式移项：，整理为 ，即 （  与 的夹角为  ），约去非零因子得 ，故 平分 。同理第二段式给出 ，即 ， 平分 。两条角平分线的交点是内心。 变式训练 变 9（单选题） 已知 是锐角 所在平面内的一定点，动点 满足：，，则动点 的轨迹一定通过 的（  ） A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心 变 10（多项选择题） 在 中，内角 ，， 的对边分别是 ，，，点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（  ） A．若 ，则 为钝角三角形 B．若 为边长为 的等边三角形，则 的最小值为 C．若点 为 的垂心，且 ，则 D．若 ，则点 的轨迹经过 的外心 变 11（多项选择题） 在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，点 在 所在的平面内，则（  ） A．若 ，则 是等腰直角三角形 B．若 ，则点 为 的垂心 C．若 ，则 D．若 ，，， 的角平分线交 于 ，则 变 12（多项选择题） 已知点 在 所在的平面内，则下列命题正确的是（  ） A．若 为 的垂心，，则 B．若 为边长为 的正三角形，则 的最小值为 C．若 为锐角三角形且外心为 ， 且 ，则 D．若 ，则动点 的轨迹经过 的外心 单元四 奔驰定理与四心关联 4.1 识别特征 题面直接给出奔驰定理 （ ，， 为 ，， 的面积），或给出 的系数式要求判心、求面积、求边比或角度。 4.2 结论与推导 结论 4.1（奔驰定理与系数互读）　 在 内时，，且系数比等于面积比：给定 ，则 ；反之已知面积比可读出线性关系的系数。求总面积：读出某一块 的实际值后按比例放大 。 推导：基底唯一性——以 ， 为基底表示 ，比较系数即面积比；总面积由比例分配。 结论 4.2（四心的奔驰形态对照表）　奔驰定理系数比与四心的对应：重心对应 ，内心对应 （内切圆半径统一），外心对应 （圆心角与圆周角），垂心对应 。判定”点 是什么心”时把系数比代入此表；反向地，指定心的面积比反解边角（如内心形态 给出直角）。 推导：重心即等面积（结论 1.3）；内心由 ；外心由 ；垂心由 ，与 ， 相比恰得 。 结论 4.3（奔驰定理的面积分裂应用）　给内点面积分裂条件（如三块面积分别为 ，， 且总和已知）时，先用奔驰定理把”面积比 = 系数比”翻译成系数约束，再把目标式（  型）用”1 的代换”（乘 或约束式）化为均值不等式求最值。 推导：面积分裂即系数定量；“1 的代换”后化为 与 的乘积定值结构，均值不等式收口。 4.3 方法决策表 题面 动作 系数式 ↔ 面积比 奔驰定理互读（结论 4.1） 判心 / 定形状 四心形态对照表（结论 4.2） 面积分裂求最值 系数约束 + 1 的代换（结论 4.3） 例题精讲 例 4（多项选择题） “奔驰定理”：已知 是 内一点，，， 的面积分别为 ，，，则 。设 是 内的一点，则以下命题正确的有（  ） A．若 ，则 B．若 ，则 为 的重心 C．若 ，，且 ，则 D．若 为 的内心，，则 ●解析 A 项：由结论 4.1， 而非 ，错误。 B 项：系数比 ，三块面积相等，由等面积推 在三条中线上，是重心，正确。 C 项：，由 得 ，正确。 D 项：内心时 ，勾股关系 成立，，正确。 变式训练 变 13（多项选择题） 已知 是 内一点，，， 的面积分别为 ，，，且 。以下命题正确的是（  ） A．若 ，则 为 的重心 B．若 为 的内心，则 C．若 ，， 为 的外心，则 D．若 为 的垂心，，则 变 14（多项选择题） “奔驰定理”：已知 是 内一点，，， 的面积分别为 ，，，则 。设 是 内一点，若 ，则以下命题正确的有（  ） A．　　B． 有可能是 的重心 C．若 为 的外心，则 　　D．若 为 的内心，则 为直角三角形 变 15（多项选择题） 为 内任意一点，角 ，， 的对边分别为 ，，，则总有等式 成立（奔驰定理）。由此判断以下命题中，正确的有（  ） A．若 是 的重心，则有 B．若 ，则 是 的内心 C．若 ，则 D．若 是 的外心，且 ，则 变 16（多项选择题） 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则以下结论中正确的是（  ） A．若 ，则 　　B．若 ，，且该三角形有两解，则 的范围是 C．若 是平面内一定点，点 满足 （  ），则点 的轨迹一定通过 的重心 D．若 为 的内心，且 ，则 变 17（多项选择题） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ，，则下列选项正确的是（  ） A．　　B．若 是边 的中点，则线段 的长的最小值为 C． 的最大值为 　　D．若点 是 的外心，且 ，，则 变 18（多项选择题） 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ，，边 的中线 ，则下列结论正确的有（  ） A．　　B．　　C． 的面积为 　　D． 的外接圆的面积为 变 19（多项选择题） 已知 中，，，，点 为 内的一个点，且始终满足 ，则下列说法正确的有（  ） A． 有最小值，且为 B． 取最小值时， C．点 的运动轨迹应为圆 D．当 取最小时， 学科网（北京）股份有限公司 $