第2讲第二定义与准线讲义-2027届高三数学一轮复习

第二定义与准线 解析几何 · 专题篇 一 第二定义与焦半径 一、第二定义一句话。 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 的点，轨迹是圆锥曲线： 椭圆、 抛物线、 双曲线。 ★ 那个定点叫焦点、定直线叫准线， 就是离心率。椭圆与双曲线各有两条准线，抛物线只有一条。 二、三条曲线的准线。 的准线为 ，焦准距为 ； 的准线为 。 ★ 椭圆准线的分母是 （不是 ），这一点最容易记错 ——准线到中心的距离大于 ，而 正是因为它。 三、焦半径公式（第二定义的直接产物）。 抛物线 上点 ：。 椭圆：、；双曲线右支：、。 ★ 记住「加左减右」：到左焦点的距离用加号，到右焦点用减号。双曲线换成 ，符号与椭圆相反。 四、焦半径的倒数和是定值。 过抛物线焦点的弦 ：。 ★ 这个结论在「给倒数和求 」的题里一步到位；也可由 与韦达现推。 五、焦半径的取值范围。 抛物线：（等号在顶点）；椭圆：；双曲线右支：。 ★ 这三个下界都可以从焦半径公式直接读出，是「最值」题的入口 —— 第 8 讲会反复用到。 六、本节十道题的两条主线。 第一条「焦点定 」：给出焦点坐标、准线方程或「某点在准线上」，反求 ，再算其余项。前后有六道题都是这样开的头。 第二条「焦半径转化」：把到焦点的距离换成到准线的距离，或换成另一条焦半径，再接成折线或代入韦达。 ★ 两条主线的衔接点是焦半径公式：先由焦点定 ，再把公式写出来，后面的计算就有据可依。 本节最容易错的一步是「准线的分母」：抛物线是 、椭圆是 ——两个分母不同源，抄错一个整题都错。 例1（多选·★★★☆☆） 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点。则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 【切入点】 是 的焦点 ——由 定 ，再用第二定义处理其余各项。 第一项： 得 ，抛物线为 、准线 ，正确。 第二项：设 ，由焦半径公式 ，正确。 第三项：以 为圆心、过 的圆半径就是 ；而 到准线 的距离也是 ，圆心到准线的距离等于半径，故相切，正确。 第四项： 时，由余弦定理与焦半径算出 的面积，与选项所给值不符，错误。故选 ABC。 【易错】第一， 是焦点到原点的距离，它等于 。第二，第三项的「相切」靠「圆心到直线距离等于半径」，而半径恰好等于 到准线的距离 —— 这正是第二定义的内容。第三，第四项要用 与 及夹角三者，不能只用一个。 【答案】 变式1-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为______。 【切入点】过焦点的弦，给焦半径倒数之和为 ——直接用「倒数和等于 」这条结论。 【关键】，故 。 于是抛物线为 ，准线方程为 。 【易错】第一，倒数和等于 ，不是 —— 记住「 除以 」。第二，准线是 ， 时即 。第三，这条结论对任意过焦点的弦都成立，与直线的斜率无关，所以可以放心直接用。 【答案】 变式1-2（单选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点。若，则 = （ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】、 在准线上的投影为 、，、 的中点为 、 ——先由几何关系定出 与 的关系。 【关键】记 、 与 轴的交点为 、；由 且 得 是 的中点，同理 是 的中点。 故 。 又 就是 、 的纵坐标之差的绝对值，故 。 直线 的斜率为 ，即 ，代入 得 ，即 。 于是 ，由 得 ，选 B。 【易错】第一，、 是中点这一步由「 且平行」推出，不是题设直接给。第二， 用的是中位线，因为 、 分别是两腰的中点。第三，代入后 的判别式为 ，开方得 —— 这是本题的核心计算。 【答案】 变式1-3（多选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（ ） A. 的准线方程为 B. 周长的最小值为5 C. 直线的倾斜角为 D. 四边形不可能是平行四边形 【切入点】 满足 ——先由这个条件定 。 第一项：，由 解得 ，准线 ，正确。 第二项： 的周长为 ；由定义把 换成 到准线的距离，最小值在三点共线时取到，得 ，正确。 第三项：，倾斜角为 而不是 ，错误。 第四项：若 为平行四边形，则 ，解出的 坐标落在抛物线外，矛盾，故不可能是平行四边形，正确。故选 ABD。 【易错】第一，，代入条件时右边是 。第二， 对应 （），不是 。第三，判断平行四边形用「对边向量相等」，求出点后要验证它在不在曲线上。 【答案】 变式1-4（多选·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点。若，则（ ） A. B. 直线的斜率是 C. D. 的面积是 【切入点】以 为圆心、 为半径的圆交准线于 、，且 ——这三条合起来说明 是等边三角形。 第一项：由「圆半径 = 到准线距离」与 得 ，故 为等边三角形、。 设 ，则 ；在直角 中（ 为焦点到准线的垂足），由等边三角形的角度得 ，与 、 联立，解得 、。 再由题给的定值条件得 ，与选项所给 不符，故该项错误。 第二项：由上面的角度得直线 的倾斜角为 或 ，斜率 ，正确。 第三项：由焦点弦公式 ， 时 ，代入得 ，正确。 第四项： 以 为底，由圆的半径与 算出高，面积为 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 等边是「半径 = 到准线距离 = 」三条相等推出来的。第二， 里的 是倾斜角， 的平方是 。第三，、 关于 轴对称， 是弦长，可由圆的半径与圆心到准线距离算。 【答案】 变式1-5（多选·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以线段为直径的圆与相切 C. 存在直线，使得 D. 若直线交于点，则 【切入点】过焦点 的弦 ，四项分别考焦半径比、直径圆与准线、直角、以及 与准线的交点。 第一项：若 ，由焦半径公式与韦达解得直线斜率，算出的倾斜角与选项所给不符，错误。 第二项： 中点到准线的距离等于 （抛物线焦点弦的固定性质），故以 为直径的圆与准线相切，正确。 第三项：，由 与韦达得 、，故数量积恒为 ，不为零，即 不成立，错误。 第四项：直线 与准线 交于 ，由 可算出 与 的纵坐标相同，故 ，正确。故选 BD。 【易错】第一， 由 与 联立得到。第二，数量积为定值 ，说明两个向量的夹角固定，不是直角。第三， 与 纵坐标相同这一步是本题的关键，用 化简即得。 【答案】 变式1-6（单选·★★★☆☆） 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点。若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】抛物线写成 （开口朝右）——先化成标准形式，定焦点与准线。 【关键】 即 ，故 、，焦点 、准线 。 设 ，与 联立得 ，故 的两根分别为 、 满足 。 由 得 ，代入韦达求出 与 ，再用弦长公式得 ，选 C。 【易错】第一， 与 的对应是 ，所以 而不是 。第二，设 后联立，消去 得到的是 的二次方程。第三， 表示 、、 依次排列且 ，由此得 （注意符号）。 【答案】 变式1-7（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【切入点】 在准线上 ——由「准线 」直接定 。 第一项： 得 ，抛物线 、焦点 ，正确。 第二项：过 且斜率为 的直线与抛物线有公共点，由判别式与相切条件得 的范围比 更宽，故该项错误。 第三项： 与 的关系由定义与三角形不等式得出， 成立，正确。 第四项：当 时，把三点坐标代入化简可解出对应的参数，正确。故选 ACD。 【易错】第一，准线是 ，所以 的横坐标 对应 。第二， 的范围要由「直线与抛物线有公共点」的判别式给出，不能只看图形。第三，第三、四项都涉及三个点的距离关系，统一用焦半径公式换到横坐标上最快。 【答案】 变式1-8（多选·★★★☆☆） 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点（M在第四象限），l为C的准线，则（ ） A. l的方程为 B. C. 以为直径的圆与l相交 D. 为钝角三角形 【切入点】直线 过焦点 ——先求它与 轴的交点，得焦点坐标。 第一项：令 得 ，故焦点 、、，抛物线 、准线 ，正确。 第二项：直线与抛物线联立，由弦长公式得 ，斜率为 故 、，代入得 ，正确。 第三项： 中点到准线的距离等于 ，故以 为直径的圆与准线相切而不是相交，错误。 第四项：由 判断 为钝角，故 为钝角三角形，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 与 的 相同，算弦长时不必区分钟。第二，「与准线相切」是焦点弦的固定性质，不要误判成相交。第三，判断钝角三角形用数量积为负，不必求三个角。 【答案】 变式1-9（填空·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______。 【切入点】切线过准线与 轴的交点 ，切于第一象限的 ，再求 的外接圆 ——先定 与切线。 【关键】 中 、，焦点 、准线 ，故 。 设 ，由 得切线斜率 ，切线过 ，代入解得 、。 此时 、，且 ，故外接圆以 为直径、圆心为 中点 、半径 ，圆为 。 【易错】第一， 的导数是 ，不是 。第二， 是准线与 轴的交点，坐标为 。第三，外接圆以 为直径的前提是 ，这一步要先说明。 【答案】 二 准线与焦准距 一、准线方程与 的对应。 的准线是 ； 的准线是 ； 的准线是 。 ★ 判分母只看一次项：一次项系数的一半就是 ，准线在对称轴的另一侧、距离 。本节有两道题直接由准线反求 ，都用这一条。 二、焦准距 的几何意义。 焦点到准线的距离恰好等于 ，这是抛物线里唯一「长度等于参数」的量。 ★ 题目给「焦点到准线的距离」就等于给 ；给「焦点与准线上某点构成等腰或等边三角形」，也可以用它把 解出来。 三、准线与对称轴的交点。 准线与 轴交于 ，与焦点 关于原点对称。 ★ 这个对称关系常用来「由焦点找交点」或「由交点找焦点」，中间不必先求 。 四、跨曲线的联动。 「抛物线的焦点是双曲线（或椭圆）的焦点」意味着两者的 相同，由此把两条曲线的参数绑在一起。 ★ 先算另一条曲线的 （双曲线用 、椭圆用 ），再令 即得 。 五、准线与曲线的交点。 求准线与椭圆（或双曲线）的交点时，把准线方程代入另一条曲线的方程，解得纵坐标即可。 ★ 这类型的关键是「准线是一条竖直线」，代入后只剩一个未知数，比联立两条曲线简单得多。 六、本节十道题的分层。 头两道是「由准线反求 」的直接应用，对照 一步到位。 中间四道把准线与另一条曲线绑在一起：共焦点、准线与椭圆相交、准线上的定点。处理顺序固定为「先定 、再求准线、最后代入」。 后三道涉及圆、等边三角形、 角，要用「圆心到准线距离等于 」这条把几何量与参数连起来。 ★ 十道题的共同入口都是「准线方程 」，区别只在于下一步是求 、求交点还是求弦长。 例2（填空·★★☆☆☆） 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________。 【切入点】抛物线的焦点与准线上两点构成等边三角形 ——焦点到准线的距离就是 ，而等边三角形的高把 与边长连起来。 【关键】设准线上的两点为 、，、 都等于边长 ；由等边三角形的对称性， 的中点在 轴上，且焦点到准线的垂线段正是这个三角形的高。 高为 ，即 。 故抛物线为 。 【易错】第一，等边三角形的高是「边长乘 」，即 倍，不是 。第二，这条高正是焦点到准线的距离，所以直接等于 。第三， 里 ，写成 而不是 。 【答案】 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 若抛物线的准线方程为，则 = ___________。 【切入点】给准线方程、求 —— 最基础的一类，直接对照 。 【关键】准线 与 对照，得 。 故 。 【易错】第一， 所以 ，不要写成 。第二，准线在 轴左侧说明抛物线开口向右，标准形式是 （）。第三，若题给 ，则抛物线开口向左、 的形式要另行处理。 【答案】 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合 ——先算双曲线的 。 【关键】双曲线 中 、，故 、；右焦点为 。 于是 、，抛物线为 ，准线 ，选 B。 【易错】第一，双曲线的 （加），椭圆才是减 —— 这是最容易混的一处。第二，焦点横坐标 对应 ，故 。第三，准线是 ，与焦点 关于原点对称。 【答案】 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 抛物线的准线与椭圆交于，两点，则 = （ ） A. B. C. D. 1 【切入点】抛物线的准线与椭圆交于两点，求弦长 ——准线是竖直线，代入椭圆即可。 【关键】 中 、，准线为 。 把 代入椭圆 ：，得 、。 故 ，选 B。 【易错】第一， 的准线是 ，因为 。第二，代入后 ，开方得 而不是 。第三， 是两个纵坐标之差，等于 。 【答案】 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【切入点】 在准线上、 交抛物线于 ——过 作准线的垂线，用第二定义把 换成垂线段。 【关键】过 作准线的垂线，垂足 ，由定义 ；又 ，在直角三角形中得 。 设准线与 轴的交点为 ，则 ，故 。 而 ，故 ，选 B。 【易错】第一， 是第二定义，不是两点距离。第二，，因为 在 上。第三， 就是焦准距 ，所以求出它等于求出 。 【答案】 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，O是坐标原点，则=_________ 【切入点】 是准线与 轴的交点， ——由定义把 换成 到准线的距离，得到一个等腰直角三角形。 【关键】 中 ，准线 ，；设 到准线的距离为 ，由定义 。 于是 ，即 为等腰直角三角形，故 。 设 ，、，解得 、，故 。 【易错】第一， 是定义，这样才把条件统一到 上。第二， 是 到 轴的距离，因为 在 轴上。第三，解出的 有两个值，但 相同，不必分类讨论。 【答案】 变式3-2（填空·★★★★☆） 已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则 = ________。 【切入点】圆心是抛物线的焦点，圆与抛物线、准线都有交点 ——先由圆心定 。 【关键】圆 的圆心为 ，故 、，抛物线 、准线 。 设半径为 ，与抛物线交于 、，联立得 、；再由与准线的交点条件定出 ，最后算所求量得 。 【易错】第一， 所以 ，抛物线是 。第二，联立圆与抛物线时，把 代入圆方程得关于 的一次方程，故 。第三， 是因为圆要与抛物线有两个交点。 【答案】 变式3-3（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则 = _________。 【切入点】 在准线上 ——由准线方程定 ；再以 为直径作圆，求它被直线 截得的弦长。 【关键】准线 得 ，抛物线 、焦点 。 的中点 是圆心，半径为 。 圆心到直线 （即 ）的距离 ，故弦长为 。 【易错】第一，准线是 ，所以 得 。第二， 的长度用两点距离算：横坐标差 、纵坐标差 ，故为 、半径 。第三，圆心到 的距离分母是 ，不是 之类。 【答案】 变式3-4（填空·★★★★☆） 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______。 【切入点】抛物线的焦点是双曲线的右焦点 ——两条曲线共用 ，故抛物线的准线就是 。 【关键】设双曲线的右焦点为 ，则抛物线准线为 ；把 代入双曲线方程求出交点的纵坐标，得 的表达式。 再由题给的几何关系列出关于 、、 的等式，化简后解出所求量为 。 【易错】第一，「共焦点」意味着 相同，而抛物线的准线到中心的距离也是 。第二，把 代入双曲线时，，这个化简是解题的关键。第三，结果是纯数 ，与 、 的具体取值无关。 【答案】 变式3-5（单选·★★★★☆） 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】以 为圆心、 为半径的圆，且 ——先用角度把半径与 连起来。 【关键】、准线 ，圆心到准线的距离为 ；由圆的半径与 角得 。 再由 与 的面积条件，列出关于 的方程，解出后代入所求比值得 ，选 A。 【易错】第一，圆心到准线的距离是 （焦点到准线），不是 。第二， 来自直角三角形中「对边比斜边」的关系， 故 。第三，， 的计算别用错三角函数。 【答案】 三 综合与统一视角 一、共焦点问题的通用解法。 两条曲线共焦点，意味着它们的 相同；对抛物线来说，焦点到顶点的距离是 ，故此 。 ★ 顺序固定：先算椭圆／双曲线的 ，再令 得 ，最后写抛物线的准线 。 二、准线与圆相切的条件。 圆心到准线的距离等于半径时相切；抛物线的准线是竖直线，所以「圆心到准线的距离」就是「圆心横坐标加上 」。 ★ 题里给「准线与圆相切」，等于给了一个只含圆心横坐标与 的方程，这是定 的常见入口。 三、统一定义的三种用法。 判定轨迹：到定点与到定直线距离之比为常数，直接写曲线类型；标出准线：由「比值」反读 ；转化距离：在计算中把「到焦点」换成「到准线」。 ★ 第三种用得最多 —— 本节有一道题由「圆过焦点且与准线相切」直接推出「圆心在抛物线上」。 四、跨曲线题的两个检查点。 一看焦点在哪条轴上（ 轴还是 轴），二看 的计算公式（椭圆用减、双曲线用加）。 ★ 这两点错了，后面的 、准线、方程全错。本节有一道双曲线的焦点在 轴上，它的准线是 而不是 。 五、参数范围的处理。 把条件翻成关于 （或 、）的不等式，再结合图形的位置关系确定端点能否取到。 ★ 端点常常对应「相切」或「过顶点」的临界位置，要单独检查一次。 六、本节十道题的共同结构。 八道题的题干里都出现了「焦点重合」「准线与圆相切」「准线与曲线相交」这类把两条对象绑在一起的句子。 处理它们的顺序可以统一成四步：一、由已知定 或 ；二、写出准线；三、把准线代入另一条曲线；四、解出所求。 ★ 四步里第三步最关键 —— 准线是竖直线（或水平线），代入后只剩一个未知数，比联立两条曲线省一半计算。 另外提醒：本节有两条题的双曲线焦点在 轴上，此时方程写成 ，准线也随之变成水平线 —— 不能照搬 轴情形的公式。 例3（单选·★★★★☆） 已知双曲线的上，下焦点分别为，抛物线的准线过点，且与的一条渐近线交于点，若直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】双曲线的焦点在 轴上，而题给抛物线的准线是一条水平线 ——先由准线定出双曲线的焦点坐标。 【关键】抛物线 中 、，准线为 ；故双曲线的下焦点 、。 设 是准线与双曲线的交点，把 代入双曲线方程得 。 由直线 的斜率为 得 ，结合 解得 、，故双曲线为 ，选 D。 【易错】第一，双曲线的焦点在 轴上，方程写成 ，两个分母的位置与常规相反。第二，抛物线的准线是 （水平线），因为它的标准形式是 。第三， 由准线 与焦点的对称关系读出。 【答案】 变式3-1（单选·★★★★☆） 双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【切入点】抛物线 以双曲线的右焦点为焦点 ——故 ，这是本题的入口。 【关键】双曲线右焦点 ，、；抛物线以它为焦点，故 、。 再由向量垂直的条件构建等式，把 用 替换，化简得关于 的方程，解得 ，选 D。 【易错】第一， 而不是 ，因为焦点到顶点的距离是 。第二，双曲线的 （加号），椭圆才是减。第三，向量垂直给出数量积为零，代入后要统一到 、 两个量上。 【答案】 变式3-2（单选·★★★★☆） 设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 【切入点】 在 与 之间且 与 有比例 ——先由比例定出 的坐标（用 的纵坐标表示）。 【关键】，设 （）；由三等分关系得 。 由焦半径公式得 ，再把 的坐标代入抛物线方程，解得 ，选 C。 【易错】第一， 是 靠近 的三等分点，所以 的横坐标是 的 （ 的横坐标为 ）。第二，焦半径公式给出 ，这一步是定 的关键。第三，把 代入 时，左边是 、右边是 。 【答案】 变式3-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】双曲线与抛物线共焦点 ——由 得 ，再代入准线求交点。 【关键】抛物线的准线为 ；把 代入双曲线 ，得 ，即 、。 再由双曲线渐近线与抛物线的交点条件，联立得 一类关系，结合 解得 、，双曲线为 ，选 A。 【易错】第一， 而不是 。第二，把 代入后 ，故 。第三，两个条件（共焦点、渐近线交点）要联立，只用一个解不出 、。 【答案】 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为，记为的中点，为坐标原点，为的焦点.若，则 = （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【切入点】 是 的中点（ 为 到准线的垂足），且 ——先把 的坐标用 表示出来。 【关键】 的准线 ；设 ，则 、。 由 得 ，结合 解得 。 由焦半径公式 ，而所求为 的一半，故为 ，选 C。 【易错】第一， 的横坐标是 （准线），故 的横坐标是 ，分子是 而不是 。第二，代入 后方程只含 ，可直接解出。第三，最后一步要看清楚问的是 还是它的一半。 【答案】 变式4-2（多选·★★★☆☆） 抛物线的准线为，焦点为与圆相切，为上一动点，过作的垂线，垂足为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，点的纵坐标为 D. 的延长线与交于点，则的最小值为 【切入点】抛物线的准线与圆相切 ——圆心到准线的距离等于半径，这是定 的入口。 第一项：圆 的圆心为 、半径 ；准线 ，圆心到它的距离为 ，由相切得 、，正确。 第二项： 由定义把 换成到准线的距离，最小值在三点共线时取到，正确。 第三项：设 的坐标， 化为向量数量积为零，解出 的纵坐标与选项所给值不符，错误。 第四项： 的延长线交抛物线于 ，由焦点弦公式算 ，与选项一致，正确。故选 ABD。 【易错】第一，圆心 到准线 的距离是 ，因为圆心的横坐标是 。第二， 是到圆上点的距离，换成到圆心的距离再加减半径。第三，焦点弦长用 ，不要漏掉 。 【答案】 变式4-3（单选·★★★☆☆） 抛物线的准线与轴交于点。过作直线交抛物线于点，点在抛物线对称轴上，且。则的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】抛物线 的准线与 轴交于 ——先化成标准形式定 的坐标。 【关键】 即 ，、，准线 ，故 。 设过 的直线 ，代入抛物线得 ，由 得 、。 设 ， 中点的横坐标为 ，由题给条件解出 与 的关系，结合 得 ，即 的纵坐标范围为 ，选 D。 【易错】第一， 的准线是 （开口向下），不是 。第二， 给出 ，这个范围最终决定 的范围。第三， 中点的横坐标是 ，符号别弄反。 【答案】 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【切入点】准线与 轴交于 ，过焦点的直线交抛物线于 、，给 的斜率 —— 用定义把 的坐标定出来。 【关键】 中 、，焦点 、准线 、。 过 作准线的垂线，垂足 ，由定义 ；再由 求出 的坐标。 最后用韦达或焦点弦公式算所求量，得 ，选 C。 【易错】第一， 故准线是 ，不是 。第二， 是准线与 轴的交点，坐标为 。第三， 的分子分母都要用 与 的坐标差，不是 与 。 【答案】 变式4-5（填空·★★★☆☆） 已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______。 【切入点】先由弦长定 ；再把 的最大值转化为 的最大值。 【关键】把 代入 得 ，故 、；由弦长 解得 。 是 到准线的距离，由定义等于 ，故所求为 的最大值，由三角形不等式得不超过 。 代入算出 。 【易错】第一，弦长公式里的 在斜率 时是 。第二， 是到准线的距离，由定义换成 才能用三角不等式。第三，最大值在 、、 共线时取到，要确认此时 在抛物线上。 【答案】 变式4-6（填空·★★★☆☆） 抛物线的焦点为，准线为，点，圆过点且与相切，试写出点的一个可能坐标为__________。 【切入点】圆 过焦点 且与准线相切 ——这两个条件合起来，正是「到定点与到定直线距离相等」。 【关键】圆过 说明半径等于 ；与准线相切说明半径等于 到准线的距离。 两者相等，由抛物线的定义知 在抛物线上；把 代入 ，得 。 解得 或 ，按题给条件取舍，所求为 。 【易错】第一，，方程化为 ，两个根都要检验是否符合题设。第二，「圆过焦点且与准线相切」是判定「点在抛物线上」的标准说法。第三， 中 ，准线为 。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二定义与准线 解析几何 · 专题篇 一 第二定义与焦半径 一、第二定义一句话。 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 的点，轨迹是圆锥曲线： 椭圆、 抛物线、 双曲线。 ★ 那个定点叫焦点、定直线叫准线， 就是离心率。椭圆与双曲线各有两条准线，抛物线只有一条。 二、三条曲线的准线。 的准线为 ，焦准距为 ； 的准线为 。 ★ 椭圆准线的分母是 （不是 ），这一点最容易记错 ——准线到中心的距离大于 ，而 正是因为它。 三、焦半径公式（第二定义的直接产物）。 抛物线 上点 ：。 椭圆：、；双曲线右支：、。 ★ 记住「加左减右」：到左焦点的距离用加号，到右焦点用减号。双曲线换成 ，符号与椭圆相反。 四、焦半径的倒数和是定值。 过抛物线焦点的弦 ：。 ★ 这个结论在「给倒数和求 」的题里一步到位；也可由 与韦达现推。 五、焦半径的取值范围。 抛物线：（等号在顶点）；椭圆：；双曲线右支：。 ★ 这三个下界都可以从焦半径公式直接读出，是「最值」题的入口 —— 第 8 讲会反复用到。 六、本节十道题的两条主线。 第一条「焦点定 」：给出焦点坐标、准线方程或「某点在准线上」，反求 ，再算其余项。前后有六道题都是这样开的头。 第二条「焦半径转化」：把到焦点的距离换成到准线的距离，或换成另一条焦半径，再接成折线或代入韦达。 ★ 两条主线的衔接点是焦半径公式：先由焦点定 ，再把公式写出来，后面的计算就有据可依。 本节最容易错的一步是「准线的分母」：抛物线是 、椭圆是 ——两个分母不同源，抄错一个整题都错。 例1（多选·★★★☆☆） 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点。则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 变式1-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为______。 变式1-2（单选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线与交于两点，在准线上的投影分别为，线段分别交轴于点。若，则 = （ ） A. B. 2 C. D. 变式1-3（多选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（ ） A. 的准线方程为 B. 周长的最小值为5 C. 直线的倾斜角为 D. 四边形不可能是平行四边形 变式1-4（多选·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点。若，则（ ） A. B. 直线的斜率是 C. D. 的面积是 变式1-5（多选·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以线段为直径的圆与相切 C. 存在直线，使得 D. 若直线交于点，则 变式1-6（单选·★★★☆☆） 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点。若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-7（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 当时， 变式1-8（多选·★★★☆☆） 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点（M在第四象限），l为C的准线，则（ ） A. l的方程为 B. C. 以为直径的圆与l相交 D. 为钝角三角形 变式1-9（填空·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______。 二 准线与焦准距 一、准线方程与 的对应。 的准线是 ； 的准线是 ； 的准线是 。 ★ 判分母只看一次项：一次项系数的一半就是 ，准线在对称轴的另一侧、距离 。本节有两道题直接由准线反求 ，都用这一条。 二、焦准距 的几何意义。 焦点到准线的距离恰好等于 ，这是抛物线里唯一「长度等于参数」的量。 ★ 题目给「焦点到准线的距离」就等于给 ；给「焦点与准线上某点构成等腰或等边三角形」，也可以用它把 解出来。 三、准线与对称轴的交点。 准线与 轴交于 ，与焦点 关于原点对称。 ★ 这个对称关系常用来「由焦点找交点」或「由交点找焦点」，中间不必先求 。 四、跨曲线的联动。 「抛物线的焦点是双曲线（或椭圆）的焦点」意味着两者的 相同，由此把两条曲线的参数绑在一起。 ★ 先算另一条曲线的 （双曲线用 、椭圆用 ），再令 即得 。 五、准线与曲线的交点。 求准线与椭圆（或双曲线）的交点时，把准线方程代入另一条曲线的方程，解得纵坐标即可。 ★ 这类型的关键是「准线是一条竖直线」，代入后只剩一个未知数，比联立两条曲线简单得多。 六、本节十道题的分层。 头两道是「由准线反求 」的直接应用，对照 一步到位。 中间四道把准线与另一条曲线绑在一起：共焦点、准线与椭圆相交、准线上的定点。处理顺序固定为「先定 、再求准线、最后代入」。 后三道涉及圆、等边三角形、 角，要用「圆心到准线距离等于 」这条把几何量与参数连起来。 ★ 十道题的共同入口都是「准线方程 」，区别只在于下一步是求 、求交点还是求弦长。 例2（填空·★★☆☆☆） 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________。 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 若抛物线的准线方程为，则 = ___________。 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）。 A. B. C. D. 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 抛物线的准线与椭圆交于，两点，则 = （ ） A. B. C. D. 1 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，O是坐标原点，则=_________ 变式3-2（填空·★★★★☆） 已知圆，圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线交于，两点，与其准线交于，两点，若，则 = ________。 变式3-3（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，以线段为直径的圆与直线相交于，两点，则 = _________。 变式3-4（填空·★★★★☆） 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为______。 变式3-5（单选·★★★★☆） 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则 = （ ） A. B. C. D. 三 综合与统一视角 一、共焦点问题的通用解法。 两条曲线共焦点，意味着它们的 相同；对抛物线来说，焦点到顶点的距离是 ，故此 。 ★ 顺序固定：先算椭圆／双曲线的 ，再令 得 ，最后写抛物线的准线 。 二、准线与圆相切的条件。 圆心到准线的距离等于半径时相切；抛物线的准线是竖直线，所以「圆心到准线的距离」就是「圆心横坐标加上 」。 ★ 题里给「准线与圆相切」，等于给了一个只含圆心横坐标与 的方程，这是定 的常见入口。 三、统一定义的三种用法。 判定轨迹：到定点与到定直线距离之比为常数，直接写曲线类型；标出准线：由「比值」反读 ；转化距离：在计算中把「到焦点」换成「到准线」。 ★ 第三种用得最多 —— 本节有一道题由「圆过焦点且与准线相切」直接推出「圆心在抛物线上」。 四、跨曲线题的两个检查点。 一看焦点在哪条轴上（ 轴还是 轴），二看 的计算公式（椭圆用减、双曲线用加）。 ★ 这两点错了，后面的 、准线、方程全错。本节有一道双曲线的焦点在 轴上，它的准线是 而不是 。 五、参数范围的处理。 把条件翻成关于 （或 、）的不等式，再结合图形的位置关系确定端点能否取到。 ★ 端点常常对应「相切」或「过顶点」的临界位置，要单独检查一次。 六、本节十道题的共同结构。 八道题的题干里都出现了「焦点重合」「准线与圆相切」「准线与曲线相交」这类把两条对象绑在一起的句子。 处理它们的顺序可以统一成四步：一、由已知定 或 ；二、写出准线；三、把准线代入另一条曲线；四、解出所求。 ★ 四步里第三步最关键 —— 准线是竖直线（或水平线），代入后只剩一个未知数，比联立两条曲线省一半计算。 另外提醒：本节有两条题的双曲线焦点在 轴上，此时方程写成 ，准线也随之变成水平线 —— 不能照搬 轴情形的公式。 例3（单选·★★★★☆） 已知双曲线的上，下焦点分别为，抛物线的准线过点，且与的一条渐近线交于点，若直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★★★☆） 双曲线的左、右焦点依次为，以点为焦点的抛物线的准线为，交双曲线的两条渐近线于点，过点作轴的垂线与抛物线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 3 变式3-2（单选·★★★★☆） 设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 变式3-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知是抛物线上一点，为的准线，过点作的垂线，垂足为，记为的中点，为坐标原点，为的焦点.若，则 = （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 变式4-2（多选·★★★☆☆） 抛物线的准线为，焦点为与圆相切，为上一动点，过作的垂线，垂足为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，点的纵坐标为 D. 的延长线与交于点，则的最小值为 变式4-3（单选·★★★☆☆） 抛物线的准线与轴交于点。过作直线交抛物线于点，点在抛物线对称轴上，且。则的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 变式4-5（填空·★★★☆☆） 已知直线与抛物线（）交于A，B两点，且，若C上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为______。 变式4-6（填空·★★★☆☆） 抛物线的焦点为，准线为，点，圆过点且与相切，试写出点的一个可能坐标为__________。 学科网（北京）股份有限公司 $