计数原理与二项式专题第2讲 排列组合讲义-2027届高三数学一轮复习

排列组合 计数原理 · 专题篇 相邻与不相邻 排列组合里最常处理的两类位置约束，是「必须挨在一起」与「必须分开」。挨在一起用捆绑：把要求相邻的那几个元素看成一个整体，先与其余元素一起排，再在这个整体的内部排。分开用插空：先把不受约束的元素排好，它们之间连同两端留下若干个空位，再把要求不相邻的元素放进不同的空位。这两招是同一件事的两面，都靠「先排没有约束的，再安顿有约束的」。 用捆绑时有一个动作不能省：内部排列的种数要单独乘。整体之间的排列只解决「这一块放在哪里」，块里谁左谁右还没有定。 用插空时先数清楚空位的个数，别凭感觉。若干个元素排好后形成的空位是元素个数加一，两端也算；这一步数错，后面全错。 两类约束同时出现时，先捆绑后插空，顺序不能颠倒。反过来先插空、再让捆绑出来的整体去占空位，会把已经排好的位置结构打乱。 「不相邻」的题目里常夹着别的限制，这时直接算往往比排除省事：把约束按类拆开分别计数再相加，比先算总数再往回扣掉不合格的情形更不容易漏项。哪种算法更稳，要看约束落在谁身上。 最后一步永远是核对：算出来的是排列还是组合，需不需要乘内部顺序，题目问的是「种数」还是别的量。 例1（单选·★☆☆☆☆） 某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「必须相邻」就一件事：把 捆成一个整体。题目问的是排法、字母又互不相同，所以块内部还要再排一次。 【关键】把 看成一块，这一块与 共 个对象，排列有 种；块内部 的左右顺序有 种。由分步乘法计数原理，共有 种。故选 B。 【易错】一是漏掉内部排列，只算 ，这个数正好是选项 A，是本题专门设的陷阱。二是把「相邻」当成「相同」，以为 换位是同一种排法——五个字母互不相同，换位就是新排法。三是块与其余元素一起排时，块只占一个位置，不能按两个对象算。 【答案】B 例2（填空·★★★☆☆） 甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【切入点】两条约束一条管「相邻」、一条管「不相邻」，正面同时处理容易乱。先只满足「甲乙相邻」算出全体，再把其中「乙丙也相邻」的那部分减掉，比分类讨论清楚。 【关键】甲乙捆绑成一块，与丙丁戊己共 个对象，有 种排法；块内甲乙换序 种。所以「甲乙相邻」的排法共 种。再数「甲乙相邻且乙丙相邻」的：此时甲乙丙三人必须连成一条，且甲、丙分别在乙的两侧，只有「甲乙丙」与「丙乙甲」两种连排方式。把它当作一块，与丁戊己共 个对象，有 种，故这一部分共 种。所以符合要求的排法为 种，故填 。 【易错】一是把「乙丙相邻」的情形按 去算。乙的另一侧还挂着甲，三人连成一条，内部只有 种，不是 种，多算的部分会把结果压小。二是相减的方向：先算的是「甲乙相邻」的全体，减去的是它的子集「乙丙也相邻」，两者不能颠倒。三是 人站一排的总数 在这题里用不上，别拿总数去减。 【答案】 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（ ） A. 24 B. 60 C. 120 D. 240 【切入点】两条约束，一条管顺序（ 在 之前），一条管相邻（ 与 相邻）。先把相邻那对捆起来算总量，再用对称性处理前后顺序。 【关键】把 捆成一块，与 共 个对象排列，有 种；块内 换序 种，共 种。六个景点地位平等，「 排在 之前」与「 排在 之后」两种情形一一配对，数量各占一半，所以满足「 在 之前」的有 种。故选 C。 【易错】一是把「 在 之前」当成「 相邻」，多加了一对相邻约束。二是对称性用过了头：只有当两种情形的互换不破坏其他约束时，才能各占一半。本题里 与 这两组约束互不干涉，可以直接除 ；若换成「 与 相邻且 在 之前」，就不能这么做了。三是漏掉 的内部顺序。 【答案】C 变式2-2（填空·★★★☆☆） 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法。 【切入点】每天只要 人，且相邻两天不能是同一个人。按天往后推，每一天的选择只受前一天影响，用分步乘法最直接。 【关键】第 天： 人中任选 人， 种。第 天：不能与第 天相同，从其余 人中选， 种。第 天：不能与第 天相同，仍是 种。同理第 、 天各 种。由分步乘法计数原理，共有 种，故填 。 【易错】一是把「不能连续两天同一人」读成「每人至多值班一天」，那是另一道题，那种读法会算出 一类的数。二是把第 天也按 种算——第 天没有「前一天」这条限制，是 种。三是天数与人数刚好都是 ，顺手写成 就全错了，约束条件不同，阶乘解决不了「不能挨着」。四是「选若干人」意味着同一人可以多次出现，只是不能连着两天，不要理解成选出 个不同的人。 【答案】 例3（填空·★★★☆☆） 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种。 【切入点】两条约束缠在一起，一起处理会互相干扰。分两层：先只要求「护士不相邻」，再从里面挑出「医生甲站在最左端」的那部分减掉。 【关键】护士不相邻用插空。先把 名医生排好，有 种，医生之间连同两端共 个空位；两名护士是不同的人，占其中 个不同空位，有 种。所以护士不相邻的站法共 种。再数其中「医生甲站在最左端」的：甲固定在最左，剩下 名医生与 名护士在右侧 个位置排。先排 名医生， 种，形成 个空位，护士占 个， 种，共 种。所以共有 种，故填 。 【易错】一是插空时把「 个空位里选 个」写成 。两名护士是不同的人，换空位就是新站法，应当是 ；写成组合数会少乘 。二是只做完插空那一步就交卷，忽略了「甲不在最左端」。三是扣减时把甲的约束单独放大——「甲在最左」与「护士不相邻」要同时成立才计入被减的那一类，两者是「且」不是「或」。 【答案】 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种。 【切入点】火车的停放位置，就是从 个股道里挑 个，且挑出来的位置两两不相邻。先定位置，再让火车就位。 【关键】在 个股道里选 个两两不相邻的位置，按插空公式共有 种。现推一遍： 个占位彼此之间至少有 个空档，先留出这 格，剩下的 格在 个空隙（含两端）里自由分配，，与公式一致。 列火车互不相同，占用这 个位置有 种。所以共有 种，故填 。 【易错】一是漏掉「火车不同」这一步，只答 。二是把「两两不相邻」按 直接算，那就变成了「什么位置都能停」。三是插空公式记混，写成 一类；记不牢就现推，像上面那样留空档、再分配剩余格，半分钟就能得出来。 【答案】 变式3-2（单选·★★★☆☆） 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种。 A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【切入点】先按「机器人不能相邻」把整体搭出来，再砍掉「前 个节目里一个机器人都没有」的那一类。两条约束是「不相邻」与「至少一个」，用插空加一步排除就够。 【关键】先把 个歌舞节目排好， 种；节目之间连同两端共 个空位， 个机器人节目占其中 个不同空位， 种。所以机器人不相邻的安排共 种。不合要求的只剩一类：前 个节目中都没有机器人，即两个机器人全落在第 、、 位。它们不能相邻，只能占第 位与第 位，位置唯一确定；两个机器人节目换序有 种，歌舞节目 种，共 种。所以符合要求的安排有 种。故选 C。 【易错】一是排除时把「第 、 位」也算进去——这两个位置相邻，两个机器人不能同时占。二是漏乘机器人内部的 ，把 算成 。三是插空时把两端漏掉，只数出 个中间空位，那样连基数都小了。 【答案】C 分组与分配 把若干个不同的对象分成若干组、再分给若干个去向，这类问题要连着问两件事：怎么分组，以及分给谁。 分组的第一步是确定每组的人数。人数互不相同时，按人数依次把对象选出来即可。人数出现相同的小组时，按人数依次选会把同一套分组重复数出来——两组各两人，先选出的那一组与后选出的那一组交换顺序，得到的是同一套分组；重复了几组就要除以几的阶乘。这是分组问题里唯一需要主动作除法的地方，其他位置一律只做乘法。 分完组之后看去向。去向是有名字的（不同的人、不同的地点），组与组之间还要再排一次，乘上组数的阶乘；题目只要求「分成几组」时这一步就不乘。同一个式子里既有选又有排，写的时候要能看出每一步在做什么。 如果题目直接给出了每个去向的人数，那就跳过分组，按去向逐个选人，选完即止。 还有一类问法是「恰好有几个位置空着」。空位置先挑定，再要求剩下的对象在选中的位置上每个至少一个；这时用「先放开分配、扣掉有空位置的情形」，比逐类列举清爽得多。 最后核对：分完组不分配，方案数就是分组的种数；再分给有名字的去向，才要乘那一层阶乘。 例4（单选·★★★☆☆） 将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 【切入点】 个人分到 个有名字的社区、每个社区不空，按人数分配只有两种：一组 人配两个 人，或者两组 人配一个 人。分类算完再相加。 【关键】第一种，人数为 。先选出 人成组， 种；剩下 人各成一组。三个组的人数互不相同（一组 人、两组 人），组与组区分得开，直接分给 个社区有 种。这一类共 种。第二种，人数为 。先选出 人单独成组， 种；剩下 人平均分成两组， 种；再分给 个社区， 种。这一类共 种。所以共有 种。故选 D。 【易错】一是平均分组忘了除以组数阶乘，第二种会算成 。二是第一种里也想去除以 ——那两个 人组虽然人数相同，但所含的人不同，本就区分得开，多除会少算。三是把「社区」当成不区分的，不乘 ，结果会掉到选项 A 附近。四是本题也可以按容斥直接算：，两条路结果一致，可以互相印证。 【答案】D 变式4-1（单选·★★★☆☆） 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（ ） A. 81 B. 72 C. 36 D. 12 【切入点】人数比地点数多 ，必然是「一个地点 人、另两个地点各 人」。先定谁与谁一组，再把三组安排到三个地点。 【关键】从 人中选出 人组成一组， 种；剩下 人各成一组。得到的三组人数为 ，组与组区分得开，安排到 个地点有 种。所以共有 种。故选 C。 【易错】一是另一条路写成 ，结果相同，但中间容斥的符号容易写反。二是把三个地点当成不区分的，不乘 ，会得到 ，正好落进选项 D。三是选 人成组之后又想去除以 ——那两个 人组含的人不同，本就区分得开，不能除。 【答案】C 例5（单选·★★★☆☆） 将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 180种 【切入点】题目已经把每个项目的人数说死了（卫生 名、宣传 名、审计 名），那就跳过分组这一步，按项目逐个挑人。 【关键】卫生项目从 人中选 人， 种；宣传项目从剩下的 人中选 人， 种；审计项目由最后 人补齐， 种。由分步乘法计数原理，共有 种。故选 A。 【易错】一是画蛇添足地再乘 ——两个 人项目虽然人数相同，但一个是卫生、一个是宣传，名额是题给死的，不存在谁先谁后。二是先分组再分配：那样要先除以 再乘 ，一除一乘恰好抵消，多绕一步还容易算错。三是 是另一条算法，结果相同，但分母上只放同组人数的阶乘，项目个数不进去。 【答案】A 变式5-1（填空·★★★☆☆） 从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有__________种安排方法（用数字作答） 【切入点】两步走：先从 人里选出参加的 人，再把 人分到三天，其中一天两人、两天各一人。 【关键】选人： 种。安排：先定哪一天排两人， 种；再从这 人中选出 人放在这一天， 种；剩下 人分到剩下两天， 种。安排方法共 种。由分步乘法计数原理，共有 种，故填 。 【易错】一是漏掉「选 人」这一步，直接按 人安排。二是定完「哪一天两人」之后又想乘天数排列——人多那一天是特殊位置，已经由「哪一天」这一步选过，三天分好人就定死了，不能再乘 。三是剩下两天是有区别的（第一天与第二天不是同一天），把剩下两人分过去时要乘 。 【答案】 变式5-2（单选·★★★☆☆） 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 【切入点】逐类挑选，每一类各选一样，是分步乘法。关键在把「荤菜」的范围数清楚。 【关键】主食 种里选 种， 种；素菜 种里选 种， 种；荤菜包括大荤 种与小荤 种，共 种，从中选 种， 种。由分步乘法计数原理，共有 种。故选 B。 【易错】一是把「荤菜」只算大荤，写成 ，正好落进选项 D。二是把大荤与小荤相加之后又相乘，算成 ——题目只要一种荤菜，不是大荤小荤各来一种。三是把三类看成可互换、再乘 ——主食、素菜、荤菜的角色是题给死的，不存在重排。 【答案】B 例6（单选·★★★☆☆） 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【切入点】「恰有两个盒子为空」是「有的盒子用得上、有的用不上」，先决定哪两个盒子空着，再看剩下的两个盒子怎么被放满。 【关键】从 个盒子中选出 个空盒， 种。剩下的 个盒子要装下全部 个球，且都不能空。每个球有 种去向，共 种；减去「 个球全进同一个盒子」的 种，得 种。由分步乘法计数原理，共有 种。故选 B。 【易错】一是把「恰有 个空盒」读成「只用 个盒子」，忘了这两个盒子都必须有球，直接写 ，正好落进选项 C。二是漏掉 里的那两种全同情形。三是顺序颠倒： 只负责选出空盒，不负责选球；先选球再选盒会重复计数。四是「盒子不同」意味着最后不需要再乘或除任何阶乘。 【答案】B 变式6-1（单选·★★★☆☆） 某烘焙店制作了6种面包、5种蛋糕，现从中选取两种面包和一种蛋糕搭配成套餐售卖，若必须搭配在一起，不能搭配在一起，则不同的搭配方案共有（ ） A. 16种 B. 24种 C. 32种 D. 48种 【切入点】「两种面包加一种蛋糕」是分步：先数面包有几种选法，再数蛋糕。两条特殊约束一条管面包内部，一条管面包与蛋糕的搭配。 【关键】面包的选法：要求 搭配在一起，而只选两种面包，所以要么就选 （ 种），要么两种都从 里取， 种。共有 种面包选法。蛋糕从 种里选 种， 种。暂不考虑搭配限制，共 种。扣掉「 与 同时出现」的：面包选法中含 的有 种（另一个从 里取），再配上 ，共 种。所以共有 种。故选 C。 【易错】一是把「 必须搭配在一起」理解成「两者相邻」，去乘顺序。这里是「选」，不分先后，只要求同时被选中。二是面包选法数错：只数了 ，漏掉 这一种。三是扣减时算成 ——蛋糕已经定死是 ，不能再乘 。 【答案】C 至少与至多 含有「至少」「至多」的问法，正面直接数是数得出来的，但要按个数分好几类，容易重也容易漏。 通用的做法是换到反面去数。把「至少一个」的反面看成「一个都没有」，用全部情形减去反面情形；把「至多一个」的反面看成「两个及以上」，同样用全部减去反面。反面情形往往只有一两类，比正面少得多。这就是正难则反。 反面要用总数当底。总数是所有不加限制的情形，先把它算准——这一步错了，后面全错，而且错得看不出来。减的时候要确认反面与题目所问是互补的，不能多减也不能少减。 约束不止一条时，两条约束的反面会出现重叠。用总数直接减去各条约束的反面，会把重叠部分多减一次，要把两者的共同反面加回来。这个加减的节奏不必背，画个简单的示意就能看清重叠在哪里。 还有些题目里的限制看起来不涉及「多少」，比如某两个对象被限定在不同位置、某个对象的去向被固定。这类限制同样可以照上面的思路处理：先放开限制算总数，再减去违反限制的那一类。固定了去向的对象要让开位置，剩下的对象在缩小的范围里继续分配，这时限制变成「剩下的位置每个都要有人」，仍旧回到补集。 最后核对一问：题目要的计数对象是排列还是组合，问的是「选法」「排法」还是「方案」，这决定了要不要乘顺序。 例7（单选·★★★☆☆） 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学。某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 15 【切入点】「至多报一所」就是「不能同时报甲和乙」。用总数减去同时报甲乙的情形最省事，也可以分成两类直接数。 【关键】从 所里选 所， 种。同时报甲、乙的情形：剩下的 所从其余 所中选， 种。所以符合要求的有 种。故选 B。 【易错】一是把「至多报一所」当成「必须报一所」，用 一类的算法，那是「恰报一所」。二是把「至多报一所」读成「甲乙都不报」，得到 ，正好落进选项 C。三是换一条路直接分类：甲、乙都不报有 种，恰报一所有 种，合计 种，与补集法一致。选项 A 的 是漏减了一部分。 【答案】B 变式7-1（单选·★★★☆☆） 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序。若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 【切入点】三条否定式约束，正面按位置分类要分好几层。用容斥：总数减去违反某一条的，再加上同时违反两条的。 【关键】 人的全排列共 种。记第一件事：第一个位置是 或 ，共 种。记第二件事： 排在最后一个，共 种。两件事同时发生：第一个位置是 或 ，最后一个位置是 ，中间 人任意排，共 种。由容斥原理，符合要求的排法为 种。故选 D。 【易错】一是把「 不是第一个」与「 不是第一个」当成两件独立的事各扣一次，那样 、 同时挤在第一个位置附近的情形会被多减。正确做法是合成一件事：第一个位置不是 也不是 ，它的反面就是「第一个是 或 」，共 种。二是漏掉加回重叠的 ，得到 。三是把「 不是最后一个」的反面算成全部 ——只有 在末位的那 种才违反。 【答案】D 例8（填空·★★★☆☆） 甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 【切入点】两人的选择互相独立，各选各的。从反面看，「至少有一人」的补集是「两人都没选」，这一步比正面分类干净得多。 【关键】每人从 个景点中选 个， 种。两人各自独立选择，全部情形共 种。两人都没选广州塔：此时各自从其余 个景点中选 个， 种，共 种。所以「至少有一人选广州塔」的选法共 种，故填 。 【易错】一是正面分类算成「甲选了」加「乙选了」，得 ——「两人都选」被算了两次。二是把「至少有一人选」当成「恰有一人选」。三是两人能不能选到同一批景点：题目没有限制，各选各的，不能按「从 个里取 个再分给两人」的办法算。 【答案】 变式8-1（单选·★★★☆☆） 某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式。每个时段（例如早、晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码：绿波协调对应，红灯截流控制对应，区域协调对应。现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（ ） A. 40 B. 51 C. 131 D. 210 【切入点】问的是 个位置组成的编码中「 至少出现 次」的个数。按出现次数分三类： 个、 个、 个，每一类只差在剩下的位置填什么。 【关键】出现 个 ：先定哪 个位置是 ， 种；剩下 个位置各填 或 ， 种。共 种。出现 个 ： 种。出现 个 ： 种。所以共有 种。故选 B。 【易错】一是把剩下的位置也按 种代码填，写成 ——剩下的位置不能再填 ，否则就落进另外两类，会重复计数。二是三类的边界要按「恰好」理解，三类互不重叠，合起来正好是「不少于 个」。三是换个方向从反面做也可以：，两条路结果一致。 【答案】B 例9（填空·★★★☆☆） 某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行。文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛。根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）。则最终的可能比赛结果共有__________种。 【切入点】文科组、理科组都要有一等奖，这件事先落在「特等奖」身上：谁拿了特等奖，谁所在的那一组就已经有一等奖了。按特等奖归哪一组分两类。 【关键】特等奖出在文科组：文科 人任选 人拿特等奖， 种。此时文科组已经有了，余下 个一等奖必须让理科组至少有 人。从剩下 人中选 人，减去「 人全在文科」的 种，得 种。这一类共 种。特等奖出在理科组：同理有 种，余下从 人中选 人时要求文科组至少有 人， 种。这一类共 种。所以共有 种，故填 。 【易错】一是先按「 个一等奖怎么分组」去做，那样要先确定 人在两组里各几人（只能是 或 ），再扣掉全在一组的情形，绕且容易漏。二是算特等奖出在理科组时，误以为余下 人中理科还剩 人，把 写成 ——拿特等奖的那个人已经从理科里取走了，剩下理科 人。三是漏掉「特等奖也算一等奖」，会重复或漏掉「该组只有特等奖一人」的情形。 【答案】 变式9-1（填空·★★★☆☆） 某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种。 【切入点】「每社区至少一名」是满射计数，「两女不同社区」是在它上面再扣一层。先算所有满射，再减掉两女同社区的。 【关键】 人分到 个社区、每社区不空，按容斥： 种。其中两女同社区的：把两名女性看成一块，这一块与 名男性共 个对象分到 个社区、每社区不空， 种。所以两女在不同社区的安排共 种，故填 。 【易错】一是把「两女同社区」理解成「两女相邻」——这里是分社区，不分先后。二是相减时把两女看成一块、对象数从 变成 ，这是对的；若按 个对象重算会算重。三是直接用 一类的算法：先给两女各定一个不同社区（ 种），再让 名男性任选社区（ 种），得 ，其中「有社区空着」的情形没有排除，比正确答案多。 【答案】 变式9-2（单选·★★★☆☆） 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【切入点】甲的舱位被固定，先让他就位，再分配其余 人，最后保证 、 两舱不空—— 舱已经有甲，不用再操心。 【关键】甲固定在 舱。其余 人每人有 种选择，共 种。扣掉不合要求的： 舱无人时， 人只能去 或 ， 种； 舱无人时同理 种；、 同时无人的只有「 人全去 」这一种。由容斥原理，符合要求的安排为 种。故选 D。 【易错】一是忘了甲也要算进去，只按 人分 舱、每舱不空去算，得到 ，正好落进选项 B。二是扣减时不给重叠部分加回来，得到 。三是把限制读成「甲可以不去 」，那就变成另一道题了。四是要留意 舱不受「至少一人」的约束——甲已经在里面了，剩下的 人一个都不去 也是允许的。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $ 排列组合 计数原理 · 专题篇 相邻与不相邻 排列组合里最常处理的两类位置约束，是「必须挨在一起」与「必须分开」。挨在一起用捆绑：把要求相邻的那几个元素看成一个整体，先与其余元素一起排，再在这个整体的内部排。分开用插空：先把不受约束的元素排好，它们之间连同两端留下若干个空位，再把要求不相邻的元素放进不同的空位。这两招是同一件事的两面，都靠「先排没有约束的，再安顿有约束的」。 用捆绑时有一个动作不能省：内部排列的种数要单独乘。整体之间的排列只解决「这一块放在哪里」，块里谁左谁右还没有定。 用插空时先数清楚空位的个数，别凭感觉。若干个元素排好后形成的空位是元素个数加一，两端也算；这一步数错，后面全错。 两类约束同时出现时，先捆绑后插空，顺序不能颠倒。反过来先插空、再让捆绑出来的整体去占空位，会把已经排好的位置结构打乱。 「不相邻」的题目里常夹着别的限制，这时直接算往往比排除省事：把约束按类拆开分别计数再相加，比先算总数再往回扣掉不合格的情形更不容易漏项。哪种算法更稳，要看约束落在谁身上。 最后一步永远是核对：算出来的是排列还是组合，需不需要乘内部顺序，题目问的是「种数」还是别的量。 例1（单选·★☆☆☆☆） 某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 例2（填空·★★★☆☆） 甲、乙、丙、丁、戊、己共6人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（ ） A. 24 B. 60 C. 120 D. 240 变式2-2（填空·★★★☆☆） 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法。 例3（填空·★★★☆☆） 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种。 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种。 变式3-2（单选·★★★☆☆） 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种。 A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 分组与分配 把若干个不同的对象分成若干组、再分给若干个去向，这类问题要连着问两件事：怎么分组，以及分给谁。 分组的第一步是确定每组的人数。人数互不相同时，按人数依次把对象选出来即可。人数出现相同的小组时，按人数依次选会把同一套分组重复数出来——两组各两人，先选出的那一组与后选出的那一组交换顺序，得到的是同一套分组；重复了几组就要除以几的阶乘。这是分组问题里唯一需要主动作除法的地方，其他位置一律只做乘法。 分完组之后看去向。去向是有名字的（不同的人、不同的地点），组与组之间还要再排一次，乘上组数的阶乘；题目只要求「分成几组」时这一步就不乘。同一个式子里既有选又有排，写的时候要能看出每一步在做什么。 如果题目直接给出了每个去向的人数，那就跳过分组，按去向逐个选人，选完即止。 还有一类问法是「恰好有几个位置空着」。空位置先挑定，再要求剩下的对象在选中的位置上每个至少一个；这时用「先放开分配、扣掉有空位置的情形」，比逐类列举清爽得多。 最后核对：分完组不分配，方案数就是分组的种数；再分给有名字的去向，才要乘那一层阶乘。 例4（单选·★★★☆☆） 将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 变式4-1（单选·★★★☆☆） 黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（ ） A. 81 B. 72 C. 36 D. 12 例5（单选·★★★☆☆） 将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 180种 变式5-1（填空·★★★☆☆） 从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有__________种安排方法（用数字作答） 变式5-2（单选·★★★☆☆） 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 例6（单选·★★★☆☆） 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 变式6-1（单选·★★★☆☆） 某烘焙店制作了6种面包、5种蛋糕，现从中选取两种面包和一种蛋糕搭配成套餐售卖，若必须搭配在一起，不能搭配在一起，则不同的搭配方案共有（ ） A. 16种 B. 24种 C. 32种 D. 48种 至少与至多 含有「至少」「至多」的问法，正面直接数是数得出来的，但要按个数分好几类，容易重也容易漏。 通用的做法是换到反面去数。把「至少一个」的反面看成「一个都没有」，用全部情形减去反面情形；把「至多一个」的反面看成「两个及以上」，同样用全部减去反面。反面情形往往只有一两类，比正面少得多。这就是正难则反。 反面要用总数当底。总数是所有不加限制的情形，先把它算准——这一步错了，后面全错，而且错得看不出来。减的时候要确认反面与题目所问是互补的，不能多减也不能少减。 约束不止一条时，两条约束的反面会出现重叠。用总数直接减去各条约束的反面，会把重叠部分多减一次，要把两者的共同反面加回来。这个加减的节奏不必背，画个简单的示意就能看清重叠在哪里。 还有些题目里的限制看起来不涉及「多少」，比如某两个对象被限定在不同位置、某个对象的去向被固定。这类限制同样可以照上面的思路处理：先放开限制算总数，再减去违反限制的那一类。固定了去向的对象要让开位置，剩下的对象在缩小的范围里继续分配，这时限制变成「剩下的位置每个都要有人」，仍旧回到补集。 最后核对一问：题目要的计数对象是排列还是组合，问的是「选法」「排法」还是「方案」，这决定了要不要乘顺序。 例7（单选·★★★☆☆） 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学。某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 15 变式7-1（单选·★★★☆☆） 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序。若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 例8（填空·★★★☆☆） 甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 变式8-1（单选·★★★☆☆） 某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率，实时监测并记录各路口信号灯的运行模式。每个时段（例如早、晚高峰或特定监控周期）的运行模式对应一个代码：绿波协调对应，红灯截流控制对应，区域协调对应。现按时间顺序记录某路口5个时段的运行模式，如编码表示5个时段中第1，3时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这5个时段的运行模式中出现绿波协调不少于3个的所有可能种数为（ ） A. 40 B. 51 C. 131 D. 210 例9（填空·★★★☆☆） 某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行。文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛。根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）。则最终的可能比赛结果共有__________种。 变式9-1（填空·★★★☆☆） 某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种。 变式9-2（单选·★★★☆☆） 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 学科网（北京）股份有限公司 $