第8讲轨迹、存在性与向量讲义-2027届高三数学一轮复习

轨迹、存在性与向量 解析几何 · 专题篇 一 轨迹方程 一、三种求法。 定义法：判断动点满足「到定点的距离」「到定直线的距离」的哪种关系，直接对应椭圆、双曲线、抛物线。 直接法：设动点 ，把条件写成等式，化简。 相关点法：动点随另一个已知曲线上的点运动，用已知点的坐标表示动点，再代回已知曲线。 ★ 三种方法的选择看题干：出现「焦点」「准线」「距离之和／差」就是定义法；出现「某点为中点」「某点为三等分点」就是相关点法。 二、定义法的判据表。 （）→ 椭圆；（）→ 双曲线；（到定直线）→ 抛物线。 ★ 括号里的条件不能省。 时轨迹是线段（或射线），不是椭圆（或双曲线）。 三、轨迹的「范围」不能丢。 求出方程后要注明：去掉使分母为零的点、限制在某个区域内（如「三角形为锐角」限制横坐标）、只取一段弧。 ★ 本节有一道题由「锐角三角形」得 ，轨迹是双曲线截在带形内的一段，而不是整条双曲线。这类范围正是选择题的区分点。 四、对称型与存在性里的轨迹。 「存在两点关于某直线对称」先设弦的方程，用点差法得中点，再要求中点落在对称轴上。 ★ 这一步之后还要验 ，而 往往正好给出参数的取值范围。 五、轨迹与向量的耦合。 型条件，先把 的坐标写成 、 的式子，再由 、 的约束（如 ）消参得轨迹。 ★ 本节有一道题正是这样得到一条直线，再求该直线上的点到抛物线的最近距离。 例1（多选·★★★☆☆） 椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】椭圆上存在两点关于直线 对称 ——先设弦 的方程（斜率是 ），再用点差法求中点。 【关键】设 ，与椭圆联立消去 得 。 由 得 。 中点纵坐标 ，再由 得 ，故 。 在对称轴 上，故 ，即 ；由 得 ，选 A。 【易错】第一，对称轴 的斜率是 ，故弦 的斜率是 （垂直）。第二，中点必须落在对称轴上，这是 与 的关系式来源。第三，最后要靠 定 的范围 —— 只解出中点关系不验判别式，会把 写成全体实数。 【答案】 变式1-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在双曲线右支上， 平分角且 ——延长构造等腰三角形，再用中位线。 【关键】延长 与 交于 ；由角平分线加垂直得 、，故 是 的中点。 又 是 的中点，故 是 的中位线，。 双曲线 中 ，故 ，轨迹为圆 ；再由 在右支上的位置限制横坐标，得 ，选 A。 【易错】第一，「角平分线 + 垂直」构造等腰是本题的核心手法，延长后 的位置要画准。第二，，故 。第三，横坐标范围来自 在右支上（双曲线右支的 ）。 【答案】 变式1-2（填空·★★★★☆） 已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______。 【切入点】圆过椭圆的两个焦点，故圆的半径就是 ；要求四边形 为矩形 ——由 、 知 、 是圆的切线。 【关键】若 为矩形，则 ；又 ，故它其实是正方形，对角线 。 而 在椭圆上，椭圆上点到中心的距离满足 ，故 。 由 得 ；由 得 ，即 、。 故 。 【易错】第一，矩形加 得正方形，故 。第二， 在椭圆上，这一点决定了 这个夹逼关系。第三，两端都能取到（ 与 ），故为闭区间。 【答案】 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________。 【切入点】 是两个单位向量之和 ——它的方向正是 的内角平分线。 【关键】、，由角平分线定理，该方向与 轴的交点把 按 内分。 设 、，则 可表示为 的函数；再由 在抛物线 上求该比值的极值。 代入求得 的最大值为 。 【易错】第一，单位向量之和的方向是内角平分线，不是外角。第二，角平分线与 轴的交点坐标由内分比给出，分子分母的顺序别写反。第三， 的极值要在 限定在抛物线上时求，不能当成任意点。 【答案】 变式1-4（填空·★★★☆☆） 在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与。双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）。若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______。 【切入点】「双曲狭缝」是一个立体模型 ——直杆穿过两块立板的狭缝，交点的轨迹是双曲线。先把模型投影到一个平面上。 【关键】由 、 与 得 ；设交点的坐标为 ，用勾股定理把「 到轴的距离」与「 到板的距离」联系起来。 化简得 的形式，代入题给数据得 。 【易错】第一，这类题的关键是「投影」—— 把三维的交点落到一个平面上，才能写坐标方程。第二， 由「杆与轴成定角」得到，是建立方程的角度条件。第三，双曲线的 、 由题给的两个长度确定，不要与 混。 【答案】 变式1-5（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为。若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______。 【切入点】 ——用 的坐标表示 ，再代回椭圆方程。 【关键】设 、，由向量关系得 、。 把 代入椭圆方程，结合 也在椭圆上，消去 得关于 的关系；再由 列出不等式。 解不等式得 。 【易错】第一， 的坐标展开是「后减前」，即 。第二，两点都在椭圆上是关键，两组方程相减才能消去 。第三， 的范围 给出 的不等式。 【答案】 变式1-6（多选·★★★★☆） 已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 曲线形成封闭图形的面积大于 C. 当时，线段中点的轨迹与曲线相切 D. 当时，直线与曲线相切 【切入点】曲线 ——先看它的对称性与大致形状。 第一项：由绝对值的特征，曲线关于 轴、 轴、、 都对称，共 条对称轴，正确。 第二项：第一象限内 与两坐标轴围成的面积，用换元算出为 一类，整条曲线围成的面积小于选项所给值，错误。 第三项： 时，线段 的中点轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，再由对称性判断交点数，正确。 第四项：设直线 的方程与曲线联立，由 的条件解出一组解，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 不是椭圆，它是「星形线」型的曲线，四段抛物线弧拼成。第二，面积要分段算，不能直接套椭圆面积公式。第三，中点的轨迹是圆，半径是原弦长的一半的一半（由相似关系）。 【答案】 变式1-7（多选·★★★☆☆） 在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A. 长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C. 实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 【切入点】锐角三角形 中 ，给 ——先建系，把各量写成坐标。 【关键】以 所在直线为 轴、 中点为原点建系，则 、，设 、。 代入条件得 ，化简得 。 由「锐角三角形」得 ，故轨迹是双曲线截在带形内的一段；该双曲线 、、，实轴长 、离心率 ——与选项对照，选 D（实轴长 、离心率 的另一支）。 【易错】第一，建系时把 的中点放原点，、 的坐标才是 。第二，，化简后 ，即 。第三，「锐角」给出的 范围决定了轨迹只取一段 —— 这是本题最容易被忽略的地方。 【答案】 变式1-8（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，点，，向量，且，若为抛物线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 且 —— 先写出 的坐标，再消参。 【关键】、，故 ；由 得 。 消去 得 在直线 上。 所求为「该直线上的点到抛物线的最近距离」，取与直线平行、与抛物线相切的切线，两平行线间的距离即所求，得 ，选 A。 【易错】第一， 即 ，代入后 的坐标只含 ，消参得直线。第二，、 的坐标代入时要按 、 的系数配对。第三，最近距离用「平行切线法」，不是直接求点到抛物线的距离函数。 【答案】 二 存在性问题 一、存在性题的固定格式。 设出待定的点或直线（带参数），把条件翻成方程；解方程得参数，再验「解是否落在允许范围内」。 ★ 三步缺一不可。最常见的错法是解出参数就下结论，忘了验 或参数的范围。 二、含参曲线先讨论类型。 方程含参数 时，先由分母的正负判断是椭圆还是双曲线，这一步给出 的范围。 ★ 例如 ：两分母异号才是双曲线，故 。这个范围是后面所有讨论的前提。 三、共焦点与离心率的关系。 椭圆与双曲线若共用同一个 （如 与 ），则 一类组合常为定值。 ★ 先写出 、 的表达式，再看组合后的结果 —— 这类题往往一步化到常数。 四、相切与「唯一公共点」。 直线与双曲线、抛物线「有唯一公共点」有两种可能：相切（），或与渐近线平行。 ★ 前者给出 这类关系，后者要单独讨论 —— 本节有一道题正是靠切点坐标消参得轨迹。 五、求轨迹时的消参技巧。 先由相切条件得参数关系，再把动点坐标写成参数的函数，联立消参即得轨迹方程。 ★ 消参前要确认「两个参数方程」是独立的，否则消不干净，剩下的式子还会含参。 六、本节十道题的四类存在性。 第一类「含参曲线」：由分母符号定 的范围，再逐项判断 —— 盘锦-10 与锦州-09 都是这一类。 第二类「存在某点使某条件成立」：设点、列方程、验范围，四步里最后一步最容易漏（铜陵-11 的第四项、赣州一模-11 的第三项）。 第三类「相切与唯一公共点」： 给出参数关系，再把切点坐标写成参数的函数消参（菏泽-08 是典型）。 第四类「几何图形的存在」：如椭圆上存在三点构成正方形（苏北四市-07），靠对称性定点，再代方程。 ★ 四类的共同要求是「验证」。存在性题不验范围、不验判别式，答案就会把「不存在」写成「存在」—— 这是本类题的失分主因。 例2（多选·★★★☆☆） 已知双曲线C：，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C的焦距与m的取值无关 C. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D. 存在实数，使得点在C上 【切入点】方程 含参数 ——先由分母异号判定它是双曲线，得 的范围。 第一项：两个分母异号，故 ，即 ，正确。 第二项：、，，故 、焦距 ，与 无关，正确。 第三项：，由 得 ，即 ，结合 得 ，正确。 第四项：把 代入双曲线方程，得 ，整理后在 内无解，错误。故选 ABC。 【易错】第一，双曲线的判定是「两分母异号」，不是「有一个为负」—— 且 同时成立才是双曲线。第二， 中 、，相加恰为 ，这是焦距与 无关的原因。第三，第四项要说明「无解」，不能只算出方程就结束。 【答案】 变式2-1（多选·★★★☆☆） 椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A. 与有且只有两个公共点 B. C. 若，则 D. 使成立的值不存在 【切入点】椭圆 与双曲线 共用同一个 ——由椭圆要求 。 第一项：联立两曲线方程，相加得 、，故只有两个横轴交点，正确。 第二项：、，故 ，错误。 第三项：由 平方得 ，解得 ，此时 ，正确。 第四项：联立双曲线的渐近线与椭圆，求出满足 条件的点，存在，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 中分子是 （椭圆 、、）。第二， 中分子是 （双曲线 ）。第三，第三项平方后要注意 （因 ），可直接约分。 【答案】 变式2-2（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左右顶点分别为为在第一象限内的一点，线段与的渐近线分别相交于两点，记，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. D. 的面积等于 【切入点】双曲线 的两顶点 、， 在第一象限， 与渐近线交于 ，再引出 与两个角 、。 第一项：若 ，代入坐标后得到的方程在 的允许范围内无解，故不存在，错误。 第二项：联立直线 与渐近线求出 、 的坐标，验证 ，正确。 第三项：由两条直线的斜率与倾角关系得 ，正确。 第四项： 的面积用底 与高 表示，结合 在双曲线上化简得定值，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 是左顶点 ，直线 的斜率与 的位置有关。第二， 来自两条直线的垂直关系，不是任意两角之差。第三，面积用 作高，因 在 轴上。 【答案】 变式2-3（多选·★★★★☆） 已知，为抛物线C：上异于原点O的两个动点，且，作交直线AB于点N，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 存在一个定点Q，使得为定值 D. 【切入点】、 在抛物线 上，给垂直关系——先设直线 。 第一项：联立得 ，由垂直条件推出的定点是 一类，与选项所给 不符，错误。 第二项：，由韦达代入后得起下界 ，正确。 第三项：设 为 的中点，由定点与圆的性质得存在定点 使 为定值，正确。 第四项： 用韦达化简后为定值，正确。故选 BCD。 【易错】第一，定点坐标由 与垂直条件联立求出，符号别弄反。第二，弦长下界 对应通径，即 轴时。第三，第三项是「定值」型，要先证明中点轨迹是圆，再取圆心作 。 【答案】 变式2-4（单选·★★★★☆） 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】右焦点 ，故 ； 的中点为 ，而 在圆 上 ——先把 的坐标写出来。 【关键】设 ，则 ；由 在双曲线上得 一类关系。 再由直线 与圆 有公共点，得圆心到该直线的距离不超过半径：。 化简得 ，故 、，即 ，选 B。 【易错】第一， 由右焦点坐标直接读出。第二，圆心到直线的距离公式里分子是 ，来自圆心的横坐标与直线的常数项。第三， 是双曲线的公式， 开方得 的下界。 【答案】 变式2-5（单选·★★★★☆） 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】椭圆上存在三点 、、 使四边形 为正方形 ——由对称性定 、 的位置。 【关键】正方形 中 ，故 ；结合两点都在椭圆上，解得 、 关于 对称。 设 、，代入椭圆方程得 与 两式。 两式相减得 ，故 ；回代求出 与 、 的关系，再算离心率得 ，选 D。 【易错】第一，正方形的对称性给出 、 关于 对称，这一步是解题的关键。第二，两式相减后 （椭圆），故只能 。第三， 是正方形第四个顶点，它的坐标由 、 确定，也要在椭圆上 —— 这是本题容易漏的条件。 【答案】 变式3-1（多选·★★★★☆） 对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ） A. B. C. D. 【切入点】「存在过 的直线与双曲线交于两点」——先由点差法得直线的斜率。 【关键】设 、 在双曲线上，两点代入后作差得 （用中点 化简）。 再把直线与双曲线联立，要求化简后的二次方程有两个解，即 。 逐项代入： 与 满足 ，故选 AD。 【易错】第一，点差法给出的是斜率表达式，还要联立验证 —— 这一步正是「存在性」的判定。第二， 在双曲线内部还是外部会影响答案，要逐项检验。第三，选项给的是 的具体值，代入后算 再验判别式。 【答案】 变式3-2（多选·★★★★☆） 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”。已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为4 C. 过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D. 椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 【切入点】给出「倒椭圆」 的定义 ——逐项对比原椭圆的性质。 第一项：、、，故 ，正确。 第二项：设 在倒椭圆上，由基本不等式求 的最小值，结果与选项所给 不符，错误。 第三项：过 作两坐标轴的垂线，垂足为 、，直线 与椭圆联立后 ，即 是椭圆的切线，正确。 第四项：求出倒椭圆中变量的范围，说明 、 与其无交点，故至少有四条切线与倒椭圆无交点，正确。故选 ACD。 【易错】第一，「倒椭圆」是把椭圆的 、 与 、 互换位置，它的图形与椭圆完全不同。第二，切线判据是「联立后 」，要真的算出判别式。第三，第四项用「无交点」判「切线不相交」，逻辑上要先说明切线的位置。 【答案】 变式3-3（多选·★★★★☆） 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点的横坐标为 【切入点】四项都是「存在点 使……」——先把 的坐标设出来，再逐条验证。 第一项：渐近线斜率为 ，若 则存在斜率为 的 ，由离心率条件可判定存在，正确。 第二项：若 ，则 ，由此求出 的横坐标并检验在双曲线上，正确。 第三项： 化为两点距离不等式，求出 的横坐标与允许范围比较，发现不满足，错误。 第四项：由点差法得 的关系，解出 的横坐标可以为 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一，四项都要求「存在」，所以只要能找到一个满足条件的 即可，不必对所有 成立。第二，直角条件用向量数量积为零，比用余弦定理快。第三，点差法的结论 里 是弦的中点。 【答案】 变式3-4（单选·★★★★☆） 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】直线与双曲线有唯一公共点 ——说明相切，用 得参数关系。 【关键】联立 与 ，消去 后令判别式为零，化简得 。 切点 的坐标为 ；设 ，则 、。 由 与 、 联立消参，得 一类，选 C。 【易错】第一， 里的 来自双曲线的 ，推导时 化简即得。第二，切点坐标由韦达给出，注意符号（ 是 ）。第三，消参时要把 、 都用 、 表示，再代回参数关系。 【答案】 三 向量条件 一、向量条件要翻译成坐标等式。 共线：（坐标成比例）；垂直：数量积为零；相等：对应坐标相等。 ★ 三种里「共线」最容易出错 —— 要写成分量成比例，且注意分母为零的情形（竖直向量）。 二、数量积的两种算法。 坐标式：；定义式：。 ★ 求「最值」用定义式（配合余弦的范围），求「定值」用坐标式（配合韦达）。 三、投影的坐标表达。 在 上的投影为 ，是数量（可正可负），不是向量。 ★ 本节有一道题用「投影数量为 」定方程，负号表示方向相反 —— 这个符号不能丢。 四、向量与轨迹的耦合。 这类式子，先把 的坐标写成 的坐标的平移，再用相关点法。 ★ 平移型最简单：轨迹就是把原曲线整体平移，圆心、焦点跟着平移同样的向量。 五、向量与焦点弦的结合。 表示 内分 ，比值为 ；配合焦半径公式可直接解出弦的位置。 ★ 这是「焦点弦」与「向量」结合的最常见形式， 的值往往直接给出倾斜角。 六、本节七道题的三类用法。 第一类「向量定轨迹」： 型平移，或「差向量的模为定值」型圆，都归到相关点法。 第二类「向量判位置」：数量积为零得垂直，投影为定值得投影长，把几何位置翻成代数等式。 第三类「向量作约束」：三点纵坐标之和为零、 这类，用来配合韦达定值。 ★ 三类的共同点是「先把向量写成坐标，再算」，千万不要停在「由向量关系知⋯⋯」这一句上 ——向量题的失分大多是把等式写成了描述。 例3（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 若直线的斜率分别为，则 D. 【切入点】抛物线上三点 、、 的纵坐标之和为零 ——由韦达得横坐标之和，再逐项判断。 第一项：由焦半径公式 ，故 ；由 推出 ，故和为 ，正确。 第二项：由 与 用均值不等式得 的上界，从而 有上界，故「存在 」不成立，错误。 第三项：由 两式相减得 ，故 可化为纵坐标的组合，结合 得定值，正确。 第四项： 化为 ，由约束条件算出定值，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 是抛物线 的焦半径公式（）。第二，第二项要证「不存在」，需给出 的上界，不能只算一个值。第三，斜率的表达式 由两点式与 联立化简得到。 【答案】 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】双曲线上「不存在以 为中点的弦」——这个条件要翻成两个不等式。 【关键】点 必须在双曲线外部或曲线上：，即 、。 同时中点弦的斜率 （由点差法与双曲线两支的位置关系得出）。 两式联立解得 的范围，再代入 ，得 ，选 C。 【易错】第一，双曲线焦点在 轴上（），代入点的坐标时分母的位置与常规相反。第二，「不存在中点弦」等价于「中点在曲线外部或曲线上」，用的是小于等于而不是严格小于。第三， 中 是虚半轴，与焦点在 轴时的公式一致。 【答案】 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点。则下列说法正确的是（ ） A. B. 点的轨迹方程为 C. 的取值范围是 D. 点到直线距离的最小值为 【切入点】 ——这是「 是 平移 」，用相关点法。 第一项：由 ，故 ，正确。 第二项： 的坐标是 的坐标加 ，故 的轨迹是圆 平移 后的圆，圆心为 ，即 一类，正确。 第三项： 用坐标表示后化为余弦型函数，由余弦的范围得最值，与选项不符，错误。 第四项： 到直线 的距离最小值等于「圆心到 的距离减半径」，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 说明 与 平行且等长，这是平移的判据。第二，圆平移后圆心跟着移动同样的向量，半径不变。第三，点到直线的最近距离要减半径，别忘了这一步。 【答案】 变式3-3（多选·★★★☆☆） 已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 圆心C的轨迹方程为 B. 圆C过定点 C. 当时，的最小值为15 D. 当时，四边形的面积的最小值为 【切入点】圆的方程含参数 ， 在定直线上，、 是切线 —— 先定圆心轨迹与定点。 第一项：圆心 ，消去 得轨迹 一类，与选项所给方程对照，错误。 第二项：把圆的方程按 整理，令 的系数与常数项分别为零，解得定点 ，正确。 第三项： 时圆心确定， 用切线长与夹角表示，化简后与选项一致，正确。 第四项：四边形 由两个全等直角三角形拼成，面积为 ；由圆心到直线的距离减半径得 的最小值，面积最小值为 一类，正确。故选 BCD。 【易错】第一，圆心横坐标是 （配方后取相反数的一半），符号容易错。第二，「圆过定点」的判法是「整理成关于 的一次式，令系数与常数项同时为零」。第三，四边形面积等于两个直角三角形之和，每个的面积是 。 【答案】 变式4-1（多选·★★★★☆） 如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【切入点】折叠后点 落在边 上，折痕是 的垂直平分线 ——这是判轨迹的关键。 【关键】设折痕上任意点为 ，由「折痕是垂直平分线」得 。 又 ，故 就是 到直线 的距离。 于是「 到定点 的距离 = 到定直线 的距离」，由抛物线定义得轨迹为抛物线，选 D。 【易错】第一，折叠的性质是「折痕垂直平分对应点的连线」，这一步是全部推理的基础。第二， 说明 是 到 的垂足，故 等于到直线的距离。第三，判据是「到定点距离 = 到定直线距离」，而不是「到两点距离之和」。 【答案】 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【切入点】 是两点间距离 ——把 、 看作点 、 的位置向量。 【关键】 对应点 ；条件 说明 在以 为圆心、 为半径的圆上。 再把另一个条件（ 与某向量的关系）化成 到定直线的距离，由抛物线的定义确定 的轨迹。 结合图形求 的最值，得 ，选 A。 【易错】第一， 是差向量的模，等于两点间距离。第二，两个条件分别给出「圆」与「到定直线距离」，联立才能定轨迹。第三，最值要在轨迹上取，不能取圆心到原点的距离。 【答案】 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【切入点】 的焦点 恰是 的顶点 ——由顶点坐标直接定 。 第一项： 的焦点为 ， 的顶点为 ，故 ，正确。 第二项：联立两抛物线求出 、 的坐标，作数量积 ，结果与选项一致，正确。 第三项：由抛物线的定义 等于 到准线的距离，代入 的纵坐标得 一类，正确。 第四项： 在 上的投影为 ，是数量而非向量，与选项所给形式不符，错误。故选 ABD。 【易错】第一， 的焦点 由 中 得到。第二， 的顶点在 ，令它等于焦点坐标即得 。第三，投影是数量，若选项给的是向量形式，要看它是否写成 。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 轨迹、存在性与向量 解析几何 · 专题篇 一 轨迹方程 一、三种求法。 定义法：判断动点满足「到定点的距离」「到定直线的距离」的哪种关系，直接对应椭圆、双曲线、抛物线。 直接法：设动点 ，把条件写成等式，化简。 相关点法：动点随另一个已知曲线上的点运动，用已知点的坐标表示动点，再代回已知曲线。 ★ 三种方法的选择看题干：出现「焦点」「准线」「距离之和／差」就是定义法；出现「某点为中点」「某点为三等分点」就是相关点法。 二、定义法的判据表。 （）→ 椭圆；（）→ 双曲线；（到定直线）→ 抛物线。 ★ 括号里的条件不能省。 时轨迹是线段（或射线），不是椭圆（或双曲线）。 三、轨迹的「范围」不能丢。 求出方程后要注明：去掉使分母为零的点、限制在某个区域内（如「三角形为锐角」限制横坐标）、只取一段弧。 ★ 本节有一道题由「锐角三角形」得 ，轨迹是双曲线截在带形内的一段，而不是整条双曲线。这类范围正是选择题的区分点。 四、对称型与存在性里的轨迹。 「存在两点关于某直线对称」先设弦的方程，用点差法得中点，再要求中点落在对称轴上。 ★ 这一步之后还要验 ，而 往往正好给出参数的取值范围。 五、轨迹与向量的耦合。 型条件，先把 的坐标写成 、 的式子，再由 、 的约束（如 ）消参得轨迹。 ★ 本节有一道题正是这样得到一条直线，再求该直线上的点到抛物线的最近距离。 例1（多选·★★★☆☆） 椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（填空·★★★★☆） 已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______。 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________。 变式1-4（填空·★★★☆☆） 在某市科技馆举行的“科普进校园”活动中，“双曲狭缝”实验立板面吸引了众多学生参与。双曲狭缝模型如图所示，直杆PQ与固定轴l成一定夹角，且均和连杆OA垂直，连杆OA绕固定轴l旋转过程中，带动直杆PQ旋转，直杆PQ始终穿过立板上的双曲狭缝（双曲狭缝即为直杆运动轨迹（双曲面）被立板面截取的双曲线的一部分）。若直杆PQ与固定轴l所成角的大小为60°，连杆OA的长度为3，以O为坐标原点，固定轴l所在直线为y轴，则该双曲线的标准方程为______。 变式1-5（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为。若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______。 变式1-6（多选·★★★★☆） 已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线有4条对称轴 B. 曲线形成封闭图形的面积大于 C. 当时，线段中点的轨迹与曲线相切 D. 当时，直线与曲线相切 变式1-7（多选·★★★☆☆） 在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A. 长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C. 实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 变式1-8（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，点，，向量，且，若为抛物线上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二 存在性问题 一、存在性题的固定格式。 设出待定的点或直线（带参数），把条件翻成方程；解方程得参数，再验「解是否落在允许范围内」。 ★ 三步缺一不可。最常见的错法是解出参数就下结论，忘了验 或参数的范围。 二、含参曲线先讨论类型。 方程含参数 时，先由分母的正负判断是椭圆还是双曲线，这一步给出 的范围。 ★ 例如 ：两分母异号才是双曲线，故 。这个范围是后面所有讨论的前提。 三、共焦点与离心率的关系。 椭圆与双曲线若共用同一个 （如 与 ），则 一类组合常为定值。 ★ 先写出 、 的表达式，再看组合后的结果 —— 这类题往往一步化到常数。 四、相切与「唯一公共点」。 直线与双曲线、抛物线「有唯一公共点」有两种可能：相切（），或与渐近线平行。 ★ 前者给出 这类关系，后者要单独讨论 —— 本节有一道题正是靠切点坐标消参得轨迹。 五、求轨迹时的消参技巧。 先由相切条件得参数关系，再把动点坐标写成参数的函数，联立消参即得轨迹方程。 ★ 消参前要确认「两个参数方程」是独立的，否则消不干净，剩下的式子还会含参。 六、本节十道题的四类存在性。 第一类「含参曲线」：由分母符号定 的范围，再逐项判断 —— 盘锦-10 与锦州-09 都是这一类。 第二类「存在某点使某条件成立」：设点、列方程、验范围，四步里最后一步最容易漏（铜陵-11 的第四项、赣州一模-11 的第三项）。 第三类「相切与唯一公共点」： 给出参数关系，再把切点坐标写成参数的函数消参（菏泽-08 是典型）。 第四类「几何图形的存在」：如椭圆上存在三点构成正方形（苏北四市-07），靠对称性定点，再代方程。 ★ 四类的共同要求是「验证」。存在性题不验范围、不验判别式，答案就会把「不存在」写成「存在」—— 这是本类题的失分主因。 例2（多选·★★★☆☆） 已知双曲线C：，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C的焦距与m的取值无关 C. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D. 存在实数，使得点在C上 变式2-1（多选·★★★☆☆） 椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（） A. 与有且只有两个公共点 B. C. 若，则 D. 使成立的值不存在 变式2-2（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左右顶点分别为为在第一象限内的一点，线段与的渐近线分别相交于两点，记，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. D. 的面积等于 变式2-3（多选·★★★★☆） 已知，为抛物线C：上异于原点O的两个动点，且，作交直线AB于点N，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 存在一个定点Q，使得为定值 D. 变式2-4（单选·★★★★☆） 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式2-5（单选·★★★★☆） 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（多选·★★★★☆） 对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ） A. B. C. D. 变式3-2（多选·★★★★☆） 定义曲线为椭圆的“倒椭圆”。已知椭圆的方程为，其倒椭圆的方程为，O为坐标原点，P为曲线上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率 B. 的最小值为4 C. 过点P作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则直线一定与椭圆相切 D. 椭圆上至少存在四条切线与曲线没有公共点 变式3-3（多选·★★★★☆） 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点的横坐标为 变式3-4（单选·★★★★☆） 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 三 向量条件 一、向量条件要翻译成坐标等式。 共线：（坐标成比例）；垂直：数量积为零；相等：对应坐标相等。 ★ 三种里「共线」最容易出错 —— 要写成分量成比例，且注意分母为零的情形（竖直向量）。 二、数量积的两种算法。 坐标式：；定义式：。 ★ 求「最值」用定义式（配合余弦的范围），求「定值」用坐标式（配合韦达）。 三、投影的坐标表达。 在 上的投影为 ，是数量（可正可负），不是向量。 ★ 本节有一道题用「投影数量为 」定方程，负号表示方向相反 —— 这个符号不能丢。 四、向量与轨迹的耦合。 这类式子，先把 的坐标写成 的坐标的平移，再用相关点法。 ★ 平移型最简单：轨迹就是把原曲线整体平移，圆心、焦点跟着平移同样的向量。 五、向量与焦点弦的结合。 表示 内分 ，比值为 ；配合焦半径公式可直接解出弦的位置。 ★ 这是「焦点弦」与「向量」结合的最常见形式， 的值往往直接给出倾斜角。 六、本节七道题的三类用法。 第一类「向量定轨迹」： 型平移，或「差向量的模为定值」型圆，都归到相关点法。 第二类「向量判位置」：数量积为零得垂直，投影为定值得投影长，把几何位置翻成代数等式。 第三类「向量作约束」：三点纵坐标之和为零、 这类，用来配合韦达定值。 ★ 三类的共同点是「先把向量写成坐标，再算」，千万不要停在「由向量关系知⋯⋯」这一句上 ——向量题的失分大多是把等式写成了描述。 例3（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得 C. 若直线的斜率分别为，则 D. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点。则下列说法正确的是（ ） A. B. 点的轨迹方程为 C. 的取值范围是 D. 点到直线距离的最小值为 变式3-3（多选·★★★☆☆） 已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 圆心C的轨迹方程为 B. 圆C过定点 C. 当时，的最小值为15 D. 当时，四边形的面积的最小值为 变式4-1（多选·★★★★☆） 如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 变式4-3（多选·★★★☆☆） 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为抛物线：的顶点，且与交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 学科网（北京）股份有限公司 $