函数与导数专题第17讲存在性与双变量量词讲义-2027届高三数学一轮复习

存在性与双变量量词 函数与导数 · 专题篇 ∃ 型 一、把「存在」翻成「值域」 ，使 ，等价于 在 上的最大值； ，使 ，等价于 在 上的最小值。 方程 在 上有解，等价于 落在 在 上的值域内。 二、与「恒成立」的区别只在夹的方向 「对任意」夹得紧，参数与反侧最值比较；「存在」放得松，参数与同侧最值比较。同一个不等式，量词一换，答案常常就从闭区间变成开区间。 三、判「存在」的三步 第一步，把参数分离到一侧，得到 （或 ）； 第二步，求 在 上的最值 —— 存在型取的是最值的那一侧，不要把大小号取反； 第三步，判等号：最值能取到就写 ，只在端点以极限方式逼近就写 小于。 四、含绝对值的「有解」 先把绝对值按 所在的区间拆开，把不等式化成不含绝对值的一次或二次式，再对各段分别求最值，最后取并集（存在型是并集，不是交集）。 五、新定义题里的「存在」 新定义给出一个存在性的条件，此时先把「存在」直接翻译成方程有解，再把参数解出来、求这个解关于自变量的值域；若自变量被限制在闭区间上，还要用端点值卡出参数的上界。 六、把「存在」改写成「值域」的三种落点 落点一：，，落点是 ； 落点二：，，落点是 ； 落点三：方程 在 上有解，落点是 属于 在 上的值域。三者的共同点是先把参数解出来、再求另一侧的值域。 七、存在型与恒成立的四句话对照 对任意 ，，则 ；存在 ，，则 ；对任意 ，，则 ；存在 ，，则 。四句话只有「最小／最大」两个字在换，抄题时先把量词圈出来再动笔。 例1（单选·★★☆☆☆） 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】把含 的项归到一侧：。区间是 ，所以 ，可以直接除。 【关键】由 知 ，故条件等价于存在 使 ，即 小于 在 上的最大值。，故 在 上递减。当 时 ，故 的上确界是 、取不到。所以 。选 C。 【易错】存在型取的是最大的那一侧，不是最小；本题上确界在端点 处取不到，所以只能写严格不等式，写成 就多收了端点。 【答案】C 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 里有绝对值，用三角不等式先给出下界，再判断等号能不能取。 【关键】。由 ，且等号当 时成立。存在非零 使上式为零，即 ，右端能取到的最小值是 及以下，但由于要配成等式， 时总能找到合适的 。选 C。 【易错】 的最小值是 ，所以 （注意方向： 等于一个不小于 的数，故 可以取到 及更小）。另外要留意 这个限制： 时左边为 ，不影响结论。 【答案】C 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为"类奇函数"。已知是定义在上的"类奇函数"，则实数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】「类奇函数」是存在性的条件，直接把它翻译成「方程 在 上有解」。 【关键】，故 ，其中 。记 ，它是偶函数，在 上递减、在 上递增，最小值 、最大值 。故 的取值范围是 ，最小值是 。选 C。 【易错】 的最小值在 处、最大值在端点处，两个端点都要算（ 是因为偶函数）。题目问的是 的最小值，对应 的最大值。 【答案】C 变式1-3（单选·★★★★☆） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为 “局部反比例对称函数”。 若的导函数是定义在区间上的 “局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为（ ） A. B. C. D. 【切入点】把「局部反比例对称」按解析式理解：存在 使 。代入后是一个回文式方程，用 降次。 【关键】。由定义得 。两边乘 整理得 。两边除以 ：。记 ，因 ，，且 ，方程化为 ，即 。把它看成关于 的二次方程，判别式 ，得 。故 。由求根公式 ： 时 ， 或 ； 时 。故 的最大值是 、最小值是 ，之差为 。选 B。 【易错】题目说「导函数是定义在 上的函数」，所以 、，不能当成 ；另外 的上界由判别式卡出来，这一步是本题的关键。 【答案】B 例2（填空·★★★★☆） 关于的不等式在上有解，则实数的范围是______。 【切入点】区间是 ，两个绝对值里面的式子在这个区间上都非负，可以先去掉绝对值号，把式子化简成一个二次式。 【关键】 时 、，故。原不等式在 上有解，等价于存在 使 ；因 ，得 。记 ，由基本不等式（或求导）知它在 处取最小值 。所以 的取值范围是 。 【易错】「有解」求的是并集方向的阈值：只要 能达到某个 处的要求就行，所以取的是 的最小值（ 大于最小值时总存在可取的 ），这一点与恒成立恰好相反，别取错侧。两个绝对值号能直接去掉，全靠区间 这个条件，先验再拆。 【答案】 的取值范围是 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________。 【切入点】「存在 使 至少有两个不同零点」等价于「存在一条水平线 与 的图象至少交于两点」，于是问题变成看图象的形状。 【关键】 在 上是直线 的一段，在 上是抛物线 的一段。当 时，，所以 同时包含 与 两段，对每个 ，方程 的两个根 都落在 内，于是水平线 与图象至少有两个交点，条件恒成立。当 时， 上 只有一根 （需 ）， 上 有一根 （需 ），要两根都有，需 ，解得 。综上， 的取值范围是 。 【易错】 这一支最容易漏：此时抛物线的那一支对称地跨过了 轴，所以同一函数值能取两遍。 那一支才需要用 卡。两段合起来才是完整答案。 【答案】 的取值范围是 例3（多选·★★★★☆） 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“负导值点”，下列函数中具有“负导值点”的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】新定义把它写成「方程 有解」，于是逐项去判 能不能取到零。 【关键】逐项判定 的零点。A： 时 ，无零点，A 错。B： 时 ，、，由连续性知有零点，B 对。C： 时 ，， 在 处取最小值 ，无零点，C 错。D：（）时 ，、，有零点，D 对。故选 BD。 【易错】B、C 两项要靠「先找符号相反的两位函数值」或「求最小值判正负」来定，不能只看 的趋势；A 项那种配成完全平方的做法最快，注意 这一步。 【答案】BD 变式3-1（多选·★★★★☆） 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数。下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时， D. 若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点 【切入点】「学步」函数要求存在 使 对一切实数 成立，这是「存在参数 ＋ 对任意 」的双重量词，逐项验。 【关键】A： 时条件为 对一切 成立，比较系数得 且 ，无解，A 错。B：（）时条件为 ，即 ，反过来 也确实成立，故充要条件是 ，B 对。C： 时 ，即 。由 时 递推：，而 ；，而 。逐点吻合，C 对。D： 时 ，故 ；若 ，则 ，零点以 为步长成串出现，在 上至少有 个不同零点，D 对。故选 BCD。 【易错】C 项的递推方向别写反：由 得 ，是「往左推」。D 项只要说明零点的周期性重复，不必真去求零点。 【答案】BCD 变式3-2（多选·★★★★☆） 设，表示不超过的最大整数，例如：，。若存在实数，使得，同时成立，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 的最大值是4 D. 的最大值是5 【切入点】把 翻译成 ，再把「同时成立」变成这些区间有公共点。 【关键】A： 时 ，A 对。B：要 ，需 ，而 在 上递减，不等号方向相反，B 错。C、D：条件同时成立即 ，也就是要 。 在 递减，前三项为 、、，故左端最大值为 ； 前四项为 、、、，第五项 。 时 成立； 时 不成立。故 的最大值是 ，C 对、D 错。故选 AC。 【易错】B 项的方向要想清楚： 先增后减（最大值在 附近），从 起才单调递减，所以不能想当然。C、D 的关键是「区间族有公共点」，即左端点的最大值小于右端点的最小值。 【答案】AC 例4（解答·★★★★☆） 已知函数。（1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 【切入点】第一问用「极值点处导数为零」先求出候选的 ，再回头验它究竟是不是极值点；第二问把「两点关于 对称」翻译成 且 。 【关键】定义域 ，。若 是极值点，则 ，得 。此时 恒成立， 在 上单调递减， 两侧导数同号，不是极值点。故这样的 不存在。第二问：两点关于 对称，设为 与 ，即需存在 ，，使 。代入得 。记 ， 且 时 ，方程化为 ，即 。记 ，，则 ， 递增，且 时 、。所以 的取值范围是 。 【易错】第一问必须回代当参数取该值时， 只是必要条件，不验证就答「存在」是错的。第二问用 把两元压成一元是关键，注意 使 ，所以右端点是开的。 【答案】（1）不存在；（2） 的取值范围是 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】方程里 出现在三处，直接分离很乱。先把右端合并成一个对数，再用 的单调性把两边凑成同构。 【关键】原方程即 。记 ，则 ，方程化为 ，两边乘 得 。再把左端写成 、右端写成 ，即同一个函数 在两点处的取值。 在 上递增，故 ，即 。记 ，则 ，。记 ，， 在 上递减、在 上递增，最小值 ，故 ，。选 C。 【易错】合并对数时别忘了 那一项要并进对数里（化成 ）；同构的两边要凑成完全一样的形状 ，右端的 要写成 才看得出。 【答案】C 变式4-2（单选·★★★★☆） 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】由对称性先写出 ，再用「」的一个常用性质：若 单调递增，则 等价于 。 【关键】由 与 关于 对称得 （），故 。因 ，， 在 上单调递增，于是 与 等价，即 ，整理得 。存在 使等式成立，等价于 落在 在 上的值域内。记 ，， 在 上递增、在 上递减，最大值 ；两端 、 相等，是最小值。故 的取值范围是 。选 C。 【易错】这类「」的题，必须先确认 单调才能把它简化为 ；不单调时要另外讨论。本题 保证了单调递增，这一步是解题的入口。 【答案】C 变式4-3（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个自变量满足 ，说明水平线 与图象有三个交点；先把三段分支的取值范围画清楚。 【关键】当 时 ：在 上 从 递减到 ，在 上 从 递增到 ；当 时 从 递增到 。要有三个不同解，水平线的高度 必须落在 内，此时三根依次为 （小于零）、（）、（大于一）。于是 。由 得 ，正是选项 A。选 A。 【易错】 这一步是把 用 表示的关键； 与 分别用到对数与指数的互化。端点 与 都取不到（取到时三根不再互异），所以是开区间。 【答案】A 例5（解答·★★★★★） 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”。若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围。 【切入点】把「有飘移点」翻译成方程 在 上有解，再把参数 解出来。 【关键】 要有意义，需 。由 得，即 ，解得 。记 ，。，故 在 上递减、在 上递增，最小值 。又 、 时 ，故 在 上的值域是 。于是 能取到的范围就是 ，且由 自动满足。所以实数 的取值范围是 。 【易错】右边是 ，别忘了这一项；约掉 之后要说明 （由对数真数为正得 ）。最后右端点 取不到（ 才逼近），左端点 能取到，别写反。 【答案】实数 的取值范围是 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数满足：，。设，是否存在实数，使得关于的方程有个不同的实根？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。 【切入点】方程里只出现 ，先换元 ，把「 有 4 个不同实根」翻译成「 在 上有 2 个不同根」。 【关键】由 与 联立解得 ，故 （）。记 ： 时 ； 时 且与 一一对应； 时 。故 时每个 对应 2 个 ， 或 时只对应 1 个 。原方程化为 ，整理得 ，两边乘 （）得 。要有 4 个不同实根，需这个二次方程在 上有 2 个不同实根。记 ，则 得 ；两根之和 且两根之积 得 ；对称轴 得 ；判别式 得 或 。而 、，故 与判别式条件无交集。所以不存在这样的实数 。 【易错】换元后一定要说清楚每个 对应几个 ： 对应 2 个，其余对应 1 个，这一步是「4 根 ⟺ 2 根」的依据。最后四个条件必须同时满足，取交集，不能只取其中一个。 【答案】不存在这样的实数 变式5-2（解答·★★★★☆） 设函数。已知对任意的实数，恒成立，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 【切入点】先用「对任意实数 恒成立」定出底数 的范围，再把「是否存在 」翻译成「 小于某个函数的最小值、且大于另一个量的最大值」。 【关键】由 对一切 成立，且 是 ，条件 对一切 成立要求 递增，即 。此时 等价于 。记 ， 时 ，不等式化为 且 。 在 上的最小值是 ； 在 上的最大值是 。故需 且 ，即 的取值范围是 。所以存在， 的取值范围是 。 【易错】 要先保证两个真数为正，即 ，这一步给出 的上界；漏掉它就只剩 、把下界丢了。两个条件的方向相反：一个要「小于最小值」，一个要「大于最大值」。 【答案】存在， 的取值范围是 变式5-3（解答·★★★★★） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”。（1）若是定义在上的“类函数”，求实数的最小值；（2）若为“类函数”，求实数的取值范围。 【切入点】「 类函数」直接翻译成 有解，两问都是「存在 」型。 【关键】（1） 时，，故 ，。由 在 上的最大值为 （端点处），得 的最小值为 。（2）设 是「 类函数」的见证点，即 。因 时 ：若 ，则 也 ，两端都是 ，和为 ，不可能。故只能 ，取 （ 的情形由偶性同理）。此时 ，，故需 ，即 ，，解得 ，。记 ，，，故 递增，最小值 。又 要对 处处有定义，需 恒成立；该式在 上的最小值在 处（因对称轴 已在区间外），故 ，。综上，实数 的取值范围是 。 【易错】(2) 别漏掉「定义域内」这个前提： 时对数真数必须为正，这一步给出 的上界。另外要排除 的情形，否则会多出一批无用的解。 【答案】（1）；（2） 变式5-4（解答·★★★★★） 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值。（1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一；（2）若函数，求的最大值与俏值。 【切入点】新定义有两个条件：在 上有最小值，且最小值大于 。第一个条件要求这一段上函数能取到最小值（不能一直往下掉），第二个条件要求把最小值与 比大小。 【关键】（1），等号在 处取到。对任意 ， 在 上：若 则最小值 ；若 无正整数解。故 在 上有最小值 （）。要 ，需 ，结合 得 ，即 的俏值为 。但 时 在 上的最小值是 ，所以 是俏函数且俏值唯一，为 ；又 时最小值 ，故俏值唯一。（2）记 ，则 ，，故 ，在 上最大值在 处，为 。此时 有解，故 的最大值为 。再求俏值： 在 上的最小值——由 关于 对称、在 上递减，故 在 上递增、在 上递减。当 时 在 上递增，最小值 ；当 时最小值在端点 处。要最小值大于 ，试 ： 中 ， 不符 —— 故改为让 的那一支：此时最小值在 处为 ，经计算 在 上的最小值为 ，要 ，需 ，结合对称性与定义取到最大俏值 。所以最大值为 ，俏值为 。 【易错】新定义题要逐条核验定义里的每个条件，「有最小值」与「最小值大于 」是两件事，缺一不可。换元 时注意 ，且 关于 对称，这决定了 在 上的最小值究竟在端点还是在 处。 【答案】（1）证明见解析，俏值为 ；（2） 的最大值为 ，最大俏值为 双变量与量词 一、双变量题的两条铁律 ，，使 ，等价于 ； ，，使 ，等价于 ； 两个量词各管一侧： 那一侧取自己最「苛刻」的值， 那一侧取对方最「宽松」的值。 二、一句话记住方向 「任意」夹得紧，参数与反侧最值比较；「存在」放得松，参数与同侧最值比较。两句话合起来看：谁的量大，谁就取让自己最难满足的那个最值。 三、含两个自变量的三种常见形式 形式一：两个不等式同时成立，各自解出的范围取交集； 形式二：两个自变量由同一个等式 联系，先把它化成 、 的关系（常是对称式或 ），再代入目标量； 形式三：含 的绝对值，把它拆成两侧最值之差的不等式。 四、「可能成立／不可能成立」的判法 先把参数或对数式换成一个公共的量 ，把三个变量都用 表示；再比较三个关于 的函数的大小随 变化的方向。「不可能成立」往往是因为两个不等式在 的取值范围上互相矛盾。 五、新定义题的处理 把定义里的量词逐字抄成数学式（「任意」写成 、「存在」写成 ），再套用本节的两条铁律；定义里若有「对每个自变量都成立」的附加条件，要单独另起一个不等式，不能混进最值比较里。 六、双变量题的解题顺序 第一步，先抄量词：把题干里每一个「任意」「存在」都圈出来，标出它管的是哪个字母； 第二步，定两侧：哪一侧是「被夹」的（取自己最苛刻的最值），哪一侧是「被挑」的（取对方最宽松的最值）； 第三步，写成最值不等式，再各自求最值，最后把关于参数的式子解出来。 七、两个自变量的处理技巧 技巧一：若两个自变量由 联系，先看 是不是「双射型」的（如 型），常能解出 之类的对称关系； 技巧二：若目标是两个自变量之差或之比，把较小的那个记为 、再令 或 ，把双变量压成单变量； 技巧三：若某个自变量只出现在一个乘积里，把它整体换成 ，往往能把双变量题化成一元函数的值域问题。 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】题干是「，，使 」，把两个量词分别翻成「值域」的语言再判充分必要。 【关键】： 的值域为 ；：对任意 ，存在 使 ，即 中每个值都是函数值，也就是 的值域。若 成立，值域含 ，自然有 成立，故由 可以推出 ，充分性成立。反之值域可以是 本身、也可以是 ，都不等于 ，故 由 不能推出 。所以 是 的充分不必要条件。选 A。 【易错】 只要求 里的值都取到，不要求值域就是 ；多出来的值不影响 。反过来 的值域比 多了 与端点，这恰是二者不等价的地方。 【答案】A 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】定义里的量词顺序是「，」， 管自己（ 要取遍）、 管对方（ 可以为每个 单独挑），所以逐项去解 就行。 【关键】逐项验证。A： 时 恒成立，任取 即可，是。B： 时取 ，两边都是 ，是。C：（定义域 ）时 ，即 ，只有当 时才成立， 无解，不是。D：（定义域 ）时 ，即 ，取 即可，是。故选 C。 【易错】 要求 取遍所有正整数，所以只要有一个 找不到 ，这个函数就不是「倍增友好函数」。C 项正是 全都失败，不要因为 成立就算它「是」。 【答案】C 变式6-2（多选·★★★★☆） 设函数的定义域为，若对任意的，存在，使得，且，则称具有性质，记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在 D. 若，则存在常数，使得函数存在最大值 【切入点】性质 是两个要求的合成：函数值能任意大，而且在这个「很大的点」右边一小段上是递减的。逐项判定。 【关键】A：，， 时 递增。若 且 ，则 必落在递增段上， 与要求相悖，A 错。B：。取 （ 充分大），则 ；，故 ，B 对。C：取 、，两者都满足性质 （取负号不影响「任意大」），而 恒负，不满足「函数值任意大」，，C 对。D：以 为例，对任意常数 ， 在正半轴上仍无最大值（因振幅随 增大），D 错。故选 BC。 【易错】A 项要看清「 必须很大」与「该处递减」是矛盾的：对三次函数，正半轴上最终是递增的。D 项要举一个来自 的反例，而不是随便找个函数。 【答案】BC 例7（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 把 与 绑在一起，先取对数解出 与 的比例关系，再把每个选项写成关于这个比例的不等式。 【关键】由 两边取自然对数得 ，故 ，记为 ，即 。A： 且 （）时，由 得 ，即 ，所以只能是 ，A 不可能。B：。 且 时 ；再由 及 得 ，故 成立，B 可能。C：。由 （）、 得 ，C 不可能。D：。由 、 得 ，D 不可能。故选 B。 【易错】由 的符号决定 与 的大小： 时 ， 时 。这一层不写出来，四个选项容易看反。 是因为 ，要先估出 的大小。 【答案】B 变式7-1（单选·★★★☆☆） 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】把三个变量统一用同一个参数 表示，再把三个选项变成关于 的不等式组。 【关键】记公共值为 ： ⇒ ； ⇒ （需 ）；。A：。取 ：，可能。B：。取 ：，可能。C：。取 ：，可能。D：。由 得 很小（ 左右），此时 ，与第二个不等式矛盾，D 不可能。故选 D。 【易错】 是前提（因为 且 ）。D 项的判法是「两个不等式对 的要求互相打架」，不必真的解出区间，各自估一个大概范围就能看出矛盾。 【答案】D 变式7-2（多选·★★★☆☆） 设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】把三个式子都化成「关于 的同一个底」的形式，再用单调性比较三个关于 的函数。 【关键】由 得 ；由 得 ；由 得 。比较两个之比：， 时为 ， 时大于 ， 时小于 ；同理 ， 时为 ， 时大于 ， 时小于 。故 时 ，对应 D； 时三者相等，对应 C； 时 ，对应 A。故可能成立的是 ACD，故选 ACD。 【易错】三者的次序完全由 与 的大小决定，所以 A、C、D 三种可能都存在，只有「 居中且方向相反」的 B 不可能。比较时统一化成「与 比较」的形式最省事。 【答案】ACD 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个自变量各自满足同一个方程，于是「存在两个不同的正数」等价于「这个方程关于 有两个不同的正根」，把它改成求值域的问题。 【关键】 时 ，故，两边除以 得 。记 ，，，故 在 上递增、在 上递减，最大值 。又 时 、 时 ，故当 时方程有两个不同的正根。选 D。 【易错】要使 有两个解， 必须落在「 到最大值之间」这个开区间里： 只有一根（）， 时无正根。两个端点都要判，不能只看最大值。 【答案】D 变式8-1（单选·★★★★☆） 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个自变量由 联系，先解出 与 的关系，再把目标量写成单变量函数。 【关键】由 得 ，即 。因 ，故 ，；又 得 。由 得 。记 ，则 、。记目标式为 ，等号在 时成立。故选 C。 【易错】由 得 时，别漏掉「」这个前提；另外 是保证 的关键，没有它 就不一定用得上基本不等式。 【答案】C 变式8-2（填空·★★★☆☆） 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________。 【切入点】 是分段函数，先看清两段各自的值域；再由 决定 落在哪一段（左段递增、右段对数递增，要相等只能 在左段、 在右段）。 【关键】设公共值为 。左段 在 上取遍 ；右段 在 上取遍 。要使 且函数值相等，须 、，且 ，于是 、，其中 。故 。记 ，，， 在 上递减、在 上递增，最小值 ；两端 、，因 ，最大值是 。所以 的取值范围是 。 【易错】 只能落在左段：若 ，则右段严格递增，不可能找到更大的 使函数值相等。另外 在 处取 ，而最小值 ，所以最小值不是端点值，必须求导。 【答案】 的取值范围是 例9（填空·★★★★☆） 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______。 【切入点】条件是对 都要有某个 作陪，按「 管自己、 管对方」的规矩，应化为「 的最大值 的最大值」。 【关键】，，。分子 的根为 与 （舍），且 ，故 在 上递减、在 上递增，在 上的最大值是 。条件「对任意 ，总存在 ，使 」等价于 「对一切 ， 都不超过 的最大值」——而这个最大值等于 。即 ，整理得 ，即 对一切 成立。记 ，， 在 上递增、在 上递减，最大值 。所以 的取值范围是 。 【易错】 的单调性要先代一个具体的点试符号： 说明在 处递减，结合驻点 才能定出「先减后增」，进而 上的最大值在 处。若想当然认为最大值在右端点，答案会算成 以外的数。 【答案】 的取值范围是 变式9-1（填空·★★★★☆） 已知函数f(x)=2x，若总存在直线与函数y=f(x)，y=g(x)图象均相切，则a的取值范围是_____。 【切入点】「总存在直线与两图象均相切」＝ 「存在一条直线，它同时是两条曲线的切线」，把两条切线写成同一个斜率 的函数，再让截距相等。 【关键】设这条直线的斜率为 （，因 的切线斜率 ）。与 相切：切点横坐标 ，切线在 轴上的截距 。与 相切：切点横坐标 ，截距 。令两个截距相等：，解得 ，定义域由 给出，即 。记 ，求其最小值： 等价于 ，即 ， 是它的根。当 时 ，当 时 ，故 处取最小值 。所以 的取值范围是 。 【易错】截距要用同一个 表示，不能一个用 、一个用 。两处截距公式都算对之后， 就成了 的函数，问题变成求这个函数的值域；定义域 是由分母为正得来的，别漏。 【答案】 的取值范围是 例10（解答·★★★★★） 定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线，则称切线为曲线的“自公切线”。已知函数。（1）证明：当时，曲线不存在“自公切线”；（2）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数的取值范围。 【切入点】「自公切线」的存在性就是把「两点处切线相同」翻译成方程组有解；两点都在 或一正一负，可以分开算。 【关键】（1） 时 ，。设 处切线相同，则斜率相等且截距相等：。由 与 的增长快于一次函数知 ，得 ；再把「截距相等」写出来会得到 一类矛盾式，具体到本题，由 在 上凸可证不存在这样的 ，故当 时不存在「自公切线」。（2）由（1）知两点必须分布在 轴两侧，设 ，此时 ，且 、。令两处切线相同（斜率相等、截距相等），整理后归结为方程 的解数问题，其中 在 上递增，且 、、；若记 为参数，则解数由 与 、 的位置决定： 时一个解、 时两个解、 或 时无解。要「有且只有两条自公切线」，需两个解，即 ；又 时两个分支的解重合，只剩一条。所以实数 的取值范围是 。 【易错】「有且只有两条」比「有两条」多一层要求：要把两个分支的解去重。 时两支给出同一个点对，所以只剩一条，这就是答案左端点从 跳到 的原因。另外第（1）问要比较割线的斜率与端点处的切线斜率，这一步用「 的增长快于一次函数」来说明，不能只靠单调性。 【答案】（1）证明见解析；（2）实数 的取值范围是 变式10-1（解答·★★★★★） 已知函数的一个极值点是。（1）求与的关系式；（2）设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围。 【切入点】极值点处导数为零，先定 与 的关系；第（2）问含绝对值，把它拆成两侧最值之差的不等式。 【关键】（1）。由 得 ，整理得 ；且此时分子为 ，要 真的是极值点需 ，即 ，故 。（2） 时 ，故 在 上： 递增、 递减，最大值 ；又 、，因 ，最小值是 。 在 上递增，最大值 、最小值 。条件「存在 使 」等价于 有解，即两侧极值各满足一个条件：，。第二式化为 ，即 ，；结合 得 （第一式对 恒成立）。所以实数 的取值范围是 。 【易错】含 的「存在」型，要把 的最大值与最小值分别与 比，而不是只看最小值。本题第一式对 自动成立，答案只由第二式决定。另外 是各自独立取的， 的最值就是「 的最值减 的反向最值」。 【答案】（1）；（2）实数 的取值范围是 变式10-2（解答·★★★★★） 已知函数，其中。若存在两个极值点。（1）求的取值范围；（2）当时，求的取值范围。 【切入点】两个极值点就是 的两个不等实根，先分离参数求出 的范围；第（2）问用 、 把目标量化成比值。 【关键】（1）。令 ，即 （）。记 ，，故 在 、 上递减、在 上递增，在 处取极小值 。又 时 、 时 。要 有两个不等实根，需 ，故 的取值范围是 。（2）设两零点为 ，记 、，由 取对数得 ，相减得 。又 ，代入 并令 ，整理得 是 的单调递增函数（可求导验证）。由 反解得 。所以 的取值范围是 。 【易错】分离参数后要看 在 处的两侧极限分别是 与 ，这决定了「两个不等实根」对应的 只有一个方向。第（2）问的关键是把 的关系化成 ，再令 消掉对数。 【答案】（1） 的取值范围是 ；（2） 的取值范围是 变式10-3（解答·★★★★★） 已知函数。若存在两个极大值点。（1）当是的极小值点时，证明：；（2）当时，是否存在，使得？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。 【切入点】「两个极大值点」意味着 有两个变号零点；第（2）问把 与 联立，先求出 ，再回代求 ，最后验它确实给出两个极大值点。 【关键】（1）。由 是极小值点得 ；再由 是极大值点这一前提，说明 在 侧先正后负有变号；结合题设 存在两个极大值点 ，得 时必有 ，代入得 的取值满足 。（2）由 也是极值点，；又 且 ，两式相减并整理可得 。记 ，（），故 严格递增，且 ；因 ，故 ，只能 。把 代回 得 。当参数取该值时，此时 ，、，故 与 都是极大值点，且 ，符合题意。所以存在 ，使得 。 【易错】求出 与 之后必须回代检验两个点都是极大值点（要 ），只解方程不验会把极小值点也算进来。另外 用来证明 的唯一性，这一步不能省。 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 变式10-4（解答·★★★★★） 已知函数。（1）对任意，是的必要条件，求的最小值；（2）对任意，函数存在两个零点，求的取值范围。 【切入点】第（1）问是量词与充分必要条件的合体：「 是 的必要条件」意思是「 ⟹ 」，对任意 都要成立。 【关键】（1），。记 ，（），故 递增，。要 在 上先减后增（这样才能使条件成立），需 ，即 ；但题设要求「对任意 」且求 的最小值，结合 时的边界情形得 的最小值为 。（2）「对任意 ， 存在两个零点」等价于 在 上的值域包含 ，即 且 、 时 。由（1）的分析， 的极小值点为 （）， 时 ， 在 上恒增， 时 、 时 ，值域为 ，满足要求； 时 先减后增，极小值为正，拿不到足够小的值。故 的取值范围是 。 【易错】第（1）问的「必要条件」方向别读反： 是 的必要条件 ⟺ 由 可以推出 。第（2）问把「对任意 都有两个零点」翻成「值域包含 」，这一步是本节的量词落点。 【答案】（1） 的最小值为 ；（2） 的取值范围是 变式10-5（解答·★★★★★） 已知。（1）设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由。（2）证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点。 【切入点】第（1）问是「是否存在」型，把「两曲线关于原点对称」逐一写出对应点的方程再比系数；第（2）问是「，」型，先定 使 有两个零点，再把 表示成 的函数。 【关键】（1）设 。曲线 与 关于原点对称的曲线是 （用 替换）。两式恒等要求 ，故 。（2）。先看两端： 时 且 ，故 ； 时 主导，。所以 在 上先增后减，有两个零点的充要条件是最大值大于零。设极大值点为 ，由 得 。此时 。又 要求 ，即 。记 ，（），故 在 上递减，当 时 。于是 时 ，可取 充分接近 使 ，此时对应的 ，，由两端都趋于 知 在 与 上各有一个零点。所以对任意 ，都存在 使得 有两个不同的零点。 【易错】关于原点对称的替换是 ，把 换成 再整理，别写成 。第（2）问要构造出 （本题取 ），而不是去解一个关于 的不等式；「」给的是构造的自由度。 【答案】（1）存在，；（2）证明见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 存在性与双变量量词 函数与导数 · 专题篇 ∃ 型 一、把「存在」翻成「值域」 ，使 ，等价于 在 上的最大值； ，使 ，等价于 在 上的最小值。 方程 在 上有解，等价于 落在 在 上的值域内。 二、与「恒成立」的区别只在夹的方向 「对任意」夹得紧，参数与反侧最值比较；「存在」放得松，参数与同侧最值比较。同一个不等式，量词一换，答案常常就从闭区间变成开区间。 三、判「存在」的三步 第一步，把参数分离到一侧，得到 （或 ）； 第二步，求 在 上的最值 —— 存在型取的是最值的那一侧，不要把大小号取反； 第三步，判等号：最值能取到就写 ，只在端点以极限方式逼近就写 小于。 四、含绝对值的「有解」 先把绝对值按 所在的区间拆开，把不等式化成不含绝对值的一次或二次式，再对各段分别求最值，最后取并集（存在型是并集，不是交集）。 五、新定义题里的「存在」 新定义给出一个存在性的条件，此时先把「存在」直接翻译成方程有解，再把参数解出来、求这个解关于自变量的值域；若自变量被限制在闭区间上，还要用端点值卡出参数的上界。 六、把「存在」改写成「值域」的三种落点 落点一：，，落点是 ； 落点二：，，落点是 ； 落点三：方程 在 上有解，落点是 属于 在 上的值域。三者的共同点是先把参数解出来、再求另一侧的值域。 七、存在型与恒成立的四句话对照 对任意 ，，则 ；存在 ，，则 ；对任意 ，，则 ；存在 ，，则 。四句话只有「最小／最大」两个字在换，抄题时先把量词圈出来再动笔。 例1（单选·★★☆☆☆） 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为"类奇函数"。已知是定义在上的"类奇函数"，则实数的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 变式1-3（单选·★★★★☆） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为 “局部反比例对称函数”。 若的导函数是定义在区间上的 “局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为（ ） A. B. C. D. 例2（填空·★★★★☆） 关于的不等式在上有解，则实数的范围是______。 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________。 例3（多选·★★★★☆） 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“负导值点”，下列函数中具有“负导值点”的是（ ） A. B. C. D. 变式3-1（多选·★★★★☆） 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数。下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时， D. 若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点 变式3-2（多选·★★★★☆） 设，表示不超过的最大整数，例如：，。若存在实数，使得，同时成立，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 的最大值是4 D. 的最大值是5 例4（解答·★★★★☆） 已知函数。（1）是否存在实数，使得为函数的极小值点.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）若图象上总存在关于点对称的两点，求a的取值范围. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★★☆） 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-3（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5（解答·★★★★★） 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”。若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围。 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数满足：，。设，是否存在实数，使得关于的方程有个不同的实根？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。 变式5-2（解答·★★★★☆） 设函数。已知对任意的实数，恒成立，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 变式5-3（解答·★★★★★） 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”。（1）若是定义在上的“类函数”，求实数的最小值；（2）若为“类函数”，求实数的取值范围。 变式5-4（解答·★★★★★） 对于函数，若存在，使得在上有最小值，且最小值大于，则称为俏函数，其中为的一个俏值。（1）若函数，证明：为俏函数，且的俏值唯一；（2）若函数，求的最大值与俏值。 双变量与量词 一、双变量题的两条铁律 ，，使 ，等价于 ； ，，使 ，等价于 ； 两个量词各管一侧： 那一侧取自己最「苛刻」的值， 那一侧取对方最「宽松」的值。 二、一句话记住方向 「任意」夹得紧，参数与反侧最值比较；「存在」放得松，参数与同侧最值比较。两句话合起来看：谁的量大，谁就取让自己最难满足的那个最值。 三、含两个自变量的三种常见形式 形式一：两个不等式同时成立，各自解出的范围取交集； 形式二：两个自变量由同一个等式 联系，先把它化成 、 的关系（常是对称式或 ），再代入目标量； 形式三：含 的绝对值，把它拆成两侧最值之差的不等式。 四、「可能成立／不可能成立」的判法 先把参数或对数式换成一个公共的量 ，把三个变量都用 表示；再比较三个关于 的函数的大小随 变化的方向。「不可能成立」往往是因为两个不等式在 的取值范围上互相矛盾。 五、新定义题的处理 把定义里的量词逐字抄成数学式（「任意」写成 、「存在」写成 ），再套用本节的两条铁律；定义里若有「对每个自变量都成立」的附加条件，要单独另起一个不等式，不能混进最值比较里。 六、双变量题的解题顺序 第一步，先抄量词：把题干里每一个「任意」「存在」都圈出来，标出它管的是哪个字母； 第二步，定两侧：哪一侧是「被夹」的（取自己最苛刻的最值），哪一侧是「被挑」的（取对方最宽松的最值）； 第三步，写成最值不等式，再各自求最值，最后把关于参数的式子解出来。 七、两个自变量的处理技巧 技巧一：若两个自变量由 联系，先看 是不是「双射型」的（如 型），常能解出 之类的对称关系； 技巧二：若目标是两个自变量之差或之比，把较小的那个记为 、再令 或 ，把双变量压成单变量； 技巧三：若某个自变量只出现在一个乘积里，把它整体换成 ，往往能把双变量题化成一元函数的值域问题。 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（ ）。 A. B. C. D. 变式6-2（多选·★★★★☆） 设函数的定义域为，若对任意的，存在，使得，且，则称具有性质，记为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在 D. 若，则存在常数，使得函数存在最大值 例7（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★☆☆） 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 变式7-2（多选·★★★☆☆） 设正数x，y，z满足，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★★★☆） 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式8-2（填空·★★★☆☆） 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________。 例9（填空·★★★★☆） 已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______。 变式9-1（填空·★★★★☆） 已知函数f(x)=2x，若总存在直线与函数y=f(x)，y=g(x)图象均相切，则a的取值范围是_____。 例10（解答·★★★★★） 定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线，则称切线为曲线的“自公切线”。已知函数。（1）证明：当时，曲线不存在“自公切线”；（2）若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数的取值范围。 变式10-1（解答·★★★★★） 已知函数的一个极值点是。（1）求与的关系式；（2）设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围。 变式10-2（解答·★★★★★） 已知函数，其中。若存在两个极值点。（1）求的取值范围；（2）当时，求的取值范围。 变式10-3（解答·★★★★★） 已知函数。若存在两个极大值点。（1）当是的极小值点时，证明：；（2）当时，是否存在，使得？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。 变式10-4（解答·★★★★★） 已知函数。（1）对任意，是的必要条件，求的最小值；（2）对任意，函数存在两个零点，求的取值范围。 变式10-5（解答·★★★★★） 已知。（1）设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由。（2）证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点。 学科网（北京）股份有限公司 $