第06讲 不等式的恒成立与存在性问题讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第06讲 不等式的恒成立与存在性问题 第06讲 不等式的恒成立与存在性问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解"恒成立"与"存在性"两种量词条件的含义，能准确完成"量词到最值"的等价转化； 2．掌握二次不等式在实数集上与在给定区间上恒成立的判定方法； 3．熟练运用分离参数法与主元变换法求参数（或变量）的取值范围； 4．能用"值域包含"的观点统一处理双变量量词问题，体会转化与化归的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 二次不等式在实数集上恒成立 选择题 第1~3题 中 先讨论二次项系数是否为0，再算判别式 区间上的恒成立问题 选择题、填空题 第6~8题、第13题 中偏难 优先分离参数，再比较最值 存在性（有解）问题 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 把"任意"与"存在"的最值方向对调 主元变换（端点法） 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 关于参数的"一次式"只需验两端 双变量量词问题 多选题、解答题 第9~11题、第17~19题 中偏难 翻译成两个值域的包含或有交关系 命题规律分析 恒成立与存在性问题是新高考的高频中档题，多落在选择第6~8题、填空第13~14题，也常作为解答题的一问出现。命题形式主要有三类：①二次不等式在实数集上恒成立（判别式法）；②在给定区间上恒成立（最值法或分离参数）；③"存在 x 使…成立"（对应取最大值而非最小值）。核心是把量词翻译成最值条件："对任意 x，f(x) ≥ a" 等价于 f(x) 的最小值 ≥ a；"存在 x，f(x) ≥ a" 等价于 f(x) 的最大值 ≥ a。本讲把六类问题的转化路径一次讲清，并给出分离参数与主元变换两把通用钥匙——只要翻译准确，这类题的难度就会从中档降到基础档。 考点1 量词的等价转化 知识点1 恒成立与存在性的最值对应 对任意 ， ；对任意 ， 。 存在 ， ；存在 ， 。 口诀：恒成立对"最不利"提要求，存在性只需找一个"能行"的例子。 【易错清单】 1．"任意"与"存在"对应的最值方向恰好相反，混淆方向是最常见的错误； 2．定义域 必须非空；若 为空集，两个量词命题都自动为真。 知识点2 二次不等式在实数集上恒成立 对一切 恒成立 且 ； 对一切 恒成立 且 。 若二次项系数含参数，必须先单独讨论系数为 的情况：此时不等式退化为一次不等式或常数不等式。 【易错清单】 1．漏掉"二次项系数为 "的情形是这一类题的头号丢分点； 2．严格不等号配 、非严格不等号配 ，等号要跟着题目走。 考点2 两把通用钥匙 知识点3 分离参数法 若能把不等式整理成 的形式，则"对任意 恒成立" ；若整理成 ，则等价于 。 操作顺序：移项 → 提取参数 → 两边除以 的系数（先判断该系数在 上是否恒正或恒负）。 【易错清单】 1．分离后到底取最大值还是最小值，取决于不等号方向，先写清""再判断； 2．除以含 的式子时必须保证其符号不变，否则要分类讨论。 知识点4 主元变换（端点法） 若不等式可整理成关于参数 的一次式 ，则 在 上恒成立 且 。 依据：一次函数在闭区间上的最值必在端点取得，所以只需检验两端。 【易错清单】 1．主元变换的前提是"关于新主元恰为一次式"，若出现二次项就必须改用其他方法； 2．变换主元后字母角色互换，容易把"求 的范围"误答成"求 的范围"。 【题型1 二次不等式在实数集上恒成立】 【例1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先单独讨论二次项系数为 （即 ）的情形，再按"开口向下且判别式小于 "求解。 【解答过程】① 当 时，不等式化为 ，对一切实数恒成立，符合要求； ② 当 时，要使 恒成立，需 且 。 ， 由 得 ；再由 得 ，两者取交仍为 。 综上，。故选B。 【多解·巧解】整体换元能少写一半式子：把 记为 ，原不等式就是 ，判别式 ，于是只需 且 ，解得 ，回代得 ；最后单独补上 （即 ）。把"同一个含参式子"整体看成新字母，是含参二次问题最省力的做法。 【易错提醒】① 只解 而漏掉 ：此时二次项系数为 ，不等式退化为 ，恒成立；② 忘记"二次项系数必须小于 "这一前提，只解 会得到 或 的错误结果。 【变式1-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次项系数为 ，只需判别式小于 。 【解答过程】由 得 。故选A。 【变式1-2】若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先看 ，再按 且 求解。 【解答过程】① 当 时，不等式化为 ，解集为 ，符合； ② 当 时，需 且 ，即 （ 时 自动成立）。 综上 。故选A。 【变式1-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】同样先看 ，再按开口向下且判别式小于 求解。 【解答过程】① 当 时，不等式化为 ，恒成立，符合； ② 当 时，需 且 ，即 。 综上 。故选B。 【题型2 二次不等式在给定区间上恒成立】 【例2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】区间上 ，两边除以 后分离参数，再求右式的最小值。 【解答过程】因为 时 ，把 两边同除以 ，得 。 所以只需 。 由基本不等式 ，等号当且仅当 时成立，而 ，故最小值为 。 所以 。故选A。 【多解·巧解】先判等号能否取到，再决定用不等式还是单调性：若区间改为 ， 不在区间内，基本不等式的等号取不到，此时应改用单调性—— 在 上单调递增，最小值在 处取得，为 ，答案变为 。"能取等就用基本不等式，取不到等就改用单调性"是本类题的固定判断顺序。 【易错提醒】① 不检验等号能否取到，区间换成 后仍写 就会错；② 忘记说明 就直接两边同除以 ——分母为负时不等号要反向。 【变式2-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，再求右式的最大值（注意是严格不等号）。 【解答过程】由 得 。 设 ， 时最大值为 。 所以 。故选A。 【变式2-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，用换元 求最值。 【解答过程】因为 时 ，由 得 。 令 ，则 ，右式为 ，在 上单调递减，且 时趋近于 ，故右式恒小于 、上确界为 。 所以只需 。故选A。 【变式2-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】因为 时 ，由 得 。 由基本不等式 ，等号当且仅当 时成立，而 ，故最小值为 。 又原不等式是严格不等号，所以 。故选A。 【题型3 分离参数法求参数范围】 【例3】已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】除以 （在 上恒正）把 单独放到一边，再求右式的最小值。 【解答过程】因为 时 ，由 得 ， 两边同除以 ，得 。 所以只需 。 由基本不等式 ，等号当且仅当 时成立，而 ，故最小值为 。 所以 。故选A。 【多解·巧解】分离参数后判断"取最大还是取最小"，只需看 站在哪一边：本题得到 ，要让它对一切 成立， 必须小于 的最小值（也就是最"不利"的那个 ）。再给一个快速验算：把 代回原式得 ，在 处等于 ，不满足"大于 "，说明 确实取不到——用临界值回代是检验端点开闭最可靠的方法。 【易错提醒】① 分离后误取最大值（写成 或 ），方向必错；② 忽略"两边同除以正数"的前提而漏写 的说明，区间若含负值就必须分类讨论；③ 严格不等号时最后必须写 而不是 。 【变式3-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，注意是非严格不等号。 【解答过程】因为 时 ，由 得 。 由基本不等式 ，等号当且仅当 时成立，而 ，故最小值为 。 所以 。故选A。 【变式3-2】已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数后右式的最小值为 ，严格不等号给出 。 【解答过程】因为 ，由 得 。 由基本不等式 （等号在 时成立，），故最小值为 。 所以 。故选A。 【变式3-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离后右式已单独成 ，只需取右式的最大值。 【解答过程】由 的变形（即 ）知 ，等号当且仅当 时成立。 故右式的最大值为 ，从而 。故选A。 【题型4 存在性问题（有解问题）】 【例4】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"存在"只需有一个 满足条件，因此右式取最小值（而不是最大值）即可。 【解答过程】因为 时 ，把 化为 。 要"存在"这样的 ，只需 大于 的最小值。 由基本不等式 ，等号在 时成立，最小值为 。 所以 （ 时取 得 ，不满足"小于 "）。故选A。 【多解·巧解】"存在"与"任意"的转化只需把最值方向对调，建议做题时先把两句话写下来： · 对任意 ， ； · 存在 ， 。 本题若把条件改成"对任意 "，答案就变成 （那是取最大值的结果）。一字之差，答案完全不同，务必逐字读题。 【易错提醒】① 把"存在"当成"任意"处理，误选C；② 忽略端点： 时对应 ，此时不等式取等号而非严格小于，故 不能取。 【变式4-1】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】存在性问题看最小值， 的最小值为 。 【解答过程】由 得 。 存在 使不等式成立，只需 （在 处取得）。 所以 。故选A。 【变式4-2】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】转化为 ，取右式在 上的最大值。 【解答过程】由 得 。 ，而 ，故最大值为 。 所以 。故选A。 【变式4-3】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】存在性对应最大值； 在 上单调递增。 【解答过程】 在 上单调递增，故最大值为 。 要存在 使 成立，只需 。 所以 。故选A。 【题型5 主元变换与端点法】 【例5】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 当作主元，原式是关于 的一次不等式，只需检验两端点。 【解答过程】把不等式整理成关于 的形式：，这是关于 的一次函数，在 上恒成立只需两端点满足。 ① ，得 ； ② ，得 或 。 取交得 或 。故选A。 【多解·巧解】主元变换的威力在于把"讨论二次函数"变成"检验两个端点"。本题若按 为主元去做，就要对 、、 分三类讨论不等号方向，计算量翻倍。判断能否用端点法只需看一点：整理后关于新主元的次数是否为 。本题中 的系数是 ，与 无关，所以是一次式，端点法生效。 【易错提醒】① 忘记检验端点而只算一个端点：本题必须两个端点都大于 ，只算 会漏掉 ；② 整理时移项符号写错，导致 的系数变成 ，答案整体偏移。 【变式5-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】式子是 的一次式且系数为 ，最小值在 处。 【解答过程】 关于 单调递增，故在 上的最小值在 处取得，为 。 令 ，得 。故选A。 【变式5-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 当主元，端点值为 与 ，两者判别式都为负。 【解答过程】把 视为常数， 是关于 的一次函数。 ① ，其判别式 ，故对一切 恒正； ② ，其判别式 ，故对一切 恒正。 两端点都为正，由端点法知不等式对一切 恒成立。 所以 可以取任意实数。故选A。 【变式5-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】端点法中 给的是恒成立条件，真正起约束作用的是 。 【解答过程】把 视为关于 的一次函数，在 上恒成立只需两端点为正。 ① 对一切 成立； ② ，得 。 所以 。故选A。 【题型6 双变量量词问题】 【例6】已知函数 ，。若对任意 ，都存在 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把"任意-存在"翻译成" 的值域包含于 的值域"，再比较两个值域。 【解答过程】先求 在 上的值域：对称轴 ，最小值 ，最大值 ，故 的值域为 。 再求 在 上的值域：，。 "对任意 都存在 使 "等价于 的值域包含于 的值域，即 。 ① 当 时，，需 ，得 ； ② 当 时，，不可能包含 ，舍去。 综上 。故选A。 【多解·巧解】双变量量词问题有一套固定的翻译表： · "对任意 ，存在 ，" 的值域 的值域； · "存在 ，存在 ，" 两个值域有公共元素； · "对任意 ，对任意 ，" 。 把"等式/不等式能否实现"翻译成"值域之间的关系"，双变量问题就退化为求两个值域。 【易错提醒】① 把条件误读成" 的值域包含于 的值域"，方向反了会得到 ；② 忘记讨论 时 的值域方向发生反转，直接按 处理。 【变式6-1】已知函数 ，。若对任意 ，都存在 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求两个函数在 上的值域，再要求 的值域包含于 的值域。 【解答过程】 在 上：最小值 ，最大值 ，值域为 。 在 上：，。 ① 当 时， 的值域为 ，不含负数，不可能包含 ，舍去； ② 当 时， 的值域为 ，由 需 ，即 。 综上 。故选A。 【变式6-2】已知函数 ，。若存在 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"存在-存在"对应两个值域有公共元素，即两区间相交。 【解答过程】 在 上：最小值 ，最大值 ，值域为 。 在 上单调递增，值域为 。 两个值域有公共元素需 且 ，即 。故选A。 【变式6-3】已知函数 。若对任意 ，都有 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】 的最大值就是函数的最大值与最小值之差。 【解答过程】 在 上的最大值与最小值之差为 。 所以 的最大值为 ，要使不等式对任意 恒成立，需 。 故 的最小值为 。故选B。 一、单选题 1．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次项系数为正，只需判别式小于 。 【解答过程】由 得 。故选A。 2．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】非严格不等号对应判别式小于等于 。 【解答过程】由 得 。故选A。 3．（★★）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】存在性只需有解，即判别式大于 。 【解答过程】不等式有解等价于 ，得 。故选A。 4．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，取右式在 上的最大值。 【解答过程】由 得 。 ，在 （属于 ）处取最大值 。 所以 。故选A。 5．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】恒成立取最小值，基本不等式给出最小值为 。 【解答过程】由基本不等式 （等号在 时成立），故最小值为 ，从而 。故选A。 6．（★★★）已知函数 。若存在 使 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"存在使 "等价于最小值小于 ，先配方定轴，再按对称轴与 的位置分类。 【解答过程】，对称轴 。 ① 当 时， 在 上递增，最小值 ，不满足；② 当 时，最小值 ，由 得 ，即 ；③ 当 时， 在 上递减，最小值 对一切 成立。综上 。故选A。 7．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把不等式整理为 ，注意 在 上变号，必须按 与 的大小分开讨论。 【解答过程】原不等式即 。当 时，左端为 ，对任意 成立。 当 时 ，得 。设 ，因为 ，所以 的最小值为 （在 处取到），故 。当 时 ，得 。设 ，因为 ，所以 （在 处取到 ），故 。综上 。故选B。 8．（★★★）已知函数 。若对任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 等价于 在 上的最大值与最小值之差不超过 ，按对称轴位置分类。 【解答过程】，对称轴 ，且 ，。 条件等价于在 上最大值与最小值之差不超过 。① 当 时， 递增，差为 ，得 ，与 矛盾，无解；② 当 时，最小值 。若 ，最大值为 ，差为 ，得 ；若 ，最大值为 ，差为 ，得 ；③ 当 时， 递减，差为 ，得 ，与 矛盾，无解。综上 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于"恒成立"与"存在性"的说法正确的是（　　） A．命题"对任意 ，"是真命题　B．"对任意 ，"等价于　C．命题"存在 ，"是真命题　D．"对任意 ，"等价于 【答案】ABD 【解题思路】逐项按"量词到最值"的转化规则判断。 【解答过程】A 中 对一切实数成立，正确； B 中"任意大于 "就是"最小值大于 "，正确； C 中 ，不存在使它小于 的实数 ，错误； D 中 在 上的最小值为 ，"恒成立"等价于 ，正确。 故选ABD。 10．（★★）已知关于 的不等式 ，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则不等式的解集为 　B．若不等式对一切 恒成立，则 　C．若不等式对一切 恒成立，则 　D．若存在 使不等式成立，则 【答案】ABC 【解题思路】前三项用判别式或分离参数验证，D 项用"存在性取最大值"检验。 【解答过程】A 中 时原式为 ，解集为 ，正确； B 中需 ，即 ，正确； C 中分离得 ，右式在 上的最大值为 （ 处），故 ，正确； D 中"存在"应对应最大值：，即 ，而不是 ，错误。 故选ABC。 11．（★★★）已知函数 （），（）。下列说法正确的是（　　） A． 在 上的值域为 　B．若对任意 都有 ，则 　C．若存在 使 ，则 　D．若对任意 ，都存在 使 ，则 【答案】ABC 【解题思路】先求 的值域，再把"任意""存在""任意—存在"三种量词分别翻译成最值条件。 【解答过程】A： 在 上最小值为 、最大值为 ，值域为 ，正确； B： 即 ，其在 上的最小值为 ，故恒成立需 ，正确； C："存在 使 "即 有解，只需 ，正确；D：对任意 都存在 使 ，取使 最小的 即可，故需 。 在 上的最小值为 ，故 而不是 ，错误。故选ABC。 12．（★★★）已知函数 （），。下列说法正确的是（　　） A． 在 上的最小值为 　B．若 对一切 恒成立，则 　C．若存在 使 ，则 　D．若 在 上的最大值为 ，则 【答案】ABD 【解题思路】配方 得最小值，再逐项把"恒成立""存在"翻译成最值条件。 【解答过程】，对称轴 ，最小值 ，A 正确； B：恒成立需最小值 ，即 ，正确；C："存在使 "需最小值 ，即 ，而不是 ，错误；D：端点 、，故最大值为 ，由 得 ，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】判别式小于 。 【解答过程】由 得 。 14．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】非严格不等号对应判别式小于等于 。 【解答过程】由 得 。 15．（★★★）若对任意 ，关于 的不等式 都成立，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】把 视为待求量、 视为变量，不等式关于 是一次式，按 的符号分类后在端点处取值。 【解答过程】把不等式写成关于 的一次式 ，要求它对 恒大于 。 当 时，一次式关于 递减，最小值在 处：，故只需 ，即 ；当 时，一次式关于 递增，最小值在 处：，其判别式 ，对一切 恒正，故 全部满足。综上 或 。 16．（★★★）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】二次项系数含参，先讨论 （退化为常数不等式），再按开口向上且判别式小于 。 【解答过程】① 当 时，不等式化为 ，对一切实数成立，符合； ② 当 时，需 且 ，解得 。综上 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围； (3) 若存在 使 成立，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先求值域，(2)(3) 都归结为值域的端点。 【解答过程】(1) ，对称轴 ，最小值 ，最大值 ，故值域为 。 (2) "对一切 恒成立"要求 不超过最小值，即 。 (3) "存在 使 "要求 不小于最小值，即 。 【多解·巧解】(2)(3) 的结果刚好互补，这不是巧合："对任意 ，"与"存在 ，"互为否定，所以两者的参数范围刚好在端点处分界。记住这一点，可以在算完一问后用另一问验算——两问的答案应当"背靠背"地拼接成整个实数集。 【易错提醒】(3) 中容易误用最大值而写成 。判断方法： 只要有一个 满足即可，取最小的 最容易满足，所以是 。"存在"永远站在"最容易满足"的那一侧。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 若 对一切 恒成立，求 的取值范围； (2) 若存在 使 ，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两问都分离参数得 与 的关系，再按"任意取最小、存在取最大"处理；注意区间内 的单调性拐点在 。 【解答过程】因为 时 ，由 得 。 在 上单调递减、在 上单调递增，故最小值在 处取得，为 。 (1) "对一切 恒成立"要求 。 (2) "存在 使 "即存在 使 ，只需 大于 的最大值（在区间端点取得）： ，，故最大值为 ，。 所以 (1) ；(2) 。 【多解·巧解】两问的结论并不互补，原因是"对任意 "与"存在 "之间还夹着"存在 "与"既有正值又有负值"等情形——只有当条件正好互为否定时才会互补。做题时不必套用"互补"结论，逐问按最值方向判断最稳妥。另注意 的拐点 在区间内，所以最小值能取到；若区间是 就必须改用端点比较。 【易错提醒】(2) 中误取最小值而得 。判断方法："存在"对应"最容易满足"，取最大的 最容易使 成立。另外本题 (1)(2) 的答案不是互为补集，不要凭"互补"直接写出答案。 19．（★★）已知关于 的不等式 。 (1) 若解集为 ，求 的取值范围； (2) 若对一切 恒成立，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用判别式；(2) 分离参数后用基本不等式。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 。 (2) 因为 时 ，由 得 。 由 （等号在 处成立，）知右式的最小值为 ，所以 。 【多解·巧解】两问的答案可以互相校验：(1) 的 与 (2) 的 一致，这说明在 上恒成立并不比"在全体实数上恒成立"更宽松——原因是 的最小值点 落在区间内。若把区间改为 ，最小值点被排除在区间外，(2) 的答案就会变成 ，比 (1) 宽松——"区间是否含最值点"决定了答案的松紧。 【易错提醒】(1) 中忘记检验二次项系数：本题二次项系数恒为 ，所以无需讨论，但若题目改成含参系数就必须讨论。(2) 中要注意 不在区间内，可以放心除以 ；若区间含 则必须单独检验 。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围； (3) 若存在 ，使 成立，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】配方定轴求区间最值，再把"任意""存在"翻译成最值条件。 【解答过程】(1) ，对称轴 ，最小值 ，端点 ，故值域为 。 (2) "对任意 ，"等价于 。 (3) 在 上的最小值为 ，"存在 使 "等价于 。 【多解·巧解】(2)(3) 互为否定（"任意 "与"存在 "），分界点就是最小值 ：一个取 ，另一个取 。先求出区间最小值，两问一步可得。 【易错提醒】(3) 易误取最大值 写成 ： 只要有一个 满足，取最小的 最容易满足，故应为 。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 二次项系数恒正，只需判别式小于 ；(2) 分离参数得 ，再看右式的最小值。 【解答过程】(1) 二次项系数为 ，只需 。，解得 。(2) 因为 时 ，由 得 。设 ，因为 ，所以 的最小值为 （在 处取到），故要使 恒成立，需 。 【多解·巧解】(1) 用判别式法，(2) 在给定区间上恒成立改用分离参数加最值。两问对照可见 (1) 的答案比 (2) 更窄，因为"在全体实数上恒成立"是最强的条件，参数范围最窄。 【易错提醒】(1) 严格不等号对应 ，端点 不能取（此时存在使左端等于 的 ）；(2) 分离时要先说明 才能直接除过去。 22．（★★★）已知函数 。若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】 或 【解题思路】把 当主元， 是关于 的一次式，按 的符号在端点处取值即可。 【解答过程】把 写成关于 的形式：，这是关于 的一次函数，在 上恒大于 只需两端点都大于 。当 时， 关于 递减，最小值在 处：，解得 或 ，结合 得 或 ；当 时， 关于 递增，最小值在 处：，对一切 成立。综上 或 。 【多解·巧解】主元变换的关键判断是"整理后关于新主元的次数"。本题 的系数 与 无关，所以是一次式，端点法适用；若题目改成 ，关于 就是二次式，端点法失效，必须改用"对 求最值"。先用几秒做这个判断，可避免用错方法。 【易错提醒】① 把 与 的角色搞混，误答成" 的取值范围"——题目问的是 ；② 与 两类都要讨论，过程不能省；③ 的两根是 ，注意根号内是 ，开方为 再约去 。 23．（★★★）已知函数 ，，。 (1) 若对任意 ，都有 ，求 的取值范围； (2) 若存在 ，使 成立，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两个二次项相消后 变成关于 的一次式，可整体分离参数。 【解答过程】 即 ，化简得 ，即 。因为 时 ，两边同除以 得 ，即 。(1) "对任意 成立"要求 。 在 上单调递减，最小值为 ，故 。(2) "存在 成立"要求 ，最大值为 ，故 。 【多解·巧解】本题的关键观察是两个二次项恰好相消，不等式退化为关于 的一次式，于是 可以干净地分离出来。做题时先把两个函数相减、看能否降次，是处理" 恒成立"类问题最省力的第一步。 【易错提醒】① 除以 时要说明 （本题区间为正，可以直接除，但理由要写出）；② (1)(2) 的最值方向不能写反：(1) 是"任意"取最小、(2) 是"存在"取最大；③ 单调递减，端点值 、 不要记反。 24．（★★★）已知函数 ，，。 (1) 若对任意 ，都存在 使 ，求 的取值范围； (2) 若存在 使 ，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先求两个函数在 上的值域：(1) 需 的最大值不小于 的最大值，(2) 需 的最大值不小于 的最小值。 【解答过程】 在 上的值域为 。 在 上：，。 (1) "对任意 都存在 "要求 。① 当 时，，得 ；② 当 时，，舍去。故 。(2) "存在 "要求 。① 当 时， 恒成立；② 当 时， 无解。故 。 【多解·巧解】(1) 与 (2) 的差别只在"是否要求对任意 都成立"：条件越强，参数范围越窄。(1) 要对最不利的 也成立，故要求 的最大值不小于 的最大值；(2) 只要一组 即可，取最容易满足的组合，只需 的最大值不小于 的最小值。 【易错提醒】① (1) 中漏掉 时 的最大值在左端点取到这一情形；② (2) 中把"存在"误当成"对任意"而错用 的最大值 ，得到 ；③ 两个值域的方向（ 取最大、 取最大或最小）要按量词强弱逐一确认。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第06讲 不等式的恒成立与存在性问题 第06讲 不等式的恒成立与存在性问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解"恒成立"与"存在性"两种量词条件的含义，能准确完成"量词到最值"的等价转化； 2．掌握二次不等式在实数集上与在给定区间上恒成立的判定方法； 3．熟练运用分离参数法与主元变换法求参数（或变量）的取值范围； 4．能用"值域包含"的观点统一处理双变量量词问题，体会转化与化归的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 二次不等式在实数集上恒成立 选择题 第1~3题 中 先讨论二次项系数是否为0，再算判别式 区间上的恒成立问题 选择题、填空题 第6~8题、第13题 中偏难 优先分离参数，再比较最值 存在性（有解）问题 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 把"任意"与"存在"的最值方向对调 主元变换（端点法） 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 关于参数的"一次式"只需验两端 双变量量词问题 多选题、解答题 第9~11题、第17~19题 中偏难 翻译成两个值域的包含或有交关系 命题规律分析 恒成立与存在性问题是新高考的高频中档题，多落在选择第6~8题、填空第13~14题，也常作为解答题的一问出现。命题形式主要有三类：①二次不等式在实数集上恒成立（判别式法）；②在给定区间上恒成立（最值法或分离参数）；③"存在 x 使…成立"（对应取最大值而非最小值）。核心是把量词翻译成最值条件："对任意 x，f(x) ≥ a" 等价于 f(x) 的最小值 ≥ a；"存在 x，f(x) ≥ a" 等价于 f(x) 的最大值 ≥ a。本讲把六类问题的转化路径一次讲清，并给出分离参数与主元变换两把通用钥匙——只要翻译准确，这类题的难度就会从中档降到基础档。 考点1 量词的等价转化 知识点1 恒成立与存在性的最值对应 对任意 ， ；对任意 ， 。 存在 ， ；存在 ， 。 口诀：恒成立对"最不利"提要求，存在性只需找一个"能行"的例子。 【易错清单】 1．"任意"与"存在"对应的最值方向恰好相反，混淆方向是最常见的错误； 2．定义域 必须非空；若 为空集，两个量词命题都自动为真。 知识点2 二次不等式在实数集上恒成立 对一切 恒成立 且 ； 对一切 恒成立 且 。 若二次项系数含参数，必须先单独讨论系数为 的情况：此时不等式退化为一次不等式或常数不等式。 【易错清单】 1．漏掉"二次项系数为 "的情形是这一类题的头号丢分点； 2．严格不等号配 、非严格不等号配 ，等号要跟着题目走。 考点2 两把通用钥匙 知识点3 分离参数法 若能把不等式整理成 的形式，则"对任意 恒成立" ；若整理成 ，则等价于 。 操作顺序：移项 → 提取参数 → 两边除以 的系数（先判断该系数在 上是否恒正或恒负）。 【易错清单】 1．分离后到底取最大值还是最小值，取决于不等号方向，先写清""再判断； 2．除以含 的式子时必须保证其符号不变，否则要分类讨论。 知识点4 主元变换（端点法） 若不等式可整理成关于参数 的一次式 ，则 在 上恒成立 且 。 依据：一次函数在闭区间上的最值必在端点取得，所以只需检验两端。 【易错清单】 1．主元变换的前提是"关于新主元恰为一次式"，若出现二次项就必须改用其他方法； 2．变换主元后字母角色互换，容易把"求 的范围"误答成"求 的范围"。 【题型1 二次不等式在实数集上恒成立】 【例1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 二次不等式在给定区间上恒成立】 【例2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 分离参数法求参数范围】 【例3】已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 存在性问题（有解问题）】 【例4】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 主元变换与端点法】 【例5】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 　B．　C．　D． 【变式5-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 双变量量词问题】 【例6】已知函数 ，。若对任意 ，都存在 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知函数 ，。若对任意 ，都存在 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知函数 ，。若存在 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知函数 。若对任意 ，都有 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知函数 。若存在 使 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知函数 。若对任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于"恒成立"与"存在性"的说法正确的是（　　） A．命题"对任意 ，"是真命题　B．"对任意 ，"等价于　C．命题"存在 ，"是真命题　D．"对任意 ，"等价于 10．（★★）已知关于 的不等式 ，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则不等式的解集为 　B．若不等式对一切 恒成立，则 　C．若不等式对一切 恒成立，则 　D．若存在 使不等式成立，则 11．（★★★）已知函数 （），（）。下列说法正确的是（　　） A． 在 上的值域为 　B．若对任意 都有 ，则 　C．若存在 使 ，则 　D．若对任意 ，都存在 使 ，则 12．（★★★）已知函数 （），。下列说法正确的是（　　） A． 在 上的最小值为 　B．若 对一切 恒成立，则 　C．若存在 使 ，则 　D．若 在 上的最大值为 ，则 三、填空题 13．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 ____________。 14．（★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 ____________。 15．（★★★）若对任意 ，关于 的不等式 都成立，则实数 的取值范围是 ____________。 16．（★★★）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围； (3) 若存在 使 成立，求 的取值范围。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 若 对一切 恒成立，求 的取值范围； (2) 若存在 使 ，求 的取值范围。 19．（★★）已知关于 的不等式 。 (1) 若解集为 ，求 的取值范围； (2) 若对一切 恒成立，求 的取值范围。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围； (3) 若存在 ，使 成立，求 的取值范围。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 22．（★★★）已知函数 。若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围。 23．（★★★）已知函数 ，，。 (1) 若对任意 ，都有 ，求 的取值范围； (2) 若存在 ，使 成立，求 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 ，，。 (1) 若对任意 ，都存在 使 ，求 的取值范围； (2) 若存在 使 ，求 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $