第6讲 斜率关系与定点定值专项训练-2027届高三数学一轮复习

斜率关系与定点定值 解析几何 · 专题篇 一 斜率之和 （一） 的几何含义。 两条直线关于过定点的水平线对称时，斜率互为相反数，和为 ；反过来， 等价于 ，即 在 的中垂线上。 ★ 这个转化是本节的主线：斜率和为零、两段等长、点在垂直平分线上，三者是一回事。 （二）怎么算 。 设 、、定点 ，把 通分，分子按 、 整理，再用韦达代入。 ★ 抛物线上 ，通分后全变成 的式子，比椭圆省一半计算 —— 本节多数题都是抛物线，正是这个原因。 （三）分子的结构。 抛物线 、定点 时， 的分子化为 (分母的倒数) 的结构，代入 这类韦达结果即可。 ★ 分子恒为零时，得到的是 与参数的等式；分子为常数倍分母时，得到的是斜率之和为定值。 （四）倒数的差与和也常考。 这类形式出现时， 或 反而比 更整齐。 ★ 见到「」先别急着通分，把 的表达式写出来，往往直接看出它是常数。 （五）验证两件事。 分母不为零（、 都不竖直），且 （、 真实存在）。 ★ 定点若落在准线上，过它的竖直线与抛物线只有一个交点，这种情形要单独说明，不能默认 存在。 （六）本节六道题的两条路。 第一条是「定 的坐标再通分」：先把定点或动点的坐标算准，再把两个斜率相加、通分、代入韦达 —— 前三道都走这条。 第二条是「先化简单个斜率」：像 这种约分，把每个斜率先化简再组合，往往比通分快。 ★ 什么时候用第二条？看分子分母能不能同时约掉一个因式 —— 能约就先约，约完往往是常数关系（如 ）。 例1（多选·★★★☆☆） 已知为抛物线的焦点，是上位于第一象限的一点，，过点的直线与交于两点（在线段上），且，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线斜率之和为 C. D. 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于点。连接BF并延长交于点，点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在直线，使为直角 C. D. 直线MB与ME斜率之和为零 变式1-2（多选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（ ） A. B. 直线PA与AQ的斜率之和为4 C. 与面积之比为 D. 过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 变式1-3（单选·★★★☆☆） 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 变式1-4（解答·★★★★★） 已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.（1）求椭圆的标准方程;（2）试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 变式1-5（解答·★★★★★） 已知椭圆的离心率为，且过点。（1）求椭圆的标准方程：（2）已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值。若存在，求出定值；若不存在，请说明理由。 二 斜率之积 （一）两个顶点与动点的斜率之积。 椭圆 上动点 与左右顶点 、 连线，；双曲线换成 。 ★ 符号只看曲线类型：椭圆「负」、双曲线「正」。这一条是本节所有题的源头，可直接当结论用，也可现推。 （二）现推只需三行。 设 在曲线上，则 ；把 代入，约去 即得。 ★ 考试时若忘了符号，现推比硬记稳；推导里 的系数直接决定正负。 （三）上下顶点同理。 动点与上下顶点 、 连线，；双曲线取正。 ★ 注意分子分母颠倒了 ——顶点在 轴上时是 ，在 轴上时是 。 （四）由斜率积反求曲线。 题给「（常数）」求轨迹时，把 与 对照： 是椭圆、 是双曲线、 退化。 ★ 还要注明去掉顶点的两个位置 —— 那两点使某个斜率不存在，轨迹是「椭圆（去两点）」而不是整条椭圆。 （五）切线与弦的斜率之积。 抛物线上点 处的切线斜率为 ，与过原点的弦 的斜率相乘，常得到与参数无关的定值。 ★ 这类题的关键是「切线斜率用导数」： 求导得 ，比联立判别式快得多。 （六）本节十道题的三类问法。 第一类「给积求曲线」： 与 对照，直接读出 ，再写渐近线或方程。 第二类「给曲线求积」：先写出 的坐标式，用曲线方程把 换掉，约分即得常数。 第三类「积为定值的证明」：通分后用韦达代入，若 （或 ）被消掉，定值就出来了。 ★ 三类的顺序刚好相反：第一类是「积 → 曲线」，第二类是「曲线 → 积」，第三类是「两边都不给、自己证」。做题先判断属于哪类，再决定从哪头推。 例2（单选·★★★☆☆） 若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当 时，椭圆的离心率为； B. 当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4； C. 已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为； D. 已知 ，则直线与直线的斜率之积为。 变式2-2（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，。为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且。过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 变式2-3（多选·★★★★☆） 已知，动点满足直线与的斜率乘积为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为 C. 不存在点，使得 D. 若直线过原点，则的最小值为2 变式2-4（多选·★★★★☆） 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则双曲线的渐近线方程为 C. 若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D. 若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 变式2-5（填空·★★★☆☆） 过点的直线交抛物线于P，Q两点，直线过点P且与C相切，则直线与直线斜率之积为__________。 变式2-6（多选·★★★☆☆） 已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D. 直线，（为坐标原点）的斜率之积为 变式2-7（解答·★★★★☆） 已知抛物线C：过点，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点.（1）若直线的斜率为-1，且，求直线的方程；（2）若直线不经过点P，且直线与直线的斜率之积为4，过点P作直线垂直于点G，求点G到C的准线距离的最大值. 变式2-8（解答·★★★★★） 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点。（1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程。（2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于。①求双曲线C的离心率e的取值范围；②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上。 变式2-9（解答·★★★★★） 已知双曲线分别是的左、右焦点。在直线上，且到其中一条渐近线的距离为。抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为。（1）求的方程和的方程；（2）若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 三 定点与定值 （一）定点题的固定流程。 设含参直线 （或 ），联立得韦达，把题给条件（斜率和、斜率积、向量关系）化成关于 、 的等式，解出 与 的线性关系，代回直线即得定点。 ★ 关键一步是「把 解成 的一次式」—— 若解出的是二次关系，说明条件给得不够或算错了。 （二）两种常见的参数设定。 过 轴上定点用 ，过 轴上定点用 ；前者避开「斜率不存在」，后者避开「斜率不存在」的反面。 ★ 若定点可能在 轴上（如 这类结果），用 更自然；若定点在 轴上，用 。 （三）定值题的三种写法。 面积定值：把面积写成参数的函数，化简后参数消去；距离定值：用点到直线距离或两点距离，同样消参；比值定值：先把比值化成同一类量的比（如纵坐标之比），再化简。 ★ 定值题的判据是「化简后不含参数」。若还剩一个参数，说明分子分母没配平，回头检查。 （四）比值型定值的技巧。 把 这类比化成 （同一竖直线上的线段比），再用韦达把两个纵坐标的关系写出来。 ★ 本节有一道题正是这样：由 推出 ，两个这样的式子相加即得定值。 （五）别忘了验证。 定点要满足 与「直线不与曲线相切」；定值要说明「与参数无关」的取值范围。 ★ 有些题在某个参数值上定值成立、在另一个值上不成立，答案要写成区间或排除那一点。 例3（解答·★★★★★） 已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点。（1）求椭圆的标准方程。（2）已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足。①若直线的斜率不等于零，求证：直线过定点，并求出该定点坐标。②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点。 变式3-1（解答·★★★★★） 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点。（1）求椭圆的标准方程；（2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点.（ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.（ⅱ）求面积的最大值. 变式3-2（解答·★★★★★） 已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点。（1）若是定值，求该定值；（2）求面积最大值。 变式3-3（解答·★★★★★） 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2。（1）求的方程；（2）记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由；（3）直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围。 变式3-4（解答·★★★★★） 已知圆，圆，动圆与、都外切.（1）求圆心的轨迹方程；（2）设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度. 变式3-5（解答·★★★★☆） 已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足。（1）求轨迹的方程；（2）求值. 变式3-6（填空·★★★★☆） 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则 = _______ 变式3-7（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. C. 点到点的距离最小值为4 D. 若为曲线在点处的切线，则直线平分 变式3-8（多选·★★★★☆） 已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分 B. 点横坐标的取值范围是 C. 若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则 D. 对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $ 斜率关系与定点定值 解析几何 · 专题篇 一 斜率之和 （一） 的几何含义。 两条直线关于过定点的水平线对称时，斜率互为相反数，和为 ；反过来， 等价于 ，即 在 的中垂线上。 ★ 这个转化是本节的主线：斜率和为零、两段等长、点在垂直平分线上，三者是一回事。 （二）怎么算 。 设 、、定点 ，把 通分，分子按 、 整理，再用韦达代入。 ★ 抛物线上 ，通分后全变成 的式子，比椭圆省一半计算 —— 本节多数题都是抛物线，正是这个原因。 （三）分子的结构。 抛物线 、定点 时， 的分子化为 (分母的倒数) 的结构，代入 这类韦达结果即可。 ★ 分子恒为零时，得到的是 与参数的等式；分子为常数倍分母时，得到的是斜率之和为定值。 （四）倒数的差与和也常考。 这类形式出现时， 或 反而比 更整齐。 ★ 见到「」先别急着通分，把 的表达式写出来，往往直接看出它是常数。 （五）验证两件事。 分母不为零（、 都不竖直），且 （、 真实存在）。 ★ 定点若落在准线上，过它的竖直线与抛物线只有一个交点，这种情形要单独说明，不能默认 存在。 （六）本节六道题的两条路。 第一条是「定 的坐标再通分」：先把定点或动点的坐标算准，再把两个斜率相加、通分、代入韦达 —— 前三道都走这条。 第二条是「先化简单个斜率」：像 这种约分，把每个斜率先化简再组合，往往比通分快。 ★ 什么时候用第二条？看分子分母能不能同时约掉一个因式 —— 能约就先约，约完往往是常数关系（如 ）。 例1（多选·★★★☆☆） 已知为抛物线的焦点，是上位于第一象限的一点，，过点的直线与交于两点（在线段上），且，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线斜率之和为 C. D. 【切入点】 在第一象限、，先定 ；再过 作直线交抛物线于 、。 项：由 得 、，即 ；，倾斜角 ，正确。 项：取 ，即 ；与 联立得 ，故 、。 通分后分母为 ，分子为 ；把 代入，按 、 整理后分子为零，正确。 项：由 与算出的坐标不符，错误。 项：，由 与韦达代入，结果与选项一致，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 是抛物线定义，不是两点距离公式。第二， 的分母是 ，因为 的横坐标是 ，不是 。第三， 才给出 的方程，这是算 项的前提。 【答案】 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于点。连接BF并延长交于点，点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在直线，使为直角 C. D. 直线MB与ME斜率之和为零 【切入点】过定点 的直线交抛物线于 、，四项考韦达、直角、数量积、斜率之和。 项：设 ，与 联立得 ，故 ；由 得 ，正确。 项：若 ，则 ；、，代入得 ，即 ，再与 联立会推出 ，此时 与 的纵坐标相同、三点共线，构不成直角，错误。 项：由焦点弦性质得 的坐标，计算 ，结果为负，故该项正确。 项：、，把 的坐标代入后两者互为相反数，和为零，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 是韦达直接给出的，常数项为 是因为直线写成 （代入后常数项变号）。第二， 项是「不存在」型，推出 与 重合或共线即可否定。第三， 项两条直线都过 ，斜率和的分子只与两个纵坐标有关。 【答案】 变式1-2（多选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（ ） A. B. 直线PA与AQ的斜率之和为4 C. 与面积之比为 D. 过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 【切入点】过定点 的直线交抛物线于 、，另给抛物线上一点 —— 先定 。 项： 在 上，代入 得 ，正确。 项：设 ，；由 得 ，故和为 。 由联立得 、，代入得分母为 、分子为 ，故和为 ，与选项所给 不符，错误。 项：两个三角形等底（都在 、 上），面积比等于 ，由韦达算得定值，正确。 项：过 、 的切线为 ，分别与 联立得 、 的横坐标，两者之积为 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 这一步是关键化简：分子分母同乘 后约去 。第二， 里的常数项来自直线 ，与上题同源。第三，切线用 ，这是抛物线的切线公式，不是点斜式。 【答案】 变式1-3（单选·★★★☆☆） 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 【切入点】 在 上动，、 关于 轴对称 ——先写出 、，再看哪个组合是常数。 【关键】设 （），、。 不是定值； 也不是定值。 ，是定值，选 C。 【易错】第一，约分时要说明 （ 异于 ），分母 才能约。第二， 是「倒数的差」，不是「差的倒数」，两者完全不同。第三，、 关于 轴对称，所以两个斜率的表达式只差一个符号；取倒数后 被消掉，差恰为 。 【答案】 变式1-4（解答·★★★★★） 已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.（1）求椭圆的标准方程;（2）试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 【切入点】第（1）问由离心率与右端点定方程；第（2）问过定点 的直线交椭圆于 、，直线 、 与 轴交于 、，判断 的中点。 【关键】（1）由 、 得 、，椭圆为 。 （2）设 ，过 得 ；与椭圆联立得 ，故 、。 直线 的方程是 ，令 得 ；同理 。 两纵坐标之和 为 ，分子整理为 ，分母为 。 代入韦达并化简得该比值为 即 ；再用 代入，分子分母都化成 与 的形式，比值为 。 故 、 的纵坐标之和恒为 ， 的中点恒为 。 【易错】第一，第（2）问的定点 与右端点 横坐标相同，所以直线 不能竖直， 一定存在。第二，、 在 轴上，求的是两纵坐标之和，不是斜率和 —— 但算法完全一样：通分 + 韦达。第三，代入 后分母恰为 、分子恰为 ，这一步要算到底，不能停在「化简得」。 【答案】；是， 的中点为 变式1-5（解答·★★★★★） 已知椭圆的离心率为，且过点。（1）求椭圆的标准方程：（2）已知，为椭圆上异于点的两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值。若存在，求出定值；若不存在，请说明理由。 【切入点】第（1）问由离心率与过 定方程；第（2）问 、，求点 相关的定值。 【关键】（1） 是左顶点，故 ；由 得 、，椭圆为 。 （2）设 ，与椭圆联立得 ，故 、。 由 得 ：。 把 代入，、，整理后得 ，即 。 解得 或 （后者使直线过 ，舍去），故直线恒过定点 。 再由 知 在以 为直径的圆上，取 中点 ，由定值关系求得所问比值为 。 【易错】第一， 给出的是 ，要先用 把横坐标换成纵坐标。第二， 使直线过 ，此时 、 中有一条退化为点，必须舍去。第三， 与 是两个不同的垂直条件：前者定 的位置，后者定 、 的关系。 【答案】；存在， 二 斜率之积 （一）两个顶点与动点的斜率之积。 椭圆 上动点 与左右顶点 、 连线，；双曲线换成 。 ★ 符号只看曲线类型：椭圆「负」、双曲线「正」。这一条是本节所有题的源头，可直接当结论用，也可现推。 （二）现推只需三行。 设 在曲线上，则 ；把 代入，约去 即得。 ★ 考试时若忘了符号，现推比硬记稳；推导里 的系数直接决定正负。 （三）上下顶点同理。 动点与上下顶点 、 连线，；双曲线取正。 ★ 注意分子分母颠倒了 ——顶点在 轴上时是 ，在 轴上时是 。 （四）由斜率积反求曲线。 题给「（常数）」求轨迹时，把 与 对照： 是椭圆、 是双曲线、 退化。 ★ 还要注明去掉顶点的两个位置 —— 那两点使某个斜率不存在，轨迹是「椭圆（去两点）」而不是整条椭圆。 （五）切线与弦的斜率之积。 抛物线上点 处的切线斜率为 ，与过原点的弦 的斜率相乘，常得到与参数无关的定值。 ★ 这类题的关键是「切线斜率用导数」： 求导得 ，比联立判别式快得多。 （六）本节十道题的三类问法。 第一类「给积求曲线」： 与 对照，直接读出 ，再写渐近线或方程。 第二类「给曲线求积」：先写出 的坐标式，用曲线方程把 换掉，约分即得常数。 第三类「积为定值的证明」：通分后用韦达代入，若 （或 ）被消掉，定值就出来了。 ★ 三类的顺序刚好相反：第一类是「积 → 曲线」，第二类是「曲线 → 积」，第三类是「两边都不给、自己证」。做题先判断属于哪类，再决定从哪头推。 例2（单选·★★★☆☆） 若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在双曲线上、与两个顶点连线的斜率之积已知 ——直接用「动点与两顶点斜率之积 = 」这条结论。 【关键】设 （），由 得 。 于是 ，故 。 渐近线为 ，选 C。 【易错】第一，双曲线这里是正号 ，椭圆才是负号。第二， 用曲线方程替换时，分母是 、分子是 ，别写反。第三， 开方取正，渐近线斜率同时取正负两个值。 【答案】 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当 时，椭圆的离心率为； B. 当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4； C. 已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为； D. 已知 ，则直线与直线的斜率之积为。 【切入点】椭圆上动点 ，四项分别考焦半径比、面积、四边形面积、与上下顶点的斜率之积。 项：由 与椭圆定义得 ，即 ，正确。 项： 的面积最大值为 ；由 与 得 ，结合 可验证该结论，正确。 项：设 ，，由三角函数性质得最大值，正确。 项： 用 的坐标与 、 计算，结果与选项所给值不符，错误。故选 ABC。 【易错】第一， 是从 来的，别把 与 弄混。第二，面积最大值 在 位于短轴端点时取到。第三， 项的斜率之积要按「与上下顶点」的公式，分子分母与左右顶点的情况相反。 【答案】 变式2-2（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，。为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且。过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 【切入点】双曲线上点 与左右顶点连线，四项考比值单调性、离心率、 的上界、距离相等。 项：在 中用正弦定理 ，两个角的增减性相反，故比值随 增大而减小，正确。 项：由坐标算出两个斜率的相等关系，整理得 ，故 ，正确。 项： 用基本不等式求上界，得的值与 不符，错误。 项：由双曲线的切线方程求出 、 的坐标，验证 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一，正弦定理把「线段比」换成「角的正弦比」是本题入口，比直接算距离快。第二， 来自 ，开方后分子是 不是 的平方根。第三， 项用的切线方程是 ，注意减号。 【答案】 变式2-3（多选·★★★★☆） 已知，动点满足直线与的斜率乘积为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 面积的最大值为 C. 不存在点，使得 D. 若直线过原点，则的最小值为2 【切入点】、，动点 满足两个斜率之积为常数 —— 先求轨迹。 项：，化简得 （）；轨迹去掉了左右顶点，故 A 项「整条椭圆」错误。 项： 的底 、高为 ，故面积最大值 ，正确。 项：若 ，则 在以 为直径的圆上，即 ；与椭圆 联立得 、，正是被去掉的顶点，故不存在这样的 ，正确。 项：直线 过原点，与椭圆交于 、 两点， 的最小值为短轴长 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一，轨迹方程要注明 ，这正是 项设的套。第二， 项用「以 为直径的圆」判直角，比用余弦定理快。第三， 项 的最短是短轴长 ，不是长轴长。 【答案】 变式2-4（多选·★★★★☆） 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则双曲线的渐近线方程为 C. 若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D. 若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 【切入点】双曲线上两点 、，四项分别考焦半径、渐近线、钝角三角形的离心率范围、斜率差与积的关系。 项：若 ，由定义与等腰直角三角形的性质算出的 与 不符，错误。 项：由上一步的条件与余弦定理得 ，故 、，渐近线为 ，正确。 项： 为钝角三角形时，由「大角对大边」得 ，进而 ，正确。 项：设两条直线的倾斜角为 、，由 与两角差的正切公式得 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 是通径的一半，钝角条件用它最快。第二，两角差的正切公式是 ，分母的和号容易写成差号。第三， 中双曲线用减。 【答案】 变式2-5（填空·★★★☆☆） 过点的直线交抛物线于P，Q两点，直线过点P且与C相切，则直线与直线斜率之积为__________。 【切入点】过 的直线交 于 、，过 的切线与 的斜率之积 ——切线斜率用导数算。 【关键】设 ，与 联立得 ，故 、。 由 求导得 ，故过 的切线斜率为 ； 的斜率为 。 两者之积为 。 【易错】第一， 的导数是 ，不是 （那是 的）。第二， 的斜率是 ，因为 。第三， 是韦达直接给出的，与 无关 —— 这正是答案是定值的原因。 【答案】 变式2-6（多选·★★★☆☆） 已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D. 直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【切入点】直线 恒过焦点 ，四项考弦长、焦半径倒数和、垂足、斜率之积。 联立得 ，故 、。 项： 时 ，正确。 项：，不是 ，错误。 项：过 作 的垂线，垂足 ，由定义 ，故 、、 三点共线一类结论成立，正确。 项：；由 与 算得不为 ，错误。故选 AC。 【易错】第一， 在过焦点的弦里恒为 （ 时），选项写 是错的。第二， 项的斜率之积要用 与 一起算。第三， 项的弦长 也可用 快速得到。 【答案】 变式2-7（解答·★★★★☆） 已知抛物线C：过点，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点.（1）若直线的斜率为-1，且，求直线的方程；（2）若直线不经过点P，且直线与直线的斜率之积为4，过点P作直线垂直于点G，求点G到C的准线距离的最大值. 【切入点】第（1）问给斜率与数量积求直线；第（2）问给 求某个量。 【关键】抛物线过 ，代入得 、，即 。 （1）设 ，与抛物线联立得 ；由 、 得 ，解得 （ 舍），故 。 （2）设 ，与 联立得 ，故 、；再由 得 、。 由 得 ，把 与 分别代入，整理成关于 、 的等式，再按题给条件解出所求量，得 。 【易错】第一， 要化成 ，因为 的坐标是 ，所以分母是 、分子是 。第二，设 而不是 ，可避免讨论斜率不存在。第三，第（1）问的 要舍：它使直线过 ，而题设要求 不经过 。 【答案】； 变式2-8（解答·★★★★★） 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点。（1）当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程。（2）设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于。①求双曲线C的离心率e的取值范围；②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上。 【切入点】第（1）问由「恰有一个交点」定 ；第（2）问由 求离心率范围与定点。 【关键】（1）左顶点 给出 ；过 斜率 的直线与双曲线恰有一个交点，说明它与渐近线平行，故 、，双曲线为 。 （2）设 交双曲线于 、，联立得 ，由韦达得 、。 把 化简，分母用 展开，得该积为 （ 为虚半轴参数）。 由 得 ，故 ，结合 得 。 ②当 时 ，、；直线 、。 两式联立得 ，化简为 ；代入韦达后 被消去，得 ，即 在定直线 上。 【易错】第一，「恰有一个交点」有两种情形：相切或与渐近线平行，本题是后者（斜率为 大于渐近线斜率）。第二， 化简后的 与 无关，这正是能求范围的前提。第三，②问联立两条直线时，分母 与 来自 、 的展开，别写反。 【答案】；； 在定直线 上 变式2-9（解答·★★★★★） 已知双曲线分别是的左、右焦点。在直线上，且到其中一条渐近线的距离为。抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为。（1）求的方程和的方程；（2）若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 【切入点】第（1）问由 在直线上、到渐近线距离定双曲线，再由距离和最小定抛物线；第（2）问要求一个常数 使式子与参数无关。 【关键】（1） 在 上得 ；焦点到渐近线的距离为 ，故 ，双曲线为 。 抛物线部分：由 解得 ，即 。 （2）设 过 ；与双曲线联立得 ，故 、。 由 得 ；因 、 在 轴同侧， 故 ，即 。 再与抛物线 联立得 ，故 。 于是 。 要使它与 无关，需 ，即 ；此时该式为 ，为定值，故存在 。 【易错】第一， 的绝对值要去掉：由 推出 ，才能直接写分母。第二， 用的是 的韦达，与双曲线的计算分开做。第三，判定「与 无关」的条件是分子等于分母的常数倍，即 与 成比例 —— 系数对应得 、，解得 。 【答案】，；存在， 三 定点与定值 （一）定点题的固定流程。 设含参直线 （或 ），联立得韦达，把题给条件（斜率和、斜率积、向量关系）化成关于 、 的等式，解出 与 的线性关系，代回直线即得定点。 ★ 关键一步是「把 解成 的一次式」—— 若解出的是二次关系，说明条件给得不够或算错了。 （二）两种常见的参数设定。 过 轴上定点用 ，过 轴上定点用 ；前者避开「斜率不存在」，后者避开「斜率不存在」的反面。 ★ 若定点可能在 轴上（如 这类结果），用 更自然；若定点在 轴上，用 。 （三）定值题的三种写法。 面积定值：把面积写成参数的函数，化简后参数消去；距离定值：用点到直线距离或两点距离，同样消参；比值定值：先把比值化成同一类量的比（如纵坐标之比），再化简。 ★ 定值题的判据是「化简后不含参数」。若还剩一个参数，说明分子分母没配平，回头检查。 （四）比值型定值的技巧。 把 这类比化成 （同一竖直线上的线段比），再用韦达把两个纵坐标的关系写出来。 ★ 本节有一道题正是这样：由 推出 ，两个这样的式子相加即得定值。 （五）别忘了验证。 定点要满足 与「直线不与曲线相切」；定值要说明「与参数无关」的取值范围。 ★ 有些题在某个参数值上定值成立、在另一个值上不成立，答案要写成区间或排除那一点。 例3（解答·★★★★★） 已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点。（1）求椭圆的标准方程。（2）已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足。①若直线的斜率不等于零，求证：直线过定点，并求出该定点坐标。②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点。 【切入点】第（1）问由离心率与过点 定方程；第（2）问 ，这个角条件要翻成「两条斜率和为零」。 【关键】（1）过点 得 ；由 得 、，椭圆为 。 （2）设 ，与椭圆联立得 ，故 、。 由 （、 在 轴两侧）得 。 由 且 ，得 ，即 ，通分得 。 代入 得 ，再代入韦达：。 约去 （）得 ，即 、。 故 恒过定点 。 【易错】第一， 翻成「斜率和为零」的前提是 在 轴上、、 分居两侧 —— 这两点都要说明。第二，通分后是 ，分子里的 来自 。第三，化简得 后， 项相消，只剩一次项 —— 这正是能解出定点的原因。 【答案】；直线 过定点 变式3-1（解答·★★★★★） 已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点。（1）求椭圆的标准方程；（2）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点.（ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.（ⅱ）求面积的最大值. 【切入点】第（1）问由离心率与过点定方程；第（2）问两条过焦点的直线分别交椭圆于 、，取中点 、，求 过的定点与面积。 【关键】（1） 与过 联立解得 、，椭圆为 。 （2）设过 的直线，与椭圆联立得 ，故 、。 中点 ；另一条直线的斜率为 ，同法得 。 直线 的方程为 ，整理得 ，故恒过定点 。 （ⅱ）以 为底、、 的纵坐标之差为高，得 。 【易错】第一，第二条直线的斜率是 （垂直），代入中点公式时所有 都要相应替换。第二，、 的横坐标分母都是 ，这是两条直线「对称」的体现，可用来核对。第三， 的定点 是焦点到原点的中点，不是焦点本身。 【答案】；定点 ； 变式3-2（解答·★★★★★） 已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点。（1）若是定值，求该定值；（2）求面积最大值。 【切入点】第（1）问求两条焦半径比之和；第（2）问求面积 —— 都要先把「比」化成「纵坐标之比」。 【关键】设 ，过 的直线与曲线交于 、，联立得 一类，故 、。 由 把 换成 、：，整理得 。 同理对 一侧得 ；两式相加， 项相消，。 （2）由定值条件与面积公式，把 写成 、 的式子，代入曲线方程消元，得 。 【易错】第一， 这一步是把韦达的两个结果相除，得到倒数和。第二， 来自直线过 ，这一步把参数 换成了 的坐标。第三，两式的常数项都是 ，相加后只剩 —— 这就是定值的来源。 【答案】； 变式3-3（解答·★★★★★） 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2。（1）求的方程；（2）记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由；（3）直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围。 【切入点】第（1）问定方程；第（2）问证明某式为定值；第（3）问求参数范围 —— 用的是向量共线的系数 。 【关键】（1）由题给条件解得 、，双曲线为 。 （2）设 、，由 得 ，即 、。 再由 、 都在双曲线上，把 与 分别乘 、 后相减，出现 这样的结构，代入上面的关系即得所证式子为定值 。 （3）由第（2）问的定值关系解出 的表达式，再由 在双曲线上（ 的范围）限制，得 。 【易错】第一， 是「 内分 」的向量写法，坐标关系里 用到了 。第二，「两式相减」前的系数是 与 ，不是 与 。第三， 的范围来自「 在右支上、」这个约束。 【答案】；定值 ； 变式3-4（解答·★★★★★） 已知圆，圆，动圆与、都外切.（1）求圆心的轨迹方程；（2）设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度. 【切入点】第（1）问定方程；第（2）问 为定值时求某个几何量的值。 【关键】（1）由题给条件解得双曲线的右支，即 （）。 （2）设 ，与 联立得 ，故 、。 ，分母展开为 ，代入韦达化简。 由该积为定值得 与 的关系，再结合题给条件求得所求几何量为 。 【易错】第一， 的分母是 ，因为 的横坐标是 。第二， 代入后 ，展开时 、 的位置别混。第三，双曲线只取右支，所以 之外还要加 的约束。 【答案】； 变式3-5（解答·★★★★☆） 已知动点到点的距离比它到轴的距离大2，设点的轨迹为，斜率为的直线过定点且与轨迹在轴右侧的部分交于A，B两点.满足。（1）求轨迹的方程；（2）求值. 【切入点】第（1）问把「到定点与到定直线距离相等」按 的符号分段，得两条曲线；第（2）问由距离关系反求斜率。 【关键】（1）当 时，轨迹为抛物线 ；当 时，轨迹退化为 （ 轴负半轴）。 （2）设直线过定点，与曲线联立后由距离条件得 ，故 。 【易错】第一，要按 的符号分两段 —— 这是本题最容易漏的地方，只写抛物线会丢一半答案。第二， 开方后 ，所以 有两个值。第三， 的退化部分也要在答案里写明。 【答案】当 时 ；当 时 ； 变式3-6（填空·★★★★☆） 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则 = _______ 【切入点】卡西尼卵形线：到两定点距离之积为常数 ——先把定义写成方程，再由面积定出纵坐标。 【关键】设曲线上点 ，由定义得 ；曲线过原点，代入得 。 由 的面积定出 的纵坐标，代入曲线方程求横坐标，再用两点距离公式得所求为 。 【易错】第一，常数 要用「曲线过原点」这条条件定出，不能凭空写成 。第二，、 给出 ，面积公式里用的是它。第三，这类新定义题的方程形式较繁，但只要求出 的一个坐标就能代回，不必化简整条曲线。 【答案】 变式3-7（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. C. 点到点的距离最小值为4 D. 若为曲线在点处的切线，则直线平分 【切入点】 到两条直线 、 的距离满足某关系 ——先写出距离式，化简得曲线方程。 项： 到 的距离为 、到 的距离为 ；由题给关系化简得 ，正确。 项：由双曲线定义 ，与选项所给式子不符，错误。 项：由 与两点距离公式求 的最小值，得 ，正确。 项：求出 处的切线方程，再算 、 到它的距离，由角平分线定理得切线平分 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一，两条直线都是 型，距离式的分母都是 。第二，双曲线定义里 是实轴长，由方程 得 ，故 。第三， 项的角平分线定理用的是「到两边距离相等」，等价于「切线是角平分线」。 【答案】 变式3-8（多选·★★★★☆） 已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分 B. 点横坐标的取值范围是 C. 若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则 D. 对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为 【切入点】动点到定点与到定直线的距离之和为 ——式子含绝对值，按 与 的大小分段。 项：由 整理得 ；当 时化为抛物线型，正确。 项：分别讨论 与 两种情形下 的范围，得 的范围与选项所给不符，错误。 项：由曲线 在两段的端点处的斜率，确定过 的直线与两段各有交点的斜率范围，正确。 项：对给定的 ，把距离之和化成 的函数求最值，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 必须分段处理，不能直接去掉绝对值。第二，曲线的两段在 处拼接，端点处的斜率决定了 项的答案。第三， 项是对任意 讨论，要说明最值随 的变化规律。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $