第6讲 直线与圆锥曲线的位置关系专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

直线与圆锥曲线的位置关系 联立与韦达 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，统一由联立后得到的二次方程的判别式判断。把直线方程代入曲线方程、消去一个变量（通常消 ），得到关于 的二次方程：判别式大于零时有两个公共点，等于零时相切，小于零时没有公共点。这是解析几何里最标准的一条判据，也是「交点个数」「有公共点」「相切」这类问法的统一翻译。 有一类例外必须单独讨论：消元后二次项系数为零的情形。对双曲线来说，这对应直线与渐近线平行；对抛物线来说，对应直线与对称轴平行。此时方程退化成一次方程，只有一个公共点，但它并不是相切。所以判断位置关系的次序是：先看二次项系数是否为零，再谈判别式的正负。 相切是位置关系里最重要的一档。圆锥曲线在点 处的切线方程可以用替换法直接写出：把方程里的 换成 、 换成 、 换成 、 换成 ，整理即得。这套替换对椭圆、双曲线、抛物线都成立，比每次联立再令判别式为零快得多。 过曲线外一点作两条切线时，两个切点的连线叫切点弦。切点弦的方程能用同一套替换法写出。抛物线还有一条常用性质：过焦点的弦，两端点处的两条切线互相垂直，且交点落在准线上。遇到「两条切线的交点」这类问法，先想这条性质能省下不少推导。 例1（填空·★★★☆☆） 已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则 = _________． 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例2（填空·★★★☆☆） 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 = ______. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 例3（单选·★★★☆☆） 已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则 = __________. 变式3-2（单选·★★★☆☆） 已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 4 联立与韦达的应用 把直线与圆锥曲线联立之后，得到的二次方程的两根就是两个交点的横坐标（或纵坐标），而韦达定理直接给出两根之和与两根之积。凡是题目要的量能用这两个式子表示，就不必真的解方程 —— 这是解析几何里最省力的一条路。 过定点设直线时，先看定点在哪条轴上。定点在 轴上且斜率不为零，设成 ；定点在 轴上，设成 。这两种设法都能一次性覆盖「斜率不存在」的情形。联立后两根之和与两根之积只与直线的斜率、截距有关，把它们写成参数的式子，题目条件就变成关于参数的方程或不等式。 「垂直」与「数量积」是韦达最典型的两个用法。两向量垂直等价于点积为零，而点积里出现的 、 都能由韦达读出；再借助「点在曲线上」把 换成 的式子，方程里就只剩一个未知量。同理，「某两条直线的斜率之积为定值」也是把斜率用交点坐标写出来再合并。 最后一类是定点与定值问题。判断直线是否恒过某点，常用的办法是把直线方程整理成关于参数的一次式，令参数的两个系数同时为零，解出的点就是定点。判断某量为定值，则是把该量用韦达的两个式子表示后，看参数是否恰好约掉 —— 约得掉说明它与直线的位置无关，约不掉就要回到题目条件里找遗漏的关系式。 例4（单选·★★☆☆☆） 两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★★☆☆） 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 变式5-1（填空·★★★☆☆） 过点的直线交抛物线于P，Q两点，直线过点P且与C相切，则直线与直线斜率之积为__________． 变式5-2（多选·★★★☆☆） 在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（ ） A. B. C. 的等差中项是2 D. m是，的等比中项 例6（多选·★★★☆☆） 已知抛物线经过点，直线与交于、两点，则（ ） A. B. 抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是 C. 当时，的面积 D. 过点、分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（ ） A. 若，则 B. C. D. （是直线l的倾斜角） 变式6-2（单选·★★★☆☆） 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 变式6-3（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于点。连接BF并延长交于点，点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在直线，使为直角 C. D. 直线MB与ME斜率之和为零 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆锥曲线的位置关系 联立与韦达 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，统一由联立后得到的二次方程的判别式判断。把直线方程代入曲线方程、消去一个变量（通常消 ），得到关于 的二次方程：判别式大于零时有两个公共点，等于零时相切，小于零时没有公共点。这是解析几何里最标准的一条判据，也是「交点个数」「有公共点」「相切」这类问法的统一翻译。 有一类例外必须单独讨论：消元后二次项系数为零的情形。对双曲线来说，这对应直线与渐近线平行；对抛物线来说，对应直线与对称轴平行。此时方程退化成一次方程，只有一个公共点，但它并不是相切。所以判断位置关系的次序是：先看二次项系数是否为零，再谈判别式的正负。 相切是位置关系里最重要的一档。圆锥曲线在点 处的切线方程可以用替换法直接写出：把方程里的 换成 、 换成 、 换成 、 换成 ，整理即得。这套替换对椭圆、双曲线、抛物线都成立，比每次联立再令判别式为零快得多。 过曲线外一点作两条切线时，两个切点的连线叫切点弦。切点弦的方程能用同一套替换法写出。抛物线还有一条常用性质：过焦点的弦，两端点处的两条切线互相垂直，且交点落在准线上。遇到「两条切线的交点」这类问法，先想这条性质能省下不少推导。 例1（填空·★★★☆☆） 已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则 = _________． 【切入点】两段曲线各出一条切线，先把第一条切线的方程求出来，再让它与抛物线相切 —— 相切的判据是判别式为零。 【关键】对 求导：，在 处 ，切点为 ，所以切线 的方程为 。由 得 ，代入 ：，即 。相切即判别式为零：，解得 。 【易错】两处。一是 求导时漏掉内层系数 ，把斜率算成 ；二是把「相切」当成「有一个公共点」就停手 —— 对抛物线而言，直线与对称轴平行时也只有一个公共点，但那时二次项系数为零、不是相切。本题消 后 的系数是 ，不会退化，所以直接用判别式即可。 【答案】 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】从一点引两条切线，两切点的连线（切点弦）的方程可以用替换法写出；把 的坐标代进去，就得到切点弦的方程。 【关键】设 ，两切点为 、。抛物线 在 处的切线为 。把 代入：；又 ，所以 ，即 。于是 ，。过 、 的直线方程为 ，即 ，写成一般式为 。焦点 到它的距离为 ，当 时取到最大值 。故选 B。 【易错】两处。一是切点弦方程要用替换法写：把曲线方程里的 换成 、 换成 ，不要试图先求出两个切点再求直线；二是弦 的方程 是抛物线的基本结论，可以直接引用。 【答案】B 例2（填空·★★★☆☆） 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 = ______. 【切入点】两条曲线在交点处相切且切线垂直，先把交点设成 ，分别写出两条曲线在该点的切线斜率，相乘等于 。 【关键】设交点为 ，它同时在 与 上。对 两边求导：，所以抛物线在 处的切线斜率为 。对圆求导：，圆的切线斜率为 。两者垂直：，即 。又 ，所以 。把 代回圆的方程：，解得 。点在抛物线上，，所以 ，。 【易错】三点要注意。一是两条切线的斜率都要用隐函数求导得到，不要试图把抛物线写成 ；二是 这一步来自 ，不要把 直接写成 ；三是两组交点（关于 轴对称）对应同一个 ，所以只要 的那一个根。 【答案】 变式2-1（填空·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 【切入点】准线与 轴的交点 是定点，切线过 且切点在曲线上，用替换法写切线、把 代进去即可定出切点。 【关键】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，它与 轴的交点为 。设切点 （）。 在 处的切线为 ，把 代入：，所以 ；再由 与 得 ，即 。在 中，、，两者垂直，所以 ， 是外接圆的直径。圆心为 的中点 ，半径 ，所以外接圆的标准方程为 。 【易错】两处。一是 不一定要算出来：只要发现 与 的点积为零，就能断定 是直径，直接取中点作圆心；二是替换法里 的切线是 ，把 写成 而不是 。 【答案】 例3（单选·★★★☆☆） 已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【切入点】已知切线与 轴的交点，用替换法写出切点处的切线方程，再把交点代进去即可解出 。 【关键】 在 上，所以 。抛物线 在点 处的切线为 ，把 、 代入：。切线过 ，所以 ，由 得 ，。故选 C。 【易错】替换法的式子要写对： 在 处的切线是 ，右边是 而不是 。另一处是 不必求出来 —— 切线方程里只出现 的一次项，而交点又在 轴上， 自动消失。 【答案】C 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则 = __________. 【切入点】圆与 轴相切于焦点，所以圆心必在过 且垂直于 轴的直线上，半径等于圆心的纵坐标 —— 把圆写成只含一个参数的形式，再让它与抛物线「只有一个公共点」。 【关键】由 得焦点 。设圆心为 （），圆与 轴切于 ，所以半径就是 ，圆的方程为 ，展开得 。把 代入：。只有一个公共点，说明这个关于 的方程有重根，设重根为 ： 且 。由第二式得 。代入第一式：，整理得 。令 ：，解得 （负根舍去），所以 。于是 。 【易错】三处要点。一是圆心的位置：圆与 轴切于 ，圆心在 上，半径等于圆心的纵坐标，这一步不能省；二是「只有一个公共点」要翻译成「方程有重根」，即函数值与导数值同时为零；三是最后求 时要用 的坐标 ，不要把它与到准线的距离混起来。 【答案】 变式3-2（单选·★★★☆☆） 已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 4 【切入点】切线与圆的交点弦长由圆心到切线的距离决定，而切线又由切点参数唯一确定，所以先把弦长写成切点参数（斜率）的函数，再求最值。 【关键】设切点为 。由 得 ，切线斜率为 ，切线方程为 ，即 。圆心为 、半径 ，圆心到切线的距离 。弦长 ，所以 最小时弦长最大。令 ，则 ，求导得驻点 ，此时 。所以 。故选 B。 【易错】两处。一是切点要参数化：设成 比设切线斜率 少一个反解步骤，因为抛物线 上一点的斜率就是横坐标的两倍；二是弦长公式里是 ：半径是 ，写成 会把结果算小。 【答案】B 联立与韦达的应用 把直线与圆锥曲线联立之后，得到的二次方程的两根就是两个交点的横坐标（或纵坐标），而韦达定理直接给出两根之和与两根之积。凡是题目要的量能用这两个式子表示，就不必真的解方程 —— 这是解析几何里最省力的一条路。 过定点设直线时，先看定点在哪条轴上。定点在 轴上且斜率不为零，设成 ；定点在 轴上，设成 。这两种设法都能一次性覆盖「斜率不存在」的情形。联立后两根之和与两根之积只与直线的斜率、截距有关，把它们写成参数的式子，题目条件就变成关于参数的方程或不等式。 「垂直」与「数量积」是韦达最典型的两个用法。两向量垂直等价于点积为零，而点积里出现的 、 都能由韦达读出；再借助「点在曲线上」把 换成 的式子，方程里就只剩一个未知量。同理，「某两条直线的斜率之积为定值」也是把斜率用交点坐标写出来再合并。 最后一类是定点与定值问题。判断直线是否恒过某点，常用的办法是把直线方程整理成关于参数的一次式，令参数的两个系数同时为零，解出的点就是定点。判断某量为定值，则是把该量用韦达的两个式子表示后，看参数是否恰好约掉 —— 约得掉说明它与直线的位置无关，约不掉就要回到题目条件里找遗漏的关系式。 例4（单选·★★☆☆☆） 两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条直线的斜率互为负倒数，把 、 的坐标都用 表示出来，再求直线 与 轴的交点。 【关键】由 与 联立，舍去 ，得 ；由 与 联立得 。直线 的斜率为 ，所以 的方程为 。令 ：，所以 ，即 恒过 。故选 D。 【易错】联立时要舍去 的根（题设「不同于原点」），否则 、 都退化成原点。另外， 代入后是 ，容易把 的位置写反，把 的横坐标算成 。 【答案】D 例5（单选·★★★☆☆） 已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 【切入点】、 的横坐标相同（都在 上），所以用纵坐标作参数最省事 —— 把 设成 ，两条斜率的表达式立刻变简单。 【关键】 上一点可写作 。由 得 （）；由 得 （）。于是 ，是与 无关的定值。故选 C。 【易错】判断「哪个组合是定值」要把四种组合都算一遍：、 里都留着 ，只有倒数的差把 消掉。另一处是参数化的选择：用 而不是 ，可以避开根号与符号讨论。 【答案】C 变式5-1（填空·★★★☆☆） 过点的直线交抛物线于P，Q两点，直线过点P且与C相切，则直线与直线斜率之积为__________． 【切入点】两条割线的交点 固定，把 、 的坐标设为参数，由「、、 共线」得到一个关于两参数的等式；切线斜率与 斜率再相乘。 【关键】设 、。、 连线的斜率为 ，而它过 ，所以 ，化简得 。 在 处的切线为 ，斜率为 ；直线 的斜率为 。所以斜率之积为 。 【易错】 的切线方程要用替换法写：把 换成 、 换成 ，整理即得 。另一处是别把 写成 —— 过 轴上定点的弦，得到的是两参数之积为定值。 【答案】 变式5-2（多选·★★★☆☆） 在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（ ） A. B. C. 的等差中项是2 D. m是，的等比中项 【切入点】直线斜率为 、且交 轴于 ，方程直接写成 ；四项都可以用两根之和与两根之积表示。 【关键】把 代入 ：，所以 、。A 项：，由 得 ，A 对。B 项：，取 算得 ，，B 错。C 项：，等差中项为 ，C 对。D 项：，所以 是 、 的等比中项，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项要真的算一次余弦才能否掉： 的符号随 变，取 最能说明问题。C 项里的 是用 直接相加得到的，不要绕道去解方程。 【答案】ACD 例6（多选·★★★☆☆） 已知抛物线经过点，直线与交于、两点，则（ ） A. B. 抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是 C. 当时，的面积 D. 过点、分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上 【切入点】抛物线经过一个已知点，先把 定下来；直线 过 轴上的定点，凡是要用到「两根之和与两根之积」的选项都由此展开。 【关键】把 代入 ：，， 对。B 项：由定义 ，所以 不小于 到准线的距离 ，而 ，B 错。C 项： 时 ，即 ，，，不等于 ，C 错。D 项：过 、 的两条切线交于点 ，由 知 在定直线 上，D 对。故选 AD。 【易错】D 项用的是抛物线的一条现成结论： 上两点 、 处的两条切线交点为 ，所以 只与两根之积有关 —— 不必真的把两条切线解出来。C 项的系数容易多算：底边取 ，不要拿弦长当底。 【答案】AD 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（ ） A. 若，则 B. C. D. （是直线l的倾斜角） 【切入点】四项分别考焦半径的反解、焦点弦的定值、切线与坐标轴的交点、以及焦半径的极坐标表达式 —— 前两项直接用焦点弦的现成结论。 【关键】 中 ，焦点 。A 项：，所以 ，；选项只写了正值，漏了 ，A 错。B 项：焦点弦满足 ，B 对。C 项： 在 处的切线为 ，令 得 ，所以 ，C 对。D 项：（或 ）取决于 落在焦点的哪一侧，选项写死了一侧，D 错。故选 BC。 【易错】A 项是本卷最常见的「漏解」型陷阱：抛物线关于对称轴对称，由横坐标反解纵坐标一定得两个值，选项只给一个即为错。D 项则要意识到「焦半径的极坐标式」与端点的选取有关，不能无脑套一个公式。 【答案】BC 变式6-2（单选·★★★☆☆） 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先用焦半径之比定出两个端点的横坐标，再求弦长与切点，最后算面积 —— 这是阿基米德三角形的标准流程。 【关键】 中 。由 、 与 得 。又焦点弦满足 ，代入得 ，取正根 ，于是 。所以 、，。两条切线的交点为 ，直线 的方程为 ， 到它的距离为 。所以 。故选 B。 【易错】两处。一是弦长用 算，斜率 由 过焦点直接得出为 ；二是切线交点不必真解两条切线，用 一步到位。 【答案】B 变式6-3（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于点。连接BF并延长交于点，点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在直线，使为直角 C. D. 直线MB与ME斜率之和为零 【切入点】直线过 轴上的定点 ，设成 最省事； 是 与曲线的另一个交点，所以对过焦点的直线再用一次韦达。 【关键】A 项：把 代入 得 ，所以 ，，A 对。B 项： 等价于 轴，即 、；此时另一个根与它重合（直线与曲线相切），所以这样的直线不存在，B 错。C 项：直线 设为 ，代入得 ；于是 ，C 对。D 项：，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项的「相切」要算出来才敢下结论： 的判别式为零，所以「存在性」被否定。D 项的化简关键是先把两个斜率通分，再用 把分子整理成乘积形式。 【答案】ACD 学科网（北京）股份有限公司 $