第6讲由递推关系求通项专项训练-2027届高三数学一轮复习

由递推关系求通项 数列 · 专题篇 一 累加法与累乘法 一、累加：把差式一路加起来。 条件形如 时，写 ，中间 个差相加，右边就成了一个可求和的式子。 ★ 累加的前提是差可求和（等差型、等比型、裂项型都行）；差式求不出和时，改用别的路。 二、平方差也是累加。 条件形如 时，把 当作新数列，对它做同样的累加： 。 ★ 开方时可正可负，题目一般会写「」把符号定死。 三、累乘：把比式一路乘起来。 条件形如 时，写 ，中间约分后只剩两端。 ★ 是分式时最好用： 这种能连环约分，是累乘的标准形态。 四、取对数把乘变成加。 遇到 这类条件，先由对数运算得 ，于是数列本身就是公比 的等比数列，连累乘都省了。 ★ 对数条件先化成「比值=常数」，再判断是等比、等差还是别的。 五、累加与逐差的区别。 二阶递推 不能直接累加，要先作差构造：（当 时），把 当等比数列求出来，再累加。 ★ 这一招叫「逐差法」，是累加与构造的合体，第三节还会用到。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知数列满足，则=______。 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知数列满足，则数列的前4项的和为________。 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，则除以16的余数为_________ 变式1-3（多选·★★★☆☆） 若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是递减数列 D. 当时， 变式1-4（多选·★★★★☆） 已知数列的前项和为，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是递增数列，且、、成等差数列，则 B. 若，且是递增数列，是递减数列，则 C. 若，则存在数列，使得当时， D. 若，则存在数列，使得当时， 变式1-5（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）设，求证：数列为等比数列；（2）求的通项公式。 例2（填空·★★☆☆☆） 已知数列满足，且，则 = __________。 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知正项数列满足，且，则的值是__________。 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（ ） A. B. C. D. 二 一阶线性与构造等比 一、 的固定配法。 时，把常数项拆成不动点：设 满足 ，即 ，则 ，于是 是公比 的等比数列。 ★ 口诀：常数除以「公比」就是该加的 。例 中 ，故 。 二、 型：把 当未知数列。 条件给的是 时，用 代掉左边：，即 。 ★ 这一步之后与新公比的一阶线性完全同型，照第一节的配法做。 ★ 首项要单独算：，别直接套公式。 三、含 的线性递推：待定系数凑。 型，设 ，代入后比较 的一次项与常数项，解出 、，使 。 ★ 比较系数时把 整段代入，不要只代 。 四、递推式本身就是判定工具。 对一切 成立 ⟺ 是等差数列；（各项非零且同号）⟺ 等比数列。 ★ 这两个等价关系是充要的，答「充要条件」题时不必再找反例。 五、取对数处理 。 两边取对数得 ，这是关于 的一阶线性，按第一节配法做。 ★ 取对数要求各项为正，题面一般会写「正项数列」。 例3（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________。 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 数列满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式3-4（单选·★★☆☆☆） 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式3-5（填空·★★☆☆☆） 已知数列中，，，则 = _______。 例4（解答·★★★★☆） 已知递增的等差数列 满足 ，，数列 的各项均为正数，，且 。求数列 、 的通项公式。 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足：，，，则 = （ ） A. 127 B. 128 C. 255 D. 256 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知数列 中，，。令 ，求证：数列 是等比数列。 三 分式、取倒数与周期递推 一、分式递推的标准动作：取倒数。 两边取倒数，得 ，这是关于 的一阶线性。 ★ 取倒数的前提是各项不为零，题面一般有「正项」「各项不为零」的交代。 ★ 最简的一类是 ： 直接约成常数，题目通常写成 ，取倒数后公差为 。 二、乘积型：同除成等差。 两边同除 ，得 （常数），于是 是等差数列。 ★ 判别标志：等号两边各有一项乘积、且 与 的系数异号。 三、三项乘积型：作两次差。 条件含 三连乘积时，同除后会出现 = 常数，即 成等差，再叠加一次求 。 ★ 这是「二阶差分」型，比第二节的逐差法多一层，但套路相同。 四、周期型：算前三项。 或 这类，从 依次算出 、，若 则周期为 ；若 则周期为 。 ★ 周期一旦确定，求 只需看 除以周期余几。 五、平方型与分段型：算前几项找规律。 这类先配方成 ，能取对数就取对数；分段递推（偶数除 、奇数乘 加 ）直接逐项算，项数不多时比找通项快。 ★ 分段型要看清「判断的是 的奇偶」还是「下标 的奇偶」，两者完全不同。 例5（单选·★★★☆☆） 在各项均不为零的数列中，若，，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________。 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知数列的首项，且满足，则 = （ ） A. B. C. 10 D. 12 变式5-3（单选·★★★☆☆） 已知数列的首项，且满足 ，则数列（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 变式5-4（单选·★★☆☆☆） 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 变式5-5（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________。 例6（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（填空·★★★☆☆） 数列满足，则使得的最小正整数的值为__________。 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 变式6-3（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足：，，则 = （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知数列满足，。若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-5（单选·★★★★☆） 已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则 = （ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 由递推关系求通项 数列 · 专题篇 一 累加法与累乘法 一、累加：把差式一路加起来。 条件形如 时，写 ，中间 个差相加，右边就成了一个可求和的式子。 ★ 累加的前提是差可求和（等差型、等比型、裂项型都行）；差式求不出和时，改用别的路。 二、平方差也是累加。 条件形如 时，把 当作新数列，对它做同样的累加： 。 ★ 开方时可正可负，题目一般会写「」把符号定死。 三、累乘：把比式一路乘起来。 条件形如 时，写 ，中间约分后只剩两端。 ★ 是分式时最好用： 这种能连环约分，是累乘的标准形态。 四、取对数把乘变成加。 遇到 这类条件，先由对数运算得 ，于是数列本身就是公比 的等比数列，连累乘都省了。 ★ 对数条件先化成「比值=常数」，再判断是等比、等差还是别的。 五、累加与逐差的区别。 二阶递推 不能直接累加，要先作差构造：（当 时），把 当等比数列求出来，再累加。 ★ 这一招叫「逐差法」，是累加与构造的合体，第三节还会用到。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知数列满足，则=______。 【切入点】 就是标准的累加型 ——把 的差写出来加一遍，三项就够到 。 【关键】，，，三式相加得 。 于是 。 【易错】第一， 里代 得的是 ，不是 。第二，从 到 只需 3 个差，不是 个。第三，，别把首项 也加进去。 【答案】 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知数列满足，则数列的前4项的和为________。 【切入点】差是 、首项 —— 直接算出前四项，再求和；算出来会发现分母是连续整数之积，正好裂项。 【关键】，，。于是 （ 都成立）。 四项分别是 、、、，逐项裂开后中间全部抵消。 于是倒数和为 。 【易错】第一，，代 得 ，两者别混。第二，，裂项后中间全消。第三，四项之和只剩首尾 ，别忘了首项是 。 【答案】 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，则除以16的余数为_________ 【切入点】 里，右边那串乘积就是前 项积 —— 把 换成 相减，能把乘积约掉，得到只含 的递推。 【关键】，（），相除得 ，即 。 取对数：，故 是首项 、公比 的等比数列，。 由 知 时 ， 是 的倍数，故 。于是 ，余数为 。 【易错】第一， 与 差一个常数移项，后者才是能取对数的形状。第二， 的公比是 ，所以指数是 而不是 。第三，从 起 就含因子 ，乘积模 只由前两项决定。 【答案】 变式1-3（多选·★★★☆☆） 若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是递减数列 D. 当时， 【切入点】 移项得 ——差数列成等比，这是逐差法的信号。 【关键】 项： 是首项 、公比 的等比数列，正确。 项：逐差累加得 ，是公比 的等比数列，正确。 项： 的前 项积等于 ，作商得 （），该数列递减趋近 ，而 时 ，整体不是递减数列，错误。 项： 时 显然；又 且 趋近 ，而 ，故 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一，逐差法的首项是 ，公比也是 ，两者相同容易混淆。第二， 只在 时有「作商」的定义， 要单独算，正是它破坏了递减性。第三，比较 与 要借 的极限 ，不能只看前几项。 【答案】ABD 变式1-4（多选·★★★★☆） 已知数列的前项和为，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若是递增数列，且、、成等差数列，则 B. 若，且是递增数列，是递减数列，则 C. 若，则存在数列，使得当时， D. 若，则存在数列，使得当时， 【切入点】 只给了差的绝对值 ——每一项都要先定符号，再决定是累加还是分类讨论。 项：递增意味着 。由 得 、，代入 得 ，故 或 ； 时各项相等、与递增矛盾，取 ，正确。 项： 时，由奇子列递增、偶子列递减可定出 ，累加得 ，正确。 、 项： 时 。取 、、，则 、，即 与 时 可以成立， 正确。 而 、 时，奇数项为奇、偶数项为偶，故 为奇数、 为偶数，与 的奇偶性冲突，不存在这样的数列， 错误。故选 ABC。 【易错】第一， 是方程的根，必须用「递增」排掉，否则 项会误判。第二， 项的差式符号由奇偶子列的单调性共同决定，不能只看绝对值。第三， 项的关键是奇偶性： 与 同奇偶，导致 的奇偶被锁死。 【答案】ABC 变式1-5（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）设，求证：数列为等比数列；（2）求的通项公式。 【切入点】二阶递推 的系数满足 ，移项就能凑出 ——这正是题目提示的 。 【关键】第（1）问：由 得 ，即 ；又 ，故 是首项 、公比 的等比数列。 第（2）问：，即 ，累加得 。 所以 是公比为 的等比数列；。 【易错】第一， 要说明 ，否则不能称等比。第二，累加时等比段是 ，共 项、首项 。第三，化简 ，别漏掉那个 。 【答案】 是公比为 的等比数列； 例2（填空·★★☆☆☆） 已知数列满足，且，则 = __________。 【切入点】 是平方差型 ——把 看作一个整体做累加，右边拆成「等比 ＋ 常数」两段分别求和。 【关键】，其中等比段之和为 、常数段之和为 。 故 。 于是 。 【易错】第一，等比段的首项是 （ 时）、项数是 ，两处都容易错。第二， 来自 累加 次，别漏。第三，答案要的是 ，把 里的 减掉后剩 。 【答案】 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知正项数列满足，且，则的值是__________。 【切入点】条件是 ——把 写成 ，移项就得到 ，比值恒定说明是等比数列。 【关键】，故 ，数列是公比 的等比数列。 由 与 得 。 于是 。 【易错】第一， 给的是比值 ，不是差。第二， 与 的下标各差 ，故整体乘 。第三，底数 小于 ，，符号为负。 【答案】 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知递增数列满足，且，则满足的关系式不可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「递增」给出 ，即 ；四个选项只有一个「不可能」，说明要用反证法逐个试。 【关键】 且数列递增，故各项为正，不等式化为 。 项：若 ，则 ，；由 得 ，即 ，矛盾，故 不可能成立。 、、 三项都能举出实例（如 、 时 递增，且 ），故只有 不可能，选 D。 【易错】第一， 这个不等式要先把 除出 ，再整理。第二，反证时只需证「推出矛盾」，不必证明另外三项一定成立，但必须各举一例说明「可能」。第三， 无解，这正是矛盾的落点。 【答案】D 二 一阶线性与构造等比 一、 的固定配法。 时，把常数项拆成不动点：设 满足 ，即 ，则 ，于是 是公比 的等比数列。 ★ 口诀：常数除以「公比」就是该加的 。例 中 ，故 。 二、 型：把 当未知数列。 条件给的是 时，用 代掉左边：，即 。 ★ 这一步之后与新公比的一阶线性完全同型，照第一节的配法做。 ★ 首项要单独算：，别直接套公式。 三、含 的线性递推：待定系数凑。 型，设 ，代入后比较 的一次项与常数项，解出 、，使 。 ★ 比较系数时把 整段代入，不要只代 。 四、递推式本身就是判定工具。 对一切 成立 ⟺ 是等差数列；（各项非零且同号）⟺ 等比数列。 ★ 这两个等价关系是充要的，答「充要条件」题时不必再找反例。 五、取对数处理 。 两边取对数得 ，这是关于 的一阶线性，按第一节配法做。 ★ 取对数要求各项为正，题面一般会写「正项数列」。 例3（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 把 与 混在一起 ——用 换掉左边，整条式子就只剩 ，成一阶线性递推。 【关键】，即 。 配常数：，故 。 首项 ，于是 ，，选 B。 【易错】第一， 只在 成立，首项要回去用 单独定。第二，配的常数是 （），符号弄反就得不出等比。第三， 的指数是 不是 ，因为首项对应 。 【答案】B 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________。 【切入点】 移项就是 ——相邻差恒定，数列是等差数列，问题立刻降为求公差。 【关键】由 知公差为常数，设公差 ；，故 。 。 【易错】第一， 相差 4 个公差（），不是 个。第二， 的公差项是 ，不是 。第三， 为负，求和时是「先正后负、部分抵消」，结果 比首项 小得多，这是合理的。 【答案】 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 数列满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是「幂次折半」——改写成 ，两边取以 为底的对数，指数就变成等比。 【关键】，逐次开方得 。 故 ，选 C。 【易错】第一，取对数后指数相加，四个指数是 ，不是 。第二，等比求和 ，别算成 。第三， 中指数是 ， 时为 ，与 相符。 【答案】C 变式3-3（单选·★★☆☆☆） 设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】 是「 等比」， 是「 等比」——先看 能否推出 ，再给 找一个反例。 【关键】若 是公比 的等比数列，则 ，相邻两项之比仍是 ，故新数列也成等比，充分性成立。 反例：取 使三项和恒为常数 ，如 、、、、、……则 是常数列（公比 ），而 不是等比数列，必要性不成立。 故 是 的充分不必要条件，选 A。 【易错】第一，三项之和成等比时，公比与原数列的公比相同，这是充分性的关键。第二，反例要构造「和成等比但项不成等比」，用 循环最省事。第三，判断方向别弄反： 在前、 在后，「 能推出 」叫充分。 【答案】A 变式3-4（单选·★★☆☆☆） 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】甲是递推式 ，乙是「等差」——两边都要验：甲能否推出乙、乙能否推出甲。 【关键】甲 ⇒ 乙： 即 ，相邻差恒定，故为等差数列。 乙 ⇒ 甲：等差数列满足 ，正是甲式。 两个方向都成立，故甲是乙的充要条件，选 A。 【易错】第一，甲式对一切 成立才有等差，若只对个别 成立则不成立。第二，等差中项式与等差定义是等价的，不必再额外验证。第三，「充要」要两个方向都说清，只证一个方向是最常见的失分点。 【答案】A 变式3-5（填空·★★☆☆☆） 已知数列中，，，则 = _______。 【切入点】要求的是 ，项数很小 ——直接按递推式逐项代两次即可，不必求通项。 【关键】，。 【易错】第一，代 时用的是 ，别把 也乘 之后再算一遍。第二，从 到 只需两步，多代一次会算成 。第三，若要求 ，需构造 ，本题用不上。 【答案】 例4（解答·★★★★☆） 已知递增的等差数列 满足 ，，数列 的各项均为正数，，且 。求数列 、 的通项公式。 【切入点】两个数列各给一组条件：等差那边是和与积（对称设元），等比那边是一条含 、 的二次式 —— 因式分解后能约掉一支。 【关键】等差数列：，故 ；又 ，即 ，得 、（递增取正），故 。 数列 ：把 按 整理：。 故 ，两边约去得 ；又 ，故 。 所以 ，。 【易错】第一， 用的是对称设元，别硬算三个未知量。第二，约 前必须说明它不为零，题面「各项均为正数」就是这个依据。第三， 而公比也是 ，故 而不是 。 【答案】， 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足：，，，则 = （ ） A. 127 B. 128 C. 255 D. 256 【切入点】 是标准一阶线性 ——配常数 ，得 。 【关键】，故 、。 于是 ，选 C。 【易错】第一，配的常数是 而不是 ：由 展开比较得 ，符号要按展开反推。第二， 的指数是 ，因为首项 。第三，答案 ，选项 是没减 的干扰项。 【答案】C 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知数列 中，，。令 ，求证：数列 是等比数列。 【切入点】 里 的系数是 、还挂着 —— 题给的 正是消掉 的配法，直接算比值。 【关键】，即 。 于是 。 而 ，故 ；又 ，故 是首项 、公比 的等比数列，证明见解析。 【易错】第一， 里的 要写成 ，即 ，直接抄成 就全错。第二，证比值要算 或证明 ，只写「看起来是」不算证明。第三， 要显式写出并说明非零。 【答案】证明见解析 三 分式、取倒数与周期递推 一、分式递推的标准动作：取倒数。 两边取倒数，得 ，这是关于 的一阶线性。 ★ 取倒数的前提是各项不为零，题面一般有「正项」「各项不为零」的交代。 ★ 最简的一类是 ： 直接约成常数，题目通常写成 ，取倒数后公差为 。 二、乘积型：同除成等差。 两边同除 ，得 （常数），于是 是等差数列。 ★ 判别标志：等号两边各有一项乘积、且 与 的系数异号。 三、三项乘积型：作两次差。 条件含 三连乘积时，同除后会出现 = 常数，即 成等差，再叠加一次求 。 ★ 这是「二阶差分」型，比第二节的逐差法多一层，但套路相同。 四、周期型：算前三项。 或 这类，从 依次算出 、，若 则周期为 ；若 则周期为 。 ★ 周期一旦确定，求 只需看 除以周期余几。 五、平方型与分段型：算前几项找规律。 这类先配方成 ，能取对数就取对数；分段递推（偶数除 、奇数乘 加 ）直接逐项算，项数不多时比找通项快。 ★ 分段型要看清「判断的是 的奇偶」还是「下标 的奇偶」，两者完全不同。 例5（单选·★★★☆☆） 在各项均不为零的数列中，若，，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 三项都是乘积 ——同除 ，右边立刻变成两个倒数之和。 【关键】同除后得 ，即 。 故 是等差数列：首项 ，公差 。 于是 ，，，选 C。 【易错】第一，同除的是三连乘积，除完左边剩 、右边剩两项倒数之和。第二，公差是 而不是 ，因为首项是 。第三，，别算成 。 【答案】C 变式5-1（填空·★★★★☆） 已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________。 【切入点】条件里出现 三连乘积 ——同除后应得到「倒数的二阶差」，再叠加两次。 【关键】同除 得 。 故 是首项 、公差 的等差数列，。 叠加得 ，故 。 【易错】第一，三连乘积同除后的常数要算准： 除以自身得 。第二，二阶差的首项是 时的值，对应的差是 ，公差也是 。第三，叠加时首项 别忘，最后化简成 而不是 。 【答案】 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知数列的首项，且满足，则 = （ ） A. B. C. 10 D. 12 【切入点】 是分式递推的最简形态 ——倒过来就是 。 【关键】取倒数得 ，首项 ，故 、。 于是 ，选 A。 【易错】第一，分子分母同除 才能看出是分式型，直接取倒数会得到 ，还要再拆一步。第二， 与公差 相同，所以通项是 而不是 。第三， 的分母是 ，选项 是取了倒数后的干扰项。 【答案】A 变式5-3（单选·★★★☆☆） 已知数列的首项，且满足 ，则数列（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 【切入点】 取倒数后是 ——系数 ，还要再配一次常数。 【关键】设 满足 ，即 ，故 。 首项 ，故 、。 增大时 递减、 递增，故 单调递减，选 B。 【易错】第一，配的常数是 （解 ），不是 。第二， 递增意味着 递减，单调方向要反过来看。第三， 时 ，与题给 相符，可回代自查。 【答案】B 变式5-4（单选·★★☆☆☆） 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【切入点】 里 的系数与常数交叉对称 —— 这类分式多半是周期的，直接算前三项。 【关键】，。 故周期为 ，（ 为偶数），选 A。 【易错】第一， 与 相等才能断言周期 ，只算到 是不够的。第二， 是偶数，对应 ；若问 则应取 。第三，化简 时分子分母同为 ，别把负号弄丢。 【答案】A 变式5-5（填空·★★★☆☆） 已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________。 【切入点】 问的是「除以 的余数」，先配方：，再逐项算余数找周期。 【关键】， 即 ； 即 ； 即 。 取模 ：、、、 ——余数按 循环，周期 。 余 ，故 ，余数为 。 【易错】第一，配方时是 ，右边减的是 不是 ，两处常数不同。第二，周期 是从「余数」看的，不是从 本身看的。第三，，对应 而不是 。 【答案】 例6（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 两边各有一项乘积、且 与 系数异号 —— 同除 就出常数差。 【关键】同除得 ，故 是首项 、公差 的等差数列。 于是 ，，，选 C。 【易错】第一，同除后右边的常数是 还是 ，要看除的是 还是 —— 本题同除 得 。第二， 的通项是 ，再取倒数才是 。第三， 的 ，分母是 不是 。 【答案】C 变式6-1（填空·★★★☆☆） 数列满足，则使得的最小正整数的值为__________。 【切入点】 两边加 凑成完全平方 ——，于是每项都是前一项的平方，取对数成等比。 【关键】，反复平方得 。 不等式 即 ；因 ，需 。 的最小整数解是 ，即 ；核 时 ，不够。故最小正整数 。 【易错】第一，，指数比 的少一半，容易写成 。第二，比较 与 时，要拿 、 去夹。第三， 时是 ，离 差得远，不要凭感觉取 。 【答案】 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的值不可能为（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 【切入点】问的是「 不可能为哪个」，给的是 ——反过来从 往前倒推，看 能取哪些值。 【关键】由 倒推：若 为偶则 ；若 为奇则 给 ，不合（应正整数）。故 。 同理 、 或 。沿 继续倒推可得 等；沿另一支可得 、 等。 逐项核验：、、 都能推出 ，而 不能，故选 B。 【易错】第一，倒推时每一步都要判奇偶，奇数只能走 这一支，偶数只能走 。第二， 解出 要立即舍去，因为题设 为正整数、各项也应为正整数。第三，正推一次就能排除 ：，到不了 。 【答案】B 变式6-3（单选·★★☆☆☆） 已知数列满足：，，则 = （ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【切入点】分段递推： 为偶数就除以 、为奇数就乘 加 ——要求 ，逐项算十步最快，不必找通项。 【关键】（奇）→ ；（ 到 ）； 为奇 → ； 得 、；。 故 ，选 B。 【易错】第一，判断的是 的奇偶、不是下标 的奇偶，这一条最容易搞混。第二， 之后进入 的循环，可以借循环快速定位。第三， 对应第 项，从 起算共 次递推，别少数一次。 【答案】B 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知数列满足，。若对于任意，都有成立，则实数c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 里只有一个参数 ，而要求「对任意 都有 」——把递增条件化成 ，问题就变成求右边这个函数的上确界。 【关键】先看前两项：，由 得 ，由 得 。 再看递推： 即 ，故 对一切 成立。 数列递增且 ，故 ； 在 上递增，上确界为 。 故 ，与 合并得 ，选 B。 【易错】第一， 可以取到：此时 递增趋近 但永远小于 ， 始终小于 ，所以右端点是闭的。第二， 在 上递增，上确界在端点 处取到，要算 而不是 。第三， 与 取交集，左端点仍是开的。 【答案】B 变式6-5（单选·★★★★☆） 已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则 = （ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【切入点】五项正整数、相邻两项相差 ——这样的数列就是在整数上「走楼梯」，问「含 的数列有几个」，只能分类枚举。 【关键】 时按「 出现几次」分类：只出现一次有 种；出现两次有 种；出现三次有 种，合计 。 时同样分类枚举，得到 。 故 ，选 C。 【易错】第一，枚举要按「位置」与「次数」两个维度分，漏一类就会少算。第二， 必须为正整数，走到 或负数的路径要剔除。第三， 是两个独立计数之差，不能只算「同时含 和 」的个数。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $