第3讲切线与切点弦讲义-2027届高三数学一轮复习

切线与切点弦 解析几何 · 专题篇 一 切线的求法与切点弦 一、先看点在不在曲线上。 点在曲线上：直接代切线公式 ——椭圆 上点 处切线为 ；抛物线 上点处为 。 点在曲线外：切线有两条，只能设斜率联立、令 。 ★ 判别法：把点的坐标代进切线公式左边，等于 就在线上，不等于就在线外。 二、抛物线切线的两个常用结论。 上点 处的切线斜率为 ，切线为 。 上点 处斜率为 。 ★ 用导数算斜率最快： 看成 求导，或直接用隐函数求导 。 三、 的两种用法。 已知切点求切线：写出点斜式，代入后 反解 ——若只得一个 ，另一条切线垂直于 轴，要补 。 已知切线过某点：设切线方程含参数， 给出参数关系。 ★ 后者在处理「过定点的两条切线」时最常用，两个切点就是 对应的两个根。 四、切点弦：两切点连线不用求切点。 过曲线外一点 作两条切线，切点为 、，则 的方程为 （与切线公式同形，把切点换成 ）。 ★ 推导只一句：、 都在以 为「极点」的极线上，而这条线就是 。 五、求切线的三条路，按题目条件选。 条件给切点 → 用切线公式（最快）；给切线过某点 → 设点斜式 + ；给切线斜率 → 设 与曲线相切，用 定 。 ★ 三条路的本质相同，区别只在「设哪个量」。设的量要与题目给的量对齐，未知数越少越好算。 六、算完的两个自查。 一是把切点代回切线方程，左右应当相等；二是把切点代回原曲线，也应当成立 —— 两处都对，切线才算求对。 ★ 若求出两个 却只代回一个切点，说明漏了另一条切线；这类失误在选择题里表现为「答案不唯一」，看到就该警觉。 例1（解答·★★★★☆） 如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，。 （1）求抛物线的方程；（2）求抛物线在点处的切线方程. 变式1-1（填空·★★★☆☆） 若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______。 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________。 变式1-4（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是______。 变式1-5（单选·★★★☆☆） 已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 4 变式1-6（单选·★★☆☆☆） 过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过点作的切线，交轴于点，过点作的平行线交轴于点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 二 两切线的位置关系 一、两条切线的交点有一个固定位置。 抛物线 上两点 、 处的切线为 ，联立后交点坐标是 。 ★ 只要用韦达定理把 、 换成参数，就能得到交点的轨迹或定直线。 二、焦点弦两端的切线交于准线。 过焦点的弦 ，在 、 处作两条切线，交点必定落在准线上，且两条切线互相垂直。 ★ 推论：交点与焦点的连线垂直于焦点弦 ，所以若设 的倾斜角为 、交点与焦点连线倾斜角为 ，则 ，。 三、蒙日圆：两条垂直切线的交点轨迹。 椭圆 的两条互相垂直的切线，交点轨迹是 ，半径 ，它必过点 。 ★ 双曲线对应 （需 ）；抛物线没有蒙日圆，两条垂直切线的交点轨迹是准线。 四、切线与圆：弦长靠距离。 切线与圆相交时，弦长 ，其中 是圆心到切线的距离。 ★ 求弦长最值就变成求 的最值； 一般写成切点坐标的函数，再用基本不等式或二次函数。 五、判断「轨迹是定直线」的写法。 先设动点坐标，用韦达把两个切点坐标换成参数 ；再联立两条切线解出交点 ；最后从 、 的表达式里消掉 。 ★ 若消完只剩一个坐标（如 ），说明轨迹是水平线；若 、 都还能变，则要写出含参数的轨迹方程并注明范围。 六、两条切线还有一个「距离」视角。 设两切线交于 ，则 到原点的距离、 到某条定直线的距离都能写成参数的函数，最值用配方或基本不等式求。 ★ 这类题的突破口都是「先写出 的坐标」， 一确定，距离、面积、角度全部跟着出来；写不出 就说明韦达那一步没有整体代入。 例2（多选·★★★☆☆） 设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（ ） A. 直线经过一定点 B. 抛物线的焦点为 C. 点到坐标原点的距离不小于 D. 的面积的最小值为 变式2-1（解答·★★★★★） 已知椭圆 （）的离心率为 ，右焦点为 ，点 。（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 作椭圆 的两条切线 、，求 、 的方程。 变式2-2（多选·★★★☆☆） 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）。已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 变式2-3（多选·★★★★☆） 抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ） A. 当时， B. 面积的最大值为2 C. 点E在一条定直线上 D. 设直线倾斜角为，为定值 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ） A. B. 抛物线的准线与以为直径的圆相切 C. 设，则 D. 点位于定直线上 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 = ______。 三 切线的综合与光学性质 一、阿基米德三角形。 圆锥曲线上两点 、 处的切线交于 ， 叫阿基米德三角形。 抛物线 的焦点弦对应的阿基米德三角形有三条固定性质： 在准线上、、 与焦点的连线垂直于弦 。 ★ 求这类三角形的面积，用「 弦长 到弦的距离」，弦长与距离都可以用韦达定理整体算出。 二、光学性质的两种表述。 椭圆：从一个焦点发出的光线经椭圆反射后过另一个焦点，故椭圆在 处的切线平分 的外角。 双曲线：从焦点发出的光线经双曲线反射，反射光线的反向延长线过另一焦点，切线是 的内角平分线。 ★ 这两种表述常用来把「角相等」翻成「到两焦点距离之比」——用角平分线定理，比直接用余弦定理快得多。 三、角平分线定理的用法。 切线是角平分线时，，其中 是切线与焦点所在直线的交点。 ★ 再联立双曲线定义 ，两个方程就能解出两条焦半径。 四、切线与坐标轴的交点。 设曲线上点 ，写出切线后令 或 ，得到的截距往往是定值或满足某个固定关系。 ★ 这类题的组合拳是：切线方程 → 截距 → 韦达 → 定值，四步都在同一套坐标里，不必换元。 五、对称点与切线的联动。 题面出现「点 关于切线 的对称点 」时，立刻写 （ 在 上）；再结合圆锥曲线的定义，把折线拉直求比值。 ★ 这一招把「对称」变成「距离相等」，是把几何条件翻译成代数式的关键一步。 例3（单选·★★★☆☆） 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”。已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（多选·★★★☆☆） 如图，从双曲线的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知，C的离心率为2，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若，则的面积为 C. 若l与x轴交于点，则 D. 若l的斜率为2，则为直角三角形 变式3-2（多选·★★★★☆） 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ）附：双曲线在其上一点处的切线方程为。 A. B. C. 作于点，则（为坐标原点） D. 若的延长线交于点，则的内心在定直线上 变式3-3（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，圆：与轴交于，两点（A在的左边），过作圆的切线，动点满足到的距离等于其到直线的距离，过的直线与动点的轨迹交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A. 动点的轨迹方程为 B. 若点的坐标为，则的最小值为6 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点。直线为在点处的切线，点关于的对称点为。由椭圆的光学性质知，三点共线。若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（ ） A. 若，则 B. C. D. （是直线l的倾斜角） 变式4-3（单选·★★★★☆） 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，。若直线在轴，轴上的截距分别为，，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 变式4-4（单选·★★★★☆） 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 变式4-5（多选·★★★★☆） 已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 切线与切点弦 解析几何 · 专题篇 一 切线的求法与切点弦 一、先看点在不在曲线上。 点在曲线上：直接代切线公式 ——椭圆 上点 处切线为 ；抛物线 上点处为 。 点在曲线外：切线有两条，只能设斜率联立、令 。 ★ 判别法：把点的坐标代进切线公式左边，等于 就在线上，不等于就在线外。 二、抛物线切线的两个常用结论。 上点 处的切线斜率为 ，切线为 。 上点 处斜率为 。 ★ 用导数算斜率最快： 看成 求导，或直接用隐函数求导 。 三、 的两种用法。 已知切点求切线：写出点斜式，代入后 反解 ——若只得一个 ，另一条切线垂直于 轴，要补 。 已知切线过某点：设切线方程含参数， 给出参数关系。 ★ 后者在处理「过定点的两条切线」时最常用，两个切点就是 对应的两个根。 四、切点弦：两切点连线不用求切点。 过曲线外一点 作两条切线，切点为 、，则 的方程为 （与切线公式同形，把切点换成 ）。 ★ 推导只一句：、 都在以 为「极点」的极线上，而这条线就是 。 五、求切线的三条路，按题目条件选。 条件给切点 → 用切线公式（最快）；给切线过某点 → 设点斜式 + ；给切线斜率 → 设 与曲线相切，用 定 。 ★ 三条路的本质相同，区别只在「设哪个量」。设的量要与题目给的量对齐，未知数越少越好算。 六、算完的两个自查。 一是把切点代回切线方程，左右应当相等；二是把切点代回原曲线，也应当成立 —— 两处都对，切线才算求对。 ★ 若求出两个 却只代回一个切点，说明漏了另一条切线；这类失误在选择题里表现为「答案不唯一」，看到就该警觉。 例1（解答·★★★★☆） 如图，是抛物线的焦点，是抛物线在第一象限上的一点，，。 （1）求抛物线的方程；（2）求抛物线在点处的切线方程. 【切入点】第（1）问给的是 与角，先想抛物线定义： 等于 到准线的距离；求出 后，第（2）问用「点在曲线上」的切线公式。 【关键】设 。由定义， 到准线 的距离为 。 在 中，、，故 ，即 。 代入 得 ，解得 ，抛物线为 。 此时 、，故 ；由 得 ，即 。 【易错】第一， 是从 反推的， 是 在 轴上的投影。第二，切线公式 里的 是焦准距，不是 。第三，最后化成一般式，并核对常数项符号。 【答案】； 变式1-1（填空·★★★☆☆） 若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______。 【切入点】问的是「两条切线交点的轨迹」——先设割线、用韦达表示两个切点，再写两条切线求交点，最后消掉参数。 【关键】设 （这样设能避开斜率不存在的讨论），代入 得 ，故 、。 抛物线 上点 处的切线为 ，两条切线联立消去 ，得交点满足 。 故交点轨迹方程为 。 【易错】第一，割线设成 而不是 ，因为后者漏掉竖直线。第二，切线公式里 （由 得 ），写成 就错了。第三，轨迹方程要写成一般式，且注明是直线（不是整条直线上的所有点，需看范围）。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】在定直线 上任取一点 作两条切线 ——这是「过定点作切线」的模型，两切点的连线就是切点弦，它的方程可以直接写出来。 【关键】设 、， 在 处的切线为 。 设 在两条切线上，代入得 与 。 两式说明 、 都在直线 上，故 的方程为 ，它恒过定点 。 焦点 到这条直线的距离随 变化，取 时最大，得最大值，选 B。 【易错】第一，切点弦方程是把「切点 」换成「外部点 」写的，形式与切线公式相同，别弄混。第二， 恒过 ，这是 关于 的对称点。第三，距离最大时直线趋于水平，此时 。 【答案】 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________。 【切入点】要求切线斜率，先要定出点 的坐标 ——条件给的是 与焦半径关系。 【关键】设 （，因为在第一象限），焦半径 。 由 与几何关系得 ，解得 。 在 处的斜率为 ，故斜率为 。 【易错】第一，设 用的是 的参数形式，比设 少一个未知量。第二，，焦准距 除以 得 。第三，切线斜率 ，不是 。 【答案】 变式1-4（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是______。 【切入点】先由 定 ，再由过 的两条切线定出切点弦，最后把「过 的直线与圆相切」翻成斜率范围。 【关键】由 得 ，抛物线为 。 设 、切点 、，由切线公式可推出 的方程为 ，即 恒过定点，且中点 的轨迹是以 为直径的圆 。 过 的直线与 相切时斜率取到边界值，解得 ，即 。 【易错】第一，（开口向上时），不是 。第二，切点弦 的方程要把 的坐标代进切线公式，不是代切点。第三，斜率的解是 ，对应两个区间，不能只写正的。 【答案】 变式1-5（单选·★★★☆☆） 已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 4 【切入点】切线与圆相交得弦 ，求弦长最大 ——弦长由圆心到切线的距离决定，先把这个距离写成切点坐标的函数。 【关键】设切点 ，由 得切线 。 圆心 到它的距离 ，弦长 。 把 化简后求最值， 最小时弦长最大，结合基本不等式得最大值，选 B。 【易错】第一， 的导数是 ，切点处斜率为 ，别写成 。第二，切线方程 的常数项是 ，符号错了距离就错。第三，弦长公式是 ，半径 来自圆方程 。 【答案】 变式1-6（单选·★★☆☆☆） 过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过点作的切线，交轴于点，过点作的平行线交轴于点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【切入点】过焦点 的直线交抛物线于 、，过 作切线、过 作该切线的平行线 ——先用韦达把 、 坐标关联起来，再算 、 的纵坐标。 【关键】 的焦点 ，设过 的直线 ，与抛物线联立得 ，故 、。 设 ，则 ；由 得过 的切线斜率 ，令 得 的纵坐标，同法得 的纵坐标。 化为关于 的式子，用基本不等式求得最小值，选 D。 【易错】第一， 即 ，导数是 ，不是 。第二， 来自韦达定理，不要与 混。第三，、 在 轴上，求的是纵坐标之差，不是两点距离公式。 【答案】 二 两切线的位置关系 一、两条切线的交点有一个固定位置。 抛物线 上两点 、 处的切线为 ，联立后交点坐标是 。 ★ 只要用韦达定理把 、 换成参数，就能得到交点的轨迹或定直线。 二、焦点弦两端的切线交于准线。 过焦点的弦 ，在 、 处作两条切线，交点必定落在准线上，且两条切线互相垂直。 ★ 推论：交点与焦点的连线垂直于焦点弦 ，所以若设 的倾斜角为 、交点与焦点连线倾斜角为 ，则 ，。 三、蒙日圆：两条垂直切线的交点轨迹。 椭圆 的两条互相垂直的切线，交点轨迹是 ，半径 ，它必过点 。 ★ 双曲线对应 （需 ）；抛物线没有蒙日圆，两条垂直切线的交点轨迹是准线。 四、切线与圆：弦长靠距离。 切线与圆相交时，弦长 ，其中 是圆心到切线的距离。 ★ 求弦长最值就变成求 的最值； 一般写成切点坐标的函数，再用基本不等式或二次函数。 五、判断「轨迹是定直线」的写法。 先设动点坐标，用韦达把两个切点坐标换成参数 ；再联立两条切线解出交点 ；最后从 、 的表达式里消掉 。 ★ 若消完只剩一个坐标（如 ），说明轨迹是水平线；若 、 都还能变，则要写出含参数的轨迹方程并注明范围。 六、两条切线还有一个「距离」视角。 设两切线交于 ，则 到原点的距离、 到某条定直线的距离都能写成参数的函数，最值用配方或基本不等式求。 ★ 这类题的突破口都是「先写出 的坐标」， 一确定，距离、面积、角度全部跟着出来；写不出 就说明韦达那一步没有整体代入。 例2（多选·★★★☆☆） 设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（ ） A. 直线经过一定点 B. 抛物线的焦点为 C. 点到坐标原点的距离不小于 D. 的面积的最小值为 【切入点】动直线 恒过定点 ；它与 交于 、，再过 、 各作切线，两切线交于 —— 先写出 的坐标，四个选项就都能算了。 项： 化为 ，令 、，故恒过 ，正确。 项： 中 ，故 ，焦点为 ，与选项不符，错误。 项：联立得 ，故 、；由 得两条切线 与 。 联立两条切线得 、，即 ； 到原点距离的平方为 ， 时取最小值 ，正确。 项： 到 的距离 ，弦长 ，故 ； 时 ， 取最小值 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 的导数是 ，切线 的常数项带负号。第二， 的纵坐标是 ，不是 。第三，面积化简成 后，要先把 配方成 再取最值。 【答案】 变式2-1（解答·★★★★★） 已知椭圆 （）的离心率为 ，右焦点为 ，点 。（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 作椭圆 的两条切线 、，求 、 的方程。 【切入点】 在椭圆外，切线必有两条 ——设斜率、联立、令 ，两个根就是两条切线的斜率。 【关键】第（1）问：、，故 、，椭圆为 。 第（2）问：设过 的直线 ，代入 整理得 。 令 ，化简得 ，故 、。 于是 、。 【易错】第一， 化简后得 的两根，说明两条切线斜率都存在、没有竖直线。第二， 对应水平切线 ，它在椭圆上方的切线里是真实存在的一条。第三，椭圆方程先化成 再代入，避免分式。 【答案】；， 变式2-2（多选·★★★☆☆） 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）。已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 【切入点】题面先定义「蒙日圆」：椭圆的两条互相垂直的切线，交点轨迹是圆。先算 ，再由定义写出圆的方程，最后处理内接长方形。 项： 中 、，故 ，，正确。 、 项：长方形四边都与椭圆相切，故点 在蒙日圆上，半径的平方 ，蒙日圆为 ， 正确、 错误。 项：设长方形的边长为 、，其对角线是蒙日圆的直径，故 ；面积 ， 时取等，正确。故选 ACD。 【易错】第一，蒙日圆半径是 ，不是 （那是双曲线的）。第二，长方形的对角线等于直径 ，所以 ，不是 。第三， 时取得最大值，此时 ，与圆的半径关系自洽。 【答案】 变式2-3（多选·★★★★☆） 抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ） A. 当时， B. 面积的最大值为2 C. 点E在一条定直线上 D. 设直线倾斜角为，为定值 【切入点】过焦点 的直线交抛物线于 、，分别作切线交于 ——这是「焦点弦两端切线」的模型，先设线、用韦达，再算 。 由 得 ，抛物线为 ；设 ，联立得 ，故 、。 项：，令它等于 得 ，故 或 ，选项只写一个值，错误。 项：，是最小值为 ，选项说最大值，错误。 项：由 得 ，；联立得 、，故 在定直线 （准线）上，正确。 项：、，则 ，，故 为定值，正确。故选 CD。 【易错】第一， 的准线是 ， 的纵坐标 正好落在准线上。第二， 项算出的 是最小值，题目故意写成「最大值」设套。第三， 的分子是纵坐标之差 ，分母是横坐标之差，注意是 。 【答案】 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，分别以为切点作的切线，且两切线相交于点，设为坐标原点，则（ ） A. B. 抛物线的准线与以为直径的圆相切 C. 设，则 D. 点位于定直线上 【切入点】过 的直线交抛物线于 、 ——设 （这样设能包含竖直线），再把各选项翻成 、 的关系。 联立得 ，故 、，从而 。 项：，正确。 项：设 中点为 ，则 到准线的距离为 ，而 ；令两者相等会推出 ，矛盾，故准线与以 为直径的圆不相切，错误。 项：，而 ，故分子为 ，，即 ，正确。 项：分别写出 、 处的切线，联立后交点的横坐标为定值，正确。故选 ACD。 【易错】第一，直线设 而不是 ，后者漏掉竖直线。第二， 是韦达定理给的，由此推 要用 。第三， 项判断「相切」用「圆心到直线距离等于半径」，推矛盾即可否定。 【答案】 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 = ______。 【切入点】「抛物线与圆在交点处的切线互相垂直」——圆在交点处的切线垂直于该点与圆心的连线，故抛物线在该点的切线与这条连线平行。 【关键】设交点 。由 得切线斜率 。 圆心 与 连线的斜率 等于切线斜率，解得 。 代回圆方程 得 ，解出 ；由 取 。 【易错】第一，「两切线垂直」的传递是：圆切线 半径 ，圆切线 抛物线切线，故抛物线切线 —— 是平行，不是过圆心，这里最容易说反。第二， 要有 才有 ，这是舍去另一根的依据。第三， 的两根一正一负，只有负根满足 。 【答案】 三 切线的综合与光学性质 一、阿基米德三角形。 圆锥曲线上两点 、 处的切线交于 ， 叫阿基米德三角形。 抛物线 的焦点弦对应的阿基米德三角形有三条固定性质： 在准线上、、 与焦点的连线垂直于弦 。 ★ 求这类三角形的面积，用「 弦长 到弦的距离」，弦长与距离都可以用韦达定理整体算出。 二、光学性质的两种表述。 椭圆：从一个焦点发出的光线经椭圆反射后过另一个焦点，故椭圆在 处的切线平分 的外角。 双曲线：从焦点发出的光线经双曲线反射，反射光线的反向延长线过另一焦点，切线是 的内角平分线。 ★ 这两种表述常用来把「角相等」翻成「到两焦点距离之比」——用角平分线定理，比直接用余弦定理快得多。 三、角平分线定理的用法。 切线是角平分线时，，其中 是切线与焦点所在直线的交点。 ★ 再联立双曲线定义 ，两个方程就能解出两条焦半径。 四、切线与坐标轴的交点。 设曲线上点 ，写出切线后令 或 ，得到的截距往往是定值或满足某个固定关系。 ★ 这类题的组合拳是：切线方程 → 截距 → 韦达 → 定值，四步都在同一套坐标里，不必换元。 五、对称点与切线的联动。 题面出现「点 关于切线 的对称点 」时，立刻写 （ 在 上）；再结合圆锥曲线的定义，把折线拉直求比值。 ★ 这一招把「对称」变成「距离相等」，是把几何条件翻译成代数式的关键一步。 例3（单选·★★★☆☆） 阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”。已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题面定义了阿基米德三角形 ——焦点弦 与两端切线围成的三角形。先由 定出 、，再求两条切线、算面积。 【关键】设直线 ，与 联立得 ，故 。 由 得 ，即 ；结合 得 ，于是 、，对应 、。 由 两边求导得 ，故过 的切线 ，过 的切线 ，两切线交于 。 到 的距离 ，，故面积 ，选 B。 【易错】第一， 等价于 ，由此得 （纵坐标反号），这一步是解出坐标的关键。第二， 而不是 。第三，面积的两个因子都带分母 ，相乘后别漏约分。 【答案】 变式3-1（多选·★★★☆☆） 如图，从双曲线的左焦点发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点，且C在点P的切线l恰好为的角平分线所在的直线.已知，C的离心率为2，则下列结论正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 若，则的面积为 C. 若l与x轴交于点，则 D. 若l的斜率为2，则为直角三角形 【切入点】题面给的是双曲线的光学性质：从 发出的光线经 反射，反向延长线过 ，且 是 的角平分线。先由 、 定出基本量。 由 、、，双曲线为 ，渐近线 ， 项给的是 ，错误。 项： 代入得 ， 的底 、高 ，故面积为 ，正确。 项：由角平分线定理，，代入 得比值 ；再与 联立，得 、，正确。 项：由 的斜率为 反解 的坐标，再算三条边长，可得 为直角三角形，正确。故选 BCD。 【易错】第一，双曲线的渐近线是 ，除反了会得到 ，正是 项的陷阱。第二，角平分线定理里的比是「到两焦点的距离之比」等于「两焦点到 的距离之比」，方向不能反。第三，，是右支上点的性质。 【答案】 变式3-2（多选·★★★★☆） 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（ ）附：双曲线在其上一点处的切线方程为。 A. B. C. 作于点，则（为坐标原点） D. 若的延长线交于点，则的内心在定直线上 【切入点】题干给了光学性质与切线的关系 ——先由 、 求出 ，再逐项处理 、垂足、内心。 项：，故 ，选项给 ，错误。 项：由 、、 三点共线得 ，即 ，整理得 ；再由 得 ，代入得 ，即 ，正确。 项： 处切线斜率为 ，结合等腰三角形与双曲线定义可算得 ，正确。 项：、 分别是两条切线，联立其方程得内心 的坐标，可验证它落在一条定直线上，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 中 ，故 ，不是 。第二， 的分母是 ，因为 在 轴上、 的横坐标是 。第三， 是把 整体换掉后推出的，不能直接约掉 。 【答案】 变式3-3（多选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，圆：与轴交于，两点（A在的左边），过作圆的切线，动点满足到的距离等于其到直线的距离，过的直线与动点的轨迹交于，两点，则下列结论正确的有（ ） A. 动点的轨迹方程为 B. 若点的坐标为，则的最小值为6 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有 【切入点】题面给 、 与直线 ， 到 的距离等于到 的距离 ——这正是抛物线的定义。 项：到定点 与定直线 距离相等的点，轨迹是焦点为 、准线为 的抛物线，即 ，正确。 项：由定义 （ 为 到 的垂足），故 ，最小值是 ，与选项所给不符，错误。 项：设 ，与 联立得 ， 要求 ；在此范围内可解出满足 的 ，正确。 项：由焦半径公式 ，结合韦达得 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一，抛物线 的准线是 、焦点是 ，恰好与题给的 、、 对应。第二， 化成 后，三点共线时取等，最小值是与 的距离 。第三， 给出 ，这是后面判断存在性的前提。 【答案】 变式4-1（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点。直线为在点处的切线，点关于的对称点为。由椭圆的光学性质知，三点共线。若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】点 关于切线 的对称点为 ，而 在 上 —— 立刻得 ，再用椭圆定义把折线拉直。 【关键】 的周长 ，又 ，故 。 由 、，解得 。 于是 、，故 ，选 D。 【易错】第一， 成立是因为 、、 三点共线，别漏了这个前提。第二，周长为 用的是椭圆定义：每个点到两焦点距离之和为 ，两个点就是 。第三，，用定义算右焦半径最省事。 【答案】 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知抛物线，直线l过其焦点F交抛物线于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则（ ） A. 若，则 B. C. D. （是直线l的倾斜角） 【切入点】 的焦点 、准线 ；过 的直线交抛物线于 、，四项分别考定义、韦达、切线与倾斜角。 项：若 ，由定义 得 ，，故 有两个位置，选项只给了一个，错误。 项：设 ，代入消 得 ，故 ，正确。 项：由 写出 处切线，令 得 的坐标，可验证 ，正确。 项： 用倾斜角表示时，正确形式与选项所给不符，错误。故选 BC。 【易错】第一， 项容易只取 ，忘掉对称的负值 —— 抛物线上下对称，给定 后 必有两解。第二，直线设 可避免讨论斜率不存在。第三， 项的关键是「 为切线与 轴的交点」，令 而不是 。 【答案】 变式4-3（单选·★★★★☆） 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，。若直线在轴，轴上的截距分别为，，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】过椭圆上点 作圆 的两条切线，切点为 、 —— 由「半径垂直于切线」可得 、 都在一条直线上，这条直线就是切点弦。 【关键】由 得 ，同理 ，故 的方程为 。 令 得 、令 得 。 代入 得 ；再由 消去 ，得 ，故 、，选 C。 【易错】第一， 是 在 轴上的截距，对应 ，所以 —— 与直觉「 对应 」一致但要算一遍确认。第二， 之后求 ：，故 。第三，把 展开前先代 、，顺序反了会绕远。 【答案】 变式4-4（单选·★★★★☆） 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】过焦点 的直线交抛物线于 、，过 作切线交 轴于 、过 作该切线的平行线交 轴于 ——用参数 表示 、，再算两个截距。 【关键】设 ，由焦点弦关系得 。 设过 的切线 ，代入抛物线并令 解得 ，从而 的坐标为 一类，再求出 的坐标。 代入得 ，当 时取等，最小值为 ，选 C。 【易错】第一， 上点 处的切线斜率是 ，不是 。第二， 的坐标由 、 推出，不能凭印象写。第三，基本不等式 ，加上常数 得 ，等号在 时成立。 【答案】 变式4-5（多选·★★★★☆） 已知双曲线：（）的上、下焦点分别为，，下顶点为，是双曲线上第一象限内的动点.当时，的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若过点作双曲线的切线与渐近线交于，两点，则的最小值为4 D. 【切入点】双曲线的上、下焦点与下顶点，四点里既有基本量、又有渐近线、还有切线：逐项按「定义 → 渐近线 → 特殊点 → 正切比较」走。 项：由焦点三角形的条件得 （），配合题给关系可解得 ，正确。 项：焦点在 轴上时渐近线为 ，而选项给的是 （对应 ），由 得 即 ，故渐近线应为 ，错误。 项：取一个特殊点算出 的值，与选项所给常数不等，错误。 项：设 的坐标，分别写出 与 的正切值，两者满足二倍角关系，且在 内，故 ，正确。故选 AD。 【易错】第一，焦点在 轴上时渐近线是 ，与焦点在 轴时的 正好颠倒 —— 这是 项设的套。第二，判断「是否为定值」最省事的办法是取特殊点，与选项不符即可否定。第三， 项用正切推倍角，要说明两角都在 内，否则要讨论。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $