第42讲 圆的方程、弦长与切线讲义-2027届高三数学一轮复习

第42讲 圆的方程、弦长与切线 位置关系判定·垂径定理与弦长·切线与公切线·隐圆与多选压轴 一、圆的方程与位置关系 1. 配方定圆. 一般式 表示圆当且仅当 ，圆心 ，半径 ——拿到方程先配方. 2. 位置关系几何法优先. 直线与圆：圆心距 对半径 （ 相交）；圆与圆：圆心距 对 与 ——比大小定五态，不联立解方程. 3. 含参圆的圆心带轨迹. 圆心随参数滑动（如 ）时，“恰有公共点”化为圆心到直线的距离与半径的不等式. 【通法】先配方,再读圆心与半径. 【通法】位置关系:距离与半径比大小. 【通法】两圆公共点:|r1−r2|≤d≤r1+r2. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】圆心 ，半径 ，到直线 的距离为 。“恰有 个交点”即相交：，解得 ，选 C。 【关键】直线与圆的位置关系只用一个数——圆心到直线的距离：小于 交两点，等于 相切，大于 离；含参圆先把圆心坐标用参数写出来. 【答案】选 C（） 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】圆心距 ，两圆半径 与 。有公共点即 ，左边给 ，右边给 ，故 ，选 B。 【关键】“有公共点”=内切、相交、外切三态之和，充要条件是一条双边不等式 ——两个不等号各自管住“不内含”与“不外离”. 【答案】选 B（） 变式2（填空·★★★☆☆） 若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 【切入点】方程分解为 或 ——同一圆心的两个同心圆。直线 过定点 ，它与内圆距离 ：直线与外圆恒相交（ 在外圆内），要凑出恰三个公共点，只能与内圆相切： 【关键】“恰有 个公共点”先拆曲线（乘积方程=两个圆），再数点：过外圆内一点的直线必交外圆两点，第三个点只能由“与内圆相切”贡献——切而仅切，一个 就锁定 . 【答案】 二、弦长与圆心角 1. 弦长一招. 半弦长为 ，弦长为 ——垂径定理的几何法，永远比联立解交点快. 2. 圆心角与弧长. ，弧长为 ；半弦、弦心距、半径构成直角三角形，三知求一. 3. 设线优先 型. 过定点、斜率任意（含竖直）都能覆盖，配合点到线的距离公式一次成型. 【通法】半弦=根号(r方减 d方). 【通法】d=r·cos(θ/2),弧长=rθ. 【通法】设线优先 x−my 型. 例2（填空·★★★☆☆） 直线与圆交于A、B两点，若，则实数的值为________． 【切入点】配方：，圆心 ，。由弦长反推弦心距： 另一方面 ，解 ，平方得 ，。 【关键】弦长问题的信息流是双向的：给弦长能反推 ，给 能算弦长——中间量永远是那个直角三角形；含参直线 的距离分子恰好只含参数，平方一次即解. 【答案】 变式3（单选·★★★☆☆） 已知直线与圆 ，圆 的交点从左到右依次为A，B，C，D，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】直线 到两同心圆圆心的距离都是 （分子为 ，分母为 ）。大圆 ：弦长 ；小圆 ：弦长 。交点从左到右 ，两端小段在外圆内、小圆外： 选 B。 【关键】同心圆被同一条直线截，四点对称排在弦上——两条弦长一减就是 ；不必求出任何交点坐标，垂径定理加一个减法收工. 【答案】选 B 变式4（单选·★★★☆☆） 已知直线与圆相交于，两点，则劣弧的长为（　） A. B. C. D. 【切入点】配方：，圆心 ，。圆心到直线距离 。由 得 ，故劣弧长为 ，选 B。 【关键】弦心距一半径直角三角形里， 一口气给出圆心角，再乘半径就是弧长——“距离、圆心角、弧长”是一条流水线. 【答案】选 B（） 变式5（单选·★★★☆☆） 直线与圆的交点为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】圆心 ，。圆心角 时，弦心距 。另一方面直线 到圆心： 平方解得 ，选 C。 【关键】圆心角反向给弦心距：——与上一题同一条直角三角形，方向反过来用；距离式子里分子恰为 ，平方一次化成无理方程. 【答案】选 C（） 变式6（填空·★★★★☆） 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【切入点】圆心 ，，圆心到直线 的距离 。三角形面积（以 为顶点、 为底）： 设 ：，即 ， 或 ——两根都小于 ，全部合法。 时 ，代回 得 ； 时 ，代回得 。故 或 ，写 即可。 【关键】“ 型”设线的距离分子不含 的绝对值混乱，一算就出；面积方程 对同一个 常有两个 解（弦短则高、弦长则短，面积相同），两根都要回代 验证、各自解出 ——只取一根，答案就少一半. 【答案】如 （ 或 均可） 三、切线与公切线 1. 切线长一招. 从点 引圆的切线，切线长为 ——切线、半径、点心距构成直角三角形，切点弦长同理. 2. 切线条数看点位. 点在圆内 条、圆上 条、圆外 条；过圆外一点的两切线夹角，由 读出. 3. 对称轴过圆心. 圆的任何对称轴都过圆心；“直线是圆的对称轴”即直线过圆心，一个条件立刻定参. 【通法】切线长=根号(|PC|方减 r方). 【通法】切线条数看点位,夹角用 sin(α/2)=r/|PC|. 【通法】对称轴必过圆心. 例3（填空·★★★☆☆） 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 = _____． 【切入点】配方：，圆心 ，。对称轴过圆心：，，故 。切线长： 【关键】两步接力：对称轴过圆心定出参数，切线长公式一步收尾——切线问题的一切长度都从那个直角三角形里长出来. 【答案】 变式7（单选·★★★☆☆） 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】设点 ，圆心 ，。。由 ： 选 B（）。 【关键】过圆外一点的两切线夹角，藏在同一个直角三角形里：——先算半个角，再用二倍角；不需求任何切线方程. 【答案】选 B（） 变式8（填空·★★★★☆） 已知圆，圆，直线（）与两圆均相切，则直线的方程为__________. 【切入点】 配方：，两圆半径都是 ，圆心 与 。与两圆都相切： 两式相除得 ，平方化简 ，（）。代回：，，；结合 取 ，。故所求直线为 ，斜率与截距同为负，符合 的约定。 【关键】两圆公切线=到两个圆心距离分别等于各自半径的直线：两条距离方程相除消去分母，是解这类联立的标准动作； 这类符号约束放在最后筛，不要提前带进去算. 【答案】 四、隐圆与多选压轴 1. 隐圆三大来源. 对定边张直角（直径圆）；到定点距离定长（定圆）；到两定点距离成定比 （阿波罗尼斯圆）。题目没写圆而出现圆，先找这三种结构. 2. 圆上点的最值. 到定点距离：圆心距 ；到定直线距离：圆心到线的距离 ；圆上两点连线斜率、向量数量积等，能转距离的全转距离. 3. 多选压轴逐项独立. 先翻译条件（轨迹是什么圆），再逐项核；轨迹“去点”的细节(排除某一点)常是多选埋伏. 【通法】见直角想直径,见定比想阿氏圆. 【通法】圆上最值:圆心距离加减 r. 【通法】多选逐项,先翻译轨迹再判. 例4（填空·★★★☆☆） 直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 【切入点】 过定点 ， 即 过定点 ；两直线斜率积为 （ 时为 与 ，亦垂直），故交点 的轨迹是以 为直径的圆：。而 取任何值时 都不能是 （ 不在 上），轨迹去掉 点。 是 与定点 连线的斜率。 在圆外（），过 的两条切线：一条是竖直线 （切点即 ，被去掉），另一条 由 解得 。圆上的点（除 ）与 连线的斜率在两切线之间且取得到边界，故 。 【关键】三段接力：直线系定隐圆（垂直交直径），轨迹去点（ 不在另一条线上），斜率几何意义化为“圆外定点引线”——两条切线夹住范围，竖直切线对应的正是被去掉的那一点，去点与范围开口在这里咬合. 【答案】 变式9（多选·★★★☆☆） 已知平面内两点，，动点满足，则（　） A. 点到点的距离为定值 B. |PB|的最小值为1 C. 点到直线的距离的最大值为2 D. 满足的点有且仅有两个 【切入点】先翻译轨迹： 即 ，整理得 ——圆心 ， 的阿氏圆。 逐项：A 圆心即定点 ，距离恒为 ，对。B 在圆内（）， 最小值 ，对。C 圆心到直线 的距离 ，最大距离应为 而非 ，错。D 给出直径圆 （以 为直径），与轨迹圆联立：，，，恰两点，对。选 ABD。 【关键】阿氏圆 与“直角轨迹圆” 的交点个数，就是垂直点 的个数——两个隐圆一联立，D 选项的“有且仅有两个”就不再是数图形；C 的最值忘了加 是命题人埋的雷. 【答案】ABD 变式10（多选·★★★☆☆） 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 【切入点】圆 配方：，圆心 ，。逐项： A 圆心 ，对。B 圆心到直线 的距离 ，圆上点到直线最大距离 ，对。 C 切线长 ， 的最小值为 ，切线长最小 而非 ，错。 D 记 ，则 ，于是 令 ，由 得 ，则 ，当 即 时取等——圆心到直线的距离 ，直线上存在这样的 ，故 的最大值为 ，对。选 ABD。 【答案】ABD 变式11（填空·★★★☆☆） 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是______. 【切入点】曲线即 （）：右半圆，端点 ，最右点 。直线 是斜率 的平行线。两个临界：与半圆相切，，，取左下方那支 （另一支切在半圆外）；过最右点 ：。两个交点落在半圆上，要求 。 【关键】半圆与直线，画图定界不联立：上限卡在切线（另一个切点是“幽灵解”，在圆的左半边），下限卡在过端点 的直线， 时交点是 加另一个点，恰两点——开闭由“端点算不算”一锤定音. 【答案】 变式12（单选·★★★☆☆） 已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】曲线即 （）：右半椭圆。参数化 ，： ， 取遍 ，故 ，选 D。 【关键】半条圆锥曲线的距离最值，参数化最稳：辅助角 的范围被半圆的 窗口卡成 ——不是完整的 ，这正是“半”字的价值所在，也是选项设计的陷阱位. 【答案】选 D（） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第42讲 圆的方程、弦长与切线 位置关系判定·垂径定理与弦长·切线与公切线·隐圆与多选压轴 一、圆的方程与位置关系 1. 配方定圆. 一般式 表示圆当且仅当 ，圆心 ，半径 ——拿到方程先配方. 2. 位置关系几何法优先. 直线与圆：圆心距 对半径 （ 相交）；圆与圆：圆心距 对 与 ——比大小定五态，不联立解方程. 3. 含参圆的圆心带轨迹. 圆心随参数滑动（如 ）时，“恰有公共点”化为圆心到直线的距离与半径的不等式. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式2（填空·★★★☆☆） 若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 二、弦长与圆心角 1. 弦长一招. 半弦长为 ，弦长为 ——垂径定理的几何法，永远比联立解交点快. 2. 圆心角与弧长. ，弧长为 ；半弦、弦心距、半径构成直角三角形，三知求一. 3. 设线优先 型. 过定点、斜率任意（含竖直）都能覆盖，配合点到线的距离公式一次成型. 例2（填空·★★★☆☆） 直线与圆交于A、B两点，若，则实数的值为________． 变式3（单选·★★★☆☆） 已知直线与圆 ，圆 的交点从左到右依次为A，B，C，D，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式4（单选·★★★☆☆） 已知直线与圆相交于，两点，则劣弧的长为（　） A. B. C. D. 变式5（单选·★★★☆☆） 直线与圆的交点为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式6（填空·★★★★☆） 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 三、切线与公切线 1. 切线长一招. 从点 引圆的切线，切线长为 ——切线、半径、点心距构成直角三角形，切点弦长同理. 2. 切线条数看点位. 点在圆内 条、圆上 条、圆外 条；过圆外一点的两切线夹角，由 读出. 3. 对称轴过圆心. 圆的任何对称轴都过圆心；“直线是圆的对称轴”即直线过圆心，一个条件立刻定参. 例3（填空·★★★☆☆） 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 = _____． 变式7（单选·★★★☆☆） 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8（填空·★★★★☆） 已知圆，圆，直线（）与两圆均相切，则直线的方程为__________. 四、隐圆与多选压轴 1. 隐圆三大来源. 对定边张直角（直径圆）；到定点距离定长（定圆）；到两定点距离成定比 （阿波罗尼斯圆）。题目没写圆而出现圆，先找这三种结构. 2. 圆上点的最值. 到定点距离：圆心距 ；到定直线距离：圆心到线的距离 ；圆上两点连线斜率、向量数量积等，能转距离的全转距离. 3. 多选压轴逐项独立. 先翻译条件（轨迹是什么圆），再逐项核；轨迹“去点”的细节(排除某一点)常是多选埋伏. 例4（填空·★★★☆☆） 直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 变式9（多选·★★★☆☆） 已知平面内两点，，动点满足，则（　） A. 点到点的距离为定值 B. |PB|的最小值为1 C. 点到直线的距离的最大值为2 D. 满足的点有且仅有两个 变式10（多选·★★★☆☆） 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 变式11（填空·★★★☆☆） 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是______. 变式12（单选·★★★☆☆） 已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $