第52讲 切线与综合问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

第52讲 切线与综合问题 切线方程·切点弦·蒙日圆·多选压轴·新定义收编 一、切线方程与切点弦 1. 切线三条路. 抛物线 在 的切线 （判别式法/导数法殊途同归）；椭圆 ；不会背就联立令 . 2. 切点弦反写. 两切线都过 ⟺ 切点连线（切点弦）由 坐标线性表出：抛物线 、椭圆 ——切点弦与切线方程“同款不同点”. 3. 切线的判别式身份. 相切=二次方程重根：（二次项非零时）或直接读重根——与 L48 的相切一脉相承. 【通法】切线公式背三式,联立 Δ=0 兜底. 【通法】切点弦=切线方程换点. 【通法】重根即切点,读根不解题. 例1（解答·★★★★★） 已知抛物线，点在抛物线上． （1）证明：以点为切点的的切线的斜率为；（2）过外一点（不在轴上）作的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线，切点为点，点分别是切线与AB，AC的交点，设BC的中点为（如图所示）．（i）证明：A，D，E三点共线；（ii）过外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．设面积为，第1次由点作切线三角形，第2次分别由点作切线三角形，并依此方法重复次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为．判断与的大小关系并证明． 【切入点】(1) 设切线 ，联立 得 ，重根 ：，。 (2)(ⅰ) 切线 、 交于 ；平行于 的切线切点 ——、、（ 中点）纵坐标同为 ，三点共线。 (ii) 每个切线三角形面积是“外圈”的 ，第二轮两个各是 （）： 等比求和（公比 ，共 项）：. 【关键】切线三角形是“冰火两层”：内层面积恒为外层的 ，两翼各占一半——面积和成一串 等比；切线的重根身份让一切坐标只用 两个参数. 【答案】（1）证明见解析；（2）(ⅰ) 证明见解析；(ⅱ) ，证明见解析 变式1（解答·★★★★★） 如图，设抛物线方程为，点P为直线上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． （1）若的坐标为，求证：直线的方程为；（2）已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程；（3）是否存在点，使得点关于直线的对称点D在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【切入点】(1) 导数 ，切线 （两支统一）。 (2) 代入两条切线方程： 是 的两根——和 、积 ；，，， 或 ： 或 。 (3) 与 关于 对称给两中点同在 上，两式作差得 ；配 得 或 。再由 （ 方向向量 ）逐情形检验，两支均逼出 ：此时 （竖直），，对称点 恰在抛物线上——存在，。 【关键】过定点的两切线，切点坐标是同一个二次方程的两根——韦达一次给“和与积”；(3) 的对称点验证分 与否两支，竖直切线 是 的专属形态. 【答案】（1）证明见解析；（2） 或 ；（3）存在， 变式2（解答·★★★★★） 已知抛物线，点P是W上位于第一象限内的一点，过P作W的切线交y轴于点Q.过原点O作PQ的平行线交W于点A，过A作OP的平行线交W于点B，BP交OA于点N.（1）求的最大值；（2）证明：直线QN经过AB的中点；（3）若OQAB四点共圆，求P点的坐标. 【切入点】(1) ，切线 斜率 ，；记 ： (2) ； 给 ， 联立得 ，—— 是水平线 ，而 中点恰为 ，故 过 中点。 (3) 竖直给 ； 共圆用割线定理 ，解 ，。 【关键】(2) 三条平行线把 、 全部钉成 的表达式， 水平是“中点同高”的自动结果；(3) 圆幂定理把四点共圆翻译成线段乘积，比例链一算到底. 【答案】（1）最大值 ；（2）证明见解析；（3） 变式3（填空·★★★☆☆） 已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________． 【切入点】：，（ 为 在 轴上的射影）， 给 ，；切线斜率 。 【关键】焦半径 与射影距 之比恰为 ——参数点一设，几何角全变代数. 【答案】 二、蒙日圆与切线垂直 1. 蒙日圆. 椭圆 的两条互相垂直的切线交点轨迹为圆 ——过点 是最快的验证口. 2. 切线长与垂直. 圆外一点两切线长相等；两曲线在交点处切线垂直 ⟺ 两切线斜率之积为 （导数或隐函数求导）. 3. 切点弦的极点视角. 定直线上的点向曲线引切线，切点弦恒过定点或成定长——过焦点/准线的配置最经典. 【通法】蒙日圆 r²=a²+b²,过 (a,b) 验. 【通法】切线垂直=斜率积 −1. 【通法】准线上点引切线,切点弦过焦点. 例2（多选·★★★☆☆） 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 【切入点】A：，对。B、C：蒙日圆过 ：，，C 对 B 错。D：长方形内接蒙日圆，对角线长 ：，，对。选 ACD。 【关键】蒙日圆半径 由“过点 ”一口验出；内接长方形的对角线是直径，面积 ——新定义只值一句话. 【答案】ACD 变式4（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】以 为切点：。 代入两条切线： 与 ——切点弦 ，恒过 。 到 的距离不超过 ， 时取等。选 B。 【关键】“两条切线都过 ”反写切点弦，与切点弦公式互为镜像；定点 与 都在 轴上，距离最大值就是两端点间距——垂线段最短的反向使用. 【答案】选 B 变式5（填空·★★★☆☆） 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 = ______. 【切入点】交点 ：抛物线切线斜率为 ；圆的切线垂直于半径，而两曲线在交点处的切线互相垂直——故半径 与抛物线切线平行，斜率相等：，。代入圆：，。 【关键】两切线互相垂直 ⟺ 抛物线的切线与圆的半径平行（同垂直于两曲线交点处的切线）——切线垂直问题一半的工作量在圆的那一侧. 【答案】 三、多选压轴 1. 多选的节奏. 每个选项独立成题：定义/坐标/韦达/特例反例各领一项——先扫有把握的，再攻坚. 2. 特例反例法. “可能/恒成立”类选项：构造特例验证“可能”，找一个反例枪毙“恒成立”——等轴双曲线渐近线垂直是万能反例库. 3. 轨迹与共圆. 四点共圆、定长定角类选项，先写出动点的轨迹（圆/双曲线），再用圆幂或圆周角. 【通法】选项独立,逐个击破. 【通法】可能找特例,恒成立找反例. 【通法】等轴双曲线:渐近线垂直当反例. 例3（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 【切入点】B：，，对。A：正弦定理 ， 增大时分子递减、分母递增，比值递减，对。C：，严格大于，错。D：切线 与两渐近线交于 、，—— 为 中点，，对。选 ABD。 【关键】“双曲线上的点与两顶点连线斜率积为 ”反手给出离心率；切线与两渐近线的交点以切点为中点—— 是切线方程的免费礼物. 【答案】ABD 变式6（多选·★★★☆☆） 已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 【切入点】A：焦距 ，对。B： 轴时 给 ，三点重合，错。C： 给圆 与 联立：，两根及同根三种组合，横坐标和的集合 ，对。D： 迫使 平行渐近线， 不存在，错。选 AC。 【关键】B 的数量积一算就现原形（等轴双曲线渐近线互相垂直是天然屏障）；C 的“两根及同根”三种组合最易漏——圆与双曲线交点的搭配要枚举. 【答案】AC 变式7（多选·★★★★☆） 已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，，过点作交于点，过点作交于点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】设 （右支）：，B 对；，A 对； 面积比错，C 错；，D 对。选 ABD。 【关键】到两渐近线的距离之积恒为 （一般结论 ）——B 选项一步读出；其余选项都是这个常值的推论或反例. 【答案】ABD 变式8（多选·★★★☆☆） 已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（ ） A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 矩形 【切入点】 且都垂直 轴： 时为等腰梯形，相等时为矩形——B、D 对。等轴双曲线渐近线夹角 ，对角线不可能垂直，菱形与正方形出局——A、C 错。选 BD。 【关键】等轴双曲线的渐近线互相垂直——凡“对角线垂直”的形状（菱形、正方形）一律出局；一组对边平行加对称，梯形与矩形信手拈来. 【答案】BD 四、综合与新定义收编 1. 对称双曲线. 两支互反的抛物线，切线在另一支上截出的弦长、相切性都由“韦达两根同一方程”读出—— 是构造出的二次方程的两根. 2. 新定义曲线. 叶形线等代数曲线：定义域、切线、渐近线全靠“联立+重根+极限”三件套，与圆锥曲线方法同源. 3. 收编的判断. 压轴新定义题若核心是切线/弦长/最值，就归对应讲当变式；全新技能（导数定义曲率等）才另立门户. 【通法】对称曲线,韦达两根同一方程. 【通法】重根判切线,极限找渐近线. 【通法】新定义认领旧方法. 例4（解答·★★★★★） 已知直线与抛物线相切，抛物线与抛物线关于对称，点为上一动点，若过点可以作的两条切线分别交于两点． （1）求；（2）若点的纵坐标为，求；（3）求证：直线与抛物线相切． 【切入点】(1) ，，，。 (2) （）。切线 与 联立，相切给 ；同理 同方程—— 是 的两根：，， (3) ，即 ，与 联立 ，恒相切。 【关键】(2)(3) 的引擎是同一个：两条切线过同一点 ⟹ 切点纵坐标是“切线参数方程”的两根——韦达之后，弦长与相切都是一次除法. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 变式9（多选·★★★★☆） 笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（ ） A. 当时，取到最大值 B. 的取值范围是 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若是曲线的渐近线，则 【切入点】过 ：，。A： 最大值处曲线与 唯一交点， 极值点为零点，，，错。B：同理 ，对。C： 代入得 重根，切线，对。D：渐近线 按 降幂取极限：，，，对。选 BCD。 【关键】“唯一切线”翻成“三次方程重根”，与圆锥曲线的 同魂；渐近线按 幂次分层取极限——新曲线的切线与渐近线仍是老三样. 【答案】BCD 变式10（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. 的周长为12 D. ，，三点共线 【切入点】等边给 ：，，。A：斜率 双解，错。B：，对。C：周长 ，对。D：，三点共线，对。选 BCD。 【关键】等边三角形的“两边相等”一边用定义（）、一边用两点距离——两种距离工具在同一方程会师；、、 共线由斜率相等验收. 【答案】BCD 变式11（多选·★★★★☆） 抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ） A. 当时， B. 面积的最大值为2 C. 点E在一条定直线上 D. 设直线倾斜角为，为定值 【切入点】，：，。A： 给 ， 或 ，错。B： 无最大值，错。C：两切线交 ——定直线 ，对。D：，， 定值，对。选 CD。 【关键】焦弦两端切线的交点 ——“和的一半、积的四分之一”又是切点弦口诀的变奏； 是抛物线的光学性质（准线 正是 的轨迹）. 【答案】CD 学科网（北京）股份有限公司 $ 第52讲 切线与综合问题 切线方程·切点弦·蒙日圆·多选压轴·新定义收编 一、切线方程与切点弦 1. 切线三条路. 抛物线 在 的切线 （判别式法/导数法殊途同归）；椭圆 ；不会背就联立令 . 2. 切点弦反写. 两切线都过 ⟺ 切点连线（切点弦）由 坐标线性表出：抛物线 、椭圆 ——切点弦与切线方程“同款不同点”. 3. 切线的判别式身份. 相切=二次方程重根：（二次项非零时）或直接读重根——与 L48 的相切一脉相承. 例1（解答·★★★★★） 已知抛物线，点在抛物线上． （1）证明：以点为切点的的切线的斜率为；（2）过外一点（不在轴上）作的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线，切点为点，点分别是切线与AB，AC的交点，设BC的中点为（如图所示）．（i）证明：A，D，E三点共线；（ii）过外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．设面积为，第1次由点作切线三角形，第2次分别由点作切线三角形，并依此方法重复次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为．判断与的大小关系并证明． 变式1（解答·★★★★★） 如图，设抛物线方程为，点P为直线上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． （1）若的坐标为，求证：直线的方程为；（2）已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程；（3）是否存在点，使得点关于直线的对称点D在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2（解答·★★★★★） 已知抛物线，点P是W上位于第一象限内的一点，过P作W的切线交y轴于点Q.过原点O作PQ的平行线交W于点A，过A作OP的平行线交W于点B，BP交OA于点N.（1）求的最大值；（2）证明：直线QN经过AB的中点；（3）若OQAB四点共圆，求P点的坐标. 变式3（填空·★★★☆☆） 已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________． 二、蒙日圆与切线垂直 1. 蒙日圆. 椭圆 的两条互相垂直的切线交点轨迹为圆 ——过点 是最快的验证口. 2. 切线长与垂直. 圆外一点两切线长相等；两曲线在交点处切线垂直 ⟺ 两切线斜率之积为 （导数或隐函数求导）. 3. 切点弦的极点视角. 定直线上的点向曲线引切线，切点弦恒过定点或成定长——过焦点/准线的配置最经典. 例2（多选·★★★☆☆） 加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的蒙日圆方程为 C. 椭圆C的蒙日圆方程为 D. 长方形R的面积最大值为18 变式4（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式5（填空·★★★☆☆） 已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 = ______. 三、多选压轴 1. 多选的节奏. 每个选项独立成题：定义/坐标/韦达/特例反例各领一项——先扫有把握的，再攻坚. 2. 特例反例法. “可能/恒成立”类选项：构造特例验证“可能”，找一个反例枪毙“恒成立”——等轴双曲线渐近线垂直是万能反例库. 3. 轨迹与共圆. 四点共圆、定长定角类选项，先写出动点的轨迹（圆/双曲线），再用圆幂或圆周角. 例3（多选·★★★★☆） 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. 双曲线的离心率为 C. D. 变式6（多选·★★★☆☆） 已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 变式7（多选·★★★★☆） 已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，，过点作交于点，过点作交于点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 变式8（多选·★★★☆☆） 已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（ ） A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 矩形 四、综合与新定义收编 1. 对称双曲线. 两支互反的抛物线，切线在另一支上截出的弦长、相切性都由“韦达两根同一方程”读出—— 是构造出的二次方程的两根. 2. 新定义曲线. 叶形线等代数曲线：定义域、切线、渐近线全靠“联立+重根+极限”三件套，与圆锥曲线方法同源. 3. 收编的判断. 压轴新定义题若核心是切线/弦长/最值，就归对应讲当变式；全新技能（导数定义曲率等）才另立门户. 例4（解答·★★★★★） 已知直线与抛物线相切，抛物线与抛物线关于对称，点为上一动点，若过点可以作的两条切线分别交于两点． （1）求；（2）若点的纵坐标为，求；（3）求证：直线与抛物线相切． 变式9（多选·★★★★☆） 笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（ ） A. 当时，取到最大值 B. 的取值范围是 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若是曲线的渐近线，则 变式10（多选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. 的周长为12 D. ，，三点共线 变式11（多选·★★★★☆） 抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ） A. 当时， B. 面积的最大值为2 C. 点E在一条定直线上 D. 设直线倾斜角为，为定值 学科网（北京）股份有限公司 $