专题 第1讲 离心率专项训练-2027届高三数学一轮复习

离心率 解析几何 · 专题篇 一 求离心率的值 一、认准三件事：谁是 、谁是 、焦轴在哪。 椭圆：，；双曲线：，。 ★ 焦点在 轴还是 轴，决定分母大的那个是 还是 —— 先定焦轴，再谈离心率。 二、把条件翻译成一个齐次关系。 求 的本质是找 、、 的一个齐次等式，两边同除 就变成关于 的方程。 ★ 常用素材：渐近线斜率 、焦点到渐近线距离 、通径 、焦准距 。 三、两个高频几何量。 焦点 到渐近线 的距离恒等于 ；渐近线与 轴夹角 满足 。 ★ 这两个量能把「距离」「角度」直接翻译成 、，是双曲线离心率题的两把钥匙。 四、对称点的处理。 题面出现「点关于渐近线（或某直线）的对称点」时，写两个方程：中点在对称轴上、连线与对称轴垂直。 ★ 两个条件缺一不可；解出对称点坐标后代入曲线方程，就得到那个齐次关系。 五、算完必须验取值范围。 椭圆 、双曲线 ；若解得 有两个根，靠这个范围筛掉一个。 ★ 开方时只取正根 —— 是比值，恒为正。这一步每年都有学生丢分。 六、两道题的通用套路。 题给「两条焦半径成倍数」时，先用定义把两条都写成 的式子，再在一个焦点三角形里用余弦定理， 就自然出现。 题给「两个焦点三角形共用一个顶点」时，两角在公共顶点处互补，两个余弦值互为相反数，相加为零 ——这一个等式往往一步就解出 。 ★ 上面两条覆盖了本节大部分题：倍数用定义、互补用余弦。看着条件五花八门，落到这两条上的占多数。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【切入点】过顶点作渐近线的垂线、交 轴于 ——写出这条垂线的方程，令 得 ，再算 ，与已知的 比较。 【关键】取渐近线 、顶点 ，则过 的垂线为 ，令 得 。 于是 ；由 得 ，即 。 故 、，选 D。 【易错】第一，垂线的斜率是 （渐近线斜率的负倒数），不是 。第二， 的两个端点一个是顶点、一个在 轴上，用两点距离公式而不是点到直线距离。第三， 是等腰直角的关系，代回 得 。 【答案】 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A. E的离心率 B. 若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C. 若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D. 若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 【切入点】双曲线 的基本量一眼可得，四个选项分别考离心率、两支相交、三角形面积、垂直平分线。 项：、、，故 ，正确。 项： 即 ，恒过右焦点 ；要与左右两支都相交，斜率须满足 ，即 ，正确。 项： 与两条渐近线交于 、，由 、 得 ，因 故 ，选项说能取到 ，错误。 项：联立得 ，中点 ，垂直平分线令 得 ，与选项一致，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 项的面积是 再加上一个正项，所以严格大于 ，取不到等号。第二， 项的不等式是开区间，因为 时直线与渐近线平行、只有一个交点。第三， 项的垂直平分线斜率是 ，因为原直线斜率是 。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【切入点】 关于渐近线的对称点 落在双曲线上 ——先由「中点在对轴上、连线垂直」解出 的坐标，再代入双曲线方程得到齐次关系。 【关键】设 、渐近线 、对称点 ，则 且 。 解出 、，代入 化简，结合 得 ，故 ，选 B。 【易错】第一，对称的两个条件是「中点在轴上」和「连线垂直于轴」，少一个都解不出。第二，、 的表达式里分母是 而不是 ，这是解方程组的自然结果。第三， 开方取正根。 【答案】 变式1-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【切入点】题给的是焦半径的倍数关系 ——先用双曲线定义把两条焦半径都表示成 ，再用渐近线斜率定出 的余弦，最后用余弦定理。 【关键】由 与 得 、。 由 得 ；在 中用余弦定理，结合 化简得 。 故 ，选 B。 【易错】第一， 是双曲线定义，符号方向取决于 在哪一支。第二， 是因为 垂直于渐近线，这个角与渐近线倾角互余。第三，余弦定理里三条边都要用 、 表示，才能得到齐次等式。 【答案】 变式1-4（多选·★★★☆☆） 已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合。且是双曲线与抛物线的一个公共点。若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合 ——先把 用 表示，再用抛物线焦点弦的性质定出 的坐标，代回双曲线得 的方程。 【关键】，故 、；由 及抛物线定义得 、。 把 代入双曲线方程，化简得 ，即 。 解得 ，由 取 ，即 ，故选 AC。 【易错】第一， 的两个根都为正，要靠 筛掉小的那个。第二，，开方时用完全平方公式，别硬算小数。第三， 的纵坐标取正还是负不影响 ，因为代入后是 。 【答案】 例2（单选·★★☆☆☆） 设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】过右焦点作渐近线的垂线，垂足 —— 有现成结论（等于 ），再用向量数量积的条件列方程。 【关键】右焦点 ，在 中 、，故 。 由 ，结合题给条件化简得 。 于是 ，，选 D。 【易错】第一， 是双曲线的基本结论，要会现推：。第二， 与 的夹角在 处，不是 。第三， 之后别忘了 ，双曲线是「加」不是「减」。 【答案】 变式2-1（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题给的是对称与向量的组合条件 ——先由 与 定出 、，再由 定出 。 【关键】把 、、 的坐标都用 、 表示，代入 ，化简得 。 展开解得 或 ，由 取 ，故 ，选 D。 【易错】第一， 是「分点」关系， 靠近 ，坐标公式要按比例写。第二， 是题给条件，不要与 混。第三，解出两个 后必须用 筛，否则会误选。 【答案】 变式2-2（单选·★★★★☆） 已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】直线与椭圆交于 、，且 ——把垂直条件翻成 ，再用韦达定理整体代入。 【关键】设 、，由 得 。 展开并用韦达定理把 、、 换成 、，化简得 。 由 得 ，选 A。 【易错】第一，垂直条件是「以 为顶点的两个向量」，不是 与某条线垂直。第二， 要用直线方程代成 的式子，不能直接丢。第三，椭圆 ，解出 后直接开方正根即可。 【答案】 变式2-3（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为__________。 【切入点】过焦点的直线交椭圆于两点，给出长度关系 ——用椭圆定义把两条焦半径表示成 与离心率，再回到三角形里用余弦定理。 【关键】由 及椭圆定义得 。 又 ，而 ，故 ，解得 、。 在 与 中对同一个角用余弦定理（两三角形在 处共用 ），化简得 ，即 。 两边除 得 ，解得 （另一根为负，舍去）。 【易错】第一，椭圆上点到两焦点距离之和为 ，两条焦半径互为补数（一条为 、另一条为 ）。第二，解出两个根后要按 筛，本题另一根为负，直接舍去。第三，结果带根号，化成最简形式即可，不必求近似值。 【答案】 变式2-4（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为3 C. 的取值范围是 D. 当倾斜角为时，的周长为8 【切入点】椭圆的上顶点为 、左右焦点为 、 ——由题给关系得 ，离心率立刻出来。 项： 故 ，正确。 又 ，椭圆方程可写成 。 项：，由椭圆方程得 ，故它等于 ；由 得取值范围 ，取 即 ，正确。 项：由椭圆定义 、，故 的周长为 ；由 得周长为 ，与 的倾斜角无关，正确。 项： 的最大值算出来不是 ，错误。故选 ACD。 【易错】第一， 要结合「 是上顶点」的几何关系推出，不能凭感觉。第二，周长用椭圆定义算最省事：把 与 凑成一组，两条焦半径之和为 。第三， 之后写方程要统一用 表示。 【答案】 变式2-5（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题给的是焦点三角形中的一个角与一条边的关系 ——用余弦定理把角的条件写成 、 的等式。 【关键】设 ，由椭圆定义 ；又 故 ，于是 。 由 得 ，解得 ，故 、。 在 与 中，两角在 处互补，余弦值互为相反数，相加得 。 化简得 一类，解出 ，选 D。 【易错】第一，椭圆里 ，双曲线里是 ，先确认曲线类型。第二，余弦定理的角是焦点三角形的内角，不要与渐近线倾角混。第三，题目给的是离心率 而不是 ，最后要开方并取正根。 【答案】 二 焦点三角形 一、焦点三角形的两个基本关系。 设 在椭圆上、，则 、；双曲线换成 。 ★ 三条边里两条由定义给出、一条等于 ，再有一个角就能用余弦定理 —— 这是本节的骨架。 二、面积公式省掉一条边。 ，配合余弦定理可推出：椭圆 ，双曲线 。 ★ 两个公式只差一个「乘」还是「除」，记忆口诀：椭圆面积小用乘、双曲线面积大用除。 三、内切圆：切点把边分成定长。 焦点三角形的内切圆与三边相切，由切线长相等可把三条边拆成三段，再与定义式联立，常能直接解出 。 ★ 椭圆中内切圆圆心在 轴上时，切点到焦点的距离与 有关，这类结论要现推、不要背。 四、两个三角形共一个顶点：余弦互补。 过焦点作一条直线交曲线于 、，则 与 互补（或相等），两个余弦值互为相反数，相加为零。 ★ 这一条能把「两个三角形」压成一个等式，在求 时往往一步到位 —— 上一节已经用过一次。 五、矩形、中点、中位线。 题面出现「、 是两条焦半径的中点」时，立刻用中位线：、。 ★ 周长、面积的条件经中位线一换，就直接变成 的式子，与定义式对接。 六、四个角的三种关系。 焦点三角形里常见的角关系只有三种：两角相等（等腰）、两角互补（共顶点）、一个是另一个的两倍（二倍角）。 ★ 见到「二倍角」就用 ，见到「互补」就让两个余弦相加为零，见到「相等」就回到等腰三角形作高。三种关系对应三种固定动作，识别出来就不用试错。 例3（单选·★★★☆☆） 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】角 的顶点在虚轴端点 ——先算它的一半 的余弦，再用二倍角公式回去。 【关键】、 为原点、，在 中 、，故 。 由二倍角公式 。 化简得 ，再由 得 ，故 、，选 A。 【易错】第一， 是 的两倍，因为 是虚轴、把它分成两个相等的角。第二， 的分子是 （邻边），不是 。第三， 之后要用双曲线的 把 换成 。 【答案】 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为______。 【切入点】三条边「从小到大连续」——直接设成 、、，用定义把 、 都用 表示，再用余弦定理与二倍角条件定 。 【关键】设 、、，则 、。 设 ，对 用余弦定理得 ；再对 用余弦定理，并代入 ，解得 。 于是 、，。 【易错】第一，三边连续要设成 、、，不能设成 、、（那样 的方程更繁）。第二，，用 、 直接相比更快。第三，余弦定理算出的 要代进二倍角公式，不能直接当成 。 【答案】 变式3-2（单选·★★★★☆） 已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在左支、 在右支，且两个焦点角一个 一个 ——说明 是等边三角形。 【关键】由两角互补可知 的三个内角都是 ，故 。 由定义 ，而 ，故 。 再由 得 ；在 中用余弦定理，得 、，选 D。 【易错】第一， 等边是从两角推出，要先把「两角互补」这一步说清。第二， 因为三点共线。第三，最后用 ：三边是 、、，夹角是 。 【答案】 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为______。 【切入点】 的内切圆给了半径关系 ——设两条焦半径为 、，用余弦定理与面积两种算法把它们解出来。 【关键】；在 中由 与余弦定理得 。 用 减去上式得 ，故 。 另一方面 ，故 ；又 且由正弦定理 ，两式相等得 ，即 。 得 。 【易错】第一， 的余弦是 ，余弦定理里 的系数是 （因为 ）。第二，面积有两种算法（ 与 ），两式相等才能把内切圆半径用进去。第三，椭圆 ， 时 。 【答案】 例4（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【切入点】过 的直线与右支交于 、， ——设 ，把其余各边都用 与 表示。 【关键】由定义 ，故 ；又 ，故 。 再由 得 。 在 中，，解得 。 在 中，，解得 ，故 ，选 C。 【易错】第一，，因为 、、 三点共线且 在中间。第二，两个三角形共用 ，所以余弦值相等，可以联立。第三，，双曲线定义是「差」不是「和」。 【答案】 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______。 【切入点】过 的直线与左右两支各交一点，且给了角 ——引入参数 ，用定义把四条焦半径与 全用 与 表示。 【关键】设 ，则 、、、。 在 中由余弦定理得 ；再在 中用余弦定理，得 。 故 。 【易错】第一， 在左支、 在右支时， 与 的定义式方向相反。第二， 在 上，故 与 、 的关系要先定符号。第三，两次余弦定理的角度要一致，第二次用的是 里的角。 【答案】 变式4-2（单选·★★★★☆） 设为坐标原点，为双曲线的左焦点，圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】渐近线与圆 交于 ，再给向量夹角 ——先求出 的坐标，再用数量积把角翻成 、 的关系。 【关键】联立 与 得 。 由 、，代入 的数量积公式，化简得 。 两边平方化简得 ，故 、，选 B。 【易错】第一， 的横坐标是 而不是 ，因为分母是 。第二，夹角用数量积算时，两个向量要从同一点出发。第三， 开方得 ，分子分母都要开。 【答案】 变式4-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点。若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】 在右支上运动，内切圆与两条焦半径都相切 ——用切线长相等把三条边拆开，再与双曲线定义联立。 【关键】设内切圆与 、 分别切于 、，则 、、。 把这些代入 ，得 ；而 在 轴上且 ，两式联立得 。 再由内切圆的几何位置定出 ，结合 与 解得 、。 于是 、，选 C。 【易错】第一，切线长相等是内切圆的基本性质，三段分别标记才不会乱。第二， 只在右支成立，左支要反过来。第三， 是题给的，解出 后 （双曲线用加）。 【答案】 变式4-4（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是。若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为__________。 【切入点】、 是两条焦半径的中点， 是 的中点 ——连起来就是两条中位线，矩形的周长可以直接换成 。 【关键】由中位线定理 、；矩形 的周长为 ，故 。 于是 ，即 、。 再由矩形的条件（，即两焦半径垂直）得 ，结合 解出 ，故 。 【易错】第一，、 是焦半径的中点，所以 、 是中位线，等于对应焦半径的一半。第二，矩形的周长是 ，不是 倍某一边。第三，矩形意味着 ，由此得两条焦半径垂直，才能用勾股。 【答案】 变式4-5（单选·★★★☆☆） 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】圆与渐近线交于 ， 在直线 上且满足斜率相等 ——先写 的坐标，再定 ，最后代回双曲线。 【关键】、，渐近线 与 联立得 。 直线 的斜率 ；由 定出 的坐标。 把 代入双曲线方程，化简得 ，故 、，选 A。 【易错】第一， 的坐标里分母是 ，来自 。第二， 是把 的坐标代入斜率公式后约分的结果。第三， 之后 ，这是等轴双曲线，要能一眼认出。 【答案】 三 离心率的范围 一、范围的来源只有四类。 其一，存在性：曲线或直线上「存在点」满足某条件，把条件翻成关于坐标的不等式；其二，位置关系：点在内部、直线与曲线相交，用判别式或距离。 其三，渐近线斜率： 与某条直线的斜率比较；其四，三边关系：、 与某条边长的大小关系。 ★ 四类之外很少有别的来源，先归类再动手。 二、渐近线斜率是最快的一类。 双曲线渐近线斜率 ，而 ；故 的范围直接翻成 的范围。 ★ 直线 与双曲线有公共点 ，这个等价关系要背下来。 三、点的范围怎么用。 点在椭圆上则 、；把条件解出的坐标代进这个约束，就得到不等式。 ★ 这一步最容易漏：算出点坐标就以为结束，忘了坐标本身还要落在曲线上允许的范围内。 四、端点能不能取到要看条件是否闭合。 「存在」通常给闭区间（等号可取），「恒成立」通常给开区间；点在顶点、直线与渐近线平行这些临界情形，要单独检查。 ★ 选择题里开闭区间往往就是两个选项的差别，写完先问一句「等号能不能取」。 五、最后一定要验基本范围。 椭圆 、双曲线 ；解出的区间必须与这个基本范围取交集。 ★ 常见错误：算出 就直接写，忘了双曲线要求 ，答案应为 。 六、写答案前的三个自问。 一问：这个不等式是「存在」还是「恒成立」？前者多半能取等号，后者多半不能。 二问：等号对应的几何位置是什么？若那个位置让图形退化（比如点跑到顶点），等号就取不到。 三问：区间与基本范围取交集了吗？双曲线 、椭圆 这两条永远在。 ★ 三问都过一遍，再落笔写区间。本节错得最多的不是解不出不等式，而是端点开闭写错。 例5（填空·★★★☆☆） 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______。 【切入点】双曲线上「存在」点 使 ——设 与 轴交于 ，由对称性把角的关系转到 上。 【关键】由对称性 ，结合三倍角条件推得 ，再由双曲线定义得 。 在 轴上，要使这样的 存在，必须有 ，即 ，故 。 另一方面由角的条件得 ，即 ，故 。 两个不等式合并得 。 【易错】第一， 是由定义与对称性推出的，不是直接看出。第二， 这个几何约束是范围的来源之一，漏掉只剩一半区间。第三，两个不等式都是严格不等号，因为 不能与顶点重合。 【答案】 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「渐近线斜率小于 」——这是最直接的一类，把 的范围翻成 的范围。 【关键】由题意 。 ；又双曲线 ，故 ，选 B。 【易错】第一， 开方时分子分母都要开：。第二，下界 来自双曲线的基本范围，不是从不等式解出来的。第三，选项 A 的 漏了 这个约束。 【答案】 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】圆与直线相交 ——圆心到直线的距离小于半径，半径就是短半轴 ，于是先定出 的范围。 【关键】直线 即 ，原点到它的距离 ；相交要求 ，故 。 又焦点在 轴上，故 ，所以 。 ， 时 ，故 ，选 B。 【易错】第一，椭圆方程给的是 ，焦点在 轴上意味着 ，即 。第二，圆心到直线的距离公式里分母是 ，不是 。第三， 关于 单调递减： 时 ，但 取不到（相交是严格不等号）。 【答案】 变式5-3（单选·★★★☆☆） 设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的周长给了一个范围 ——左焦点 换成右焦点 ，两条焦半径就能用定义换成 。 【关键】、，故周长等于 ，即 。 由三角形三边关系 ，且 ，得周长的范围是 。 上界：，故周长 ，、、 共线时取等，即 。 下界：周长大于 ，故 。 由 得 ，即 、，选 A。 【易错】第一，把左焦点换成右焦点是关键一步，因为 、 到两个焦点的距离之和为 。第二，周长的下限 来自 、、 三点共线且 在线段外。第三，比对时注意开闭：上限可取（ 过 时），下限不可取。 【答案】 例6（填空·★★★☆☆） 记双曲线的离心率为，若直线与有公共点，则离心率的取值范围为_____（请用区间表示）。 【切入点】直线 与双曲线有公共点 ——这条直线的斜率是 ，只要它比渐近线更「陡」，就必然与双曲线相交。 【关键】双曲线渐近线为 ，斜率为 ；直线 的斜率为 。 直线与双曲线有公共点 斜率绝对值大于渐近线斜率绝对值，故 。 于是 ，即 ，范围为 。 【易错】第一，判据是「直线斜率绝对值大于渐近线斜率」，不是小于 —— 小于时直线夹在两支之间，与双曲线无交点。第二， 是双曲线的式子，椭圆的对应式子是 。第三， 是严格不等号，因为等于时直线与渐近线平行、无公共点。 【答案】 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 说明 是 的中点 ——设 的坐标， 的坐标就确定了，再用 满足的条件与 卡范围。 【关键】设 、，则 。 由 在椭圆内（或满足题给约束）得关于 的不等式，再与 联立，解出 。 结合椭圆 ，得 ，选 C。 【易错】第一， 表示 是 的中点，系数 说明 到 的距离是 的一半。第二， 的约束来自「 在椭圆上」，这是范围的真正来源。第三，等号能取到，所以左端是闭的 —— 选项 D 用开区间就错了。 【答案】 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线，若圆上存在点，使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的中点在渐近线上，且 在圆上 ——先把「中点在渐近线上」写成直线方程，再要求这条直线与圆有公共点。 【关键】设 、，中点 ；把 代入渐近线 ，整理得 。 这条直线要与圆 有公共点，故圆心到它的距离不超过半径；代入化简得关于 、 的不等式。 化简得 ，于是 、，选 D。 【易错】第一，中点坐标代进渐近线后得到的是关于 的直线方程，这条直线与圆有公共点才等价于「存在这样的 」。第二，渐近线有两条，对应 与 两个方程，要分别处理。第三，结果是闭区间，因为直线与圆相切时也满足「有公共点」。 【答案】 变式6-3（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，。为椭圆上一点，。圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________。 【切入点】旁切圆的切线长 + 向量共线 ——先把 用 与 表示，再用切线长的性质把它与三条边联系起来。 【关键】由 得 。 由旁切圆的切线长性质， 可以写成 、、 的组合；结合椭圆定义把两条焦半径换成 与 的式子。 化简得 形式的关系，再由 的取值范围 定出 。 【易错】第一，旁切圆的切线长与内切圆不同，对应的是「一条边加另两条边的差」，符号要仔细。第二， 是向量系数， 用的是长度比例。第三，两端都是闭区间，因为 的两端对应 与 、 与椭圆交点重合的临界位置。 【答案】 变式6-4（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________。 【切入点】椭圆与抛物线有公共焦点，四边形 的外接圆 ——由对称性，这个圆就是 的外接圆，再用正弦定理把半径与角连起来。 【关键】设外接圆半径为 ，在 中由正弦定理 。 再由椭圆中焦点三角形的性质，由 的范围得 一类的不等式，两边同除 化为关于 的齐次不等式。 解得 。 【易错】第一，外接圆为什么是 的：因为 、 关于 轴对称，四点共圆且圆心在 轴上。第二，正弦定理里 对应的是 ，不是 。第三，两端都是开区间，因为角取到端点时 与顶点重合、四边形退化。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 离心率 解析几何 · 专题篇 一 求离心率的值 一、认准三件事：谁是 、谁是 、焦轴在哪。 椭圆：，；双曲线：，。 ★ 焦点在 轴还是 轴，决定分母大的那个是 还是 —— 先定焦轴，再谈离心率。 二、把条件翻译成一个齐次关系。 求 的本质是找 、、 的一个齐次等式，两边同除 就变成关于 的方程。 ★ 常用素材：渐近线斜率 、焦点到渐近线距离 、通径 、焦准距 。 三、两个高频几何量。 焦点 到渐近线 的距离恒等于 ；渐近线与 轴夹角 满足 。 ★ 这两个量能把「距离」「角度」直接翻译成 、，是双曲线离心率题的两把钥匙。 四、对称点的处理。 题面出现「点关于渐近线（或某直线）的对称点」时，写两个方程：中点在对称轴上、连线与对称轴垂直。 ★ 两个条件缺一不可；解出对称点坐标后代入曲线方程，就得到那个齐次关系。 五、算完必须验取值范围。 椭圆 、双曲线 ；若解得 有两个根，靠这个范围筛掉一个。 ★ 开方时只取正根 —— 是比值，恒为正。这一步每年都有学生丢分。 六、两道题的通用套路。 题给「两条焦半径成倍数」时，先用定义把两条都写成 的式子，再在一个焦点三角形里用余弦定理， 就自然出现。 题给「两个焦点三角形共用一个顶点」时，两角在公共顶点处互补，两个余弦值互为相反数，相加为零 ——这一个等式往往一步就解出 。 ★ 上面两条覆盖了本节大部分题：倍数用定义、互补用余弦。看着条件五花八门，落到这两条上的占多数。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A. E的离心率 B. 若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C. 若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D. 若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 变式1-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 变式1-4（多选·★★★☆☆） 已知是双曲线的左、右焦点、抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合。且是双曲线与抛物线的一个公共点。若是等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★★★☆） 已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式2-3（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为__________。 变式2-4（多选·★★★☆☆） 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最大值为3 C. 的取值范围是 D. 当倾斜角为时，的周长为8 变式2-5（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二 焦点三角形 一、焦点三角形的两个基本关系。 设 在椭圆上、，则 、；双曲线换成 。 ★ 三条边里两条由定义给出、一条等于 ，再有一个角就能用余弦定理 —— 这是本节的骨架。 二、面积公式省掉一条边。 ，配合余弦定理可推出：椭圆 ，双曲线 。 ★ 两个公式只差一个「乘」还是「除」，记忆口诀：椭圆面积小用乘、双曲线面积大用除。 三、内切圆：切点把边分成定长。 焦点三角形的内切圆与三边相切，由切线长相等可把三条边拆成三段，再与定义式联立，常能直接解出 。 ★ 椭圆中内切圆圆心在 轴上时，切点到焦点的距离与 有关，这类结论要现推、不要背。 四、两个三角形共一个顶点：余弦互补。 过焦点作一条直线交曲线于 、，则 与 互补（或相等），两个余弦值互为相反数，相加为零。 ★ 这一条能把「两个三角形」压成一个等式，在求 时往往一步到位 —— 上一节已经用过一次。 五、矩形、中点、中位线。 题面出现「、 是两条焦半径的中点」时，立刻用中位线：、。 ★ 周长、面积的条件经中位线一换，就直接变成 的式子，与定义式对接。 六、四个角的三种关系。 焦点三角形里常见的角关系只有三种：两角相等（等腰）、两角互补（共顶点）、一个是另一个的两倍（二倍角）。 ★ 见到「二倍角」就用 ，见到「互补」就让两个余弦相加为零，见到「相等」就回到等腰三角形作高。三种关系对应三种固定动作，识别出来就不用试错。 例3（单选·★★★☆☆） 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为______。 变式3-2（单选·★★★★☆） 已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为______。 例4（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为______。 变式4-2（单选·★★★★☆） 设为坐标原点，为双曲线的左焦点，圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式4-3（单选·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点。若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 变式4-4（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，是上一点，线段的中点分别是。若四边形是周长为6、面积为2的矩形（为坐标原点），则的离心率为__________。 变式4-5（单选·★★★☆☆） 已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线交C的右支于点P，若的角平分线与y轴平行，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 三 离心率的范围 一、范围的来源只有四类。 其一，存在性：曲线或直线上「存在点」满足某条件，把条件翻成关于坐标的不等式；其二，位置关系：点在内部、直线与曲线相交，用判别式或距离。 其三，渐近线斜率： 与某条直线的斜率比较；其四，三边关系：、 与某条边长的大小关系。 ★ 四类之外很少有别的来源，先归类再动手。 二、渐近线斜率是最快的一类。 双曲线渐近线斜率 ，而 ；故 的范围直接翻成 的范围。 ★ 直线 与双曲线有公共点 ，这个等价关系要背下来。 三、点的范围怎么用。 点在椭圆上则 、；把条件解出的坐标代进这个约束，就得到不等式。 ★ 这一步最容易漏：算出点坐标就以为结束，忘了坐标本身还要落在曲线上允许的范围内。 四、端点能不能取到要看条件是否闭合。 「存在」通常给闭区间（等号可取），「恒成立」通常给开区间；点在顶点、直线与渐近线平行这些临界情形，要单独检查。 ★ 选择题里开闭区间往往就是两个选项的差别，写完先问一句「等号能不能取」。 五、最后一定要验基本范围。 椭圆 、双曲线 ；解出的区间必须与这个基本范围取交集。 ★ 常见错误：算出 就直接写，忘了双曲线要求 ，答案应为 。 六、写答案前的三个自问。 一问：这个不等式是「存在」还是「恒成立」？前者多半能取等号，后者多半不能。 二问：等号对应的几何位置是什么？若那个位置让图形退化（比如点跑到顶点），等号就取不到。 三问：区间与基本范围取交集了吗？双曲线 、椭圆 这两条永远在。 ★ 三问都过一遍，再落笔写区间。本节错得最多的不是解不出不等式，而是端点开闭写错。 例5（填空·★★★☆☆） 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______。 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-3（单选·★★★☆☆） 设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 例6（填空·★★★☆☆） 记双曲线的离心率为，若直线与有公共点，则离心率的取值范围为_____（请用区间表示）。 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知双曲线，若圆上存在点，使得的中点在双曲线的渐近线上，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-3（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，。为椭圆上一点，。圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________。 变式6-4（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________。 学科网（北京）股份有限公司 $