第1讲 数列的概念与由 Sn 求 an专项训练-2027届高三数学一轮复习

数列的概念与由 求 数列 · 专题篇 一 数列的概念与通项表示 一、通项公式与分段表示。 数列是按一定顺序排成的一列数，通项 是定义在 上的函数。 分段给出的通项 ，读 时先判断 落在哪一段，再代那一段的表达式；求和时要按段拆开算。 ★ 分段通项最容易错在衔接处： 取分段点两侧的项要分别用两段算，不能直接用其中一段的公式外推。 二、周期数列。 若存在正整数 使 对一切 成立，则称 是周期为 的数列，且 。 ★ 求 （ 很大）的路子只有一条：先用 除以周期取余，把下标压到一个周期之内再算。 三、抽象递推的赋值法。 条件形如 时，取 得 ，即 是公差为 的等差数列，于是 、。 条件形如 时，先用「递增 ＋ 各项为正整数」定出前几项，再由 与 的对应关系推下去。 四、由递推式判定数列的类型。 形如 的二次递推，先因式分解成两个一次因式，得到每一步的两个可能取值，再按「从 到 各步怎么选」计数。 ★ 计数时注意：两个因式若给出同一个比值，就不能重复计数；首项与末项都给定，等价于「两种步长各取几次」的组合数。 例1（单选·★★★☆☆） 数列中，，对，有，若，则 = （ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 变式1-1（多选·★★★★☆） 已知数列的通项公式是。设为数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若存在，使得，则 D. 不存在，使得 变式1-2（单选·★★★★☆） 设是关于x的方程的正实数根。记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-3（单选·★★★☆☆） 数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）。已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ） A. 60 B. 72 C. 76 D. 80 变式2-1（填空·★★★★☆） 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列。记为数列的前n项和，若且，则 = __________。 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知各项均为正整数的递增数列，满足，，则 =________。 二 由 求 的作差与分段 一、基本关系。 设 ，则 ，且当 时 。 这两条是「由和求通项」的全部依据，其余全是变形。 ★ 作差时下标要同时减 ： 对应的条件是 ，把 换成 后两式相减才消得掉 。 二、三类常见形态。 ① 型：由 得 ，即 是等比数列（）。 ② 是 的多项式：直接作差， 就是它的差分；若 是二次式，则 是一次式， 为等差数列。 ③ 含 型：先令 ，把条件化成 的等差或等比，求出 再平方回 。 三、分段答案的写法。 由 求出的 只在 时成立，必须单独验 ：若 也满足同一个式子，就合并写成一条；否则写成分段： 取 ， 取作差的结果。 ★ 分段的答案在答题卡上要写得让阅卷看得出「哪一段管哪一部分」，不能只写一条通项了事。 四、混合式的处理顺序。 出现 与 相乘、或 与另一个数列的积 时，先用 定出 ，再把 代进去，把式子整理成只含 的递推，最后作差回 。 ★ 形如 的式子，等价于 ，配成 后 成等差。 例3（单选·★★☆☆☆） 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 记为数列的前项和，已知，，则 = （ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 变式3-2（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和记为，若，则 = （ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且满足，则 = __________ 变式3-4（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且满足，则 = __________。 例4（填空·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且，，则 = ___________。 变式4-1（填空·★★★☆☆） 记为数列的前项和，若，则 = ______。 变式4-2（单选·★★★★☆） 已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-3（多选·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则 = （ ） A. 4052 B. 4051 C. 2027 D. 2026 变式4-5（解答·★★★★☆） 记为数列的前项和，已知，。（1）求；（2）求的通项公式；（3）证明：。 三 由 反求 与 的最值 一、从 到 。 。若 是等差或等比，直接套求和公式；否则看 能不能拆成两项之差（裂项）。 ★ 已知 的表达式求 时，先算 再看目标下标，比直接对 递推更快。 二、 的二次形态。 若 ，则 （）， 从第二项起是等差数列； 时整列都是等差数列。 ★ 此时 的最值就是二次函数在正整数点上的最值：对称轴 ，取最近的整数；离对称轴越近， 越接近极值。 三、 的递推。 形如 等于常数的条件，左边是 的二阶差分，等于 ；故 是等差数列， 是二次式。 ★ 也可以把条件改写成 ，即 是公差为 的等差数列。 四、 与 的大小判断。 用 、 这类恒等式，把「比大小」翻译成「 的符号」或「 与 的大小」。 ★ 判某个说法错，取 、 代一下就够；判它对，则要用恒等式说清对所有 成立。 五、求「使 的最小 」。 先写出 的表达式，再用单调性（或解不等式）定 的下界；估算时要代相邻两个整数验一遍，别停在不等式的近似解上。 例5（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（多选·★★★☆☆） 已知数列的前项的和为，则（ ） A. 数列前5项的和为121 B. C. D. 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知无穷数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 例6（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，。（1）求；（2）求。 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知数列的前n项和，若，则的所有可能值为________。 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且，则 = （ ） A. 65 B. 105 C. 210 D. 230 四 数列的单调性与最大项 一、差判据。 对一切 成立，则数列递增； 对一切 成立，则数列递减。 能直接作差就先作差，差里若出现 的一次式，符号往往一眼可见。 ★ 只验证了某几项就下结论是不行的：必须说明对一切正整数 成立。 二、比判据。 数列各项同号时， 与 等价。 形如 的式子用比判据最省事：比值是一个分式，约分后只剩 的一次式。 ★ 用比判据前先确认各项为正（或同为负），否则不等号方向会反。 三、分式型分离常数。 先写成 ，整数的部分不动，只研究后面那一项随 的变化。 ★ 分离常数后要注意分母的符号：分母变号的那一项（如 在 处变号）往往是最大值所在。 四、最大项与最小项。 是最大项，等价于 且 。 列成不等式组解出 的范围，再取整数。 ★ 端点 没有前一项，单独验证。 五、分段数列与含参单调性。 分段数列的单调性要两段合一看：段内递增，且衔接处 （或反之）。 「不是递增」是一个存在性命题：只要存在 使 即可，等价于取其否定。 ★ 含参时要按参数的正负分支讨论：参数为负时段内就已经不增，这一支往往就是答案的一大块。 例7（多选·★★★☆☆） 下列表达式中，满足数列是单调递减的有（ ）。 A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★★☆☆） 已知数列不是递增数列，且，则k的取值范围为________。 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 例8（填空·★★☆☆☆） 已知数列的通项公式为，，则数列最大的项的值为_________。 变式8-1（单选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 变式8-2（单选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念与由 求 数列 · 专题篇 一 数列的概念与通项表示 一、通项公式与分段表示。 数列是按一定顺序排成的一列数，通项 是定义在 上的函数。 分段给出的通项 ，读 时先判断 落在哪一段，再代那一段的表达式；求和时要按段拆开算。 ★ 分段通项最容易错在衔接处： 取分段点两侧的项要分别用两段算，不能直接用其中一段的公式外推。 二、周期数列。 若存在正整数 使 对一切 成立，则称 是周期为 的数列，且 。 ★ 求 （ 很大）的路子只有一条：先用 除以周期取余，把下标压到一个周期之内再算。 三、抽象递推的赋值法。 条件形如 时，取 得 ，即 是公差为 的等差数列，于是 、。 条件形如 时，先用「递增 ＋ 各项为正整数」定出前几项，再由 与 的对应关系推下去。 四、由递推式判定数列的类型。 形如 的二次递推，先因式分解成两个一次因式，得到每一步的两个可能取值，再按「从 到 各步怎么选」计数。 ★ 计数时注意：两个因式若给出同一个比值，就不能重复计数；首项与末项都给定，等价于「两种步长各取几次」的组合数。 例1（单选·★★★☆☆） 数列中，，对，有，若，则 = （ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【切入点】条件 对一切正整数成立，先取 把它变成 —— 这就是等差数列的定义。 【关键】取 得 ，故 是公差为 的等差数列，通项 。 所求和式是连续 项：，即 ，解得 ，选 A。 【易错】第一， 里的 是常数 ，不能用 代替。第二，和式的项数是 项、首项是 ，写成从 起算会把 算小 。第三，等差数列求和用「首末两项之和乘项数除以 」，不要逐项加。 【答案】A 变式1-1（多选·★★★★☆） 已知数列的通项公式是。设为数列的前项和，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若存在，使得，则 D. 不存在，使得 【切入点】通项是分三段给的，第三段直接引用前面的项 ——这说明数列以 为周期。先把周期的结论坐实，再逐项判断。 【关键】由 知周期为 。 项： 时周期 ， 除以 余 ，故 ，不是 ，错误。 项：。若 ，偶数支给 ，不可能；故 ，压回一个周期得 ，由偶数支 得 ，，正确。 项：一个周期内，奇数项构成首项 、公差 的等差数列，和为 ；偶数项和为 。要使某项和为负，看 ，即 ，解得 ，正确。 项：， 时非负、 时虽为负但绝对值随 迅速变小，部分和始终为正，故不存在使 的 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 项要先把 除以周期取余，直接按偶数支算会得 这类无意义的数。第二， 项必须分「」与「」两种情况讨论，漏掉前者就无法确定 唯一。第三， 项只估偶数项「约为 」不够，要写出 才有判据。 【答案】BCD 变式1-2（单选·★★★★☆） 设是关于x的方程的正实数根。记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 由方程的根取整得到 ——先估根的位置，把 夹在两个整数之间，再取整。 【关键】记 。取 ：；取 ：，故 。 所以根落在 内，即 ，于是 ，取整得 。 把 按两项一组配对：第 组 的两项之和为 。 前 项共 组，和为 ；再补第 项 ，故 ，选 B。 【易错】第一， 不在整数点上，必须先夹出区间再取整，直接令 代入会把取整做错。第二，取整的对象是 ，不是 ——分母 让相邻两项的整数值成对出现。第三， 是奇数项，最后会多出一个不成对的项，按偶数对算完要补一项。 【答案】B 变式1-3（单选·★★★☆☆） 数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 项、首末项都已知，中间由二次递推控制 ——先把二次式因式分解，看每一步有几个选择。 【关键】，故每一步都有 或 两种走法。 设 步中有 步取「乘 」、其余 步取「除以 」，则 。由 得 ，即 。 于是不同数列的个数为 ，选 C。 【易错】第一，因式分解的两支是 与 ，漏掉一支会把方案数算成 。第二，指数方程要先约掉首项的 再解，直接比指数会差 。第三，两个因子若给出相同的比值（如本题 的特殊情形）要单独排除，否则计数会重复。 【答案】C 例2（单选·★★☆☆☆） 我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）。已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ） A. 60 B. 72 C. 76 D. 80 【切入点】幻方的约束是「每行、每列、每条对角线之和相等」—— 先由 幻方的总和定出每行的和，再看这 项由哪些 给出。 【关键】，前 项为 ，总和为 。 四阶幻方的 行之和恰为全体数字之和，故每一行的和为 ，选 C。 【易错】第一， 的前 项最大的是 ，不是 。第二，幻方四行的和加起来等于全部 个数之和 ——这是本题唯一的等量关系，不必去猜具体的填法。第三，若误按「每行 个数取平均」算成 ，会得到 以外的错值。 【答案】C 变式2-1（填空·★★★★☆） 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列。记为数列的前n项和，若且，则 = __________。 【切入点】 是「奇数」与「 的幂」合并后从小到大排成的数列 ——先把前若干项写出来，找出 中元素的位置规律。 【关键】先写出前若干项，看 的幂落在第几位：即 分别在第 项。 相邻两个 的幂 与 之间夹着 个奇数，故 。由 累加得 。 条件 、 说明这两个相邻的 的幂恰好相隔 项：，得 。于是 ，此时 、，二者之间 个奇数 —— 共 项差。 是「不大于 的奇数」与「不大于 的 的幂」之和：奇数有 个，和为 ；幂为 。故 。 【易错】第一， 里 既在 也在 ，只能算一次。第二， 且 是「两个 的幂之间恰好隔 项」，不是「下标差 就是幂次差 」。第三，求和时要扣掉被 的幂替换掉的奇数，否则会把 全部算进去。 【答案】1150 变式2-2（填空·★★★☆☆） 已知各项均为正整数的递增数列，满足，，则 =________。 【切入点】 把「下标」与「项」绑在一起 ——先用递增与正整数这两条定出前几项。 【关键】 时 。因为严格递增且各项为正整数，下标 给出 ，故 。逐个代入检验： 时 ，舍； 时 ，舍；故只能 ，此时 。 再由 ：；：。区间内补齐递增：、，于是前 项为 。 求和得 。 【易错】第一， 不能取 （否则 之外还自相矛盾），要由 反推。第二， 的下标是 ，不是 —— 来自 ，不是 。第三，中间空位要靠「递增且正整数」补，缺项会漏数。 【答案】35 二 由 求 的作差与分段 一、基本关系。 设 ，则 ，且当 时 。 这两条是「由和求通项」的全部依据，其余全是变形。 ★ 作差时下标要同时减 ： 对应的条件是 ，把 换成 后两式相减才消得掉 。 二、三类常见形态。 ① 型：由 得 ，即 是等比数列（）。 ② 是 的多项式：直接作差， 就是它的差分；若 是二次式，则 是一次式， 为等差数列。 ③ 含 型：先令 ，把条件化成 的等差或等比，求出 再平方回 。 三、分段答案的写法。 由 求出的 只在 时成立，必须单独验 ：若 也满足同一个式子，就合并写成一条；否则写成分段： 取 ， 取作差的结果。 ★ 分段的答案在答题卡上要写得让阅卷看得出「哪一段管哪一部分」，不能只写一条通项了事。 四、混合式的处理顺序。 出现 与 相乘、或 与另一个数列的积 时，先用 定出 ，再把 代进去，把式子整理成只含 的递推，最后作差回 。 ★ 形如 的式子，等价于 ，配成 后 成等差。 例3（单选·★★☆☆☆） 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【切入点】条件里 与 同时出现，且给的是 —— 先用 与 两式作差，把 消掉。 【关键】由 与 相减得 ，即 。 当 时两边同除以 ：，故 从 起是常数列，公共值为 ，于是 （）。 所以 ，选 B。 【易错】第一，作差只能在 时做， 的式子单独成立、不能一起减。第二， 时 ，这一项要单独看： 恒成立，不提供信息，所以常数列从 起算。第三， 的值要用 得 ，它恰好也满足 。 【答案】B 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 记为数列的前项和，已知，，则 = （ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 【切入点】 是标准的「 与 混合」式，先作差化成等比，再用 直接算。 【关键】令 ：，得 。 时两式相减：，即 。 故 ，，选 B。 【易错】第一， 一定要用 单独求，直接代通项会循环。第二，相减后移项是 ，系数整理成 才对。第三， 是指数 ，不是 。 【答案】B 变式3-2（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和记为，若，则 = （ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 【切入点】 求的是 ，作差得等比后先把 写出来，再求和。 【关键】：，。 时相减得 ，即 ，故 。 所以 ，选 C。 【易错】第一， 是前 项之和，项数是 不是 。第二，等比求和公式里分子是 ，、 时直接得 。第三，若直接对 代 ，得到的是 —— 两条路都对，但作差那条更稳。 【答案】C 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且满足，则 = __________ 【切入点】差是 —— 本身就是等差数列，先解出它。 【关键】，公差为 ，故 ，即 。 时 ； 也满足 ，故可合并为 。 【易错】第一，条件给的是 ，不是 ，直接当差分会把答案算成常数。第二， 与 的通项要验一次，本题恰好一致才能合并。第三， 展开是 ，不是 。 【答案】 变式3-4（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且满足，则 = __________。 【切入点】 里 与 都在，作差后能得到 与 的固定比例。 【关键】：，。 时相减：，即 。 故 。 【易错】第一，相减时 ，再加 ，一共是 。第二， 与通项 一致，可以合并。第三，指数是 ，写成 会多乘 。 【答案】 例4（填空·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且，，则 = ___________。 【切入点】条件里是 而不是 —— 说明该令 ，它在条件里成等比。 【关键】由 且 得 ，故 。 当 时 ；而 ，不满足上式（代 得 ），故必须分段写。 所以 ， 时 。 【易错】第一， 是开方后的首项，漏掉它会把 的公比算错。第二， 必须单独逐一检验：本题 ，不能合并成一条式子。第三，作差时 （提公因式），写成 会少乘 。 【答案】； 时 变式4-1（填空·★★★☆☆） 记为数列的前项和，若，则 = ______。 【切入点】这次要的是 而不是 ——先由作差得等比，再把 一次算出来。 【关键】：，。 时相减：，即 ，故 。 所以 。 【易错】第一， 移项得 ，作差时的符号最容易错。第二， 的表达式是 ，不是 。第三，题目问的是 ，写到 就停了会答非所问。 【答案】 变式4-2（单选·★★★★☆） 已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是 的积 ——先把条件整理成只含 的递推，再逐项推到 。 【关键】由 得 ；又 ，故 ，解得 。 ：，，；依次推得 、、、、。 所以 ，选 C。 【易错】第一， 是「前 个 的积」，不是「前 项积」，别与数列的积混。第二， 时 ，方程是 。第三，，只算到 就交卷会漏掉这一步。 【答案】C 变式4-3（多选·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 看着别扭，把 除过去就得到 的表达式；也可以直接配成 。 【关键】由条件得 ，而 ，代入整理得 （），故 是公差为 的等差数列，。 项： 时 ，即 ，，正确。 项：，故 ， —— 符号由 决定， 时 ，所以「」只是其中一支，错误。 项： 时 与 分支都满足 ，即 ，正确。 项：，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 两支都要带着走，只取 会把 判成正确。第二，配方时 要写成 ，直接写 会丢掉符号。第三， 项的界是 ，不是 。 【答案】ACD 变式4-4（单选·★★★☆☆） 已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则 = （ ） A. 4052 B. 4051 C. 2027 D. 2026 【切入点】条件两边只差符号，移项后是平方差 —— 因式分解就能把 约掉。 【关键】由 得 。 各项为正数，，故 ，即 （）。 于是 ，，选 B。 【易错】第一，约掉 前必须说明它不为零 ——本题靠「各项为正」这一条。第二， 是公差为 的等差数列，首项 ，故 。第三， 代 得 ，不要写成 。 【答案】B 变式4-5（解答·★★★★☆） 记为数列的前项和，已知，。（1）求；（2）求的通项公式；（3）证明：。 【切入点】 把和与通项绑在一起 ——第（1）问用 的定义逐项代，第（2）问作差，第（3）问把 写成 的式子后直接比。 【关键】第（1）问：，由 得 ；，解得 。 第（2）问： 与 相减得 ，即 ，故 。 连乘：。 第（3）问：由 ，而当 时 ； 时 。故对一切正整数 都有 。 所以 ，，且 成立。 【易错】第一，第（1）问要用 的定义列方程，不能直接套第（2）问的通项（那时还没求出来）。第二，连乘时分子是 、分母是 ，约分后剩 。第三，第（3）问的比较要先估 ，再说明 ，两头一夹才有结论。 【答案】；； 成立 三 由 反求 与 的最值 一、从 到 。 。若 是等差或等比，直接套求和公式；否则看 能不能拆成两项之差（裂项）。 ★ 已知 的表达式求 时，先算 再看目标下标，比直接对 递推更快。 二、 的二次形态。 若 ，则 （）， 从第二项起是等差数列； 时整列都是等差数列。 ★ 此时 的最值就是二次函数在正整数点上的最值：对称轴 ，取最近的整数；离对称轴越近， 越接近极值。 三、 的递推。 形如 等于常数的条件，左边是 的二阶差分，等于 ；故 是等差数列， 是二次式。 ★ 也可以把条件改写成 ，即 是公差为 的等差数列。 四、 与 的大小判断。 用 、 这类恒等式，把「比大小」翻译成「 的符号」或「 与 的大小」。 ★ 判某个说法错，取 、 代一下就够；判它对，则要用恒等式说清对所有 成立。 五、求「使 的最小 」。 先写出 的表达式，再用单调性（或解不等式）定 的下界；估算时要代相邻两个整数验一遍，别停在不等式的近似解上。 例5（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是 的二次式，条件 是「 在 处取到最小值」—— 把 因式分解后逐个 判符号。 【关键】。 当 时 ，要求 对一切 成立，取 得最严的条件：。 当 时 ，要求 ，取 得 与 ，合起来是 。 故 ，选 D。 【易错】第一， 处 ，这一项不提供约束，不能拿它定 。第二， 时 ，不等号反向，一律按「」处理会得到 的错结论。第三， 一侧要取 这个最严的（分母最小、要求最高），取 很大只会得到更松的条件。 【答案】D 变式5-1（多选·★★★☆☆） 已知数列的前项的和为，则（ ） A. 数列前5项的和为121 B. C. D. 【切入点】 是显式给出的 ——先作差得 ，再逐项判四个说法。 【关键】； 时 。 项： 的前 项为 ，和为 ，正确。 项：，，相等，正确。 项： 只在 成立， 时 ，错误。 项： 时 ，且 ，故对一切正整数 都有 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 项的式子对 才对，用 一验就能否掉。第二，判断单调性要把 单独看： 这一步不能省。第三， 项右边是两个 相乘，指数相加得 ，与左边同底。 【答案】ABD 变式5-2（多选·★★★☆☆） 已知无穷数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】四个说法都在比较 与 ——先用恒等式把它们翻译成 或 的符号。 【关键】，。 项： 即 （），它只约束「前面各项之和」，与 的符号无关 ——取 、、 即反例，错误。 项： 对一切 成立，把下标换成 就得 ，正确。 项： 时 ，故 ；而 ，即 ，正确。 项：由 得 ；从 起推得 、、，故 ，即 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 项错在把「」当成「」，两者没有因果关系。第二，、 的关键是先用 定出 ，漏掉这一步后面推不动。第三， 要逐项传递，只写一次不能说明 、 的符号。 【答案】BCD 例6（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，。（1）求；（2）求。 【切入点】条件是三段和 给成 的二次式 ——把 换成 再相减，就能把 的和化成单个 的递推。 【关键】第（1）问直接代 ： 时 ，由 、 得 ，故 ； 时 ，得 ，。 第（2）问：把条件写成 与 ，相减得 ，即 。 再对 写一遍并相减：，故 每隔三项加 ，结合 、、 得 。 于是 ，。 所以 、，。 【易错】第一，第（1）问只能靠 的定义逐项推，此时还没有通项。第二，相减两次才得到 ，只做一次会停在「三项之和」上，推不出等差。第三， 是「前 项之和」，代 得 ，写成 会漏掉平方。 【答案】，； 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知数列的前n项和，若，则的所有可能值为________。 【切入点】 给的是和 —— 先作差得 ，再把 写成整数方程。 【关键】， 时 ，故 （对 也成立），。 条件化为 。 的正因数对只有 与 （及互换），故 、 取 或 。 前者给 、，；后者给 、，。故 的所有可能值为 或 。 【易错】第一， 要验 ：，恰好一致才能写成一条。第二，，不是 。第三，因数对要交换也算，漏掉 会少一个 。 【答案】 或 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且，则 = （ ） A. 65 B. 105 C. 210 D. 230 【切入点】 左边正是 的二阶差分 ——它等于 ，所以 从第二项起等差。 【关键】由条件得 ，即 （）。又 ，。 故 。所求和式是偶数项：，这 项构成公差为 的等差数列，首项 、末项 ，和为 ，选 B。 【易错】第一， 是二阶差分，不是一阶差分，别当成 。第二，，与 并不连续，所以通项要从 与公差 一起写。第三，偶数项之和的公差是 ，不是 。 【答案】B 四 数列的单调性与最大项 一、差判据。 对一切 成立，则数列递增； 对一切 成立，则数列递减。 能直接作差就先作差，差里若出现 的一次式，符号往往一眼可见。 ★ 只验证了某几项就下结论是不行的：必须说明对一切正整数 成立。 二、比判据。 数列各项同号时， 与 等价。 形如 的式子用比判据最省事：比值是一个分式，约分后只剩 的一次式。 ★ 用比判据前先确认各项为正（或同为负），否则不等号方向会反。 三、分式型分离常数。 先写成 ，整数的部分不动，只研究后面那一项随 的变化。 ★ 分离常数后要注意分母的符号：分母变号的那一项（如 在 处变号）往往是最大值所在。 四、最大项与最小项。 是最大项，等价于 且 。 列成不等式组解出 的范围，再取整数。 ★ 端点 没有前一项，单独验证。 五、分段数列与含参单调性。 分段数列的单调性要两段合一看：段内递增，且衔接处 （或反之）。 「不是递增」是一个存在性命题：只要存在 使 即可，等价于取其否定。 ★ 含参时要按参数的正负分支讨论：参数为负时段内就已经不增，这一支往往就是答案的一大块。 例7（多选·★★★☆☆） 下列表达式中，满足数列是单调递减的有（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】四个选项是四种不同形态的通项 —— 分式型先分离常数，含 的用比判据，抽象条件直接作差。 【关键】 项：，随 增大而增大（趋于 ），不是递减，错误。 项：，由 （即 ）知比值恒小于 ，且各项为正，故递减，正确。 项：条件 说明 且 （因为 ），故递减，正确。 项：，故递减，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 项是递增的，分离常数后 随 增大而趋近 。第二， 项要说明「」才能推出 ，漏这一步逻辑不完整。第三， 项作差时把 放在最后减，符号最容易看错 —— 用「两项各放大到 」来证最稳。 【答案】BCD 变式7-1（填空·★★★☆☆） 已知数列不是递增数列，且，则k的取值范围为________。 【切入点】「不是递增」是存在性命题 ——只要有一处 就成立，所以分「段内」与「衔接处」两块分别找。 【关键】 时 ，相邻两项之差为 。 当 时 ，段内已经不增，故整个数列不是递增数列 —— 这一支全部符合； 当 时段内递增，只能靠衔接处：，解得 ；结合 得 。 两支合并：，即 。 【易错】第一，只讨论 会漏掉 这一大块。第二，衔接条件的方向是 （因为要求不递增），写成 会得到 的反结论。第三， 要代第二段的式子：。 【答案】 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 【切入点】条件是「 的前 项和」——先把它记成 ，作差得 ，再解出 。 【关键】记 。 时 ，故 ； 时 给 ，与上式一致。 项：，正确。 项：通项是 （分母），不是 ，错误。 项：，由 （即 ）知比值恒小于 ，各项为正，故递减，正确。 项：错位相减可得 ，验 得 、 得 ，均相符，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 不是 ，作差得到的是 ，还要再除以 。第二， 项把分母写成乘方，用 代入即可否掉。第三， 项的 要用错位相减推，直接猜公式不可靠 —— 至少要代 验。 【答案】ACD 例8（填空·★★☆☆☆） 已知数列的通项公式为，，则数列最大的项的值为_________。 【切入点】 是分式型 —— 先分离常数，看清它由哪两部分组成，再逐段找最大项。 【关键】。 分母 在 时为负（、），此时 ； 时分母为 ，； 时分母为正且逐渐变大， 从 单调递减趋于 。 所以最大项为 。 【易错】第一，分离常数时分子配的是 ，常数项是 不是 。第二， 时 为负，直接看 会漏掉「分母变号」这件事。第三， 之后的单调性只说明最大值不在那里，还要与 比过才能定论。 【答案】3 变式8-1（单选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 【切入点】 里 与 混在一起 ——用 代掉 ，整理成 的递推。 【关键】 时 ，； 时把 代入得 。 记 ，则 ，即 是公差为 的等差数列；由 得 。 所以 ，它随 增大而增大、且恒小于 。 解 得 ，故最小的正整数 ，选 D。 【易错】第一， 代 后是 ，移项方向错一步整题就废。第二， 的递推要裂成 才好累加。第三， 恒成立，所以「大于 」只需解 ，不必解二次不等式。 【答案】D 变式8-2（单选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 作差后， 与 混在一起 ——两边同除以 就能把它化成等差。 【关键】：，。 时相减：，整理得 。 两边同除以 ：，故 ，即 。 于是 、，，选 B。 【易错】第一，作差时 ，符号与系数一起错就会得到 。第二，同除 后 与 差一个因子 ，这一步是整题的关键。第三，比较的是 与 ，不是 与 ，别把系数丢了。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $