第1讲 平面向量的概念与线性运算 专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量的概念与线性运算 平面向量 · 专题篇 一 向量的概念与表示 一、向量的定义与记号。 既有大小又有方向的量叫做向量，记作 或 。向量由大小和方向两个要素确定，与它在图上摆在哪里无关。 向量的模是它的大小，记作 ，是一个非负实数。 二、三个特殊向量。 模为 的向量叫零向量，记作 ，它的方向是任意的； 模为 的向量叫单位向量。与 （）同向的单位向量是 ，反向的单位向量是 。 三、平行（共线）向量。 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，记作 ；规定 与任一向量平行。 四、相等向量与相反向量。 长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，记作 ； 长度相等且方向相反的两个向量叫做相反向量， 与 是一对相反向量，即 。 五、两条判据。 当且仅当 且 与 同向； 只能说明两个向量的长度相同，推不出它们相等 ——把方向相同、方向相反、方向既不相同也不相反三种情况都摆出来，结论显而易见。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知点，，则与方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则实数的值为___________。 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知正方形的边长为1，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 二 加法：三角形法则与平行四边形法则 一、三角形法则（首尾相接）。 。两条向量首尾相接时，和向量从第一条的起点指向第二条的终点。 二、平行四边形法则（同起点）。 以 、 为邻边作平行四边形 ，则 。两条向量起点相同时，和向量是它们张成的平行四边形的那条对角线。 三、两个法则的关系。 把 平移到 的位置，平行四边形法则就变成三角形法则，两者是同一件事的两种画法。 四、运算律。 ；；。 五、多边形法则。 ；若这条折线闭合，即终点回到起点，则 。 六、模的不等式。 ，左边取等号当且仅当 与 反向，右边取等号当且仅当同向。 例2（单选·★★☆☆☆） 在中，，设，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 在所在平面内，点满足，记，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 如图，在平行四边形中，是的中点，，若，则 = （ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★☆☆☆） 在中，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，、分别是、的中点。若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 在梯形中，，，，则 = _________。 三 减法：几何意义与中点向量公式 一、减法的定义。 ，减去一条向量等于加上它的相反向量；，。 二、减法的几何意义（同起点）。 把 、 平移到共同起点 ，设 、，则 ：差向量从减向量的终点指向被减向量的终点。 三、共起点作差公式。 对任意一点 ，。这是「用一组向量表示另一条向量」最常用的一条式子。 四、中点向量公式。 设 是线段 的中点， 是平面上任意一点，则 ；特别地， 与 重合时 。 五、三角形中的中线公式。 在 中，若 是 的中点，则 ，同时 。 六、重心的向量公式。 设 是 的重心，则 ；若 是 的中点，则 在 上且 ，。 例4（单选·★☆☆☆☆） 在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则 = （ ） A. B. C. D. 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知为的重心，为的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 在中，点是的中点，点在上，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且。若，其中，，则 = （ ） A. B. C. D. 四 图形中的加减运算与化简 一、折线法则（多边形法则）。 ；反过来， 也可以拆成任意一条从 到 的折线，走哪条路结果都一样。 二、共起点作差公式。 对任意一点 ，。这是把一条目标向量换成已知向量最常用的一步。 三、平行四边形中的两条基本式。 在平行四边形 中，，；两条对角线互为反向：，。 四、点在线段上的参数式。 若 在线段 上，则存在唯一的 使 ；对任意一点 有 。 五、交点的比例来源。 图形里出现两条线相交时，比例通常来自一对相似三角形。若 ，且 是 与 的交点，则 ；这条式子把线段长之比直接翻译成向量之比。 六、共线向量与倍数。 两条向量共线（方向相同或相反）时，其中一条等于另一条乘上某个实数；方向相同则系数为正，方向相反则系数为负。所以写向量等式时，每换一条边都要顺手判一次方向。 例6（单选·★★★☆☆） 在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 在长方形中，，与交于点，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★★☆☆） 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-3（填空·★★★★☆） 已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 = __________。 例7（单选·★★★☆☆） 如图，在中，，是上一点。若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，点满足，与交于点。若，则 = （ ） A. B. C. D. 1 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 在中，为上一点，且，为中点，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-3（单选·★★☆☆☆） 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-4（单选·★★☆☆☆） 在中，。若，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式7-5（多选·★★★★☆） 已知四边形是正方形，延长至，使，点是线段上的任意一点.设向量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 变式7-6（多选·★★★★☆） 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的概念与线性运算 平面向量 · 专题篇 一 向量的概念与表示 一、向量的定义与记号。 既有大小又有方向的量叫做向量，记作 或 。向量由大小和方向两个要素确定，与它在图上摆在哪里无关。 向量的模是它的大小，记作 ，是一个非负实数。 二、三个特殊向量。 模为 的向量叫零向量，记作 ，它的方向是任意的； 模为 的向量叫单位向量。与 （）同向的单位向量是 ，反向的单位向量是 。 三、平行（共线）向量。 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，记作 ；规定 与任一向量平行。 四、相等向量与相反向量。 长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，记作 ； 长度相等且方向相反的两个向量叫做相反向量， 与 是一对相反向量，即 。 五、两条判据。 当且仅当 且 与 同向； 只能说明两个向量的长度相同，推不出它们相等 ——把方向相同、方向相反、方向既不相同也不相反三种情况都摆出来，结论显而易见。 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知点，，则与方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目问的是单位向量，而且是与原向量方向相反的那个。单位向量的定义只有一句：长度等于 。所以先把 求出来，再按「除以模、取相反」两步走。 【关键】 的终点是 、起点是 ，用终点坐标减起点坐标：。它的模是 。于是 是与 同向的单位向量，再乘 得 ，选 D。 【易错】第一处是把 与 弄反 —— 的字母顺序表明起点是 、终点是 ，写成 减 就得到相反的方向，答案会变成 B。第二处是漏掉「方向相反」四个字，那样得到的 不在选项里，但只要把它当作答案就错了 ——本题四个选项只有 C、D 是单位向量，A、B 的模都是 。第三处是「单位向量」与「向量的模」混为一谈：前者是向量，后者是数。 【答案】D 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则实数的值为___________。 【切入点】题干只有 、、 三个点，两条关系式都在这三个点之间。要把 里的 定出来，只需用第一条关系把 与 的比例找出来。 【关键】由 ，沿折线 得 。又 ，所以 ，即 。与 比较得 。 【易错】 与 是一对相反向量，差一个负号，这里是全题唯一的关窍。另外两个方向别写反：由 反解 时要取倒数，得到的是 而不是 。 【答案】 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 已知正方形的边长为1，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【切入点】式子里三条向量首尾可以接上，先把它化简成一条向量，再求模。求模到最后看的是化简结果在正方形里等于哪条线段。 【关键】在正方形 中，（用到 ，因为 且反向）。代入原式：。所以 ，选 D。 【易错】减去一条向量要先化成加上它的相反向量：，但 接不上 这条链子，所以改用 来代，这样后两项才能约掉。另外数乘的倍数要提到模号外面：，写成 就是漏掉了倍数。 【答案】D 二 加法：三角形法则与平行四边形法则 一、三角形法则（首尾相接）。 。两条向量首尾相接时，和向量从第一条的起点指向第二条的终点。 二、平行四边形法则（同起点）。 以 、 为邻边作平行四边形 ，则 。两条向量起点相同时，和向量是它们张成的平行四边形的那条对角线。 三、两个法则的关系。 把 平移到 的位置，平行四边形法则就变成三角形法则，两者是同一件事的两种画法。 四、运算律。 ；；。 五、多边形法则。 ；若这条折线闭合，即终点回到起点，则 。 六、模的不等式。 ，左边取等号当且仅当 与 反向，右边取等号当且仅当同向。 例2（单选·★★☆☆☆） 在中，，设，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 在边 上，题目给了 与 的比例，说明 能用 写出来；而 又可以用已知的 、 作差得到。路线是 这条折线。 【关键】先作差：。再由 得 。沿折线 相加：，选 A。 【易错】 是「共起点作差」的写法：两条向量都以 为起点时， 等于「后一个终点减前一个终点」，写成 就把方向合错了。另外从 到 也可以走 ：，两条路算出来必须一样，可以拿来验算。 【答案】A 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 在所在平面内，点满足，记，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 的三个顶点里有两个已经给了位置向量，目标 从 出发，正好可以沿 这条折线走完。 【关键】由 得 。于是 ，整理得 ，选 C。 【易错】 里两条向量同向，说明 在 的延长线上，而不是夹在 、 之间 ——当成内分点会把符号整体搞反。另外折线从 到 要经过 、 两个中间点，只写 的话还得再把 拆一次，容易漏项。 【答案】C 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 如图，在平行四边形中，是的中点，，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】目标向量 的两个端点 、 分散在图里，先把它们各自在边上的位置定下来，再用共同起点 作差：。 【关键】 是 的中点，所以 。又 说明 在 上且 ，故 。于是 ，得 ，，，选 C。 【易错】第一处是 的读法：两条向量都以 为终点、方向相反，说明 靠 那一端， 占 的 ，读成一半就全错了。第二处是方向： 与 在平行四边形里是反向的， 与 也是，两个负号都不能丢。第三处是 里的减号，写成加号会得到一组完全不同的系数。 【答案】C 例3（单选·★★☆☆☆） 在中，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】、 分别在边 、 上，两处都给了比例。先把 、 各自用 、 表示出来，再用共同起点 作差得 。 【关键】由 得 ，所以 。由 得 ，所以 。两条向量同以 为起点，，选 C。 【易错】第一处是作差的方向： 的起点是 、终点是 ，所以是 ；写成 会得到相反的向量。第二处是比例读法： 说的是 是 的两倍， 只占 的三分之一，看着像中点就错了。第三处是两个分点分别在哪条边上要看清 —— 在 上而不是 上。 【答案】C 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，、分别是、的中点。若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 和 都能按折线直接写出来，但题里让用 表示 ，所以要先把中间的 消掉。 【关键】沿折线写两条式子：；。由第二式得 ，代入第一式：。所以 ，，，选 C。 【易错】第一处是消元时漏负号：，代进去以后 会带出 。第二处是把 、 认错 —— 它们是在基底 下的系数，不是 的系数。第三处是题目算的是 ，算完 、 别顺手写成和。 【答案】C 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 在梯形中，，，，则 = _________。 【切入点】梯形的条件是 且 ，这正好把 与 关联起来，于是把 沿 走一遍，再把 换掉即可。 【关键】在梯形 中， 与 是同一条底边的两个相反方向，长度又是 倍，所以 。沿折线相加：。与 比较系数，得 ，，所以 。 【易错】第一处是符号： 只说明两条底边平行，方向要靠字母顺序判断 —— 从 到 ， 从 到 ，在梯形里这两个方向相反，所以系数取 ，写成 会得到 。第二处是基底认对：题里给的基底是 和 ，不是 ，所以 的系数是 而不是 。 【答案】 三 减法：几何意义与中点向量公式 一、减法的定义。 ，减去一条向量等于加上它的相反向量；，。 二、减法的几何意义（同起点）。 把 、 平移到共同起点 ，设 、，则 ：差向量从减向量的终点指向被减向量的终点。 三、共起点作差公式。 对任意一点 ，。这是「用一组向量表示另一条向量」最常用的一条式子。 四、中点向量公式。 设 是线段 的中点， 是平面上任意一点，则 ；特别地， 与 重合时 。 五、三角形中的中线公式。 在 中，若 是 的中点，则 ，同时 。 六、重心的向量公式。 设 是 的重心，则 ；若 是 的中点，则 在 上且 ，。 例4（单选·★☆☆☆☆） 在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给了两次中点，就套两次中点公式。中点公式的写法是：若 是 的中点， 是任意一点，则 。本题两次都取 作起点，方向最顺。 【关键】第一层： 是 的中点，取 作起点，。第二层： 是 的中点，同样取 作起点，。把第一层代进第二层：，选 D。 【易错】第一处是中点公式的起点必须统一： 之所以成立，是因为 与 同以 为起点；换成 、 就不成立。第二处是第二次套公式时把 直接换成 ，漏掉了那个 ，算出来是 ，正好落进选项 B 的陷阱。第三处是 与 的方向，题目问的是从 出发的那一条。 【答案】D 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 【切入点】 是线段 的中点，用中点公式把 写成 与 的平均；再把 沿 拆开。 【关键】由中点公式（取 作起点）：。由 得 占 的 ，所以 ，从而 。代入：。所以 ，选 C。 【易错】第一处是 的读法： 在 上， 是 的四倍，所以 只占 ， 占 ；读成 占 会得到 ，不在选项里但确实算错了。第二处是问的是 ，也就是 的系数，不是 前面的 。 【答案】C 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是 与 的交点，图里没有直接给比例，但 摆在那里，用一对相似三角形就能把 与 的比例定出来。 【关键】由 得 ，所以 份；而 份，且 。于是 与 相似，对应边 ，所以 。再由平行四边形法则 ，得 ，选 A。 【易错】第一处是相似比的方向： 里 对应 的 ，所以 对应 （不是 对应 ），比是 ，说明 更靠近 ， 占 的 。第二处是 给的是 与 的比，要用的是 份。第三处是最后一步必须在基底 下展开 ——平行四边形里 。 【答案】A 例5（单选·★☆☆☆☆） 已知为的重心，为的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是重心，说明它在中线 上，且把中线分成 ； 是 的中点，这给了 用中点公式写出来的机会。先算 ，再按比例缩到 。 【关键】 是重心， 是中线，所以 ，即 。再由中点公式（取 作起点）：。于是 ，选 B。 【易错】第一处是重心的比例方向：重心把中线分成 ，这个「」是从顶点那端算起的，即 ，所以从 往回走只占三分之一。写成 就反了。第二处是 的拆法：从 到 可以走 ，其中 带负号，丢掉它会把答案的符号整体搞反。第三处是 ——两条向量同以 为起点时才是「终点减终点」。 【答案】B 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 在中，点是的中点，点在上，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】「 在 上」这句话的代数含义是「存在 使 」。所以先把 用 表示出来，再与已知表达式比较系数。 【关键】 是 的中点，取 作起点得 。设 ，则 。把 、 代进去：。与 比较系数，由 得 ，于是 ，选 B。 【易错】第一处是最后求的是 不是 ：系数 等于 ，直接把 当答案就落进选项 C。第二处是 用的是以 为起点的中点公式，写成 就差了符号。第三处是 在线段 上意味着 ，算完可以拿这个范围复核。 【答案】B 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且。若，其中，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 在 上且给了 与 的比例，先把 写出来（顺带把 换成 ），再用减法从 出发作差得 。 【关键】。两条向量同以 为起点，作差：。所以 ，，，选 A。 【易错】第一处是作差方向： 的起点是 、终点是 ，所以用 ；写成 会整体变号。第二处是题干给的式子左边是 而不是 ，一字之差结果差一个负号。第三处是 本身是负的， 一定小于 。 【答案】A 四 图形中的加减运算与化简 一、折线法则（多边形法则）。 ；反过来， 也可以拆成任意一条从 到 的折线，走哪条路结果都一样。 二、共起点作差公式。 对任意一点 ，。这是把一条目标向量换成已知向量最常用的一步。 三、平行四边形中的两条基本式。 在平行四边形 中，，；两条对角线互为反向：，。 四、点在线段上的参数式。 若 在线段 上，则存在唯一的 使 ；对任意一点 有 。 五、交点的比例来源。 图形里出现两条线相交时，比例通常来自一对相似三角形。若 ，且 是 与 的交点，则 ；这条式子把线段长之比直接翻译成向量之比。 六、共线向量与倍数。 两条向量共线（方向相同或相反）时，其中一条等于另一条乘上某个实数；方向相同则系数为正，方向相反则系数为负。所以写向量等式时，每换一条边都要顺手判一次方向。 例6（单选·★★★☆☆） 在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是两条对角线的交点，图上没有直接给它的位置，但梯形的两条底边 与 平行，一对相似三角形就能把 与 的比定出来。比例一到手，剩下的就是减法。 【关键】由 知 且 ，所以 与 相似，，即 。 两条向量都换成以 为起点的差：，。代入比例式：，解得 。把 、 代入得 ，选 B。 【易错】第一处是相似比的对应关系： 里的 对应 里的 （不是 ），所以 对应的是 ，比是 ， 是 的两倍。第二处是代换的方向： 与 是两条对角线段，把它们各自写成以 为起点的差时，顺序是「后一个终点减前一个终点」，写成 就错了。第三处是最后的基底是 （由 指向 ），所以 的负号必须保留。 【答案】B 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 在长方形中，，与交于点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是 与 的交点，同样先定比例。长方形里 ，而 恰好是 的一半，一对相似三角形可以给出 与 的比。 【关键】由 得 ，且 ，所以 与 相似，，于是 。 再用减法写 ：。所以 ，选 A。 【易错】第一处是相似比的方向： 说明 短、 长，所以 占 的三分之一；写反成三分之二就会落到选项 B。第二处是 里的减号：两条向量同以 为起点， 在 上，所以从 到 要先回到 ，方向决定了是减不是加。第三处是 与 差一个负号，最后一步乘 时方向不能反。 【答案】A 变式6-2（单选·★★★☆☆） 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】赵爽弦图里四块直角三角形全等，已知的比例 会通过全等传到每一条对应边上。目标 在图上被分成 与 两段，而 又能用小正方形边长 表示，于是可以把 写成关于自身的方程。 【关键】由弦图的全等关系，、、、 四段对应相等，小正方形边长 。设 ，则由 得 ，。又 、、 共线且同向，，所以 。 再沿折线 展开：。而 与 平行且等长，。代入得 ，整理为 ，即 ，所以 ，选 A。 【易错】第一处是 的方向：两条都是直角三角形的一条直角边，长度相等，从 到 与从 到 同向，所以可以整体搬过来；写成 就反了。第二处是 ：，占 的三分之二，读成三分之一会算出另一组系数。第三处是本题会出现「用 表示 」的方程，这是正常做法 —— 把未知量留在两边，移项合并即可，不要以为绕回去了。 【答案】A 变式6-3（填空·★★★★☆） 已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 = __________。 【切入点】「 为 边上靠近 的三等分点」的代数写法是 。所以先把 用基底 、 写出来，再沿 相加。 【关键】由 得 。从 到 走 ：。所以 。 沿折线 ：。所以 ，，。 【易错】第一处是「靠近 的三等分点」说的是 ，不是 。第二处是 的折线要经过 、 两个中间点，少走一段就会漏项；也可以先写 再展开。第三处是 ，那个负号一丢，答案就变成另一个数。 【答案】 例7（单选·★★★☆☆） 如图，在中，，是上一点。若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「 是 上一点」的代数写法是「存在 使 」。把 用 、 展开，再把 按已知比例换回 ，最后与题目给的式子比较系数。 【关键】设 ，则 。由 换成 。 代入已知式：。等号左边只有 ，而 与 不共线，所以 的系数必须是零：，得 。于是 ，选 C。 【易错】第一处是参数化的对象：设的是 ，表示 在 上；若设成 ，那就表示 在 上，与题意不符。第二处是 ，两条向量同以 为起点时才是「终点减终点」，方向写反会得到另一个 。第三处是最后一步的比较系数，依据是 与 不共线时表示法唯一 ——这一步不能省，否则「左边没有 」就无从说起。 【答案】C 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，点满足，与交于点。若，则 = （ ） A. B. C. D. 1 【切入点】 是 与 的交点，图上没有给比例；但平行四边形里 ，一对相似三角形就能把 与 的比定出来。 【关键】由 得 （平行四边形里 与 平行且等长）。又 ，所以 与 相似，，于是 。 再由 ：，即 ，，选 B。 【易错】第一处是相似比要取对边： 的 对应 的 ，所以 对应的是 ，比是 。第二处是 的长度： 占 的四分之一，所以 占四分之三，不是四分之一。第三处是 这一步可以直接看出来 —— 在 上时 是 的倍数，而 在基底下的两个系数都是 ，可以拿它复核。 【答案】B 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 在中，为上一点，且，为中点，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是 的中点，用中点公式取 作起点，把 写成 与 的平均；再顺着已知比例把 换成 、。 【关键】由 得 ，所以 。于是 。又 ，代入得 。所以 ，，，选 A。 【易错】第一处是 ： 给的是 与 的比，所以 占 的四分之一，读成四分之三就错了。第二处是 ，中点公式里的第一项带负号。第三处是 ，两条向量同以 为起点时才这样写；顺便注意最后算的是 而不是 。 【答案】A 变式7-3（单选·★★☆☆☆） 已知是同一平面内不同的三点，且，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】、、 是同一平面内的三个点，两条关系式都在这三点之间。用一条把另一条翻译出来即可，核心只有一步：把 写成 。 【关键】由 与 ，得 。再沿折线 ：。与 比较得 ，选 A。 【易错】第一处是 与 是一对相反向量，这个负号是全题的关窍；漏掉它会算出 ，落进选项 D。第二处是「」与「」是两回事：前者只说长度成倍，后者还含方向，长度关系推不出向量关系。第三处是三个点「不同」但不一定不共线，本题的解 正说明 、、 在同一条直线上。 【答案】A 变式7-4（单选·★★☆☆☆） 在中，。若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条向量各算各的： 用中点公式， 沿 的折线写，最后相加合并同类项。题目给的两个长度用不到，别被带跑。 【关键】 说明 是 的中点，取 作起点得 。 说明 占 的三分之二，，所以 。 两式相加：。所以 ，选 C。 【易错】第一处是 、 是干扰项，本题全程只用系数；看见长度就想用余弦定理，反而绕远。第二处是 的折线要经过 ， 那个负号容易丢。第三处是 说明 ，所以 占 的 ，读成 会得到 。 【答案】C 变式7-5（多选·★★★★☆） 已知四边形是正方形，延长至，使，点是线段上的任意一点.设向量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是「用 、 表示 」，而「 在线段 上」给的是 的另一种写法。两条写法对照，就能把 、 各自定出来。 【关键】 在 的延长线上且 ，所以 与 反向等长，即 ，于是 。 设 ，，则 。把 代进去：。与已知式比较得 ，。 所以 。 A： 在 内，对应 ，即 与 重合。 B：，落在 内，对应 ，这个值在 内。 C： 在 内，对应 ，即 与 重合。 D： 不在 内，故 D 不选。 故选 ABC。 【易错】第一处是 的位置：延长 至 使 ， 在 的外侧，所以 带负号，写成加号会得到 不为常数。第二处是 在线段 上意味着 ，端点能否取到取决于题目说的线段是否含端点，本题用闭区间，所以 的两个端点 与 都能取到。第三处是多选容易漏项： 是无理数，但 ，仍在范围内。 【答案】ABC 变式7-6（多选·★★★★☆） 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 同时是两条线的交点，所以它既在直线 上、又在直线 上。把 按这两种归属各写一遍，两遍的系数必须一样，解出参数后再逐项判断选项。 【关键】按「 在 上」写：。按「 在 上」写：。比较系数：，。由第二式得 ，代入第一式解得 ，于是 ，。 逐项判断。 A：上式是 ，不是 ，A 错。 B：，而 ，，两者不等，B 错。 C： 在 上， 的两个系数之和为 ，由 得 ，所以 ，C 错。 D：，而 ，两者相等，D 对。故选 D。 【易错】第一处是两条直线各设一个参数（本题用了 和 ），要分清哪个参数属于哪条线，别混用。第二处是 C 选项： 在 上说明 的两个系数之和为 ，而 的两个系数之和是 ，比例系数 就等于这个和。第三处是 D 选项要先把 、 都换成 、 再比； 的负号是这一步的关键。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $