专题02 期中复习压轴20类题型归纳（考试范围：第1章 勾股定理～第3章 位置与坐标）（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

专题02 期中复习压轴20类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 勾股定理~第3章 位置与坐标） 【新教材北师大版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 勾股定理折叠求线段长度】 1 【题型2 勾股定理动点最短路径求值】 6 【题型3 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 11 【题型4 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 15 【题型5 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 17 【题型6 二次根式化简与大小比较】 19 【题型7 二次根式估值确定整数部分】 21 【题型8 坐标系内图形面积计算】 23 【题型9 坐标系内规律探究】 26 【题型10 坐标轴对称变换求对应坐标】 29 【解答压轴】 32 【题型11 勾股定理折叠综合探究题】 32 【题型12 立体图形最短路径求解】 39 【题型13 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 46 【题型14 算术平方根非负性综合应用】 53 【题型15 实数运算新定义综合】 55 【题型16 复杂二次根式化简求值】 58 【题型17 比较二次根式的大小】 61 【题型18 坐标系动点求线段、面积】 67 【题型19 坐标与图形变化】 77 【题型20 勾股定理与坐标系综合几何题】 86 【选填压轴】 【题型1 勾股定理折叠求线段长度】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对折得，结合折叠知，，连接，通过证明是等边三角形，推出，进而推出，再在中利用角对边是斜边一半结合勾股定理求出长度． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，为中点，为中点，， 四边形为矩形， ， ， 由沿折叠得到， ， ，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， 解得， 故． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质和证直角三角形全等得到，设，在中用勾股定理列方程求出，最后在中勾股算出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 把沿折叠得到，点是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， 可得， 解得，即， 故． 【变式1-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处． （1）__________； （2）当点与点重合时，__________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质即可求出答案； （2）在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得 ，过点作于点M，则得到，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，四边形与关于直线对称， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， （2）当点和点重合时，即点落在点A处，由折叠的性质可知， ， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得， 即， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得，即， 过点作于点M， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 在中， 【变式1-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】 或 【分析】根据题意，分类讨论：当时，可证四边形是正方形，则，得到；当时，可得点A，，C共线，由勾股定理得到，设，则，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵折叠， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当时，为直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴，即点A，，C共线， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长为2或5． 【题型2 勾股定理动点最短路径求值】 【例2】（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 【答案】13 【分析】作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，根据题意可得当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，, ∵， ∴， ∵， ∴， 当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长， ∵，， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（    ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开为平面矩形，利用轴对称转化为两点之间线段最短问题，再通过勾股定理计算最短路径． 【详解】解：将容器侧面展开，如图，作点关于的对称点，连接，则即为最短距离． 由题意得，，． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体最短路径转化为平面图形，利用轴对称和勾股定理求解是解题的关键． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【答案】A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 【变式2-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 【题型3 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 【例3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边中线性质和中位线定理求、、的长，再根据勾股定理逆定理得为直角三角形，，最后用等面积法求出与的距离即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 或的长即为与之间的距离． ，分别是，的中点， ，，是的中位线， ． ，即， 为直角三角形，且， 的面积为， ， 即与之间的距离是． 【变式3-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断． 【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高 ，， ， ①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件， ①错误； ②，， 又能组成三角形， ， ， 即， 均为正数， ， ∴能组成三角形，②正确； ③， 又， 根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形， ③正确； ④， 又， ， ， 即， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形， ④错误； 综上，正确的结论有2个． 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 【变式3-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型4 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例4】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式4-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【题型5 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例5】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和绝对值的化简，利用二次根式被开方数的非负性确定的取值范围，化简绝对值后整理等式，再变形得到所求代数式的值，运用整体代入的思想求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得，即， ， ， 将其代入原等式得：， 整理得， 两边平方得：， 移项得：， 故答案为． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的非负数的性质及代数式求值，利用非负数的性质，确定a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴且， ∴，， ∴ 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式5-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 【题型6 二次根式化简与大小比较】 【例6】（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，据此根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ∴． ∴， 故选：D． 【变式6-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】此题考查了两数实数大小，先计算倒数，然后作差值比较即可，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算和实数比较大小的方法． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【变式6-3】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴ 又∵， ∴原式， 故答案为：． 【题型7 二次根式估值确定整数部分】 【例7】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式运算的应用，熟练掌握以上知识点求出、的值是解题的关键．根据，求出、的值，代入即可求解． 【详解】 ， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ； 故答案为4． 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式7-2】设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出，进而求出a的值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， 的整数部分为2， 故选：． 【变式7-3】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 【题型8 坐标系内图形面积计算】 【例8】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 【变式8-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了根据点的坐标求面积． 通过观察坐标，点A和点B的纵坐标相同，因此线段是水平线段，可作为三角形的底边；点C到的垂直距离即为高，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由点的纵坐标均为4， 得底边的长度为． 点到直线即的垂直距离为， 因此三角形面积为． 故答案为：6． 【变式8-3】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】由平移的性质可得，，由题意可得，，则，设，则，连接，最后根据，计算即可得出结果． 【详解】解：连接， 由平移的性质可得，， ∵点恰好落在轴上，若点的纵坐标为， ∴，， ∴， 设，则， ∵图中阴影部分面积是18， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【题型9 坐标系内规律探究】 【例9】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其横坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；纵坐标在和之间循环，由的奇偶性决定，确定对应的值即可求解． 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点， 第个等腰直角三角形的斜边长为， 该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正， ， 点是第个等腰直角三角形的直角顶点； 是奇数， 点的横坐标为； 点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； …… 由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为； 是奇数， 点的纵坐标为； 综上所述，点的坐标为． 【变式9-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 【变式9-2】（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 【变式9-3】（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 【题型10 坐标轴对称变换求对应坐标】 【例10】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、坐标与图形等知识点，正确作图是解题的关键． 由点，的坐标可得直线为，再根据题意画出图形，设，然后根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，， ∴直线为 如图：与关于所在直线对称， 设 ∴点O和点C关于直线对称， ∴，解得：， 即． 故选C． 【变式10-1】（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点的坐标；再根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点的坐标为 已知的坐标为，因此可得，， 解得，，即点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式10-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点关于直线对称，则的值为（　）． A．2 B．6 C．-2 D．-6 【答案】D 【分析】结合题意，根据坐标、轴对称的性质列方程并计算，即可得到答案． 【详解】∵点与点关于直线对称 ∴， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了直角坐标系、坐标、轴对称、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称点的坐标是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是-2，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案． 【详解】∵a2+2>0， ∴点在第一象限， ∵直线m上各点的横坐标都是-2， ∴直线为：x=-2， ∴a2+2到-2的距离为： a2+4， ∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：-a2-6， 故P点对称的点的坐标是：（-a2-6，5）． 故选B． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键． 【解答压轴】 【题型11 勾股定理折叠综合探究题】 【例11】（25-26八年级下·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)等边，直角， (2) (3) 理由：将 沿 方向平移，使 与 重合，得到，连接 ， ． 由平移性质： ， ， ， ∴， 又 ， ∴ 是等边三角形，得 ， ∵ 与 不平行，∴ 三点不共线， 在 中，由三角形三边关系： ， 即 ， ∴ ． 【分析】（1）因为旋转后，旋转角等于等边三角形内角 ，所以可判断的形状；根据三边长度满足勾股定理逆定理，可判断的形状，结合角的和差关系求 ； （2）借鉴（1）的旋转思路，将 绕点B顺时针旋转 得到，连接，因为旋转角为 且，是等腰直角三角形，结合已知 可得 ，再用勾股定理求 ； （3）利用平移变换将 或 平移，构造含 角的等边三角形，结合三角形三边关系比较 与 的大小． 【详解】（1）解：将 绕A旋转得到 ， 由旋转性质得， 旋转角 ， ∴是等边三角形； 由 ， ， ，得， 由勾股定理逆定理得是直角三角形； ∴ ， ． （2）解：类比（1），将 绕点 顺时针旋转，得到，连接． 由旋转性质： ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 得， ， ∴ ， 在 中， ． （3）略 【变式11-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】． 【分析】连接，先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，然后由折叠性质可得，，设，则，在中，，即，求出的值即可． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且， 由折叠性质可得，， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，即的长为． 【变式11-2】（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【答案】(1)①，2； ②证明：如图2， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 又， ， 是的中点； (2)，． 【分析】（1）①以A为圆心，为半径画弧，交于点E；由折叠的性质可知，则作的平分线交与点P即可；根据勾股定理求出，即可求出的值； ②由折叠的性质可知，，根据平行线的判定和性质得到，可知，根据等角对等边得到，进而可知，即P是的中点； （2）根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）①解：作图略； 由折叠的性质可知， ∵矩形 ∴，， ， ； ②略； （2）解：图略， 当时，可知此时点在的延长线上． 在中，，， ， ， 设，则， ， ， 即． 【变式11-3】（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证： ； ②若，，求点到直线的距离． (2)如图2，当点在的外部，且时，求的值． 【答案】(1) ①证明：由翻折可得，，， ， ， ， ，，， ； ② (2)1 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，，，求得，即，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到，设点到直线的距离为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）① 略 ②解： ， ，，， ， 即， 由勾股定理得：， 由翻折可知，， ，， 由勾股定理得，， 设点到直线的距离为， ， 即， 解得， 点到直线的距离为； （2）解：，， ， ，将沿直线翻折，得到， ，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ． 【题型12 立体图形最短路径求解】 【例12】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 【变式12-1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． (1)已知该地下通道长度为，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． (2)若，居民区离地铁线路的距离为，工厂离地铁的距离为，居民区与工厂的水平距离为，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 【答案】(1) 将居民区向右平移得到，连接交于点，在上点的左侧，截取，连接，则即为最短路线 (2)居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为米 【分析】（1）由居民区经过地下通道到工厂的最短路程中地下通道是定值，将平移至，根据两点之间线段最短，可得的长为居民区和工厂到铁路线的最短距离，故作图方法为：将居民区向右平移得到，连接交于点，在上点的左侧，截取，连接，则四边形是平行四边形，即为最短路线； （2）过点作于点，根据题意得出各线段长，根据勾股定理求得的长，进而加上地下通道的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 依题意，，，， ∴， 在中，， ∴最短路线长为：（米）， 答：居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为米． 【变式12-2】（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，容易证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得．根据题意，，，由线段公理可得，，因此当、、三点共线时，取得最小值； （2）类比（1）的解法，构造，，，，，则．由勾股定理可得，，，，由可得，的最小值为； （3）构造，，，，，由勾股定理可得，，，根据题意可得，由可判断，利用面积法计算出． 【详解】（1）解：如图2，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 根据题意，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （2）解：如图3，设，，，，， 同理（1）可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：如图，中，，，，， 由勾股定理可得，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式12-3】（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【题型13 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 【例13】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； ②∵，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则； (2) 【分析】（1）①先根据勾股定理的逆定理得到，进而证明，然后利用“”证明三角形全等即可； ②先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质证明，，然后利用勾股定理可得结论； （2）先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，，进而可得，然后利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）①略； ②略； （2）解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则． 【变式13-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的面积，运用分割法求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 【变式13-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够灵活应用相关知识点． （1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，再设，最后利用勾股定理列方程求解即可； （3）先求得，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：点为的中点，，，， ． ， 是直角三角形． 故答案为：直角． （2）解： 平分，，， ． ， ． 设，则， 在中，， ， 解得，， 即． 答：的长为． （3）解：如图， 连接， ， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． 设，则， ， ， ，． 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 解得，， 即． 答：线段的长为． 【变式13-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 【题型14 算术平方根非负性综合应用】 【例14】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， ∴， 设， 则， ∵， ∴，即， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 【变式14-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量． 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数、几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0是解题的关键． 先确定二次根式中被开方数的取值范围，再整理原式，利用非负数的和为0时，每个非负数都为 0的性质求出的值，最后代入计算式子的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵由题意得且， ∴且， ∵， ∴且， 故且 解得，， ∴． 【变式14-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 【题型15 实数运算新定义综合】 【例15】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或 【分析】（1）根据“齐整数组”的定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“齐整数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“齐整数组”； ∵，则不是整数， ∴不是“齐整数组”； （2）解：∵为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴或， ∴或， 解得：或， 即的值为或． 【变式15-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 【变式15-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 【变式15-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或12． 【分析】（1）根据“和谐数组”定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“和谐数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，则是“和谐数组”； ，不是整数，则不是“和谐数组”； （2）解：因为为“和谐数组”， 则， 若，即，解得，，符合题意； 若，即，解得，，符合题意； 所以或12． 【题型16 复杂二次根式化简求值】 【例16】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【答案】 解：不正确．正确的解答过程如下： ，， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理． 【详解】略 【变式16-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ； ②化简． 【答案】(1) 解： ∴ ； (2)①；②9 【分析】（1）将的值代入，进行计算即可； （2）①进行分母有理化即可；②先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②原式 ． 【变式16-2】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据材料中的方法一、方法二求解即可； （2）先利用方法一化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简a，然后将化为，然后将a的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解： ． （3）解：， 所以， ． 【变式16-3】（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： (1)化简：； (2)计算： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式化简即可； （2）结合完全平方公式，找到规律，进而解题． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 则 ． 【题型17 比较二次根式的大小】 【例17】（25-26九年级上·山西·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． (2)请补全材料中“……”处的解答过程． (3)直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1)两边之和大于第三边（三边之间的关系）；直角 (2)解：，， 又， ； (3)． 【分析】（1）利用三角形三边关系确定三角形形状即可； （2）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可； （3）计算和的平方，进行判断即可． 【详解】（1）解：研究报告中“▲”处空缺的内容：两边之和大于第三边（三边之间的关系）； “■”处空缺的内容：直角； （2）略 （3）解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 【变式17-1】（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式进行分母有理化，再计算即可求出式子的值； （2）先通分，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将与进行转化，再进行比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 即． 【变式17-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；②34 (3)a的值是，b的值为 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . （3）解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 【变式17-3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 【答案】(1)①；②；③ (2) 选择①．推导思路如下： 由，且，得．    配方，得， ∴ 即   ∴   选择②．推导思路如下： 由，得， 则，即．     因为， 所以，即． 【分析】（1）①根据完全平方公式可得①的结果； ②根据二次根式的性质可得②的结果； ③比较结果①与结果②可得两个代数式的大小关系. （2）选择其中任意一种解答即可. 【详解】（1）① 故答案为：    . ②， 故答案为：. ③∵ ∴ ∴ 故答案为：>． （2）略 【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，灵活运用因式分解解决问题是解题的关键. 【题型18 坐标系动点求线段、面积】 【例18】（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为．       (1)直接写出的值及点，的坐标； (2)连接与轴交于点． ①________； ②求的长度． (3)如图，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)①4；② (3)S的值是定值，定值为， 【分析】（1）先根据点的平移规则，结合四边形面积为8的条件，求解m的值和B、C的坐标． （2）①求的面积时，可利用平行四边形与三角形的面积关系，或直接用坐标法计算面积．②求长度时，根据，与有公共的底边，高与为已知，用面积法求三角形的高即可． （3）处理动点问题时，先设运动时间为t，用含t的式子表示的长，可得， 当点在线段上时，当点在上时，分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点向右平移个单位得到点， ∴点的坐标为，   ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴点的坐标为； （2）解：①； ②∵， ， 即， 解得． （3）解：S的值是定值，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接， 设运动时间为秒， 由题意得，， ，， ， ， ； ②如图，当点在上时，连接， 由①可得， ； 综上所述，的值是定值． 【变式18-1】（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；或 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）过点作于点，根据等面积法求出的长，再根据可    得答案； （3）根据（2）可求出的面积，则可求出的长，根据点C的坐标得到点B的坐标和的长，则可求出的面积，进而求出和的面积，根据（2）所求可得t的值，再根据三角形的面积公式求出点M的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，，， ，； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ∵，，， ， 解得， 由题意得， ∴， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵轴于点B，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴或， ∵点M的横、纵坐标相等， ∴点M的坐标为或． 【变式18-2】（25-26七年级下·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为 (3)当P在线段上，Q在线段上时，；当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时，，理由如下： ①当P在线段上，Q在线段上时，如图，过Q点作的平行线， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时，如图，过Q点作的平行线， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据点B与点C的纵坐标相同即可判断； （2）设当P运动t秒时，得出求解即可； （3）分①当P在线段上，Q在线段上时和②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点B与点C的纵坐标相同， ∴； （2）解：设当P运动t秒时， 由题可得， ， ∴ ， 解得， ∴， ∴P点的坐标为； （3）解：略 【变式18-3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 【题型19 坐标与图形变化】 【例19】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，是轴上一动点． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_______；与的位置关系是_______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标； (3)若，，，判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；；平行 (2)P点坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段反向延长线上时，； 证明：当点在线段上时，； 如图，过点作， 则； ，， ， ； ， ； 当点在线段延长线上时，； 如图，过点作， 则； ，， ， ； ， ； 当点在线段反向延长线上时，； 如图，过点作， 则； ，， ， ； ， ． 【分析】（1）由点，可得，，，即可得出点的坐标，由平移的性质可以得出点的坐标和与的位置关系； （2）由可得，是等高三角形，由的面积是的面积的3倍，得到，设，列方程求解即可； （3）分三种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时；当点在的延长线上时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，， ∴， ∵点可以看成点向右平移4个单位长度得到的，点可以看成点向右平移4个单位长度得到的， ∴可以看成向右平移4个单位长度， ∴． （2）解：设， 若与以轴上的边为底，则这两个三角形等高， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ，即或， 解得或， ∴点坐标为或． （3）略 【变式19-1】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． (1)求a，b的值； (2)在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据中点坐标公式，得，解方程组即可； （2）根据平移，轴对称先确定各点的坐标，再利用梯形的面积求解即可． 【详解】（1）解：根据中点坐标公式，得， 整理，得， 解得； （2）解：根据，， 故，， 又点向右移动4个单位长度得到点， 故， 又点沿轴翻折后得到点， 故，描点如下： 故，且，平行线间的距离为， 故图形的面积为． 【变式19-2】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为 (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____ (2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____ (3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意，即可得到中点的坐标： （2）设点的坐标，根据中点坐标的定义建立方程求解； （3）利用（2）中的方法进行分类讨论即可答题． 【详解】（1）解： ，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标，由题意得，， 解得，， 点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时，则，， ，， 此时； ②与中点重合时，则， ，， 此时； ③与中点重合时，则， ，， 此时， 点的坐标为或或． 【变式19-3】（25-26七年级下·湖北·阶段检测）平面直角坐标系中，，且． (1)求点、坐标； (2)若是直线上一点，且，求点坐标； (3)如图，当时有．若射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转，两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，求多少秒时，与互相垂直． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或秒时，与互相垂直 【分析】本题考查算术平方根的非负性，直角坐标系与面积综合，角度旋转综合； （1）根据算术平方根的非负性得到推出，即可得到，，，即可求出坐标； （2）由，得到，根据可以得到为底的高的关系，据此求解即可； （3）设旋转时间为秒，先根据两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，得到，再根据与的位置分情况讨论，分别画出图形，最后根据与垂直列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， 若是直线上一点，且，， 如图，分两种情况： 当点D在第三象限，过作轴于点E，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在第一象限，过作轴于点F，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设旋转时间为秒，射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转得到射线，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转得到，直线和交于点， ∵两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动， ∴， 解得， 当第一次与轴重合时，解得； 当第二次与轴重合时，解得； 当与线段共线时，解得； 当与轴重合时，解得； 当时，如图，此时与不可能垂直，即与不可能垂直； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当时，如图，此时与不可能垂直，即与不可能垂直； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 综上所述，或或秒时，与互相垂直． 【题型20 勾股定理与坐标系综合几何题】 【例20】（25-26八年级下·山东济宁·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)求和的长． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答． 【详解】（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． 【变式20-1】（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点． (1)写出点，点的坐标； (2)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移与等腰三角形的性质，解题的关键是利用点的平移规律求出点的坐标，再结合等腰三角形“等角对等边”的性质列方程求解点的坐标． （1）先从坐标系中读出点的坐标，再根据平移规律“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”求出点的坐标； （2）根据，得，设点的坐标为，利用两点间距离公式列方程求解． 【详解】（1）解： 由图可知，点的坐标为， 根据平移规律，点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， 则点的横坐标为：， 纵坐标为：， 故点的坐标为． （2）解： 设点的坐标为， ， 由两点间距离公式， ， ， ， 两边平方得：， ， ， 当时，（与点重合，舍去）； 当时，． 点的坐标为． 【变式20-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，点为平面直角坐标系中的任意两点．已知两点连线所在直线不与任何一条坐标轴平行，过点作轴，过点作轴，交点为，则两点间的距离可根据勾股定理表示为．请根据上述材料解决 (1)已知点，试求点间的距离； (2)在（1）的条件下，点的坐标为，则是等腰直角三角形吗？试通过计算说明理由． (3)在（1）、（2）的条件下，轴上有一动点，在点移动的过程中是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ，且， 是等腰直角三角形． (3)点的坐标为，，， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点间距离公式、等腰三角形的判定与性质的应用．熟练掌握两点间距离公式，结合等腰三角形的不同情况（两边相等）进行分类讨论，是解题的关键． （1）通过两点间距离公式，直接代入坐标计算，逐步推导出两点间的距离； （2）对于等腰直角三角形的判定，依据两点间距离公式求出三边长度，再结合勾股定理和等腰三角形的定义进行分析； （3）在求等腰三角形的点的坐标时，分情况讨论（、、），结合两点间距离公式进行计算分析． 【详解】（1）解：根据两点间的距离公式，得． （2）略 （3）解：设，分三种情况讨论： ①当时， ， ， ， 解得（与点重合，舍去）或， 此时点． ②当时， ， ， 解得：， 此时点，． ③当时， ， ， ， ， ， 此时点． 综上所述，点的坐标为，，，． 【变式20-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①；② (2)不变，定值为 (3)或或 【分析】（1）①过点作轴于点，通过论证即可得出结论； ②过点作轴于，过点作于点，通过论证即可得出结论； （2）过点作轴于，可得，进而利用即可得出结论； （3）过点作轴于，由（2）的结论得，推出，再分3种情况讨论：、、，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：①当与重合时，如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②过点作轴于，过点作于点， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 过点作轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，定值为； （3）解：过点作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴分3种情况讨论： 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 综上：或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中复习压轴20类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 勾股定理~第3章 位置与坐标） 【新教材北师大版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 勾股定理折叠求线段长度】 1 【题型2 勾股定理动点最短路径求值】 2 【题型3 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 4 【题型4 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 5 【题型5 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 5 【题型6 二次根式化简与大小比较】 5 【题型7 二次根式估值确定整数部分】 6 【题型8 坐标系内图形面积计算】 6 【题型9 坐标系内规律探究】 7 【题型10 坐标轴对称变换求对应坐标】 8 【解答压轴】 9 【题型11 勾股定理折叠综合探究题】 9 【题型12 立体图形最短路径求解】 11 【题型13 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 13 【题型14 算术平方根非负性综合应用】 15 【题型15 实数运算新定义综合】 15 【题型16 复杂二次根式化简求值】 16 【题型17 比较二次根式的大小】 17 【题型18 坐标系动点求线段、面积】 19 【题型19 坐标与图形变化】 21 【题型20 勾股定理与坐标系综合几何题】 22 【选填压轴】 【题型1 勾股定理折叠求线段长度】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形纸片中，，先将矩形纸片对折，使边与重合，展平后得到折痕；点为边上一点，再将纸片沿折叠，使点落在线段上的点处，则折痕的长等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处． （1）__________； （2）当点与点重合时，__________． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【题型2 勾股定理动点最短路径求值】 【例2】（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（    ） A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm 【变式2-2】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【变式2-3】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【题型3 勾股定理的逆定理判断直角三角形】 【例3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，．若，，，则与之间的距离是______． 【变式3-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则______． 【题型4 平方根、算术平方根、立方根综合问题】 【例4】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是_____． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【题型5 利用算术平方根非负性求字母参数的值】 【例5】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为______． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川内江·期末）若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【变式5-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【题型6 二次根式化简与大小比较】 【例6】（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【变式6-3】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【题型7 二次根式估值确定整数部分】 【例7】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【题型8 坐标系内图形面积计算】 【例8】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【变式8-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是_______． 【变式8-3】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 【题型9 坐标系内规律探究】 【例9】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【变式9-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【变式9-2】（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型10 坐标轴对称变换求对应坐标】 【例10】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【变式10-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点关于直线对称，则的值为（　）． A．2 B．6 C．-2 D．-6 【变式10-3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称点的坐标是（　　　　） A． B． C． D． 【解答压轴】 【题型11 勾股定理折叠综合探究题】 【例11】（25-26八年级下·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现 如图（1）， 是等边 内一点 ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵ ， ∴， ∴为 三角形． ∴ 的度数为 ． (2)类比延伸 在正方形 内部有一点P，连接 ，若 ，求 的长； (3)拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【变式11-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【变式11-2】（25-26八年级下·浙江·阶段检测）在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【变式11-3】（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证： ； ②若，，求点到直线的距离． (2)如图2，当点在的外部，且时，求的值． 【题型12 立体图形最短路径求解】 【例12】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【变式12-1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． (1)已知该地下通道长度为，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． (2)若，居民区离地铁线路的距离为，工厂离地铁的距离为，居民区与工厂的水平距离为，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 【变式12-2】（25-26八年级下·北京·期中）先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：求代数式的最小值______； (3)解决问题：已知正数满足，则的值为______． 【变式12-3】（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【题型13 勾股定理的逆定理证明直角三角形】 【例13】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【变式13-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【变式13-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”） (2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长： (3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长． 【变式13-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【题型14 算术平方根非负性综合应用】 【例14】（2025九年级上·上海·专题练习）对一切实数k，有成立，求k的最大值． 【变式14-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b为有理数，且，求的值． 【变式14-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知，求的平方根. 【题型15 实数运算新定义综合】 【例15】（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【变式15-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【变式15-2】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【变式15-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． (1)判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【题型16 复杂二次根式化简求值】 【例16】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【变式16-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ； ②化简． 【变式16-2】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【变式16-3】（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： (1)化简：； (2)计算： ． 【题型17 比较二次根式的大小】 【例17】（25-26九年级上·山西·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． (2)请补全材料中“……”处的解答过程． (3)直接写出与之间的大小关系． 【变式17-1】（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【变式17-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【变式17-3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 【题型18 坐标系动点求线段、面积】 【例18】（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为．       (1)直接写出的值及点，的坐标； (2)连接与轴交于点． ①________； ②求的长度． (3)如图，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【变式18-1】（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【变式18-2】（25-26七年级下·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【变式18-3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【题型19 坐标与图形变化】 【例19】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，是轴上一动点． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_______；与的位置关系是_______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标； (3)若，，，判断，，之间的数量关系，并证明． 【变式19-1】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． (1)求a，b的值； (2)在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 【变式19-2】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为 (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____ (2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____ (3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标． 【变式19-3】（25-26七年级下·湖北·阶段检测）平面直角坐标系中，，且． (1)求点、坐标； (2)若是直线上一点，且，求点坐标； (3)如图，当时有．若射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转，两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，求多少秒时，与互相垂直． 【题型20 勾股定理与坐标系综合几何题】 【例20】（25-26八年级下·山东济宁·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)求和的长． 【变式20-1】（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系内，有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点． (1)写出点，点的坐标； (2)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【变式20-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，点为平面直角坐标系中的任意两点．已知两点连线所在直线不与任何一条坐标轴平行，过点作轴，过点作轴，交点为，则两点间的距离可根据勾股定理表示为．请根据上述材料解决 (1)已知点，试求点间的距离； (2)在（1）的条件下，点的坐标为，则是等腰直角三角形吗？试通过计算说明理由． (3)在（1）、（2）的条件下，轴上有一动点，在点移动的过程中是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式20-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $