专项突破05 平面直角坐标系点坐标规律探索（知识技巧点拨+4种高频考察题型 共33题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学八年级上册考前冲刺

专项突破05 平面直角坐标系点坐标规律探索 （知识技巧点拨+4种高频考察题型 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 1 知识点梳理02：轴对称定理 2 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 2 优选题型 考点讲练 2 题型1沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 2 题型2 沿斜线或曲线运动的点的规律探究 5 题型3 平面直角坐标系中图形的变换规律探究 8 题型4 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 10 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 （1）点在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b单位长度,可以得到对应点((x,y+b)或((x,y-b). 特别说明： (1)、在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减； (2）、在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减； (3)、在坐标系内,平移点的坐标规律:沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变。 （2）图形在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a, 相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度:如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。 特别说明： 平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决； 平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化。 知识点梳理02：轴对称定理 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。(全等形不一定关于某条直线对称) 定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 定理3:两个图形关于某条直线对称,如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交,那么交点在对称轴上。 定理3的逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (b,a); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (-b,-a)． 题型1沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D，C，P，H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 4．（19-20八年级上·陕西西安·期中）如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续滚动，点P依次落在点，，，…的位置，则的横坐标的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，从点 ， ，依此扩展下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，，，，，，按此规律，点的坐标为 ． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是 ． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点．规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为1次变换，这样连续经过2026次变换后，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型2 沿斜线或曲线运动的点的规律探究 10．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ． 13．（21-22八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知长方形中，动点P从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，则第二次碰到长方形的边上一点的坐标为．当点P第2018次碰到长方形的边时，点的坐标是 ． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图所示，从由里向外数第二个正方形开始，分别是由第一个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数． 15．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点为圆心，按上述作法得到曲线该曲线称为正方形的“渐开线”，那么点的坐标是 ． 17．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 18．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第999秒时，点的坐标为 ． 题型3 平面直角坐标系中图形的变换规律探究 20．（22-23八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，若对于平面内任一点有如下变换：，如，则 ， ． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移1个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换，表示点M先向右平移1个单位得到点，再将点关于x轴作轴对称从而得到点．若点经过“0101…01”共2026次变换后得到点，则点的坐标为 ． 22．（25-26八年级上·全国·单元测试）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定（为大于1的整数）．如，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________． (2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 26．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 题型4 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 27．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 28．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 29．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为 ．    31．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将向左平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移2个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 32．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（    ） A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0） 33．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，矩形ABCD的顶点A（﹣3，0），B在x轴的负半轴上，顶点C（﹣1，3），D在第二象限内，对角线AC与BD的交点为M．将矩形ABCD沿x轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在x轴上，点M的对应点分别为M1，M2，M3，…，则M2021的坐标为（　　） A．（5050，1） B．（5050，） C．（5050，1） D．（5050，） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破05 平面直角坐标系点坐标规律探索 （知识技巧点拨+4种高频考察题型 共33题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 1 知识点梳理02：轴对称定理 2 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 2 优选题型 考点讲练 2 题型1沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 2 题型2 沿斜线或曲线运动的点的规律探究 10 题型3 平面直角坐标系中图形的变换规律探究 19 题型4 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 25 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 （1）点在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b单位长度,可以得到对应点((x,y+b)或((x,y-b). 特别说明： (1)、在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减； (2）、在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减； (3)、在坐标系内,平移点的坐标规律:沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变。 （2）图形在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a, 相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度:如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。 特别说明： 平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决； 平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化。 知识点梳理02：轴对称定理 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。(全等形不一定关于某条直线对称) 定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 定理3:两个图形关于某条直线对称,如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交,那么交点在对称轴上。 定理3的逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (b,a); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (-b,-a)． 题型1沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D，C，P，H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了坐标的特点和坐标的规律．根据坐标的特点，长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20，计算，看余数判断即可． 【规范解答】解：∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，， ∴，，，，，，，，， ∴长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20， ∵， ∴细线另一端在上，且与B相距1个单位长度， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是 故选：A． 3．（2025八年级上·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． （1）根据各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可； （2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2024个数分为506组，再得出,即可得到相应结果． 【规范解答】解：（1）由题意可知 …… 于是得到的值为1，，，3， ∴； 故答案为：2． （2）∵的值分别为3，，，， ∴； ∵， ， … ， ∵， ∴． ∵，,，…… ∴， ∵， ∴ ； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续滚动，点P依次落在点，，，…的位置，则的横坐标的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了点坐标规律探索，先分析正方形滚动时，点P每次滚动后的坐标规律，再根据规律确定的横坐标． 【规范解答】解：已知正方形边长为1，且A在原点左侧，O为原点， 因此点P的初始坐标为． 第一次滚动到∶； 第二次滚动到∶； 第三次滚动到∶； 第四次滚动到∶； 第五次滚动到∶． 观察规律∶每滚动4次，点P的横坐标增加4且纵坐标呈现“1，1，0，0，1，1，0，0．…．”的循环． 因为每4次为一个循环，计算11次滚动包含几个完整循环∶ (个完整循环)…3(次剩余滚动)． 一个完整循环(4次)横坐标增加4，因此2个完整循环后，横坐标从初始开始，增加了，此时对应第8次滚动后()的横坐标为． 第9次滚动()∶横坐标为 (对应“1，1”的第一个1，横坐标)． 第10次滚动()∶横坐标为 (对应“1，1”的第二个1，横坐标) 第11次滚动()∶横坐标为9(对应“0，0”的第一个0，横坐标不再增加) 综上，的横坐标为9 故选B 5．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，从点 ， ，依此扩展下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查数字和位置的规律探索，能够结合图形和点的坐标，寻找到每个象限内点的下标特点是解题的关键．根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，在第一象限，再根据第一象限点的规律即可得出结论． 【规范解答】解：根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， 由规律可得，， ∴点在第一象限， 点，点，点 ， 可得：第一象限的点横纵坐标相等且为下标的 点． 故选：A． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，，，，，，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中的找规律的问题．根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，再根据规律求出点的坐标． 【规范解答】解：观察点的坐标： 点，，，，，…， 可以发现： 以4个点为一组循环，即，，，（n为自然数）． ∵， ∴， 对于： 当时，； 当时，； 当时，， 其横坐标为，纵坐标为． 根据上述规律，当时，横坐标为， 纵坐标为，即． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了点的变化规律，理解题意，并找出规律是解题的关键； 根据物体甲、乙的运动方向相反，得出甲乙每隔4秒相遇一次，再确定第2024次相遇时经过的时间，再由物体甲的运动规律，得出最终结果． 【规范解答】解：由题知，矩形的周长为， 由物体甲、乙的运动方向相反可知，甲乙每隔秒相遇一次， 当两个物体运动后的第2024次相遇时，经过的时间为秒， 物体甲运动一圈需秒， 又， 又物体甲从点A开始，按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动8秒后到达的位置为， 两个物体运动后的第2024次相遇点的坐标是， 故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…照此规律，的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答． 【规范解答】解：观察发现：，，，，，，，，……， ∴，，，（n为自然数）， ∵， ∴，即； 故答案为： 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点．规定把正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为1次变换，这样连续经过2026次变换后，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了坐标规律探究，通过变换找到变换规律为，，即可求解． 【规范解答】解：正方形的顶点， ， 正方形“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”， 第次变换后， 第次变换后， 第次变换后， 第次变换后：，， 连续经过2026次变换后，点C的坐标为； 故选：C． 题型2 沿斜线或曲线运动的点的规律探究 10．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【规范解答】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【规范解答】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 12．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，三角形面积公式，直角三角形性质，找规律，三角形面积等，属于填空压轴题，综合性强，难度较大，解题时要善于发现和总结规律．过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点，先证明≌，再证明≌，即可证得，进而可得，同理可得，，，，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点， ， ， ， ， ， ≌， ， ，， ， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， ． 故答案为：． 13．（21-22八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知长方形中，动点P从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，则第二次碰到长方形的边上一点的坐标为．当点P第2018次碰到长方形的边时，点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标的规律探究，画出示意图，找出点的变化规律是解题的关键．按照光线反射规律，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，点的坐标，然后计算2018有几个6即可求出对应点的坐标． 【规范解答】解：按照光线反射规律，画出图形，如下图： ，，，，，，， 通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环， ∵， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图所示，从由里向外数第二个正方形开始，分别是由第一个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数． 【答案】由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点 【思路引导】本题主要考查了坐标的规律变化，根据意愿坐标归纳出规律是解题的关键． 根据题意可知：第个正方形每条边上除顶点外还有个整点，四条边上共有个整点，加上4个顶点，共有1）（个）整点，然后据此规律求解即可． 【规范解答】解：每个正方形的四个顶点一定为整点，由里向外第个正方形每条边上除顶点外的整点个数的数量关系如下表所示： 由里向外第个正方形 1 2 3 4 … 每条边上除顶点外的整点个数 0 1 2 3 … 可见第个正方形每条边上除顶点外还有个整点，四条边上共有个整点，加上4个顶点，共有1）（个）整点． 当时，， 所以由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点． 15．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．利用规律求解即可． 【规范解答】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1． ， 的纵坐标与的纵坐标相同， 的坐标为， 故选A． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点为圆心，按上述作法得到曲线该曲线称为正方形的“渐开线”，那么点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了坐标的规律变化，结合题意归纳出坐标变化规律是解题的关键． 根据题意可知：，，，，，，，可归纳出，，，（为自然数），然后据此规律求解即可． 【规范解答】解：观察题图可得（将记作），，，，，，，， ∴，，，（为自然数）． ∵， ∴的坐标为． 故答案为． 17．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环，由，可得动点次后P的坐标． 【规范解答】解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… ∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环， ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，将一枚棋子放在原点，第一步，棋子从点跳到点；第二步，从点跳到点；第三步，从点跳到点；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点时的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题关键是观察各点坐标，找出规律．先写出的坐标，然后观察点的坐标可知：各个点的横坐标与各点的下标相同，纵坐标分别为，且每4个点一循环，按照此规律解答即可． 【规范解答】解：观察图形可知：， ∴的横坐标为2025， ． ∴的纵坐标为， ∴的坐标为． 故选：B． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第999秒时，点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了坐标的规律变化，根据已知坐标归纳出规律是解题的关键． 根据题意可知：当时点为；当时点为；当时点为；当时点为；当时点为；可归纳出当秒数为偶数时，点落在轴上，其横坐标和秒数相同，纵坐标是0；点落在第一象限的秒数是1，5，9，13，…，；点落在第四象限的秒数是3，7，11，15，…，，然后据此规律求解即可． 【规范解答】解：由题意可得：半个圆周的周长是， 根据点的速度可得：当时点为；当时点为；当时点为；当时点为；当时点为 所以当秒数为偶数时，点落在轴上，其横坐标和秒数相同，纵坐标是0；点落在第一象限的秒数是1，5，9，13，…，；点落在第四象限的秒数是3，7，11，15，…，． ∵，是整数， ∴第999s时点落在第四象限，其坐标为． 故答案为：． 题型3 平面直角坐标系中图形的变换规律探究 20．（22-23八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，若对于平面内任一点有如下变换：，如，则 ， ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标，正确得出坐标变化规律是解题关键．直接利用已知得出点的变化情况，进而得出答案． 【规范解答】解：∵， 故当，时， ，， 即． 故答案为：，． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移1个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换，表示点M先向右平移1个单位得到点，再将点关于x轴作轴对称从而得到点．若点经过“0101…01”共2026次变换后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标的变化规律,平移以及轴对称变化,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,根据平移以及轴对称的性质解决问题即可． 【规范解答】分析“0”变换和“1”变换的规律： 第1次“0”变换：点右移1个单位,得; 第2次“1”变换：关于x轴对称,得; 第3次“0”变换：右移1个单位,得; 第4次“1”变换：关于x轴对称,得; 观察可得,每2次变换,横坐标增加1,纵坐标在−1和1之间交替. 2026次变换共组,则： 横坐标：每组增1,故为; 纵坐标：偶数次变换后为是偶数,故为1. 所以坐标为。 故答案为： 【考点剖析】本题关键是找出“”循环变换的规律,即每2次变换为一个周期,横坐标递增、纵坐标交替变化,通过总次数除以周期数确定坐标变化. 22．（25-26八年级上·全国·单元测试）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定（为大于1的整数）．如，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据定义运算，分奇数和偶数，发现坐标的规律，解答即可． 本题考查了坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得，，，，，，… 当为偶数时，； 当为奇数时，， 则． 故选：B． 23．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【思路引导】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【规范解答】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中的规律探究，解题的关键是根据“友好点”的定义找出点的坐标变化规律． （1）根据“友好点”定义直接计算； （2）先找出点的坐标循环规律，再结合的坐标推出的坐标，进而求． 【规范解答】解：（1）已知对于点“友好点”． 点的坐标为，那么的“友好点”的坐标，将代入“友好点”定义式： 横坐标为，纵坐标为． 所以的坐标为； （2）设，则； ； ； ． 可以发现每4个点为一个循环周期． 因为，其中余数为2，说明的坐标与的坐标相同． 已知，所以，则可得方程组 解得，． 所以． 故答案为：；． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________． (2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【思路引导】本题考查新定义、点的平移等知识，熟记点的平移，理解“阶派生点”定义是解决问题的关键． （1）由“阶派生点”的定义，代值求解即可得到答案； （2）由点的平移得到点的坐标，再由“阶派生点”定义得到的坐标为，分类讨论求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）， 若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点， 点的坐标为． ， 点的“阶派生点”的坐标为． 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． ②当点在轴上时，， 解得， 则， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 26．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【规范解答】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， 余2， ∴是第四组第三个坐标：， 是第675组的第二个坐标， 故． 故答案为：，． 题型4 平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 27．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【思路引导】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【规范解答】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 28．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合． 观察以上图形得到下表： 图形 图① 图② 图③ 图④ … 大正方形数量/个 2 3 4 5 … 小正方形数量/个 1 4 7 10 …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)在图⑤中，正方形的总数为_________． (2)在第n个图形中，正方形的总数为_________． (3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________． 【答案】(1)19 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了点的坐标规律探索，图形规律探索，解题的关键是根据已知图形和点的坐标得出一般规律． （1）根据给出的图形找出一般规律，得出图⑤中，正方形的总数即可； （2）根据所给出的几个图形中大正方形个数和小正方形的个数规律，得出第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形； （3）根据点的坐标为，得出小正方形的对角线长为2，从而得出，，的坐标，总结得出一般规律，从而得出的坐标． 【规范解答】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形； （2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形； 第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形； 第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形； ……； 第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形． （3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2， ∴的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， ……， 以此类推，则的坐标为； 29．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置⋯，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【规范解答】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：C． 30．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的顶点，规定把等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第一次变换，再将等边先绕顶点顺时针旋转再关于原点作中心对称得到为第二次变换，依次继续按照上述操作进行，如果这样连续经过次变换后，等边的顶点的坐标为 ．    【答案】/ 【思路引导】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质和中心对称的性质，根据等边三角形的性质求得点C的坐标，再结合旋转和中心对称分别求得对应点的坐标，即可求得以4为周期循环，根据连续经过次变换后与经过3的变化一致即可求得答案． 【规范解答】解：如图：    ∵等边三角形，顶点、， ∴点C的坐标为， 根据题意得：第1次变换后如图中黑色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 第2次变换后如图红色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为： 、， 第3次变换后如图粉色图形，点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、、； 第4次变换后点A、点B、点C的对应点的坐标分别为：、，， 发现规律：每4次变换后点C回到原来的位置， ∵， ∴连续经过505次变换后，点C的坐标与第三次旋转对称后的坐标一样，变为． 故答案为：． 31．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将向左平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移2个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移2个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了中心对称，坐标与图形变化-平移，以及规律型—点的坐标.正确求出 的坐标，进而得出点的规律是解题的关键. 【规范解答】由题意可知， 、 , 的纵坐标以， 为一个周期依次循环， ∴ ， 的坐标为， 故选: B 32．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（    ） A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0） 【答案】D 【思路引导】根据A点坐标可知长方形的长和宽，根据长方形的长和宽分析每次翻滚后A点的落点，由此可解决本题． 【规范解答】解：∵A点坐标为（-2，3）， ∴AB=DC=3，AD=BC=2， 第一次翻滚后点坐标为：（3，2）， 第二次翻滚后点的坐标为（5，0）， 第三次翻滚是以点为中心进行翻滚，故（5，0）， 故选：D． 【考点剖析】本题考查平面直角坐标系中的点，能够根据题意分析出图形的运动过程是解决本题的关键． 33．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图，矩形ABCD的顶点A（﹣3，0），B在x轴的负半轴上，顶点C（﹣1，3），D在第二象限内，对角线AC与BD的交点为M．将矩形ABCD沿x轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在x轴上，点M的对应点分别为M1，M2，M3，…，则M2021的坐标为（　　） A．（5050，1） B．（5050，） C．（5050，1） D．（5050，） 【答案】A 【思路引导】先求出的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，根据此规律写出的坐标即可． 【规范解答】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为，， 的坐标为，， 的坐标为，， 的坐标为，， 的坐标为，， 的坐标为，． 故选：A． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，算出前几个点的坐标找出规律是关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $