学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（济南专用，范围：新教材北师大版九上第1～4章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C C D D A A C D 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．6 12． 13． 14． 15．3或 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．【解析】（1）解：， ， ， ， 或， ，；-------------------------------------4分 （2）解：， 整理得， 由题意得，，，， ， ， 即，．-------------------------------------8分 17．解：（1）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，如图即为所求； -------------------4分 （2）△A1B1C1的面积为：．------------------8分 18.【解析】解：（1）解：观察主视图，俯视图可知：，， 故答案为：，．--------------------------2分 （2）解：要使小立方块个数最少，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量少放小立方块，结合主视图和俯视图， 最少时，，，，，，，，且、、、中至少有一个为，此时最少有个小立方块； 要使小立方块个数最多，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量多放小立方块，结合主视图和俯视图， 最多时，，，，，，，，此时最多有个小立方块； 故答案为：，．------------------------------------6分 （3）解：小立方块最多时的左视图如图所示． ------------------------------------8分 19．【解析】解：（1） 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．-----------------4分 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得．-----------------8分 20．【解析】解：解：（1）如图，即为所求； -----------------------4分 （2）点P为灯泡的位置，树底到点B即为物高得影子长． ---------------------6分 21．【解析】解：(1)证明：四边形为平行四边形， ， 是边上的中线，， ， ， 四边形是平行四边形， 又，是边上的中线， ， 平行四边形是菱形；---------------------5分 （2）解：∵四边形是菱形， ∴ ，四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴ ∵是边上的中线， ∴．---------------------9分 22．【解析】解：（1）证明：∵DE2＝EF•AE， ∴， ∵∠DEF＝∠AED， ∴△DEF∽△AED， ∴∠EDF＝∠EAD， ∵∠ABD＝∠EAD， ∴∠ABD＝∠EDF， ∴AB∥CD． ---------- ---------------------4分 （2）解：∵△DEF∽△AED，DE＝4，EF＝2， ∴， ∴DFAD， ∵∠ABD＝∠EAD，∠ADB＝∠FDA，BF＝9， ∴△ADB∽△FDA， ∴， ∴AD2＝DF（DF+9）， ∴AD2AD（AD+9）， 解得AD＝6或AD＝0（不符合题意，舍去）， ∴AD的长为6． ---------- --------------------------------9分 23．【解析】【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元．-------------------------3分 （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元．------------------------6分 （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元．------------------------10分 24．【解析】解：(1)四边形是正方形． 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到． ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形． 又． ∴四边形是正方形．------------------------2分 (2)证明：如解图，过点B作，交于点M．  ∴，，， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质，， ∴， 又∵， ∴（）． ∴． 即点O是的中点；------------------------6分 （3）解：∵正方形边长为4， ∴， 情况1：如下图，当时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴点F与点B重合，与重合． ∴点E在上，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 情况2，当时， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， 在中． ∴． 解得（负值已舍去)． 情况3-当时， ∵， ∴此种情况不存在． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或．------------------------12分 25．【解析】解：（1）如图1，四边形ABCD是正方形，设CF、DE交于点O， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠DOF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠DFC＝∠AED， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF， 故答案为：DE＝CF；-----------------------4分 （2）如图2，四边形ABCD是矩形，作CX∥EF，交AD于X， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形EFCX是平行四边形， ∴EF＝CX， ∵EF⊥GD， ∴CX⊥DG， 同理（1）可得：∠AGD＝∠CXD， ∴△DCX∽△ADG， ∴， ∴；------------------------8分 （3）如图3， 连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR， 由对称性可得，BG＝RG，AG＝BH，BG⊥EF， 由（2）得，， ∴， 当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长， ∴BH+BG的最小值为AR的长， ∴的最小值为AR的长， ∵BC＝CR＝4， ∴BR＝BC+CR＝4+4＝8， 在直角三角形ABR中，∠ABC＝90°，AB＝3， 由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴3BH+4EF的最小值．------------------------12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 19．（8分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 22．（9分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟 卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11 12 13. 15 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17(8分) -- -- + 1---- 18.(8分) a bc d e 主视图 俯视图 左视图 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(9分) 0 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) A B 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) 】 图1 图2 图3 25.(12分) 区 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．如图所示几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 3．将一个多边形放大4倍后，得到的图形与原图形相比，下列说法正确的是（　　） A．周长扩大16倍 B．周长缩小16倍 C．面积扩大16倍 D．面积缩小16倍 4．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（     ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 6．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D；再以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC边于点E，则的值为（　　）． A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中（∠C＝90°）放置边长分别为1，2，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．3 B．4 C． D． 9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　） A．1 B．2 C．2 D．4 10．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．如图，若l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF的长为　 ． 12．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 13．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 14．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 15．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解方程： (1)； (2)． 17．如图．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 18．用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 19.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 20．（1）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 21．如图，在中，，是边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．如图，四边形ABCD中，E为边CD上一点，连接BD，AE交于点F，且DE2＝EF•AE，∠ABD＝∠EAD． （1）求证：AB∥CD； （2）若DE＝4，EF＝2，BF＝9，求AD的长． 23．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 24．综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： (3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 25．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的点，连接DE、CF，DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为DE＝CF ； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，点E、F分别是边AD、BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF、DG，若EF⊥DG，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，求3BH+4EF的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．如图所示几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 3．将一个多边形放大4倍后，得到的图形与原图形相比，下列说法正确的是（　　） A．周长扩大16倍 B．周长缩小16倍 C．面积扩大16倍 D．面积缩小16倍 4．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（     ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 6．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D；再以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC边于点E，则的值为（　　）． A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中（∠C＝90°）放置边长分别为1，2，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．3 B．4 C． D． 9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　） A．1 B．2 C．2 D．4 10．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．如图，若l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF的长为　 ． 12．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 13．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 14．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 15．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解方程： (1)； (2)． 17．如图．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 18．用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 19.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 20．（1）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 21．如图，在中，，是边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．如图，四边形ABCD中，E为边CD上一点，连接BD，AE交于点F，且DE2＝EF•AE，∠ABD＝∠EAD． （1）求证：AB∥CD； （2）若DE＝4，EF＝2，BF＝9，求AD的长． 23．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 24．综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： (3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 25．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的点，连接DE、CF，DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为DE＝CF ； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，点E、F分别是边AD、BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF、DG，若EF⊥DG，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，求3BH+4EF的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分 1．如图所示几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可． 【解答】解：俯视图为：． 故选：C． 2．已知，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答． 【解答】解：∵， ∴1 1 ， 故选：D． 3．将一个多边形放大4倍后，得到的图形与原图形相比，下列说法正确的是（　　） A．周长扩大16倍 B．周长缩小16倍 C．面积扩大16倍 D．面积缩小16倍 【答案】C 【分析】根据相似图形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方判断即可． 【解答】解：一个多边形放大4倍后，得到的图形与原图形相似，相似比为：4：1， 所以周长比为4：1，面积比为16：1， 故选：C． 4．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（     ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】设全等直角三角板的短直角边为，长直角边为，斜边为，根据图形特征逐一判断四边形的边长关系及角度即可． 【详解】解：设全等直角三角板的短直角边为，斜边为 ， 长直角边为， 图①，为斜边，为长直角边， ，， ， 四边形不是菱形； 图②，四条边均为直角三角形的斜边， 四条边长度均为， 四边形是菱形， 又 对角线长分别为和，不相等， 四边形不是正方形，符合题意； 图③，为斜边，长度为， 由图可知由两段短直角边拼接而成， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形不是正方形，符合题意； 图④，四条边均为直角三角形的斜边， 四条边长度均为， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形，不符合题意； 综上所述，是菱形但不是正方形的有②③． 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 6．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D；再以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC边于点E，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出AD＝AC，BE＝BD，再设AC＝x，再用x分别表示出CE与AB，然后求出的值即可． 【解答】解：由题意可知，AD＝AC，BE＝BD， 设AC＝x，则BC＝2AC＝2x， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得：， ∴BD＝AB﹣AD， ∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣BD， ∴1， 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中（∠C＝90°）放置边长分别为1，2，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可推出△CEF∽△OME∽△PFN，得到，即OE•PF＝OM•PN，用含x的式子表达对应边，得到关于x的方程，即可求解． 【解答】解：对图形进行点标注，如图所示： ∵在Rt△ABC中（∠C＝90°）放置边长分别为1，2，x的三个正方形， ∴∠MOE＝90°，∠FPN＝90°， ∵∠OME+∠OEM＝90°，∠PFN+∠PNF＝90°，∠CEF+∠CFE＝90°，∠CEF+∠OEM＝90°，∠CFE+∠PFN＝90°， ∴∠OME＝∠PFN＝∠CEF，∠OEM＝∠PNF＝∠CFE， ∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴，即OE•PF＝OM•PN， ∵EF＝x，MO＝1，PN＝2， ∴EO＝x﹣1，PF＝x﹣2， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝2， ∴x＝3或x＝0（不合题意，舍去）， 故选：A． 9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　） A．1 B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3， ∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x， ∵四边形AECF是菱形， ∴∠FCO=∠ECO， ∵∠ECO=∠ECB， ∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°， 2BE=CE， ∴CE=2x， ∴2x=3﹣x， 解得：x=1， ∴CE=2，利用勾股定理得出： BC2+BE2=EC2， BC===， 又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2， 则菱形的面积=2． 故选C． 10．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．如图，若l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF的长为　 ． 【答案】6． 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， 解得：EF＝6． 故答案为：6． 12．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ∴，， 则． 13．如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 15．如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为_______． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 三、解答题：，本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， 整理得， 由题意得，，，， ， ， 即，． 17．如图．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，如图即为所求； （2）12． 【分析】（1）根据点A和点A1的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以﹣2即可得到B1、C1的坐标，描出A1、B1、C1，并顺次连接A1、B1、C1即可； （2）利用网格求三角形面积即可． 【解答】解：（1）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，如图即为所求； （2）△A1B1C1的面积为：． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，熟知位似图形的性质是解题的关键． 18．用小立方块搭一个几何体，使其主视图与俯视图如下图所示，俯视图上的字母表示在该位置上小立方块的个数．试回答下列问题： (1)_______，_______． (2)这个几何体最少由_______个小立方块搭成，最多由_______个小立方块搭成． (3)请在网格图中，画出小立方块最多时的左视图． 【答案】(1)1；1 (2)10；15 (3)小立方块最多时的左视图如图所示． 【分析】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． （1）根据主视图，俯视图判断即可； （2）利用俯视图，主视图判断即可； （3）根据左视图的定义画出图形． 【详解】（1）解：观察主视图，俯视图可知：，， 故答案为：，． （2）解：要使小立方块个数最少，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量少放小立方块，结合主视图和俯视图， 最少时，，，，，，，，且、、、中至少有一个为，此时最少有个小立方块； 要使小立方块个数最多，那么在满足主视图和俯视图的情况下，每列尽量多放小立方块，结合主视图和俯视图， 最多时，，，，，，，，此时最多有个小立方块； 故答案为：，． （3）解：小立方块最多时的左视图如图所示． 19.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 20．（1）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）从正面看有三列，小立方块分别有，2，2，3个，从左面看有三列，小立方块分别有，1，3，2个，从而可得出主视图和左视图． （2）根据楼和旗杆的物高与影子得到光源所在；根据光源和树的物高得影子长． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）点P为灯泡的位置，树底到点B即为物高得影子长． 21．如图，在中，，是边上的中线，以，为邻边作，与交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 （2）8 【解析】【详解】(1)证明：四边形为平行四边形， ， 是边上的中线，， ， ， 四边形是平行四边形， 又，是边上的中线， ， 平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴ ，四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴ ∵是边上的中线， ∴． 22．如图，四边形ABCD中，E为边CD上一点，连接BD，AE交于点F，且DE2＝EF•AE，∠ABD＝∠EAD． （1）求证：AB∥CD； （2）若DE＝4，EF＝2，BF＝9，求AD的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）AD的长为6． 【分析】（1）由DE2＝EF•AE，得，而∠DEF＝∠AED，则△DEF∽△AED，所以∠EDF＝∠EAD，因为∠ABD＝∠EAD，所以∠ABD＝∠EDF，则AB∥CD； （2）由DE＝4，EF＝2，根据相似三角形的性质得，则DFAD，由∠ABD＝∠EAD，∠ADB＝∠FDA，证明△ADB∽△FDA，而BF＝9，则，于是得AD2AD（AD+9），求得AD＝6． 【解答】（1）证明：∵DE2＝EF•AE， ∴， ∵∠DEF＝∠AED， ∴△DEF∽△AED， ∴∠EDF＝∠EAD， ∵∠ABD＝∠EAD， ∴∠ABD＝∠EDF， ∴AB∥CD． （2）解：∵△DEF∽△AED，DE＝4，EF＝2， ∴， ∴DFAD， ∵∠ABD＝∠EAD，∠ADB＝∠FDA，BF＝9， ∴△ADB∽△FDA， ∴， ∴AD2＝DF（DF+9）， ∴AD2AD（AD+9）， 解得AD＝6或AD＝0（不符合题意，舍去）， ∴AD的长为6． 23．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 24．综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： (3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【解析】【详解】(1)四边形是正方形． 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到． ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形． 又． ∴四边形是正方形． (2)证明：如解图，过点B作，交于点M．  ∴，，， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质，， ∴， 又∵， ∴（）． ∴． 即点O是的中点； （3）解：∵正方形边长为4， ∴， 情况1：如下图，当时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴点F与点B重合，与重合． ∴点E在上，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 情况2，当时， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， 在中． ∴． 解得（负值已舍去)． 情况3-当时， ∵， ∴此种情况不存在． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 25．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的点，连接DE、CF，DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为DE＝CF ； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，点E、F分别是边AD、BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF、DG，若EF⊥DG，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，求3BH+4EF的最小值． 【答案】（1）DE＝CF； （2）； （3）3BH+4EF的最小值为． 【分析】（1）设CF、DE交于点O，根据正方形的性质证明△ADE≌△DCF（AAS），即可求解； （2）作CX∥EF，交AD于X，先四边形EFCX是平行四边形，得到EF＝CX，再证明△DCX∽△ADG，利用相似三角形的性质可得答案； （3）连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR，由对称性可得，BG＝RG，AG＝BH，BG⊥EF，由（2）可得；当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，即最小，最小值为AR的长，利用勾股定理求得，进而可求解． 【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD是正方形，设CF、DE交于点O， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵DE⊥CF， ∴∠DOF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°， ∴∠DFC＝∠AED， 在△ADE和△DCF中， ， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴DE＝CF， 故答案为：DE＝CF； （2）如图2，四边形ABCD是矩形，作CX∥EF，交AD于X， ∴∠A＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形EFCX是平行四边形， ∴EF＝CX， ∵EF⊥GD， ∴CX⊥DG， 同理（1）可得：∠AGD＝∠CXD， ∴△DCX∽△ADG， ∴， ∴； （3）如图3， 连接BG，AG，作点B关于CD的对称点R，连接RG，AR， 由对称性可得，BG＝RG，AG＝BH，BG⊥EF， 由（2）得，， ∴， 当A、G、R共线时，AG+GR有最小值，最小值为AR的长， ∴BH+BG的最小值为AR的长， ∴的最小值为AR的长， ∵BC＝CR＝4， ∴BR＝BC+CR＝4+4＝8， 在直角三角形ABR中，∠ABC＝90°，AB＝3， 由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴3BH+4EF的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $