5.3 直角三角形全等的判定 题型专练 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）八年级上册 5.3 直角三角形全等的判定 题型专练 【题型1】作三角形 【典例】如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【举一反三1】根据下列给出的三角形的条件，一定画出唯一三角形的是（    ） A．三条边 B．三个角 C．两边一角 D．以上都可以 【举一反三2】已知线段a，b，c，求作△ABC，使，下面作法的合理顺序为__________（填序号） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，△ABC为所求作的三角形． 【举一反三3】如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形． (1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有__________个． (2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC=__________．       【举一反三4】已知：如图，线段和射线有公共端点．      求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 【举一反三5】下面是小明同学“已知线段，作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段AB（如图） 求作：△ABC，使∠ABC=60°，∠CAB=90° 作法：（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D； （2）连接BD并延长，使得CD=BD； （3）连接AC． 如图△ABC就是所求的直角三角形． 判断小明的做法是否正确，若正确进行证明，若不正确说明理由． 【题型2】用HL判定直角三角形全等 【典例】下列说法错误的是（　　） A．一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．两直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等 【举一反三1】如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在四边形中，，垂足分别是、．求证：．以下是排乱的证明过程； ①；②；③；④在和中证明步骤正确的顺序是（    ） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 【举一反三3】如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，可得△ABC≌△CDA，其判定定理是__________ .(填SAS，AAS或HL) 【举一反三4】如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为__________． 【举一反三5】尺规作图（不要求写作法，但需保留作图痕迹，并写出结论）． （1）作，使； （2）作边上的中线； （3）在上述中，由公理______（填符号）可以直接证得______． 【题型3】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BE=BC，连接BD，若AC=8 cm，则AD+DE等于 （      ）  A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．10 cm 【举一反三1】如图，在△ABC中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【举一反三3】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为 __________． 【举一反三4】如图，在△ABC中，，，垂足为点，若，，则△ABC和的面积之比为__________． 【举一反三5】如图，在△ABC中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且．求证： (1) (2)连接，垂直平分 湘教版（2024）八年级上册 5.3 直角三角形全等的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】作三角形 【典例】如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【举一反三1】根据下列给出的三角形的条件，一定画出唯一三角形的是（    ） A．三条边 B．三个角 C．两边一角 D．以上都可以 【答案】A 【举一反三2】已知线段a，b，c，求作△ABC，使，下面作法的合理顺序为__________（填序号） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，△ABC为所求作的三角形． 【解析】②①③ 【举一反三3】如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形． (1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有__________个． (2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC=__________．       【答案】（1）4； （2）60°、120°或90°. 【解析】解：（1）如图所示，      若OA为腰时，点P4、P1、P2即为所求； 若OA为等腰三角形的底，点P3即为所求； 故答案为4． （2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90° 故答案为60°、120°或90°． 【举一反三4】已知：如图，线段和射线有公共端点．      求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 【解析】见解析． 【举一反三5】下面是小明同学“已知线段，作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段AB（如图） 求作：△ABC，使∠ABC=60°，∠CAB=90° 作法：（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D； （2）连接BD并延长，使得CD=BD； （3）连接AC． 如图△ABC就是所求的直角三角形． 判断小明的做法是否正确，若正确进行证明，若不正确说明理由． 【答案】小明的做法正确，证明见解析 【解析】解：小明的做法正确，证明如下： 连接． 由作图得，，， ∴是等边三角形． ∴．． ∴    ∴ 即 ∴ ∴△ABC就是所求作的直角三角形． 【题型2】用HL判定直角三角形全等 【典例】下列说法错误的是（　　） A．一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．两直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【举一反三1】如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵点到、的距离相等， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【举一反三2】如图，在四边形中，，垂足分别是、．求证：．以下是排乱的证明过程； ①；②；③；④在和中证明步骤正确的顺序是（    ） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 【答案】B 【解析】解：， ， 在和中， ， ， 故顺序为③①④②， 故选：B． 【举一反三3】如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC，可得△ABC≌△CDA，其判定定理是__________ .(填SAS，AAS或HL) 【答案】HL 【解析】因为AB⊥AC，DC⊥AC， 所以∠BAC=∠ACD=90°， 在Rt△ABC和Rt△CDA中， 所以Rt△ABC≌Rt△CDA(HL). 【举一反三4】如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为__________． 【答案】225° 【解析】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【举一反三5】尺规作图（不要求写作法，但需保留作图痕迹，并写出结论）． （1）作，使； （2）作边上的中线； （3）在上述中，由公理______（填符号）可以直接证得______． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：由题意， 由公理可知． 故答案为：，． 【题型3】HL与全等三角形性质的综合 【典例】如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，BE=BC，连接BD，若AC=8 cm，则AD+DE等于 （      ）  A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．10 cm 【答案】C 【解析】因为DE⊥AB， 所以∠DEB=90°， 在Rt△BCD和Rt△BED中 所以Rt△BCD≌Rt△BED(HL)， 所以DC=DE， 所以AD+DE=AD+DC=AC=8(cm). 【举一反三1】如图，在△ABC中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三2】如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】解：作于点，交的延长线于点，则， 沿折叠，点落在的直角顶点处，且，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 【举一反三3】如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为 __________． 【答案】6 【解析】解：∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠EDC＝∠BDE＝90°， ∴在Rt△ACD和Rt△BED中， ∴Rt△ACD≌△Rt△BED(HL)， ∴CD＝ED＝AD-AE＝8-2＝6． 故答案为：6． 【举一反三4】如图，在△ABC中，，，垂足为点，若，，则△ABC和的面积之比为__________． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴，， ∴ ∵； ∴ ∴ ∵； ∴ ∴ ∴， ∴ ∴△ABC和的面积之比为 故答案为： 【举一反三5】如图，在△ABC中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且．求证： (1) (2)连接，垂直平分 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【解析】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴ 在与中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， 由（1）可知， ∵D是的中点， ∴， ∴垂直平分． 学科网（北京）股份有限公司 $