5.3 直角三角形全等的判定&5.4 角平分线的性质 随堂练习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版 湖南专版）

5.3直角三角形全等的判定 1.如图，∠B=∠E=90°，AB=DE,AC=DF,则判定△ABC≌△DEF的理由是( A.边角边 B.角边角 C.角角边 D.斜边、直角边 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，BD⊥AB,BD⊥CD,添加下列条件后能用“斜边、直角边”判定△ABD≌△CDB 的是 A.AD-CB B.AB=CD C.∠A=∠C D.AD∥BC 3.如图，BE⊥AC于点B,AB=BD=3,AE=CD,BC=5,则DE的长为· 4.已知：直角∠MON和线段a,b. 求作：Rt△AOB,使∠AOB=90°，且顶点A,B分别在射线OM,ON上，直角边OA=a, 斜边AB=b. M b 5.如图，在四边形ABCD中，BA=BC,∠A=∠C=90°. (1)求证：△ABD≌△CBD: (2)若∠ABC=70°，求∠BDC的度数 ·44· 5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质与判定 1.如图，已知点P在∠AOB的平分线上，PF⊥OA于点F,PE⊥OB于点E.若PE=8, 则PF的长为 ( A.4 B.6 C.8 D.10 B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5, 则点D到BC的距离是· 3.将两个完全相同的直角三角尺按如图所示的方式放置，使得顶点C重合，∠OEC= ∠OFC=90°.若∠AOB=50°，则∠OCF的度数是 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD=2,AB=6,SAABD=6.求证：AD平分∠BAC. 5.如图，C,D是∠AOB的平分线上的点，CE⊥OA,CF⊥OB,垂足分别为E,F,连接 DE,DF.求证：∠CDE=∠CDF. B ·45· 第2课时角平分线的性质与判定的运用 1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2.如图，在△ABC中，角平分线AD,BE相交于点O,连接OC,则下列结论正确的是() A.△CEO≌△CDO B.OE-OD C.CO平分∠ACB D.OC=OD (第2题图) (第3题图) 3.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等.若∠A=50°，则∠BOC的度数 是 4.尺规作图：如图，在直线L上求作一点P,使点P到射线OA,OB的距离相等， 5.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,连接OA,OD⊥AB于点D, OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F,OD=4,△ABC的周长为20，求△ABC的面积. ·46·以△DEB2△ABC(边角边)， 4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 1.C2.A3.D 4.证明：因为AC是∠BAE的平分线，所以∠BAC=∠DAE.在△BAC和△DAE中， ∠BAC=∠DAE, ∠C=∠E, 所以△BAC≌△DAE(角角边).所以BC=DE. AB=AD, 5.证明：因为BC⊥AC,DE⊥AC,所以∠BCA=∠AED=90°.所以∠B+∠BAC=90, 因为∠BAD=90°，所以∠BAC+∠EAD=90°.所以∠B=∠EAD.在△BAC和△ADE (∠BCA=∠AED, 中，BC=AE, 所以△BAC≌△ADE(角边角). C∠B=∠EAD, 4.3.4全等三角形的判定定理（边边边） 1.A2.C3.稳定性4.甲和乙5.25 6.(1)证明：因为AD=CF,所以AD+CD=CF+CD,即AC=DF.在△ABC和△DEF (AB=DE, 中，BC=EF,所以△ABC≌△DEF(边边边).(2)解：由(1)知△ABC≌△DEF,所以 LAC-DF, ∠ACB=∠F.因为∠A=55°，∠B=88°，所以∠ACB=180°-（∠A+∠B)=37°.所以 ∠F=37° 4.3.5全等三角形的应用 1.A2.53.8 ∠AMB=∠DMC, 4.解：在△ABM和△DCM中，∠ABM=∠DCM,所以△ABM≌△DCM(角角边).所 AB-DC, 以CM=BM=6m,AM=DM=8m.所以AC=AM一CM=2m.答：梯子下滑的高度是 2m. 5.解：合适.理由如下：因为E是线段BC的中点，所以BE=CE.因为AB∥CD,所以 (AB=CD, ∠B=∠C.在△AEB和△DEC中，∠B=∠C,所以△AEB≌△DEC(边角边).所以 BE=CE, AE-DE. 4.4尺规作图 第1课时利用尺规作图作三角形(1)、角 1.B2.边角边 3.解：如图，△ABC即为所求 B A十十十 第2课时利用尺规作图作三角形(2)、平行线 1.C 2.解：(1)如图所示.(2)CD∥BA(3)全等角边角 D 4.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D2.C3.404.85° 5.解：因为D是BC的中点，AB=AC,所以AD⊥BC,AD平分∠BAC.所以∠ADB= -49 90°，∠BAD=∠CAD.所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=40°.所以∠CAD=40°. 6.解：因为AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=50°.所以∠BDC=180°-∠ADB=130°. 因为BD=DC,DE为边BC的高，所以DE平分∠BDC所以∠BDE=?∠BDC=65. 第2课时等腰三角形的判定 1.C2.A3.A4.4 5.证明：因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED.因为∠ADE=∠1十∠B,∠AED=∠2 十∠C,∠1=∠2，所以∠B=∠C.所以△ABC是等腰三角形. 6.证明：因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BP,CQ是△ABC两腰上的高，所 以∠BPC=∠BQC=90°.所以∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC.所以 ∠OBC=∠OCB.所以OB=OC. 第3课时等边三角形的性质和判定 1.C2.C3.C4.85.75 6.证明：因为△ABO是等边三角形，所以∠A=∠B=∠AOB=60°.因为CD∥AB,所 以∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°，又因为∠COD=∠AOB=60°，所以∠C=∠D= ∠COD.所以△OCD是等边三角形. 7.证明：因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB,∠A=∠B=60°.因为AD=CF,所 (AD=BE, 以BD=AF.在△ADF和△BED中，∠A=∠B,所以△ADF≌△BED(边角边). AF=BD, 4.6线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 1.B2.A3.24.3 5.证明：因为∠C=90°，∠A=30°，所以∠ABC=180°-∠C-∠A=60°.因为BE平分 ∠ABC,所以∠ABE=号∠ABC=30°，所以∠A=∠ABE.所以EA=EB.所以点E在 线段AB的垂直平分线上， 6.解：1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=(180°-∠A)=70.因为DE是AB的 垂直平分线，所以AD=BD.所以∠DBE=∠A=40°.所以∠DBC=∠ABC一∠DBE =30°，(2)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD.所以△BDC的周长为BD十 CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC=9+5=14. 第2课时作线段的垂直平分线 1.C2.B3.74.14 5.解：如图，△ABC即为所求. E (第5题图) (第6题图) 6.(1)解：如图，AE即为所求.(2)证明：因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠DAE.在 (AB-AD, △BAE和△DAE中，∠BAE=∠DAE,所以△BAE≌△DAE(边角边).所以DE=BE. AE=AE, 第5章直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 1.D2.D3.C4.直角三角形5.20° 6.解：(1)因为AB=AD,F是BD的中点，所以AF⊥BD,∠DAF=∠BAF=20°.所以 50— ∠AFD=90°.所以∠ADB=90°-∠DAF=70°.(2)在Rt△ACF中，因为∠AFC=90°， E是AC的中点，所以EF=言AC=3 第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.D2.C3.94.3 5.解：因为AD⊥AB,所以∠BAD=90°.因为DE垂直平分AC,所以AD=CD=2.因 为BD=BC-CD=4,所以BD=2AD.所以∠B=30°. 6.解：因为∠C=90°，∠B=30°，所以∠CAB=90°-∠B=60°.因为AD是∠CAB的平 分线，所以∠CAD=∠BAD-=号∠CAB=30=∠B.所以AD=BD,AD=2CD.所以 BC=CD+BD=3CD=6cm.所以CD=2cm. 5.2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.B2.A3.C4.√65.7.2 6.解：因为∠C=90°，所以a2+6=c2.(1)因为a=16,b=12,所以c=√a2+6=20. (2)因为c=41,b=9,所以a=√c2-b6=40. 7.解：因为△ABC是等边三角形，所以BC=AB=2cm.因为AD是△ABC的高，所以 ∠ADB=90,BD-合BC=1cm在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=√AB-BD =√Bcm所以SaAc=2BC·AD=V3cm. 第2课时勾股定理的应用 1.C2.B3.A4.105 5.解：(1)根据题意，得AB⊥BC,AB=5m,AC=13m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=√AC-AB=12m.(2)12÷1=12m/s=43.2km/h<60km/h,所以这辆小汽 车未超速. 第3课时勾股定理的逆定理 1.B2.B3.96 4.解：由题意，得AB2=22+12=5,AC=42+22=20,BC2=52=25,所以AB2+AC= BC.所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， 5.(1)证明：由题意，得AC=3km,CD=4km,AD=5km,所以AC+CD=AD2.所以 △ACD是直角三角形，且∠C=90°.(2)解：因为CD=4km,BD=2km,所以BC=CD +BD=6km.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC=3√5km.所以石子 路AB的长为3√5km. 5.3直角三角形全等的判定 1.D2.A3.2 4.解：如图，Rt△ABC即为所求 A b -N B 三.①D证明在R△ABD和R△CBD中BA_C,所以R△ABD≌R△CBDC斜边、 直角边).(2)解：因为Rt△ABD≌Rt△CBD,∠ABC=70°，所以∠ABD=∠CBD= 号∠ABC=35.所以∠BDC=90-∠CBD=5 5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.33.65 4.证明：过点D作DELAB于点E,因为AB=6,SAD=合AB,DE=6,所以DE= 2.因为CD=2,所以CD=DE.因为∠C=90°，所以CD⊥AC.所以AD平分∠BAC. —51 5.证明：因为OC是∠AOB的平分线，CE⊥OA,CF⊥OB,所以∠COE=∠COF,CE= CF,∠CEO=∠CFO=90°.所以∠ECO+∠COE=90°，∠FCO+∠COF=90°.所以 CE=CF, ∠ECO=∠FCO.在△ECD和△FCD中，∠ECD=∠FCD,所以△ECD≌△FCD(边 CD=CD, 角边).所以∠CDE=∠CDF 第？课时角平分线的性质与判定的运用 1.D2.C3.115° 4.解：如图，点P即为所求. 5.解：因为BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,所以OF= OE=OD=4.因为△ABC的周长为20，所以AB+BC+AC=20.所以S△ABc=S△A0B十 Sax+Sax=号AB:OD+合BC·OE+2AC.0F=(AB+BC+AC)·OD 合×20×4=40. 周测小卷 基本功专练（一）因式分解及其应用 1.解：(1)原式=-(a2+ab)=-a(a+b).(2)原式=(2a+3b)(2a-3b).(3)原式=x2 +2·x·√2+(W2)2=(x十√2)2.(4)原式=x(1-2x+x2)=x(1-x)2.(5)原式=x2+ 6x+5+4=x2+6x+9=(x+3)2.(6)原式=[(a+2b+2)+(a-2b+2)][(a+2b+2) -(a-2b+2)]=4b(2a+4)=8b(a+2).(7)原式=x2(m-2)-y2(m-2)=(m-2)(x -y)=(m-2)x+(x-.(8)原式=(2+)(x-)=(2+言)(x+ )(x-).(9)原式=[3(2x-1D]-2·3(2z-1)1+1=[3(2x-1)-12= (6.x-4)2=4(3x-2)2.(10)原式=(am十an)+(bm+bm)=a(m+n)+b(m+n)=(m +n)(a+b).(11)原式=(4x2)2-2·4x2·y2+(y2)2=(4x2-y2)2=[(2x+y)(2x- y)]2=(2x十y)2(2x-y)2.(12)原式=(x2-x+1-x)(x2-x-1+x)=(x2-2x+ 1)(x2-1)=(x-1)2(x+1)(x-1)=(x-1)3(x+1). 2.解：(1)原式=(a-3)(2a-6-a)=(a-3)(a-6).当a=2时，原式=(2-3)×(2- 6)=4.(2)原式=3xy(x2-2xy十y2)=3xy(x-y).因为x-y=2,xy=3,所以原式= 3×3×22=36. 3.解：1)原式=89×日-25×日-号×(89-25)=号×64=8.(2)原式=(202+50 ×(202-54)+256×352=256×148+256×352=256×(148+352)=256×500= 128000.(3)原式=1022+2×102×98+982=(102+98)2=2002=40000.(4)原式= 3020×(3020+1)-30212=3020×3021-30212=3021×(3020-3021)=3021 ×(-1)=-3021. 4.解：原式=(n+7+n-5)(n+7-n十5)=24(n+1).因为n为正整数，所以24(n+1) 能被24整除.所以当n为任意正整数时，(n十7)2-(n一5)2能被24整除. 阶段微测试（一） 1.D2.A3.A4.D5.D6.B7.-4a(2a-b) 8.a.x2+4ax十4a(答案不唯一)9.x十y-110.4 11.解：(1)原式=-(2x2-18x2y+4xy2)=-2x(x-9xy+2y2).(2)原式=-(x2+ 2xy+y2)=-(x十y)2.(3)原式=a2(x-y)-16(x-y)=(x-y)(a2-16)=(x- y)(a+4)(a-4).(4)原式=(x2+y2-2xy)(x2+y2+2xy)=(x-y)2(x十y)2. 12.解：(1)原式=1002-(252+248)(252-248)=10000-500×4=8000.(2)原式= —52 (39.8-49.8)2=(-10)2=100. 13.解：该桩管的横截面面积为πR2-x2=3.14×1.152一3.14×0.852=3.14×(1.15 +0.85)×(1.15-0.85)=3.14×2×0.3=1.884(m).答：该桩管的横截面面积约为 1.884m. 14.解：(1)由题意，得m+4|+(n2一2n+1)=0,即m+4+(n-1)2=0.因为|m十4 ≥0，(n-1)2≥0，所以m十4=0，n-1=0,解得m=-4,n=1.(2)原式=x2+4y2+4xy -1=(x2+4xy+4y2)-1=(x+2y)2-1=(x+2y+1)(x+2y-1). 15.解：(1)原式=x+4x2y2+4y-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2)2 (2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).(2)原式=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab=x2 -2ax+a2-(a2+b2+2ab)=(x-a)2-(a+b)2=(x-a十a+b)(x-a-a-b)=(x十 b)(x-2a-b). 阶段微测试（二） 1.A2.A3.C4.C5.C6.B 4b 7.2+（答案不唯-）8.(x-2)9.a(a+④10.180 1解：答案不唯-，如：选A,B组成分式2+品是-222= 3a(a十2) 2a-4 3a 2a a-b 2a-a十b_=1 12.解：1)原式=a+ba-b(a+a--(a+ba6-。-6(2)原式=1- a+号=+124=品(8)原式=2+2平-》》- a+1 2(x+3)(x一3) -x2+6.x-9 -(x-3)2 x一3 2(x+3)(x-3)=2(x+3)(x-3)=-2x+3) 13.解：1由题意，得2-3江=0，解得x=号所以当x=号时，分式的值不存在，(2)由 题意，得x2=0且2-3x≠0，解得x=0.所以当x=0时，分式的值是0.(3)由题意，得 2<0.因为2≥0，所以2-3z<0,2≠0，解得x>号所以当>号时，分式的值 是负数 2x 1 2x x十2 14.解：1)8(2)原式=(x+2)(x-2-2(x+2x-2)(x+2)(x-2) 千+2刀中2当x3时，原式-日 2x-x-2 x-2 15解：(1D名牛阳(2)因为A-名，B-牛册A-B-合-8牛- aa+m aa十m +二a6十m=因为a>6>0,m>0,所以6-a<0,a+m>0.所以 a(a+m) 一B<0.所以A<B.所以加糖后的糖水更甜. 基本功专练（二）分式的计算及化简 1解：原式=·千”一2原式兰 +号3》-x十8.8)原式=a机·a十。-而6合.(4)原式=·兰 x一3 x ·(）原式-.·品-学·希· C2 =-答6)原式=异1·少-a+1.()原式=5， a2 m-2 m-3 m一3)(m十3)，m一2=m+3.(8)原式=（x干1)÷x干=z1D· m-2 m-3 x+1 安中@原式=（宁）（仕）-号号2， xy=x十y y-x xy 2.解：(1)②③(2)答案不唯一，如：选择乙同学的解法，解答过程如下：原式一x千 53 +点=克+》+1》=-1+x叶 1=2x. 3锅：原式-”》+。1--1-中1+1 x-1 马当x=4时，原式=4=子(2)原式=m十.m}-·n” m+1(m-1)2m+1‘m-1 当m=(合)'+(-3086=2+1=3时，原式=3异=是 4.解：原式= 号高)·++92·-曲超， 得a≠1且a≠-2，所以a=0或2当a=0时，原式-8号-1.（或当a=2时，原式 =-叭 5.解：原式=2安1÷贵=21.}=.因为父+红-5=0，所以 2x(x+1) 2 2x+1 2+x=5.所以原式=2 5 阶段微测试（三） 3B4.C5.A6.B7.7X1078.49.=2 11.解：(1)原式=-8÷1-(-3)2×(-2)=-8-(-18)=-8+18=10.(2)原式= 品·#·(-的）=-是(3)原式=+-山.气22= x+2 (x+5)2 2x+4-x+1.（x-2)(x+2)=x+5.（x-2)(x+2)=x-2 x+2 (x+5)2 x+2 (x+5)2 x+51 12.解：原式= 2(a+2) 17 (a+2)(a-2)a-2 a-2)+a=(a22a) ·(a-2)+a= a一2·(a-2)十a=1+a,所以任意报一个a的值，小明都可以用这个数加上1，马上说 1 出这个代数式的值， 13.解：原式=a6m十bm-amb3m=(a3m)-2十b3m-(a23m)2(b3")-1=4-2+2-42X2-1= +2-8= 14.解：(1)由题意，得长途客运车原来所花的时间是h,新修的高速公路开通后所花 的时间是石+0%z2),则兰z兰·上=1.5，管：长途客运车原来 所花的时间是新修的高速公路开通后所花的时间的1.5倍.(2)之一z s1.5s-5= 二一-产，答：新修的高速公路开通后，所花时间比原来笔短了品A 15解：由2京日知x≠0所以1-5，即x一3+士=5所以+是 1 x -8.所以++=2+1+宁(+）》”-1=8-1=63.所以高 x2 1 x 基本功专练（三）解分式方程 1.解：(1)由于最简公分母为x(x十3)，于是将方程两边同乘x(x十3)，得x十3=4x,解 得x=1.经检验，x=1是原分式方程的解.(2)由于最简公分母为x一2，于是将方程两 边同乘x一2，得2十x一1=0，解得x=一1.经检验，x=一1是原分式方程的解.(3)由 于最简公分母为x(x十1)(x一1)，于是将方程两边同乘x(x十1)(x一1)，得4(x一1) 3(x十1)=0，解得x=7.经检验，x=7是原分式方程的解.(4)由于最简公分母为x一3， 于是将方程两边同乘x一3，得2-x十3(x一3)=一2，解得x=号经检验，x=号是原 分式方程的解.(5)由于最简公分母为(x+1)(x一1)，于是将方程两边同乘(x十1)(x一 1),得2x(x十1)-2(x十1)(x-1)=x-1,解得x=-3.经检验，x=-3是原分式方程 的解.(6)由于最简公分母为(x+1)(x一1)，于是将方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x —54—