4.6 线段的垂直平分线 题型专练 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）八年级上册 4.6 线段的垂直平分线 题型专练 【题型1】作垂线 【典例】如果CO⊥AB于点O，自OC上任一点向AB作垂线，那么所画垂线与OC（　　） A．垂直 B．相交 C．重合 D．无法确定 【举一反三1】如图，过点A作直线l的垂线，可作垂线的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【举一反三2】用尺规法过直线外一点作此直线的垂线，作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三3】“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线．则直线．这样作图的理由是 __________．      【举一反三4】(课本P42例2)已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形. 已知：线段m，n(m>n)（如图）. 求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AB=m，AC=n. 【题型2】作线段垂直平分线与角平分线的综合 【典例】如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（   ）      A． B． C． D． 【举一反三1】下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在Rt中，，，要求通过尺规作图，把它分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则作法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三3】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM=__________. 【举一反三4】尺规作图：（不要求写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在长方形中，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，请在图中画出折痕l； （2）如图2，四边形，E为边上一点，在四边形内找一点P，使，且直线为的对称轴． 【举一反三5】如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）     【题型3】作三角形 【典例】根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【举一反三2】如图1所示，已知线段，，求作△ABC，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作△ABC的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【举一反三3】如图，已知，线段，求作△ABC，使得． 作法： （1）作线段__________； （2）在的同旁，作__________，作__________，与交于点__________，故△ABC就是所求作的三角形． 【举一反三4】已知：线段，，，求作：△ABC，使，，． 【题型4】线段垂直平分线的性质 【典例】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（　　） A．160° B．140° C．130° D．125° 【举一反三3】如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是__________ ． 【举一反三4】如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． (1)若求的度数； (2)若的周长为， 求的周长． 【题型5】线段垂直平分线的判定 【典例】如图，用尺规作图作线段的垂直平分线，根据作图痕迹，下列结论正确的个数为（  　）     ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三1】如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上． A．AB B．AC C．BC D．不能确定 【举一反三2】如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．是等边三角形 D．垂直平分 【举一反三3】如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是__________ . 【举一反三4】(人教课本P67练习T2)如图,.直线 是线段 的垂直平分线吗? 为什么? 【举一反三5】已知：在△ABC中，D、E分别在、上，且，与交于点F，连接交BC于G．       (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，直接写出所有等于的角． 【题型6】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典例】如图，在△ABC中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．11 D．12 【举一反三1】如图，平分的延长线交于点．若，则的度数为__________． 【举一反三2】如图，在等边中，为中线，点是的中点，点是线段上的动点，连接、，当的值最小时，的度数是__________ ． 【举一反三3】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O. (1)求证：垂直平分； (2)求AO的值. 湘教版（2024）八年级上册 4.6 线段的垂直平分线 题型专练（参考答案） 【题型1】作垂线 【典例】如果CO⊥AB于点O，自OC上任一点向AB作垂线，那么所画垂线与OC（　　） A．垂直 B．相交 C．重合 D．无法确定 【答案】C 【解析】根据垂线的性质回答即可． 如果CO⊥AB于O，过OC上任一点向AB作垂线，那么所画的垂线必与OC重合， 这是因为过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直． 故选：C． 【举一反三1】如图，过点A作直线l的垂线，可作垂线的条数有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【解析】利用垂线的性质可知，经过一点，有且只有一条直线和已知直线垂直． 根据垂线的性质，经过一个点，有且只有一条直线和已知直线垂直， 所以过点A作直线l的垂线，有且只有一条． 故选：B． 【举一反三2】用尺规法过直线外一点作此直线的垂线，作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【举一反三3】“已知点P在直线l上，利用尺规作图过点P作直线”的作图方法如下：①如图，以点P为圆心，交直线l于A，B两点，B为圆心，以大于，两弧交于点Q；③作直线．则直线．这样作图的理由是 __________．      【解析】三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 【举一反三4】(课本P42例2)已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形. 已知：线段m，n(m>n)（如图）. 求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AB=m，AC=n. 【答案】解　作法：如图. ①作直线CE⊥CD； ②在CE上截取CA=n； ③以点A为圆心，以m为半径作弧，交CD于点B； ④连接AB. △ABC就是所求作的直角三角形. 【题型2】作线段垂直平分线与角平分线的综合 【典例】如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【举一反三1】下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：选项A属于作一个锐角平分线； 故选：A． 【举一反三2】如图，在Rt中，，，要求通过尺规作图，把它分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则作法正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】第一个图是尺规作，则是等腰三角形，符合题意； 第二个图是尺规作的角平分线，可知，则是等腰三角形，符合题意； 第三个图形是尺规作的垂直平分线，可得，再由，可知，则是等腰三角形，符合题意； 第四个图形是尺规作的垂直平分线，可得，则是等腰三角形，符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：D． 【举一反三3】如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM=__________. 【答案】6 【解析】由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线. 因为AD是边BC上的高，所以AD⊥BC， 因为MN⊥AB，所以MD=MN=2. 所以AD=4MD=8，所以AM=AD-MD=6. 【举一反三4】尺规作图：（不要求写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，在长方形中，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，请在图中画出折痕l； （2）如图2，四边形，E为边上一点，在四边形内找一点P，使，且直线为的对称轴． 【答案】（1））解：如图1，连接，作线段的垂直平分线l，则直线l即为所求． （2）解：如图2，先在的左侧作，再作的平分线，交射线于点P，则点P即为所求． 【举一反三5】如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）     【解析】见解析 【题型3】作三角形 【典例】根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【举一反三1】“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【答案】A 【解析】解：当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段， 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线， 因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点， 最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形， 故选：A． 【举一反三2】如图1所示，已知线段，，求作△ABC，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作△ABC的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【举一反三3】如图，已知，线段，求作△ABC，使得． 作法： （1）作线段__________； （2）在的同旁，作__________，作__________，与交于点__________，故△ABC就是所求作的三角形． 【解析】 【举一反三4】已知：线段，，，求作：△ABC，使，，． 【解析】见详解 【题型4】线段垂直平分线的性质 【典例】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长是，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【举一反三2】如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（　　） A．160° B．140° C．130° D．125° 【答案】D 【解析】连接CO， ∵∠AOB＝140°， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°， ∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OC，OB＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠OCA+∠OCB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°， ∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠IAB∠CAB，∠IBA∠CBA， ∴∠IAB+∠IBA（∠CAB+∠CBA）＝55°， ∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°， 故选：D． 【举一反三3】如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是__________ ． 【答案】 【解析】∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． (1)若求的度数； (2)若的周长为， 求的周长． 【答案】(1)∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； (2)∵， 的周长为，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【题型5】线段垂直平分线的判定 【典例】如图，用尺规作图作线段的垂直平分线，根据作图痕迹，下列结论正确的个数为（  　）     ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【举一反三1】如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上． A．AB B．AC C．BC D．不能确定 【答案】B 【解析】∵BC=BD+AD=BD+CD， ∴AD=CD， ∴点D在AC的垂直平分线上． 故选B． 【举一反三2】如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．是等边三角形 D．垂直平分 【答案】A 【解析】如图，设交于点G， 根据题意得：， ∵O为的中点， ∴，，，， ∴，， ∴是等边三角形， 故C正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴，故A错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分，故D正确； 综上所述，错误的是A. 故选：A. 【举一反三3】如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是__________ . 【答案】F 【解析】到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC三条边垂直平分线的交点，如图所示， 点F为AC，BC垂直平分线的交点. 【举一反三4】(人教课本P67练习T2)如图,.直线 是线段 的垂直平分线吗? 为什么? 【答案】解　直线 是线段 的垂直平分线.理由如下: , 点 在线段 的垂直平分线上. , 点 在线段 的垂直平分线上. 直线 是线段 的垂直平分线. 【举一反三5】已知：在△ABC中，D、E分别在、上，且，与交于点F，连接交BC于G．       (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，直接写出所有等于的角． 【解析】(1)见解析； (2)，，， 【题型6】线段垂直平分线性质与判定的综合 【典例】如图，在△ABC中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（   ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【举一反三1】如图，平分的延长线交于点．若，则的度数为__________． 【解析】 【举一反三2】如图，在等边中，为中线，点是的中点，点是线段上的动点，连接、，当的值最小时，的度数是__________ ． 【答案】60 【解析】连接，如图所示： ∵等边，是边上的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当B、F、E在同一直线上，且时，最小，即最小， 如图，过点B作于点E，交于点F，此时最小， ∵等边中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 即当的值最小时，的度数是． 故答案为：． 【举一反三3】如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O. (1)求证：垂直平分； (2)求AO的值. 【答案】(1)证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分. (2)解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $