广东省多校2026-2027学年高二第一学期第一次教学质量检测数学试题

秘密★启用前 2026～2027学年度第一学期第一次教学质量检测 高二数学 2026.10.15 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，，则直线的倾斜角是 A． B． C． D． 2．与直线关于轴对称的直线方程为 A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则 A． B． C． D． 4．圆：与圆：的公切线条数为 A．4 B．3 C．2 D．1 5．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为 A． B． C． D． 6．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．已知实数，满足，则的最大值为 A． B． C． D． 8．在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，：，则 A．在轴的截距为 B．过定点 C．若，则 D．若，及轴围成的三角形面积为，则或 10．已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是 A．过定点 B．点为上一动点，则到距离的最大值为5 C．当时，上恰有两点到的距离都等于 D．上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 11．棱长为1的正方体的表面有点，满足，，，则 A．当时，的最小值为 B．当时，有且仅有一点满足 C．当时，有且仅有一点到直线的距离是其到平面距离的两倍 D．当时，点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线围成的面积为_________． 13．平行四边形的四条边所在直线的方程分别为，，，，则该平行四边形的面积为_________． 14．用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，棱长为1的正四面体中，，，，点满足，点为中点． （1）用、、表示； （2）求． 16．（15分） 已知圆过，两点，且圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求． 17．（15分） 已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，点是边的中点． （1）求的坐标； （2）求的平分线所在直线的方程． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，，，，平面平面． （1）求证：； （2）线段上是否存在点，使平面与平面所成角大小为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知点，关于原点对称且在与直线相切的上，点在直线上，，设的圆心横坐标为． （1）求的半径； （2）若，已知点，点，在上，直线不经过点，且直线，斜率之和为-1，过作于点，是否存在一点，使得长为定值？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年度第一学期第一次教学质量检测 数学参考答案 选择题部分（共58分) 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 B C B D D C BCD AD ACD 非选择题部分（共92分) 12.4π+8 13.9 12 14.5 15.(本题满分13分) 解：(1)N为BC中点， 0示=o丽+c)=6+) …2h OM=IMA …4分 .MN-ON-OM-(6+8)-a--6+78-1q …6分 (2)由正四面体性质得：<a,b>=<a,c>-<b,c>=60° …8分 .a-6a-cos6- …9分 四-5+-+5- 11111119 16.(本题满分15分) 解：1)法1由题意，设⊙C:(x-a+广=广产.1分 (3-a}2=r2 无4很，0.B(,2)代入oC方程，行1-a+4=r …3分 a=1 解得(P=2 。。。。。。。。。。。。 …5分 .⊙C,(x-1)}2+y2=4 …6分 法2由1(3,0)，B(2)可得'：y=-x+3,且AB中点为D(2,) …1分 则AB的垂直平分线与X轴的交点即为点C.…2分 ∴.kc= 1二1 KAB 由D(2,l)得lp:y=x-1 …3分 令y=0得x=1,.C(1,0) …4分 OC半径为1C=2, …5分 .⊙C:(x-1)2+y2=4 …6分 (2)P(-l,-l),PC=V2+IP=5 …8分 ∴.PM=VPC2-r2=1 …10分 由等面积得 PMIT=MN-PCI …13分 代入数据，解 lMN-45 ，…15分 17.(本题满分15分) 解：1)经检验知点D(0,)在直线BH上， .点A与点H重合.… …1分 B:x-2y+2=0kB= …2分 AB L AC, AB …3分 由C(1,3)得c:y-3=-2(x-) …4分 8 x= 5 9 .A 89 y= 与AB方程联立得 55 …5分 :BD=DA= 84 D为AB中点， 55 …6分 ∴.B 81Y 55 …7分 (2)在∠BAC平分线上取一点P,则∠PAC=45° …9分 过A作x轴的平行线，在该直线上点A右侧取一点Q, 则k4c=tan∠QAC=-2 …11分 tan∠PAC+tanZOAC_1+(-2）__1 :kp=tan∠P4A0=tam(∠PAC+∠01C)-1an∠PACun/0aci-(-2)-3 …13分 489） 1.7 3.…15分 18.(本题满分17分) 解：(1)证明：在平面SBD中，过D作DE⊥SB=E. :平面SBD⊥平面SBC=SB,DEc平面SBD, .DE上平面SBC. …2分 :BCc平面SBC, DE⊥BC,… …3分 .'∠DAB=∠ADC=2∠ABD=2∠BCD=90° ∴.∠ABD=∠BCD=45°，AB/CD, ∴.∠CDB=∠ABD=45°， .∠CBD=90°，即BD⊥BC. …6分 BD,DEC平面SBD, ∴.BC⊥平面SBD …7分 SDC平面SBD ∴.SD⊥BC …8分 (2)法1以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，建立空间直角坐标系.…9分 由(1)得：AB=AD=BDc0s45°=2CD=、BD c0s4504 B(2,0,0).D(0,2,0).C(4,2,0)..BD=(-2,2,0).AB=(2,0,0) 取BD店0，连接01,05，则01L0).08=8D=5 AB=AD=2,SB=SD=6. .OA⊥BD,OS⊥BD :OSC平面SBD,BC⊥平面SBD, ∴.BC⊥OS BD,BCC平面ABCD, ∴.OS⊥平面ABCD ..OS =SB2-OB2 =2. .S(11,2）.…SD=(-1,1-2) …11分 设SP=D=(←元，2-22)，(0<1<1) 则4P=8P+A不=(1-2,1+元，2-2n) …12分 设平面ABP的法向量为m=(x,上，2) m·AB=0 2x=0 则有m:P=0,即1-)x+1+2)y+21-)2=0 取=0，名=1+元，则片=2-2九，则m=(0,1+元，2-2) …13分 易知BC=(2,2,0)为平面SBD的其中一个法向量.14分 设平面ABP与平面SBD的夹角为B, m.BD 2+2 cos0= mBD 22V1+元)}2+(2-2 22 则 1 解得=3（舍去）或3，… …6分 ·存在这样的点P,此时点P为SD靠近点S的三等分点. …17分 铁2同法1可得OS1平面BCD.01=D=V5 2 :OAC平面ABCD, .OS⊥OA, .AS=V0S2+04=6 同样设SP=SD=V6元，(0<<1) cos∠0=D44D-}a∠a5D-SD+8-BD1 2SD·SA3, 2SD.SB 3 ∴.AP2=AS2+SP2-2AS.SPcos∠ASD=612-8元+6. BP2 BS2+SP2-2BS.SPCosLBSD=6A2-4+6. 过A作AF⊥平面SBD=F,过A作AG⊥BP=G, 则∠AGF即为平面ABP与平面SBD的夹角. OS.AB.AD AF= 2 -v2 由体积相等得： 20S.BD ·∠4AGF=60,·AG=F=2V6 sin60°3， BG--AG-23.C0ABP-BG 3 AB3,①…14分 :c0s∠ABP=AB+BP2-AP2 42+4 2AB·BP 4V622-42+6,② 1 由①②得：九=3（舍去）或3,16分 存在这样的点P,此时点P为SD靠近点S的三等分点.…17分 19.（本题满分17分) o4-4=1 解：(1)由题知：B也在直线x+y=0上，且 :直线x+y=0的倾斜角为135°， ∴不妨设4(cos135°，sinl35) √2√2 B (2√2 2’2 2-2 此时 …2分 同时C在AB的垂直平分线上，即在直线y=x上，C(a,)】 …3分 :⊙C与直线x+1=0相切， e旷-a …4分 解得a=0或2， …5分 此时⊙C的半径为1或3.。 …6分 (2)由题知：⊙C:x2+y2=1 …7分 当MNx轴时，由对称性知：直线PM,PN的斜率之和为0，不符合题意，…8分 故设w:x=my+n,M(,）,V(,),记PM,PN的斜率分别为k,飞.(m+n≠0)9 分 x=my+n 联立x+y2=L,得(m+y+2my+(m2-)=0 …10分 片+乃-2mn n2-1 m2+1. y2= 由韦达定理： m2+1,…11分 x+=m0y+为)+2n=-2mn+2n= 2n m2+1 m2+1, 5=m+m0+）片R-m-2r+-2m m2+1m2+1 m2+11 k+k=-1+么-1-0-1)+-山_(m+m0-+(m+m0s-) x1 x2 XX2 XX2 2my+(n-m）(y+y2）-2n_2m(n2-)+2mn(m-n）-2n(m2+1） 2(m+n） 2=-1 xx2 n2-m2 (m+n)(m-n）m-n …13分 .n=m+2,… …14分 lw:x=my+m+2过定点R(2,-) …15分 :PD⊥MN, D在以PR中点为圆心，PR长为半径的圆上运动，… …16分 存在(1,0)使D0长为定值. …17分