精品解析：湖北武汉市洪山区杨春湖实验学校2026-2027学年八年级上学期十月学情自测数学

八年级数学试卷 一、选择题（共10题，总计30分） 1. 钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（ ） A. 三个外角的度数之比是 B. 的三个内角的度数之比是 C. ； D. 3. 如图，若，，则的度数是（       ） A. B. C. D. 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 一个三角形三个内角度数之比是，则其最大内角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则的中线的长度可取值为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. D. 5 8. 下列说法正确的是（ ） ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线； ③每个三角形都有三条中线，高和角平分线； ④三角形的重心是三角形三条中线的交点． A. ③④ B. ③ C. ②③ D. ①④ 9. 如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 10. 用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，…，照这样的规律搭下去，搭2026个三角形需要小木棒的根数为（） A. 4048 B. 4049 C. 4052 D. 4053 二、填空题（共6题，总计18分） 11. 如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的______． 12. 已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为_____． 13. 如图，在中，平分于点，若，则的面积是_________． 14. 已知是的高，，，分别平分和，则_________． 15. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 16. 如图，在中，，点在线段上，点在线段上，且，连，当取最小值时，则_________． 三、解答题（共8题，总计72分） 17. 在中，，，分别求出各内角的度数． 18. 如图，在和中，与相交于点E，． （1）求证：； （2）求证：． 19. 如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 20. 已知：如图，在和中，，连接． （1）求证：； （2）补充图形：延长交于点，连接，求． 21. 图①、②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，点是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图①中，画的中线；再找个格点（不与点重合），连接，使． （2）在图②中，画的高；再在边上找一点，连接，使． 22. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 23. 已知：在和中，． （1）当时， ①如图1，延长交于点，若，则的度数为_________； ②如图2，连接，延长交于点，若，求证：点为中点； （2）当时，如图3，连接，点是的中点，连接，交于点，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，且． （1）如图1，若，且a、b满足，直接写出A、B、C点的坐标； （2）如图2，移动等腰，使点C落在第一象限，点B的坐标为，且轴，D在y轴上，，连接并延长交于点E，请求出的长度； （3）如图3，H在延长线上，过H作轴于G，若，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一、选择题（共10题，总计30分） 1. 钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．设第三根木棒的长度为，根据三角形三边之间的关系求出x的范围，再对照选项筛选即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为． 由三角形三边之间的关系得． 即． 四个选项中只有符合该范围． 2. 下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（ ） A. 三个外角的度数之比是 B. 的三个内角的度数之比是 C. ； D. 【答案】B 【解析】 【分析】验证各选项条件下三角形是否存在内角，即可判断能否确定为直角三角形． 【详解】解：A． 三角形外角和为，最小外角为，对应最大内角为，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； B． 三角形内角和为，最大内角为，为锐角三角形，不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； C． ∵， ∴， ∵， ∴，即，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； D． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意． 3. 如图，若，，则的度数是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解：，，， ∴． 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A．∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故不符合题意． B．∵，，，为两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，故不符合题意． C．∵，，，为两边及其夹角，满足SAS全等判定条件，可唯一确定，故符合题意． D．∵仅已知三个内角度数，无边长条件，只能确定三角形形状，不能确定大小，无法唯一确定三角形，故不符合题意． 5. 一个三角形三个内角度数之比是，则其最大内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最大内角对应比例中的最大项，结合三角形内角和按比例求解． 【详解】解：∵三角形内角和为，三个内角度数之比为， ∴总份数为， ∴最大内角度数为． 6. 在中，，，则的中线的长度可取值为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证明，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：如图； 延长到，使，则，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B． 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，则线段的长为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作于点E，由作图步骤可知，是的平分线，进而可得，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：由作图步骤可知，是的平分线， 过点D作于点E，如图： ，平分，． ． ． ， ，，． 解得． 8. 下列说法正确的是（ ） ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线； ③每个三角形都有三条中线，高和角平分线； ④三角形的重心是三角形三条中线的交点． A. ③④ B. ③ C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】抓住三角形的角平分线、中线、高均为线段这一核心，结合重心定义判断各说法正误． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，并非射线，故①错误． ②三角形的中线，角平分线都是线段，三角形的高也是线段，并非直线，故②错误． ③每个三角形都有三条中线、高和角平分线，故③正确． ④三角形的重心是三条中线的交点，故④正确． 综上可知，正确的是③④． 9. 如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算． 分别求出，，再找到可以去掉的式子即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵的平分线与的平分线的交于点， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 即． 故选：A． 10. 用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，…，照这样的规律搭下去，搭2026个三角形需要小木棒的根数为（） A. 4048 B. 4049 C. 4052 D. 4053 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形可知，每增加一个三角形需增加2根小木棒，据此得出规律即可求解． 【详解】解：∵搭1个三角形需3根小木棒，， 搭2个三角形需5根小木棒，， 搭3个三角形需7根小木棒，， 搭个三角形需小木棒的根数为， 当时，． 二、填空题（共6题，总计18分） 11. 如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答． 【详解】解：由于三角形具有稳定性， 故能支撑住手机， 故答案为：稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的性质，掌握三角形的稳定性并应用于实际是解题的关键． 12. 已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】17 【解析】 【分析】分腰长为3和腰长为7两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为时，三边分别为、、，，能构成三角形，周长为； 当腰长为时，三边分别为、、，，无法构成三角形，不合题意． 故答案为：17 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键． 13. 如图，在中，平分于点，若，则的面积是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，根据的面积求解即可． 【详解】解：过点D作于点F．如图： ，，平分， ． ． ． ． 的面积． 14. 已知是的高，，，分别平分和，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理， 分两种情况：当在内部时，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理得出答案； 当在外部时，先求出，仿照上述解答即可. 【详解】解：当在内部时，如图， ∵分别平分，且， ∴， ∴； 当在外部时，如图， ∵， ∴. ∵分别平分，且， ∴， ∴. 所以或. 故答案为：或. 15. 如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． ①利用三角形的内角和以及角平分线和直角三角形的性质求出相关的角，然后利用角的和差进行求解即可； ②利用反证法进行证明即可； ③在上截取，连接，求出相关的角，证明和，得出相等的线段，利用线段的和差即可得出结论； ④在③的基础上，过点作于点，过点作于点，利用角平分线的性质得出三角形相等的高，然后根据面积比等于底边的比进行求解即可． 【详解】解：①， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②如图所示，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ， ； 假设，则， ，， ， ， ， ，与矛盾，  假设不成立，即， ，故结论②错误，不符合题意； ③如图，在上截取，连接； 平分，平分，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ， ，， ， ，， ，， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①③④． 故答案为：①③④． 16. 如图，在中，，点在线段上，点在线段上，且，连，当取最小值时，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作，使得，连接交于点G，过点A作于点H，连接，证明，得到，则当A、F、T三点共线时，有最小值，此时点F于点G重合，由等面积法求出，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作，使得，连接交于点G，过点A作于点H，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、F、T三点共线时，有最小值，此时点F与点G重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 三、解答题（共8题，总计72分） 17. 在中，，，分别求出各内角的度数． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据，与的数量关系，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，在和中，与相交于点E，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形对应角相等得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【小问1详解】 解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； 【小问2详解】 略 20. 已知：如图，在和中，，连接． （1）求证：； （2）补充图形：延长交于点，连接，求． 【答案】（1）证明：， ， ∴． 在和中， ， ； （2）的度数为，补充图形如下： 【解析】 【分析】（1）由，两边同时减去公共角，推得．结合已知、，满足两边及其夹角对应相等，即可由判定证得； （2）由全等得对应边相等、面积相等，推出对应边上的高，根据全等三角形的判定和性质可得，再由三角形内角和可得，进而求出，最后进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作于M，于N，设与交于点O，如图： ， ，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴在和中，， ， ， ， ∴， ∵ ， 综上所述，的度数为． 21. 图①、②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，点是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图①中，画的中线；再找个格点（不与点重合），连接，使． （2）在图②中，画的高；再在边上找一点，连接，使． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质确定点D，连接，此时即为的中线；取底边上距左下角1格的格点E，连接、；此时有，，，此时； （2）根据正方形对角线互相垂直即可确定点E，连接，线段即为所求；取左上角顶点O，取点A正下方1格处的格点H，连接，交于点Q，连接，此时；在中，连接，根据，可得和的高相等，则，再减去公共部分，可得，根据和高相等可得，同理，和高也相等可得，同理，和高也相等可得，由得，将代入，可得，由图可得，，则，由图可得，由式得，代入得，同理可得，，将代入，约分得，联立可得，，根据，，可得，进而即可求出，同理运用面积法计算得出，连接、，根据和高相等可得，进而可得，同理可得，，进而可得，再根据和同底AC，且点P、Q在AC的同侧，则可得点P、Q到直线的距离相等，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2） 仍成立，理由：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3） ，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 23. 已知：在和中，． （1）当时， ①如图1，延长交于点，若，则的度数为_________； ②如图2，连接，延长交于点，若，求证：点为中点； （2）当时，如图3，连接，点是的中点，连接，交于点，求证：． 【答案】（1）①； ②证明：如图2，过点作的垂线交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ； ， ； ， ， ， 又， ，即是的中点； （2）证明：延长至，使得，连接，如图3， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由已知条件可得，对顶角，则，根据即可得；②过点作的垂线交的延长线于，证明，得，进而可得，再证明即可得证点为中点； （2）延长至，使得，连接，如图3，证明，得到；再证明，得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：①设交于，如图1， 在和中，， ， ， ， ∵ ， ， ， ； ②略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，且． （1）如图1，若，且a、b满足，直接写出A、B、C点的坐标； （2）如图2，移动等腰，使点C落在第一象限，点B的坐标为，且轴，D在y轴上，，连接并延长交于点E，请求出的长度； （3）如图3，H在延长线上，过H作轴于G，若，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3） ，证明如下： 如图②，在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）非负性求出的值，进而得到的坐标，过点作轴于点，证明，得到，，进而求出点坐标即可； （2）过点作轴于点，同（1）可得：，进而得到，，推出，再证明，即可求出的长； （3）在上取一点，使得，连接并延长交延长线于点，证明，得到，，再利用直角和三角形内角和定理，得到，证明，得到，即可得到线段，，之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：过点作轴于点， 同（1）法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了坐标与图形，非负性，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $