精品解析：湖北省武汉市洪山实验外国语中学2024-2025学年上学期12月月考八年级数学试题

2024-2025学年上学期八年级12月试题 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 下面四个图形中，不是轴对称图案的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式中，分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式整理成几个整式的乘积的形式，这个过程叫做因式分解，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B、符合因式分解的定义，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； 故选：B 4. 与分式的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是判断分式变形是否正确，依据分式的基本性质对分式进行适当变形是解题的关键．依据分式的基本性质对分式进行变形即可． 【详解】解：． 故选：D 5. 若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变． 根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， 故本选项不符合题意； B．，即分式的值扩大2倍， 故本选项不符合题意； C．，即分式的值不变， 故本选项符合题意； D．， 故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可． 【详解】解：根据题意，得： 故选：C． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平分公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键．把看成一个整体，先运用平方差公式，再用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 8. 观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ） A. 围成一个等腰三角形 B. 围成一个直角三角形 C. 围成一个等腰直角三角形 D. 不能围成三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用分组分解法进行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之间的关系，根据构成三角形三边的要求，即可得出． 【详解】解：， ， ， ∴或， 当时，围成一个等腰三角形； 当时，不能围成三角形； 故选：A． 【点睛】题目主要考查利用分解因式求解、构成三角形的三边关系，理解题中例题的分组分解因式法是解题关键． 9. 设a、b为实数，关于x的多项式展开后的一次项系数为m，多项式展开后的一次项系数为n，且m、n均为正整数．下列结论： ①当时，则； ②与的平方差的值能被3整除； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最小值为． 其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 【详解】解：，， ，且m、n均为正整数． 当时，，则，故①正确； ， ，即， 与的平方差的值能被2，4，8整除，不一定能被3整除，故②错误； ，即， ，即， ， ， ，即的最大值为1，故③正确； ，即， m、n均为正整数． 可取的值为， 当时，，则， 的最小值为，故④正确； 正确的有3个， 故选：C． 10. 如图，在等腰直角中，，点是内部一点，连接并延长至点，连接、，垂足为点交于点，延长交于点，连接，．给出以下结论：①；②平分；③若点为的中点，连接并延长交于点，则：④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】证明，判断①；证明，判断②；证明为等腰三角形，为等腰三角形，得到，判断③；延长交于点，连接，设与交于点，证明，进而得到，再根据，判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 延长交于点，连接，设与交于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有4个； 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，三角的内角和定理，三角形的外角等知识，本题的综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，从复杂图形中获取条件，证明三角形全等和特殊三角形，是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a× ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】数据0.0000046用科学记数法表示为：， 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于确定a和n的值． 12. 当________时，的值为零． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 13. 若是完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方式的性质，从而完成求解．结合题意，根据完全平方式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 若实数a使得关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 根据分式方程解为负数，得到，且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减运算法则，难度适中，解题的关键是发现规律：，然后利用加法的结合律求解即可．首先利用分式的加减运算法则求得的值，然后利用加法的结合律，即可求得的值． 【详解】解：， ； 故答案为：． 16. 如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，证明，而，可得，取关于的对称点，连接，则，证明是等边三角形，可得，而，可得. 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，，而， ∴， ∴， ∴，而， ∴， 取关于的对称点，连接，则， ∵，是的垂直平分线， ∴由轴对称的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，而， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（共8小题，共72分）（下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解． （1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解； （2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. （1）解方程：． （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【答案】（1）无解；（2）；2 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解分式方程，正确掌握分式混合运算法则是解题关键． （1）先去分母化为整式方程，进而即可求解； （2）直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： ， ∵， ∴当时，原式． 19. 如图，已知AB=AC，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE≌△ACD． 【答案】 证明：在△ABE与△ACD中． ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． 【解析】 【分析】本题比较简单，三角形全等条件中三个元素都具备，并且一定有一组对应边相等，可用“ASA”． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定． 20. 【学习材料】——拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1 分解因式： 【解析】解：原式= 例2 分解因式： 【解析】解：原式= 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）运用拆项添项法分解因式：． （3）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （2）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解； （3）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2） ， ， ； （3）∵， ， ， ∴原式． 【点睛】本题考查因式分解，理解题意，并熟练掌握完全平方公式和平方差公式的公式结构是关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是_____________； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°； ②在图2中，作出△ABO的高AQ． 【答案】（1）（3，2），（4，﹣1） （2） ①如图1中，点P即为所求； ②如图2中，线段AQ即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可； （2）①构造等腰直角三角形解决问题即可； ②取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接AJ延长AJ交OB于点Q，线段AQ即为所求． 【小问1详解】 解：如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图——轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 22. 根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出，，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 解得：， ∵m必须能被3整除， ∴，，264，267， 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买258根长管子，2130根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买261根长管子，2125根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴购买264根长管子，2120根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买267根长管子，2115根短管子； ∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子， ∴长管子数越多制作的雪花模型越多， ∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 23. 如图，为等腰三角形，，D为边上一点，连接． （1）如图1，若，将绕点D逆时针旋转90°得到线段，连接，若，，求四边形的面积； （2）如图2，若，将绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接，若G为中点，连接，求证：平分； （3）如图3，若，，点M、N分别在线段、上，且，连接、，当取最小值时，点P是线段上的一个动点，连接、、，请直接写出取得最小值时，的度数． 【答案】（1）8 （2） 证明：如图：延长至L，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转得∶， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点A、G分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判断与性质、线段和的最小值等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）如图：过点D作交的延长线于点H，利用等腰三角形性质和旋转变换的性质可证得，再利用即可解答； （2）如图：延长至L，使，连接，先证得得出，再运用三角形中位线定理推出，根据平行线的性质得出，进而完成解答； （3）如图：过点B作，使，连接，可证得，得出，由，得出当D，N，T三点共线时，为最小值，点P是线段上的一个动点，作点A关于直线的对称点，连接交线段于点P，则为最小值，推出点在上，点P与点D重合即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点D作交的延长线于点H， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：过点B作，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当D，N，T三点共线时，为最小值； 如图4，点P是线段上的一个动点，作点A关于直线的对称点，连接交线段于点P，则， ∴为最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 点在上，点P与点D重合， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点． （1）若a、b满足等式，求点B的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，是为斜边的等腰直角三角形； （3）如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，若E是线段上一点，连接交于点D，连接，当，，①求证：平分；②设的长为a，的面积为S．请用含a的式子表示S． 【答案】（1） （2）当时，是以为斜边的等腰直角三角形 （3） ①证明：过点E作于M，交延长线于N，过点B作轴于F， ， 由（2）同理可得，， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 平分； ② 【解析】 【分析】（1）根据偶次方的性质得出，，进而求出a、b的值，即可解答； （2）过B作轴于点H，设，，证明，得，即可解答； （3）①过点E作于M，交延长线于N，过点B作轴于F，先证得，利用角平分线定理即可解答； ②延长、相交于点P，证明，，再证，得，利用三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 解得：，； ∴； 【小问2详解】 解：过B作轴于点H， ， ， 由题意得，， 是以斜边的等腰直角三角形 ，， ， 轴， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ∴， ， ∴当时，是以为斜边的等腰直角三角形； 【小问3详解】 ①略 ②解：如图，延长、相交于点P， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ∵，， ∴， ∴， 平分， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考点涉及非负数的性质，平面直角坐标系，等腰三角形的性质和判定，三线合一，角平分线定理，全等三角形的判定与性质，所涉知识点较多，难度较大，属于压轴题，掌握“一线三垂直”模型，作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期八年级12月试题 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，不是轴对称图案的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中，分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 与分式的值相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 若把的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列分解因式的过程：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ） A. 围成一个等腰三角形 B. 围成一个直角三角形 C. 围成一个等腰直角三角形 D. 不能围成三角形 9. 设a、b为实数，关于x的多项式展开后的一次项系数为m，多项式展开后的一次项系数为n，且m、n均为正整数．下列结论： ①当时，则； ②与的平方差的值能被3整除； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最小值为． 其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在等腰直角中，，点是内部一点，连接并延长至点，连接、，垂足为点交于点，延长交于点，连接，．给出以下结论：①；②平分；③若点为的中点，连接并延长交于点，则：④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为___________． 12. 当________时，的值为零． 13. 若是完全平方式，则________． 14. 若实数a使得关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是________． 15. 如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么________． 16. 如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共72分）（下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. （1）解方程：． （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 19. 如图，已知AB=AC，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE≌△ACD． 20. 【学习材料】——拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如： 例1 分解因式： 【解析】解：原式= 例2 分解因式： 【解析】解：原式= 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）分解因式：______． （2）运用拆项添项法分解因式：． （3）化简：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是_____________； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°； ②在图2中，作出△ABO的高AQ． 22. 根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 23. 如图，为等腰三角形，，D为边上一点，连接． （1）如图1，若，将绕点D逆时针旋转90°得到线段，连接，若，，求四边形的面积； （2）如图2，若，将绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接，若G为中点，连接，求证：平分； （3）如图3，若，，点M、N分别在线段、上，且，连接、，当取最小值时，点P是线段上的一个动点，连接、、，请直接写出取得最小值时，的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点． （1）若a、b满足等式，求点B的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，是为斜边的等腰直角三角形； （3）如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，若E是线段上一点，连接交于点D，连接，当，，①求证：平分；②设的长为a，的面积为S．请用含a的式子表示S． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $