精品解析：天津市南开区美达菲津英中学2026-2027学年度第一学期九年级数学第一次质量检测

2026—2027学年度第一学期九年级质量检测数学学科 一．选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 在抛物线上的点为（ ） A. （0，4） B. （1，-4） C. （-1，-5） D. （2，-4） 7. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 10. 若二次函数的对称轴是直线，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤方程的解为，．其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知抛物线，图象的开口向____，顶点坐标为____，当x___时，y随x的增大而减小． 14. 抛物线向上平移1个单位后，再向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为__________． 15. 已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是________．（只要写出一个符合条件的即可） 16. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 17. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 18. 函数在有最大值6，则实数的值是________． 三．解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （Ⅰ）x2+x﹣12＝0； （Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 21. 二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 2 4 6 … … 0 6 m n 0 … （1）该二次函数解析式为 ， ， ； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象直接写出下列问题： ①当 时，y有最 值（填“大”或“小”）是 ． ②若该二次函数图象上有两点和，满足，则 （从符号<，，，>，=中选择一个填空）； ③当时，x的取值范围是 ． ④当时，则y的取值范围是 ． 22. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，设篱笆长为x米． （1）___________米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形鸡舍面积为150平方米，求篱笆的长？ （3）矩形鸡舍面积的最大值是多少？说明理由． 23. 某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． （1）填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； （2）求与之间的函数关系式； （3）填空：若，则的值为______； （4）当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 24. 如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； （3）若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）． （1）当，，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标； ②若点，，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级质量检测数学学科 一．选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可． 本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， 配方得， 即 ． 故选：C． 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求出m值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得． 故选：B． 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，先将化为一般式，再由一元二次方程根与系数关系得到，，即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， ，， 故选：A． 6. 在抛物线上的点为（ ） A. （0，4） B. （1，-4） C. （-1，-5） D. （2，-4） 【答案】D 【解析】 【分析】把各个点的坐标代入验证即可． 【详解】A、当x=0时，y=x2-4x=0，因此(0，4)不在抛物线y=x2-4x上； B、当x=1时，y=x2-4x=1-4×1=1-4=-3，因此(1，-4)不在抛物线y=x2-4x上； C、当x=-1时，y=x2-4x=1-4×（-1）=5，因此(-1，-5)不在抛物线y=x2-4x上； D、当x=2时，y=x2-4x=4-2×4=-4，因此(2，-4)在抛物线y=x2-4x上． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法． 7. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 8. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：赛程共天，每天安排场， 总安排场数为（场）． 参赛的每个队之间都要比赛一场， 每队比赛场数为场，总比赛场数为场， 满足的关系式为． 9. 已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断＜；根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：因为a＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 根据二次函数图象的对称性可知，C（2，）和（0，）关于直线x＝1对称， 因为﹣2＜﹣1＜0，故， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 10. 若二次函数的对称轴是直线，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用二次函数对称轴公式求出参数，再代入方程求解． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为直线， ∴ ， 即， ∴， 代入方程 ，得 ， 整理得 ， 因式分解得， 或， ∴， 故选：D． 11. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤方程的解为，．其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用二次函数的图象与x轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的图象开口方向确定a的符号，根据对称轴确定b的符号，根据二次函数的图象与y轴的交点位置确定c的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④⑤根据二次函数的图象与x轴的交点即可判断，进而可得答案． 【详解】解：①二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴，故①正确； ②由图象知，二次函数的图象开口向下，得， ∵对称轴为直线， ∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故②正确； ③由②中得，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为 ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， 又∵二次函数的图象的开口向下 ∴当时，，故④错误； ⑤二次函数的图象与x轴的交点坐标为和， ∴方程的解为，，正确 综上，正确的有①②③⑤，共4个． 12. 如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①∵动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）， ∴，， ∵，， ∴，动点Q从点B到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得：， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知抛物线，图象的开口向____，顶点坐标为____，当x___时，y随x的增大而减小． 【答案】 ①. 上 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次根式的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可，由对称轴和开口方向得出增减性． 【详解】解：∵抛物线，， 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小． 故答案为：上，，． 14. 抛物线向上平移1个单位后，再向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：将函数向上平移1个单位向，再右平移2个单位， 则平移后的抛物线的解析式：y＝-2（x-1-2）2+3＋1，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 15. 已知一条抛物线的对称轴是直线，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是________．（只要写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；由题意知，抛物线的开口向上，根据对称轴与开口方向写出一个二次函数的表达式即可． 【详解】解：∵在对称轴右侧的部分是上升的 ∴抛物线的开口向上； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线可为：； 故答案为：（答案不唯一）． 16. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可． 【详解】解∵抛物线经过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 所以解析式为：， 当，则， 故答案为：． 17. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 18. 函数在有最大值6，则实数的值是________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键． 先求出而二次函数的对称轴，再分，，三种情况，分别根据函数最大值时列方程求出a的值即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴其对称轴为， 根据题意可知，分以下三种情况： ①当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得，符合题意； ②当时， 在内，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为．解得：或（不符合条件舍弃）； ③当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得：，不符合题意； 综上，或． 三．解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （Ⅰ）x2+x﹣12＝0； （Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）． 【答案】（Ⅰ）x1＝﹣4，x2＝3；（Ⅱ）x1＝1，x2＝ 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程； （Ⅱ）先移项得5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0， x+4＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣4，x2＝3； （Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（5x﹣2）＝0， x﹣1＝0或5x﹣2＝0， 所以x1＝1，x2＝． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，求该方程的实数根； （2）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （3）若该方程的两个实数根分别是，，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 解：依题意， ， 无论取任何实数，该方程总有实数根． （3） 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解方程，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，得，解得，． （2）理解题意，则，即可作答． （3）先理解题意，则，，再结合，故，解得的值，即可作答． 【小问1详解】 解：当时，， 即． 得． ∴，或． 即，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∵， ． ∴ 解得． 21. 二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 2 4 6 … … 0 6 m n 0 … （1）该二次函数解析式为 ， ， ； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象直接写出下列问题： ①当 时，y有最 值（填“大”或“小”）是 ． ②若该二次函数图象上有两点和，满足，则 （从符号<，，，>，=中选择一个填空）； ③当时，x的取值范围是 ． ④当时，则y的取值范围是 ． 【答案】（1）；8；6； （2） 根据表格中的点，先描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）①2；大；8；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据表格得，二次函数经过，设二次函数解析式为：，当时，，代入求解即可确定解析式，然后求解其他函数值即可； （2）由（1）中所确定的5个点，在坐标系中描点、连线即可； （3）根据（2）中函数图象及二次函数的性质依次求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格得，二次函数经过， 设二次函数解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为：； 当时，， 当时，， 故答案为：；8；6； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由图可得：当时，y有最大值是8， 故答案为：2；大；8； ②由图象得，对称轴为， ∵， ∴点和在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； ③由（1）得，当时，即求当二次函数值大于6时的取值范围， 当和时，， 结合图象得：当时，，即， 故答案为：； ④由图象得，当时，，当时，， 当时，y的最大值为8， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及图象的作法、函数值的取值范围等，理解题意，结合函数图象及二次函数的基本性质求解是解题关键． 22. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，设篱笆长为x米． （1）___________米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形鸡舍面积为150平方米，求篱笆的长？ （3）矩形鸡舍面积的最大值是多少？说明理由． 【答案】（1） （2）10米 （3），理由： 设矩形鸡舍面积为， 则， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 所以当时，取得最大值，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用篱笆的总长度减去3个的长度，再加上2个小门的长度即可得； （2）先根据墙长20米求出的取值范围，再利用长方形的面积公式建立方程，解方程即可得； （3）设矩形鸡舍面积为，利用长方形的面积公式可得关于的函数关系，再根据二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：（米）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：墙长20米， ， 解得， 若矩形鸡舍面积为150平方米，则， 解得或（舍去）， 答：篱笆的长为10米． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． 23. 某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． （1）填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； （2）求与之间的函数关系式； （3）填空：若，则的值为______； （4）当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 【答案】（1）①；②； （2） （3）60或80 （4）当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程，求出相应的函数解析式，利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）①根据题意列代数式即可；②根据题意列出不等式求解即可； （2）根据题意可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）根据销售利润达到8000元，列出方程求解即可； （4）根据（2）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：①根据题意得：每月的销售量是千克，即千克， 故答案为：； ②∵月销售量为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 由题意可得，， 即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是； 【小问3详解】 根据题意得：令， 解得， ∴的值为60或80 ， 故答案为：60或80； 【小问4详解】 ∵， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 24. 如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； （3）若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）当最小时点的坐标为 （3）点的坐标为，最大面积为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入求解； （2）根据对称性将求的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短求解； （3）过点向轴作垂线，交于点，将点设出来，利用两点之间的距离求出的长度，再将的面积表示出来，利用二次函数的顶点式求出最值． 【小问1详解】 解：分别将点，代入二次函数中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意知，点关于对称轴对称， ∴， 则， 当三点共线时，取得最小值， 此时点为直线与抛物线对称轴的交点； 设直线的表达式为， 分别将，代入中， 得，解得， 直线的表达式为； 二次函数的对称轴为， 将代入，解得， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图所示，过点向轴作垂线，交于点， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为， 将代入，解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线的下方， ∴， 则， ∴， ∴当时，取得最大值， 此时，， ∴点的坐标为，最大面积为． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）． （1）当，，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标； ②若点，，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】（1）顶点 的坐标为 ． （2） ①点 的坐标为 ；②顶点 的坐标为 ． 【解析】 【分析】（1）把、、 的值代入，用配方法把解析式化成顶点式，写出顶点的坐标； （2）①由点在抛物线上得，过点作轴的垂线，把、转化为全等三角形，用、表示点的坐标，代入抛物线求，再按点在轴下方、上方两种情况取舍； ②在线段上取点使，由等腰三角形的性质与外角性质得，由推出；再由平行四边形对边相等与、关于对称轴对称，把转化为，用两点之间线段最短得最小值为，求出、 后求点，最后用平行四边形对角线互相平分求点． 【小问1详解】 解：当 ，， 时， 抛物线的解析式为． 配方得， ∴ 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上，， ∴，即． ∵， ∴． ∵ 点为抛物线与轴的交点， ∴． 过点作轴于点． ∵， ∴． ∵ 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 若点在轴下方，则点在点的右侧， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 化简得， 解得（，舍去）， ∴点的坐标为 ． 若点在轴上方，则点在点的左侧， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 化简得 ， ∵， ∴该方程无实数根，此种情况不成立． 综上所述，点的坐标为． ②∵抛物线与轴交于点和， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点为抛物线与轴的交点， ∴． 在线段上取点，使， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得（与点重合，舍去）， ∴． ∵ 点在线段 上， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵ 四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵点 、 关于抛物线的对称轴对称， ∴． ∴（两点之间线段最短）． ∴ 当点在线段上时，取得最小值． ∵的最小值为， ∴． 在中，， ∴． 把代入，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴． ∴抛物线的对称轴为直线，，． 设直线的解析式为， 把，代入，得 ， 解得，． ∴直线的解析式为． ∵点在对称轴上，且、、三点共线， ∴ 当时，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即线段与的中点重合． ∵线段的中点为， ∴线段的中点也是． 设， ∴，， 解得，， ∴顶点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数图象的顶点（配方法）、抛物线与坐标轴的交点、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、平行四边形的性质、轴对称的性质与两点之间线段最短、勾股定理．解题关键是把与转化为全等三角形，用、表示点的坐标；第二问通过构造等腰三角形把角的条件转化为，再由得到，并把转化为求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $