重庆市实验中学校2026-2027学年高三上学期数学周测试题（第三周）

**基本信息** 聚焦高三数学核心知识，通过基础巩固与综合应用题梯度设计，考查集合、函数、三角函数等模块，第6题以进步率情境、第18题结合运动员训练数据，体现数学建模与数据分析能力，适配周测复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合真子集、不等式解集、充要条件|基础概念辨析，如第3题考查逻辑推理| |多选|3/18|三角函数图像、基本不等式|第10题结合正实数条件考查最值，体现数学思维| |填空|3/15|函数求值、参数计算|第14题含参数函数零点，考查数学抽象| |解答|5/77|立体几何证明与线面角、解三角形、导数应用、概率统计|第18题分层抽样与分布列设计，第19题函数零点证明，注重综合应用与数学语言表达|

2026-2027学年高三上期数学周测试题第三周 ▣▣ 姓名： 班级： 同孕 准考证号： 基础达标(150分) 1.ABCD5.AB□C☑D9.A▣B□c□D 2.AB□CD6.B□cD10.AB□C☑D 3.AB□D7.AB□cD11.AB□cD 4.A□B□c□D]8.A□B]c□D 12. 13. 14. 15.(13分) C B A B 重庆市实验中学校高三数学满分：150分 16.(15分) 1/2 ■ (SI)LI ■ 18.(17分) ■ 重庆市实验中学校高三数学满分：150分 19.(17分) 2/2 ■《2026-2027学年高三上期数学周测试题第三周》 号基础达标（150分) 1.(5分)己知集合A={a,a2},B={1,3},若1∈A,则集合AUB的真子 集个数为 A.3 B.6 C.7 D.8 【参考答案】C 解析：【详解】因为1∈A,则a,=1或a2=1, 气a2≠1或{a≠1，解得a=-1,故A= {-1,1}, 所以AUB={-1,1,3},故集合AUB的真子集个数为23-1=7. 2.(分)不等式，0_ 4-r2>0的解集是 A.（-2,0)U(2,+∞) B.（-∞，-2) C.(0,2) D.（-∞，-2)U(0,2) 【参考答案】D 解析：【分析】将分式不等式等价转化为整式高次不等式，通过区间符 号验证求解，需排除分母为0的情况. 式4>0，其等价于分子分母同号且分母不为0，即： 【详解】不等式，工。 (4-x2)x>0, 整理不等式可得：-x(x+2)(x-2)>0, 两边同乘-1，不等号方向改变，得：x(x+2)(x-2)<0, 该整式的零点为x=-2,x=0,x=2,将数轴分为四个区间，逐段验证符号： 当x∈(-∞，-2)时，x<0,x+2<0,x-2<0,三者乘积为负，满足 x(x+2)(x-2)<0,符合条件： 当x∈(-2,0)时，x(0,x+20,x-2<0,三者乘积为正，不满足条件； 当∈(0,2)时，x>0,x+2>0,x-2<0,三者乘积为负，满足 x(x+2)(x-2)<0,符合条件： 当x∈(2，+∞)时，x>0,x+2>0,x-2>0,三者乘积为正，不满足条 件， 结合分母不为0的限制x卡士2，最终解集为(-∞，-2)U(0,2): 3.(5分)“a>1且b>1'是“logab>0的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A 解析：【分析】利用对数函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义 判断即得 【详解】当a>1且b>1时，则logab>loga1=0成立， 当logab>0时，a>1且b>1,或0<a<1且0<b<1, 所以“a>1且b>1”是“logab>0'的充分不必要条件. 故选：A 4(分)已知函数f@则f)的图象可能是 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 【参考答案】B 解析：【分析】根据函数的奇偶性以及正负值即可通过排除求解. 【详解】f(巴)=2的定义域为全体实数， 且f(-=2-cs（=二2oosE=-f),故f()为奇函数，图 In(x2+e)In(x2+e) 像关于原点对称，此时可排除AC, π 0<x<2,cosx>0,血(2+e)>0,故f(a)>0,此时可排除D, 故选：B A.V13 B.、V3 D.、3 4 4 【参考答案】A 解析：【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解。 【详解】m(g-a-s血(-（后+a)=in(后+小 由0<am所<a+后<石结合(a+特)>0 放后<a+<所以血(+)-a(a+哥)-四 故选：A 6.(5分)从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步率 都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而每天退后0.01，那么每天的“落 后率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；这样，一年后“进步的是“落 后的1.0166 的0.99丽≈1481倍.“进步的是“落后的10倍只需要大约经过(0天. (参考数据：lg101≈2.0043,1lg99≈1.9956) A.110 B.115 C.120 D.125 【参考答案】B 解析：【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解， 【详解】设经过x天“进步”的值是“落后的10倍， 依题意，每天进步1%时，x天后的进步值为1.01，每天退步1%时，x天 后的退步值为0.99， 因此10×0.99=1.01”，两边取常用对数，得1+xlg0.99=xlg1.01, 1 1 1 则x=1g1.01-1g0.91g101-1g92.043-1.956 1 0.0087≈115， 所以大约经过115天，“进步的值是“落后的10倍. 分已知时a+4若af(e)f(如)c-() 则a、b、c的大小关系为 A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 【参考答案】D 解折：【分】利用奇锅在变形多(》c寸() 利用单调性 法比较e片、子山的大小，再利用函数斯回的单调性比较大小即可 【详解】因为函数f(e)=-x2+4为偶函数，且f(x)在(0，十∞)上单调递减， 音<h10所以f()f()f(》c-f() =() 构造函数g(x)=e-c-1,其中x<0,则g(x)=e2-1<0, 所以西数g(回(-0,0上单调道减，所以g(）一et+子-1et >g00 e>日 构造商藏（倒=-+1其中z>1,则N回112<0， 所以函数h(x)在(1，+o∞)上单调递减，则h 5 55 5 =血+1-血 日<a0-0, < 1 ,所以e> 所we)<f()f()即 f(e-)<f()<f()即a<c<o &分)已知函数f()=sin(+3)o>0)在区间[3，对上恰有3个零 点，则w的取值范围是 [() [片（告）》 号学u6 [(皆婴) 【参考答案】C 解析：【分析】先由零点个数求出3≤w<6,再用整体法得到不等式组， 求出w的取值范围. 【详解】因为x∈ [，u+∈[+，+引，其中 T] ←不 1/5 π4π 3< 4r,解得：3≤w<6, r +≥ 则不 要想保正函数在[写]拾有三个零点， T+2k1T≤ <2m+2k1T 满足① 4m+2k1<x+3 ,k1∈Z,令k1=0,解得： ≤5π+2k1 [) 111 2k2r≤3w+ <π+2k2π 或要满足② ,k2∈Z,令k2=1,解得： π 2k2T+3T<TW+ ≤2k2π+4 (6): 经检验，满足题意，其他情况均不满足3≤ω<6条件， 综上：w的取值范围是 [)() 故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进 行解决，通常要考虑最小正周期，确定ω的范围，本题中就要根据零点个 数，先得到7≤云言<2江，从而求出3≤“<6，再进行求解。 9.(6分)（多选）已知函数f(x)= Asin (w+p(Awp< )的部分 图象如图所示，则() 120 Afe=3s血(2x-) B.f(x)的图象关于点 + 2 60 (k∈Z)对 称 C.直线=云是f(e)的一条对称轴 6 D函数f(e+名)为奇函数 【参考答案】ABD 解析：【详解】选项A:由图可知，f(c)max=3,因为A>0,所以A=3. 此时a)-3加(2z十小由图可知，函数图像过点（五3） 所以2×（豆）+9-2km分，k∈z、即g-2kx写，ke2因为a<分 取k-0,得=行所以时)-3m(2z-）,故A正确 达项B:-君-加k后么解得智+后ke么，所以e)的图俊 关于点( 空+言，）传∈对你，B正強。 选项C: 当-名时，f(信)=3m(2×言-写）-0，此时函数值为0， 2/5 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 不是最值， 所以直线x=刀不是fe)的对称轴，故C错误。 选项D:f(e+君)-3m(e+君)-引=3s血(2z+君-) 3sin2x, 因为g=3sm2是奇函数，所以函数f(e+君)为奇函数，故D正确。 10.(6分)（多选）已知正实数、y满足cy=x+2y,则下列说法正确的有 A.xy的最大值为8 B.x+2y的最小值为8 C.2x+y的最小值为9 1 .16 D. x-2(y-1)2 的最小值为 【参考答案】BCD 解析：【分析】利用基本不等式可判断A选项：由已知等式可得出2+」 =1,将代数式+2y与2+二相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项： x y 将2x+y52+上相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项：由已知等 x'y 416t 式得出0上292公>0.ty1>0,可得出22-2多 构道时数0-专碧其中>0，结合号数法可舆断D选项。 16 【详解】因为正实数x、y满足xy=x+2y, 对于A选项，由基本不等式可得xy=x+2y≥2√2xy,整理得√xg≥2V2, 即cy≥8， /x=2y 当且仅当 y=2+2时，即当2=4时，等号成立，故y的最小值为 x>0,y>0 (y=2 8,A错； 对于B选项，在等式cy=x+2y两边同除cy得 2+1 =1， T'y 所+2e+2(2+》-4++号≥+2 4y.=8, x y x y 4y 当且仅当 y 时，即当 x=4时， 等号成立， xy x+2y" y=2 x>0,y>0 故c+2y的最小值为8，B对： 对于C选项，2x+y=(2x+) (+》52号≥5+2 2y.2x x y =9, 2型=2 当且仅当{ ”y。时，即当==3时，等号成立，即2x+y的最小值 xy=~+2y x>0,y>0 为9，C对； 对于D选项，由xy=x+2y可得x=xy-2y=(x-2)y, 所以g”22士2-1 2 x-2x-2 x-2 =。可得>2，故y-1=-2’则二2=。1、0 (x>0 x-22 所以1+，16。=y1+,16 x-2(g-1)22+(g-1)2 令=-1>0，可得，12十169,1+，16 t,16 。-2+-y2+-2+ 令f0-+设其t>0,则r分器-”器4 132t3-64 由f(t)<0可得0<t<4,由f'(t)>0可得t>4, 所以函数f(t)在(0,4)上单调递减，在(4，+o∞)上单调递增， 所以0m寸国含+-8故2+19 x-2(g-1)2 的最小值为3，D对. 11.(6分)（多选）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(2x+1)为奇函数， 且f(1-x)+g(x)=2,f(x)十g(x-3)=2,则 A.f(c)为偶函数 B.g(x)不为奇函数 20 20 C.∑f()=40 D.∑9()=40 1 k=1 【参考答案】ABD 解析：【分析】对于A,由题可得f(1+x)十f(1-x)=0,f(2-) f(2+x),f(x+2)=f(x-2),据此可判断f(x)奇偶性；对于B,由题 可得g(O)=2,据此可判断选项正误；对于C,由A分析，可得f(x)的一个 周期为4，又由赋值法可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,可得答案；对于 D,由题可得g(x)的一个周期为4，再由赋值法结合g(x)=2-f(1-x), 可得g(1)+g(2)+9(3)+g(4)=8,据此可得答案. 【详解】对于A,f(2x+1)为奇函数，则f(2x+1)+f(1-2x)=0,即 f(1+x)+f(1-x)=0. 由f(x)+g(x-3)=2,可得f(c+3)+g(x)=2,结合f(1-x)十g(x)=2, 可得(1-x)=f(x+3),即f(2-x)=f(2+x) 又由f(1-x)=f(x+3),结合f(1+x)+f(1-x)=0,可得f(1+x)+ f(3+x)=0, 则f(x)十f(2+x)=0→f(x+4)=-f(x+2)=∫(x),则f(x+2)= f(x-2). 则f(2-x)=f(x-2),即f(x)=f(-x),f(x)为偶函数，故A正确： 对于B,由A分析，f(2x+1)+f(1-2x)=0,令x=0,可得2f(1)= 0→f(1)=0, 对于f(1-)+g(x)=2,令x=0,可得f(1)+g(0)=2, 则g(O)=2,从而g(x)不为奇函数，故B正确； 对于C,由A分析，f(1+x)+f(3+x)=0,令x=0,可得f(1)+f(3)=0, 令x=1,可得f(2)+f(4)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 又由f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得f(x)的一个周期为4， 则∑f()=5[f(1)+f(2)+f(3)+f(4=0,故C错误： k=1 对于D,由f(1-x)十g(x)=2,可得g(x)=2-f(1-x),因f(x)的一个周 期为4， 则g(x)的一个周期为4.由f(1+x)+f(1-x)=0,令x=1,可得f(2)+ f(0)=0, 则g(1)+9(3)=2-f(0)+2-f(-2)=4-[f(0)+f(-2儿，由f(x)为偶函数， 可得g(1)+g(3)=4-[f(0)+f(2)]=4.又由f(1)=0,f(1)+f(3)=0,可得 f(3)=f(-3)=0,f(-1)=0.则g(4)=2-f(-3)=2,9(2)=2-f(-1)=2. 20 则g(1)+g(2)+9(3)+9(4)=8,从而∑9()= k-1 5[g(1)+9(2)+g(3)+g(4)1=40,故D正确. 故选：ABD 12.(5分) -8 +l0g279+34og95= 【参考答案】V5+1536 1021 解析：【分析】分别计算有理数乘方、对数式、含对数的指数式，再合 并结果即可 【详解】根据乘方运算法则： 8 512 利用对数运算性质logamb”= 1o9ab得：1o92r9-l0g3320g33 m Γ3 1 再化简指数：log5=log5=21ogs5-logs5=log3V5, 然后根据对数恒等式aog.b-b可得：3ogv5=√5， 所以 52+号+5-V5+10243=v6+ 4l0g279+3og95=--1+2 1536 1021 1536 13.(5分)已知tan0-2,则sin20+sin0cos0-2=, 【参考答案】-0.8 解析：【分析】将式子化为其次式，然后化为正切求值即可. 【详解】sin20+sin0cos0= sin20+sin0 cos0 tan20+tan0 6 sin20+cos20 tan20+1=5 故原式=6-2=- 4 5 5 故答案为：一5 (4log4x,0<x<4 14.(5分)函数f(x) 号2+7位-20，巴≥4若存在实数a,66d满日 f(a)=f(b)=f(c)=f(d),0<a<b<c<d,则abc(d-7)的取值范围是 【参考答案】(6,12) 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 解析：【分析】根据给定条件，作出函数(x) X=7 的图象，利用方程根的意义，结合对数运算及 增函数性质求出范围. 【详解】作出函数y=f(x)的图象，如图： Oal b 4c6:8d 由f(x)=0,得x=0或x=4或=10，而4log44= 4, 由)-4，得x或-6或-8， 令f(a)=fb)=f(c)=f(d)=t,则函数y=f(x)的图象与直线y=t有4个交点， 其交点横坐标依次为a,b,c,d,且 4<a<1<6<4<c<6<8<d<10, 由4log4al=4log4bl,得-log4a=log4b,解得ab-1, 而函数g-方女2+7z-20的图象关于直线：=7对称，侧则d-14-心 于是abc(d-7)=c(7-c)=-c2+7c,又函数y=-c2+7c在(4,6)上单调递减， 则6<-c2+7c<12,所以abc(d-7)的取值范围是(6,12) 15.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， B A1C⊥AC,平面ABC⊥平面ACC1A1· (1)证明：A1CLAB. (2)若AC⊥BC,BC=AC=1,AA1=2,求直线 A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值. 【参考答案】(1) ,:A1C⊥AC,平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABCn平面ACC1A1=AC, A1CC平面ACC1A1, ∴.A1C⊥平面ABC .ABC平面ABC,.A1C⊥AB. 3 4 解析：【分析】(1)根据面面垂直得到线面垂 C 直，利用线面垂直可证明结论 A (2)以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间 向量可求得线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)得A1C⊥平面ABC,·,ACC平面ABC, .A1C⊥AC, .AC=1,AA1=2,.A1C=V3 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,V√3)， B(0,1,0),C(0,0,0),C(-1,0,V3), .BA1=(0,-1,V3),CB=(0,1,0),CC1=(-1,0,V3) 设平面BCC1B1的法向量为元=(c,,2,则 元.CB=y=0 .COj=-x+V3:=0 令x=V3,则y=0,z=1,故元=（√3,0,1） BA1·元 设直线A1B与平面BCC1B1所成的角为0，则sin0 BA1I元 3 √3 V1+3×V3+14 :直线A1B与平面BCCB,所成角的正弦值为V3 4 16.(15分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且√3a- csin B=V3bcos C. (1)求B: (2)若b=3,∠ABC的平分线与AC相交于点D,且BD=2,求△ABC的面 积. 【参考答案】()B写 5 解析：【分析】(I)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出tanB的 值，结合角B的取值范围可得出角B的值； (2)由S△ABC=S△BDC十SAABD整理得出√3ac=2(a十c),结合余弦定理可 得出关于ac的二次方程，求出ac的值，再利用三角形的面积公式即可得 解 【小问1详解】 因为V3a-csin B=V3 bcos C,所以√3sin(B+C)--sin C sin B= √3 sin Bcos C, V3sin Bcos C+V3 cos Bsin C-sin Csin B=V3 sin Bcos C, 即√3 cos Bsin C-=sin Csin B, 因为B、C∈(0，)，则sinC≠0，所以tanB=V3,所以B=T 3 【小问2详解】 因为BD为LABC的平分线，所以LABD=∠DBC= 6 又9,4a5aac+8Aao:即号c血写7×2ai看+号x2血言 整理得√3ac=2(a+c). 又由余弦定理02-a2+e2-2acas写-a2+c2-ac,得9=(a+qP-3ac, 所以9-ae2-3ac,即(a2-4nc-12=-0,解得ac-6或ac=-2(合去)， 所以aMBC的面积为5c=写csn∠ABC号×6x号-y 22 17.(15分)(15分)已知函数f(x)=21nx-aax2+(1-4a)x,(a卡0) 3/5 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (②诺f回)有级大道，求证f回)≤4。 【参考答案】3x+y叶1=0，证明见解答过程 解析：【小问1详解】 当-1时，f回-2n-2-3r.fa是-2x-3, 则f(1)=-4,f(1)=-3, 故曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y=-3x-1· 【小问2详解】 函数f(x)=2nx-ax2+(1-4a)x的定义域为(0，+o∞)， 又f(）2-2am+1-4o）=z+21-2a】 2 当a<0时，f()>0，故f(x)在(0，+o∞)上单调递增，无最大值； 当a>0时，令f()=0,则x-2a 所以x∈ )时，r>0, ( 时，f'(x)<0, 所以f(e在(0云 上单调地，在（+） 上单调递减. 故f(c)的最大值是f 1,1 =2In 2a+4a -2, 要证f回≤品42加a云+20n2云 11 1 1+1≤0(a>0), ®@nx-z+1,E0,+∞)，则华 所以当0<x<1时H(x)>0,当x>1时H'(x)<0, 所以H(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， >0,则日 又 ≤H(1)=0.即m2a2a 1 +1≤0(a>0),得证. 18.(17分)某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练 情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中 点值为代表)： (2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了6次成 绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间[60,70)的次数为X, 求X的分布列及数学期望： (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原 低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成 绩会降低10分，己知该运动员优化动作成功的概率为p(0<p<1).在一次 资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围 的可能性变大时p的取值范围. 【参考答案】【答案】(1)平均值为76.6，上四分位数为86.25： (2) 4/5 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 0 2 2 8 1 5 15 15 数学期望为 .2 (后 解析：【分析】(1)根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到 答案； (2)写出X的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公 式即可； (3)法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于p的表达式， 从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式， 解出不等式即可. 【小问1详解】 依题意，平均值 元-1000×(100x55+200×65+300x75+240×85+160×95)=76.6 .0.1+0.2+0.3=0.6<0.75,0.6+0.24=0.84>0.75, 上四分位数落在区间30,90)，且等于80+0.75-0.6 0.24 ×10=86.25. 【小问2详解】 由样本数据可知，训练成绩在[50,60)U[70,80),[60,70)之内的频数之比 为2：1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在[50,80)中随机抽取了6次成绩， 在50,60)U[70,80)之内的4次，在[60,70)之内的抽取了2次， 所以X可取的值有：0,1,2， P(X=0)= 器后台风x- C好 9C生-8，pX=2)cg C哈 1 15' 分布列为： 0 1 P 2 8 1 15 8 12 B(X)-0x5+1×6+2×i53 【小问3详解】 法一：设事件A1,A2,A3分别表示动作优化前成绩落在区间 [70,80),[80,90),[90,100, 则A1,A2,A3相互互斥，所以动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率P(A2UA3)=P(A2)+P(A)=1O00 240 160 =0.4, 1000 设事件B为"动作优化成功”，则P(B|A1)=P(B|A2)=P(B)=p, 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：A1BU4ABUA3,且事 件A1B,A2B,A3相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 P(AiBUJA2BUAs)=P(AiB)+P(A2B)+P(As)=P(Ai)P(BIA1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3), P(aUAU4)0+2湖p+00o16 0.54p+016>04解得p>音又p<1p的取值范围是（台， 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动 员在资格赛中入围的概率为：p1= 240+1602 1000=5-0.4, 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间 [70,80)或[80,90)的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 300,240 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率p2=1000P+1000p叶 160 1000 =0.54p+0.16, 054g+016>0.4,得p>音又p<1p的取值范围是 19.(17分)已知函数f(x)=x(ex-a),a∈R. (1)当a=1时，求f(c)的极值： (2)若函数g(x)=f(x)-alnx有2个不同的零点x1,x2: ()求a的取值范围： (倒)证明：ea+)> T1Z2 【参考答案】(1)极小值为f0)=0,无极大值. (2)()(e,+∞) (i)由e21+-1>e -,可得x1e1.c2er2>e2,即证t1t2>e2,即证 化1花 Int1+lnt2>2, 不妨设t1<t2,因为h(1)=1>0,h(e)=e-a<0, 由()知，1<t1<e<a<t2, 令2=m,则m>1且t2=mt,nt2nm+lnt ，即在= 因为1-ant边-ant边=0，可得a=ha=n Inti Int2 mti In(mti) 所以nm+nt=mlat,可得nm=(m-1)ht,所以nt=m-' Inm 则血t2-l血(mt1)=lnm+lnt=mlnm m-1 所血t血2>2价王温"%地>2m+1血>2 m-1 即为lnm> 2(m-1) m+11 令F(e)=lnx- +,2>1,则F(四-2+)-2e-) 2(x-1) (x+1)2 (x-1)2 >0, x(x+1)2 所以F(x)在(1，+∞)单调递增，所以F(x)>F(1)=0, 即nr-2e-1)>0,可得ar>2-卫，所以nm>2m- x+1 c+1 m+1 即可得证. 解析：【分析】(1)根据题意，求得f(x)=(x+1)e-1,令m(c)=f'(x), 求得m'(x)=(x+2)e,得到f'(x)的单调性，进而求得函数f(x)的单调区 间，结合极值的概念，即可求解. (2)()由题意得g(x)=e-an(xe),令t=xe,求得t'>0,得到t=xe 在(0，+oo)单调递增，再令h(t)=t-alnt,得到h(t)在(0，+oo)有2个零点 t1,t2,且t1=c1e1,t2=2e2,进而得到a>0,求得函数 h(t)min=h(a)<0,即可求解； (i2)根据题意，转化为证明lnt1+lnt2>2,设t1<t2,得到 1<<e<a<2,令2=m,求得在=女=m Int1 Int2 In(mt1) 得到lnm +lnt1=mInt1,进而转化为lnm> () +1,>1,利用导数求得F()单调性，结合F(包>F()=0,即 2(x-1) 可得证 【小问1详解】 解：当a=1时，函数f(x)=x(e-1),可得f'(x)=(x+1)e-1, 令m(x)=f'(x),则m'(x)=(x+2)e, 当x∈(-o,-2)时，m'(x)<0;当x∈(-2，+o∞)，m'(x)>0, 所以f'(x)在(-o∞，-2)单调递减，在(-2，+o∞)单调递增， 因为x<-1时，x+1<0,e2>0,则f'(x)<0,f(0)=0, 所以当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0:x∈(0，+∞)，f'(x)>0, 所以f(x)在(-o∞，0)单调递减，在(0，十∞)单调递增， 所以f(x)的极小值为(0)=0，无极大值. 【小问2详解】 解：()由函数g(x)=f(x)-alnx=xe-a(x+nx)=xe- aln(xer),x∈(0，+∞)， 令t=xe”,t∈(0，+oo),因为t=(x+1)e2>0,所以t=xe在(0，+o∞)单调 递增， 令h(t)=t-alnt,即h(t)在t∈(0，+o)有2个零点t1,t2,且t1=x1e1,t2= C2e22, 因为间=1-=，a,所以a≤0时，N因>0，nM回在t∈0，+∞)单 tt 调递增， 此时不存在2个零点，所以a>0, 因为t∈(0，a)时，h'(t)<0;t∈(a,+o∞)时，h'(t)>0,所以h(t)在(0，a) 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：150分 单调递减， 在(a,+oo)单调递增，因为t→0时，h(t)→十∞；t→+∞时， 00, 所以h(t)min=h(a)=a(1-lna）)<0,所以a∈(e,+o): (i)略 h(t)-→+ 5/5 重庆市实验中学校2026-2027学年高三上期数学周测试题第三周 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，若，则集合的真子集个数为      A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 2.不等式的解集是      A. B. C. D. 3.“且”是“”的(     ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知函数，则 的图象可能是     A. B. C. D. 5.已知，则   A. B. C. D. 6.从现在开始，你每天都比前一天进步，那么每天的“进步”率都是，一年后是；而每天退后，那么每天的“落后”率都是，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过     天．参考数据：， A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 7.已知，若，，，则a、b、c的大小关系为      A. B. C. D. 8.已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是     A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9.已知函数的部分图象如图所示，则      A. B. 的图象关于点对称 C. 直线是的一条对称轴 D. 函数为奇函数 10.已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有      A. xy的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为9 D. 的最小值为3 11.函数的定义域均为R，为奇函数，且，则    A. 为偶函数 B. 不为奇函数 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.           .  13.已知，则           .  14.函数，若存在实数满足，，则的取值范围是           .  四、解答题（本题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分）如图，在三棱柱中，，平面平面 证明： 若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 16.（15分）已知的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 求B； 若，的平分线与AC相交于点D，且，求的面积. 17.（15分）已知函数， 当时，求曲线在点处的切线方程； 若有最大值，求证： 18.（17分）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩满分100分统计如下表所示. 成绩区间   频数 100 200 300 240 160 求上表中成绩的平均值及上四分位数同一区间中的数据用该区间的中点值为代表； 该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； 对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 19.（17分）已知函数 当时，求的极值； 若函数有2个不同的零点 求a的取值范围； 证明： 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $