精品解析：贵州毕节市七星关区第三实验学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷A卷

七星关区第三实验学校2026秋第一次教学质量检测 九年级数学测试卷（A卷） 第I卷（选择题） 一．选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、 B. 4、2、 C. 4、、1 D. 4、2、1 4. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 6. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 9. 如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 10. 已知，是一元二次方程的两个根，则一次函数的图象大致是（） A. B. C. D. 11. 国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是_____．（写一个即可） 14. 如图，菱形的周长为20，E是的中点，F是的中点，连接，则________． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 16. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为____________． 三．解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列不等式及方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 19. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，， （1）求证：四边形是菱形； （2）求四边形的面积． 20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 21. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 22. 已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 23. 某新能源门店以每台25元的进价购进一批小型太阳能充电设备，当该设备售价为40元/台时，四月销量为256台，五、六月该设备十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，六月的销量达到400台． （1）求五、六两月销量的月平均增长率； （2）七月该门店为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该设备每台降价1元，月销量在六月销量的基础上增加5台，当该设备每台降价多少元时，门店七月获利4250元？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，；动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． （1）________，________，________，________（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为________时，能够使四边形成为菱形，说明理由． 25. 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七星关区第三实验学校2026秋第一次教学质量检测 九年级数学测试卷（A卷） 第I卷（选择题） 一．选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据一元二次方程的定义，从整式性、未知数个数、最高次数三个维度判断各选项． 【详解】解：A、未说明，当时不含二次项，不符合题意； B、含有，两个未知数，不符合一元的要求，不符合题意； C、只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意； D、的最高次数为3，不符合二次的要求，不符合题意． 2. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、 B. 4、2、 C. 4、、1 D. 4、2、1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选C． 4. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 5. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：； 故选C． 6. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 7. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和添加常数项完成配方，即可解题． 【详解】解：∵， 移项，得 ， 方程两边同时加4，得 ， 即 ， 故选：B． 8. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项错误； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项正确； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； D、符合题意由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； 故选：B． 9. 如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出长，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，为中点， ， ， 由勾股定理得：． 故选：C． 10. 已知，是一元二次方程的两个根，则一次函数的图象大致是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出与的值，确定一次函数、的符号，进而判断图象位置． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， 一次函数解析式为， ，， 图象经过第一、二、四象限，与轴交于正半轴观察选项可知C符合． 11. 国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每天票房的增长率为x，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得： ， 故选：D． 12. 如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，相交于点，交于点，先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接，相交于点，交于点， 四边形是菱形，且它的面积为8， ， 点分别是边的中点， ， ，， ， ， ， 则的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 已知一元二次方程有一个根是1，那么这个方程可以是_____．（写一个即可） 【答案】x2﹣2x+1＝0 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解． 【详解】解：答案不唯一．一元二次方程ax2+bx+c＝0中几个特殊根的形式：x＝1时，a+b+c＝0．只须使方程系数满足a+b+c＝0即可． 如x2﹣2x+1＝0． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0中几个特殊根的形式：x＝1时，a+b+c＝0；x＝﹣1时，a﹣b+c＝0；x＝0时，c＝0． 14. 如图，菱形的周长为20，E是的中点，F是的中点，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质得出，再证是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的周长为20， ∴， ∵E是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）． 根据一元二次方程的定义得到，，由此求得的值． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案是：． 16. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 三．解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列不等式及方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：对于不等式 两边同乘去分母得 去括号得 移项合并同类项得 【小问2详解】 解：对于方程 移项得 配方得 即 开方得 解得， 18. 如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形即可． 【详解】略 19. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，， （1）求证：四边形是菱形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，且， ∴ ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形得出结合勾股定理的逆定理，得证即可作答． （2）运用菱形性质列式求面积，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是菱形 ， ∴ 20. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 【答案】（1）>； （2）k=2. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出k的值． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴>0， 解得：> ． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得， ． ∵， ∴， 解得：k=0或k=2， 又∵>， ∴k=2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． （1）判断方程是否为波浪方程，并说明理由． （2）已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【答案】（1）该方程是波浪方程 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． （1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【小问1详解】 解：，，， ， 故该方程是波浪方程； 【小问2详解】 解：由已知得： 解得， 这个波浪方程为． 22. 已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【答案】 ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】先根据三个直角证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形完成证明． 【详解】略 23. 某新能源门店以每台25元的进价购进一批小型太阳能充电设备，当该设备售价为40元/台时，四月销量为256台，五、六月该设备十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，六月的销量达到400台． （1）求五、六两月销量的月平均增长率； （2）七月该门店为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该设备每台降价1元，月销量在六月销量的基础上增加5台，当该设备每台降价多少元时，门店七月获利4250元？ 【答案】（1）25%； （2）当该设备每台降价5元时，门店七月获利4250元． 【解析】 【分析】（1）设五、六两月的月平均增长率为，根据增长率模型即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该设备每台降价元，则每台盈利元，月销售量为台，利用总利润每台的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设五、六两月的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：五、六两月的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该设备每台降价元，则每台盈利元，月销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当该设备每台降价元时，门店七月获利元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，；动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． （1）________，________，________，________（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为________时，能够使四边形成为菱形，说明理由． 【答案】（1），，， （2） （3）单位/秒 【解析】 【分析】（1）根据点的运动速度和即可求出结果． （2）矩形中，即，一组对边平行，只需满足，四边形就是平行四边形． （3）菱形需要两个条件：①首先是平行四边形（）；②邻边相等，矩形竖直距离固定，利用勾股定理求出边长等式，联立求解速度． 【小问1详解】 解：矩形，，， ∴，， 又动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动， ，，，； 【小问2详解】 解：如图， 四边形是矩形， ，即． 则当时，四边形是平行四边形． ， ， ， 当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图， 设点运动速度为每秒个单位长度， 则，，． 满足平行四边形：，即①； 满足邻边相等：，，，由勾股定理： ， 则②； ， ， 解得， 代入①中有， ， 当的速度为单位/秒时，能够使四边形成为菱形． 25. 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论） 【答案】（1）AH=AB； （2）数量关系成立． 证明：如图②，延长至，使． ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ∴≌（SAS）， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ，， 、是和对应边上的高， ． （3）6 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，，再证明即可； （2）延长至，使，证明，能得到； （3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理，解得． 【详解】解：（1）如图①，．理由如下： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形， 又， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图③分别沿、翻折和，得到和， ，，． 分别延长和交于点，得正方形， 由（2）可知，． 设，则，， 在中，由勾股定理，得， ， 解得，．（不符合题意，舍去）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $